等腰三角形、角平分线、中垂线

等腰三角形、角平分线、中垂线

一、角平分线、中垂线

例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ∆的周长为28，

BC=8，则BCE ∆的周长为 ．

例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF

例3 如图，在ABC ∆中， 108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD

例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的

垂直平分线．

例5 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，

21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD

训练一下：

A

E F

B

D

C

1．如图，在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.

2．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF

3．如图，在ABC ∆中，AB=AC ， 36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF

4．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD

5．如图，在ABC ∆中， 90=∠ABC ，

60=∠ACB ，

BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF

二、等腰三角形、等边三角形

（1）求角的度数

例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.

（2）证明角相等

例、已知：如图，AB=AD ，∠B=∠D 。求证：AC 平分∠BCD 。

（3）证明线段相等

例、如图所示,已知△ABC 和△CDE 是等边三角形 求证:BD=AE

A

B

C

D

A

B

F

E G

C

D

H A

B

C

D

E

（4）证明问题

例、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．

训练一下：

1、如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AB 、BC 为边，在直线AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE 。连结AE 交BD 于M ，连结CD 交BE 于N ，连结MN 得△BMN ，试判断△BMN 的形状？为什么？

2、如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连接AF.试判断∠B 与∠CAF 的大小关系，并说明理由.

3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AB 上，点D 在AC 的延长线上，且CD ＝EB ，ED 交BC 于M.求证：EM ＝DM.

A

B C D

E

N

M

E

D

C

B

A

E

M

D

C

B

A

E

F

C

D B

A

4、 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE

交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．

5、如图，已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的

距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．

在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．

（4）在图（6）中，若四边形RBCS 是等腰梯形，∠B =∠C =60o

， RS =n ，BC =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边BR 、RS 、SC 、CB 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？

F

A

B C

D

E P M A

B

C D

E

P

M

(3)

A

B

C

D

E P

M

(2)

A

B C

D

E

()

(1)

A

B

C

D E P

M

(5)

作业：

1．如图，已知AC 平分PAQ ∠，点B ，B ′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB ′，那么该条件可以是 ． （1）B B ′⊥ （2）BC= B ′C （3）ACB ∠=AC ∠ B ′ （4）ABC ∠=∠A B ′C 2．在ABC ∆中，E 为BC 中点，BC DE ⊥交AB 于点D ，

若

25=∠B ，AD=CD ，则 25=∠B ，AD=CD ，则

ADC ∠ ，ACB ∠= ．

3．在ABC ∆中，AB=AC ，DE 是AB 边的中垂线，垂足为E ，交AC 于D ．若BDC ∆的周长为24，AB=14，则BC= ；若 40=∠A ，则DBC ∠= ．

4．在ABC ∆中， 120=∠BAC ．PM 为AB 边的中垂线，垂足为M ，交BC 于P ；QN 为

AC 边的中垂线，垂足为N ，交BC 于Q ，则PAQ ∠= ，若BC=9cm ，则APQ ∆的周长为 cm.

5．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 100=∠BDC ．则A ∠的度数

为 ．

6．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆的周长为 ．

7.已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AC ＝DF ，BF ＝CE 。求证：GF ＝GC 。