小学四年级奥数巧妙求和
小学四年级奥数讲解：巧妙求和
小学四年级奥数讲解：巧妙求和一、知识要点某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
四年级奥数题第8讲 巧妙求和(一)
第2讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练【例题1】有一个数列：4,10,16,22.…,52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5,8,11.…,101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7,11.15,……,这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少？2、求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
练习3：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
练习4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11,16,21,26,…,1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2,6,10,14……的第100项。
四年级奥数巧妙求和一学习教案
➢ （2）6+7+8+…+74+75
➢ （3）100+99+98+…+61+60
第8页/共14页
第九页，共14页。
例4：求等差数列(děnɡ chā shù liè)2，4，6，…， 48，50的和。
➢ 解析：这个(zhè ge)数列是等差数列，我们可以用公式计算。
➢ 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
➢ 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 ➢ 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和： ➢ 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 ➢ 这个公式也叫做等差数列求和公式。
第7页/共14页
第八页，共14页。
对应(duìyìng)练习
➢ （1）1+2+3+…+49+50
➢ （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） ➢ =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） ➢ =1+1+1+…+1 ➢ =50
四年级奥数巧妙求和
巧妙求和
基本概念
1 数列：若干个数排成一列，称为数列
2 项：数列中的每一个数
首项：数列中的第一项
末项：数列中的最后一项
项数：数列中项的个数
3 等差数列：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列
公差：后项与前项的差
4 等差数列求和
通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：数列4,10,16,22…52共有多少项？
例2：等差数列9,12,15,18…，2004，这个数列共有多少项？
例3：等差数列1000,993,986,979，…20，这个数列共有多少项？
例4：已知等差数列3,7,11,15，…，则该等差数列第100项是多少？
例5：求等差数列1,6,11,16，…的第61项。
例6：求等差数列307,304,301,298，…第99项。
例7：有这样一列数：1,2,3,4，…98,99,100.请求出这列数各项相加之和。
例8：求等差数列2,4,6,…48,50的和。
例9：用简便方法计算（100+102+104+...+200）-（1+5+9+13+ (97)
作业：
1.3+5+7+9+…+63
2.100+110+120+…+350
3.160+154+148+…+16
4.2+3-4+5+6-7+8+9-10+11+12-13+…+101+102-103。
四年级上册奥数第16讲 巧妙求和(二)
第16周巧妙求和（二）专题简析：某些问题可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否是求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。
例1:刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。
这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学一个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个单词？例2:有30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。
过这些点最多可以画出多少条直线？3.有10只盒子、44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？例3:某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？练习：1.学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他人握一次手。
那么一共握了多少次手？3.假期里有一些同学相约每两人互通一次电话，他们一共打了78次电话，问有多少同学相约互通了电话？例4:求1～99共99个连续自然数数位上的所有数字之和。
练习：1.求1～199共199个连续自然数位上的所有数字之和。
四年级奥数第8讲：巧妙求和-课件
24 6
34
项数？
3+5+7+9+……+35+37
9与3相差的公差为：(9-3)÷2= 3 9与3一共的项数为：3+1=4
你能向小高斯一样解 决这个问题吗？
合唱比赛的排数为：(37-3)÷2+1= 18（排）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
答：一共有18排。
练习一
米德暑假在兴趣班学英语，第一天学会了6个单词，第二天学会9个 单词，第三天学会12个单词，第四天学会了15个单词……最后一天学会 了42个单词。米德暑假一共学了几天英语？
首项是3000； 末项是5100； 公差是300。 项数＝（末项－首项）÷公差＋1
阿派跑步的天数： （5100-3000）÷300+1= 8（天） 总和＝（首项+末项）×项数÷2
阿派一共跑的路程：（5100+3000）×8÷2= 32400（米）
答：他一共跑了32400米。
例题五（选讲）
芭啦啦小学举办“六·一”晚会，全班35人都参加了， 晚会规定，每两人要握一次手，他们一共握了多少次手？
第23个数是: 13+（23-1）×7= 167 第100个数是: 13+（100-1）×7= 706
答：第23个数是167，第100个数是706。
小结
这节课我们学习了哪些知识？
若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为 一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中 数的个数称为项数。
总和＝（首项+末项）×项数÷2 2＋5＋8＋……＋47＋50＋53
=（53+2）×18÷2 =495
一共有多少 个项？
例题四
四年级奥数巧妙求和(一)
第2讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列. 数列中的每一个数称为一项. 其中第一项称为首项, 最后一项称为末项, 数列中项的个数称为项数.从第二项开始, 后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列, 后项与前项的差称为公差.在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”.通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式.二、精讲精练【例题1】有一个数列：4, 10, 16, 22.…, 52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中, 首项=1, 末项=39, 公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5, 8, 11.…, 101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7, 11.15, ……, 这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列, 首项=3.公差=2.项数=10, 它的末项是多少？2、求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项.【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4, …, 99, 100. 请求出这个数列所有项的和.练习3：计算下面各题.（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2, 4, 6, …, 48, 50的和.练习4：计算下面各题.（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题.（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11, 16, 21, 26, …, 1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项.3、100+99+98+…+61+604、（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)5、100+95+90+…+15+10+56、4+7+10+13+…+298+301+298+…+13+10+7+47、 2013-2012+2011-2010+…+3-2+18、影剧院有座位若干排, 第一排有25个座位, 以后每一排比前一排多3个座位, 最后一排有94个座位. 问：这个影剧院共有多少个座位？巧算年龄一、知识要点：年龄问题是一类与计算有关的问题, 它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现. 有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合, 需要灵活地加以解决.解答年龄问题, 要灵活运用以下三条规律：1、无论是哪一年, 两人的年龄差总是不变的；2、随着时间的向前或向后推移, 几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；3、随着时间的变化, 两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化.二、精讲精练例1：爸爸今年43岁, 儿子今年11岁. 几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？练习一1、妈妈今年36岁, 儿子今年12岁. 几年后妈妈年龄是儿子的2倍？2、小强今年15岁, 小亮今年9岁. 几年前小强的年龄是小亮的3倍？例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍, 3年前, 妈妈和女儿的年龄和是39岁. 妈妈和女儿今年各多少岁？练习二1、今年爸爸的年龄是儿子的4倍, 3年前, 爸爸和儿子的年龄和是44岁. 爸爸和儿子今年各是多少岁？2、今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁, 4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍. 小丽和爸爸今年各是多少岁？例3：今年小红的年龄是小梅的5倍, 3年后小红的年龄是小梅的2倍. 小红和小梅今年各多少岁？练习三1、今年小明的年龄是小娟的3倍, 3年后小明的年龄是小娟的2倍. 小明和小娟今年各多少岁？2、今年小亮的年龄是小英的2倍, 6年前小亮的年龄是小英的5倍. 小英和小亮今年各多少岁？例4：甜甜的爸爸今年28岁, 妈妈今年26岁. 再过多少年, 她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁？练习四1、蜜蜜的爸爸今年27岁, 她的妈妈今年26岁. 再过多少年, 她爸爸和妈妈的年龄和为73岁？2、林星今年8岁, 爸爸今年34岁. 当他们的年龄和为72岁时, 爸爸和林星各多少岁？例5：小英一家由小英和她的父母组成. 小英的父亲比母亲大3岁, 今年全家年龄总和是71岁, 8年前这个家的年龄总和是49岁. 今年三人各多少岁？练习五1、父、母、子三人今年的年龄和为70岁, 而10年前三人的年龄和为46岁, 父亲比母亲大4岁. 求三人今年各多少岁.2、全家四口人, 父亲比母亲大3岁, 姐姐比弟弟大2岁. 4年前他们的年龄和为58岁, 现在全家的年龄和是73岁. 现在每个人各多少岁？三、课后作业1、爷爷今年60岁, 孙子今年6岁. 再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？2、今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁, 3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁. 小芳和妈妈今年各多少岁？3、10年前父亲的年龄是儿子的7倍, 15年后父亲的年龄是儿子的2倍. 父亲和儿子今年各多少岁？4、今年爸爸56岁, 儿子30岁. 当父子的年龄和为46岁时, 爸爸和儿子各是多少岁？5、吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成, 其中父亲比母亲大2岁. 今年全家的年龄和是64岁, 5年前全家的年龄和是52岁. 求今年每人的年龄.。
四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
四年级奥数第13讲巧妙求和
第13讲巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、练习
练习1：
1.等差数列中，首项1.末项39，公差
2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
练习2：
1.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
2.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270。
小学四年级奥数-高斯计算
7
数列
• 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 • 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一 项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项 之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如： • （1）1，2，3，4，5，…，100； • （2）1，3，5，7，9，…，99； • （3）8，15，22，29，36，…，71。 • 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； （2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列； • （3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 • 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： • 和=（首项+末项）×项数÷2。
这种方法叫做倒序法，可以知道这两串数字是相等的， 所以，我们求出这两串数的和，一定要“除以2”！
（1+10）×10÷2=11×10÷2=55
3
• 方法二： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
这种方法叫做倒序法，可以知道这两串数字是相等的， 所以，我们求出这两串数的和，一定要“除以2”！
（1+10）×10÷2=11×10÷2=55
首 项 末 项 项 数
得出：（首项+末项）×项数÷2=和 等差数列求和公式： （首项+末项）×项数÷2=和
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小故事
• 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100 的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把 写着答案的小石板交了上去。
四年级奥数巧妙求和第2讲
後果完全相反，你选择哪个？第2讲巧妙求和（一）一、考点、热点回顾若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、典型例题【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)三、课堂巩固1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？（3）1+2+3+…+49+50（5）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）四、课后练习1.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？2.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？3.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
4.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
（6）100+99+98+…+61+60（7）5+10+15+20+…+195+200（8）9+18+27+36+…+261+270（9）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（10）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)。
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一
举一反三四年级奥数第6讲巧妙求和一奥数（即奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生逻辑思维能力和解决问题技巧的数学竞赛活动。
对于四年级学生而言，学习奥数可以培养他们的数学思维和动手能力，提高他们对数学的兴趣和学习效果。
在本文中，我们将从第六讲的巧妙求和一这一话题来探讨如何举一反三。
巧妙求和一：等差数列求和在第六讲中，我们遇到了一个有关等差数列的求和问题。
等差数列是由一个初始项和一个公差确定的一系列数，其中每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
通过找到这个差值，我们可以利用求和公式来快速求解等差数列的和。
以数列1，4，7，10，13为例，我们可以观察到每个数与前一个数的差值都是3。
因此，我们可以使用求和公式S = (a1 + an) * n / 2来求得该数列的和，其中a1为初始项，an为最后一项，n为项数。
在这个例子中，我们有a1 = 1，an = 13，n = 5，代入公式计算得到S = (1 + 13) * 5 / 2 = 35。
举一反三：寻找等差数列通过上述例子，我们学会了如何利用求和公式求解等差数列的和。
那么，如果我们只知道数列的和S、项数n，我们能否反过来寻找等差数列呢？答案是肯定的。
假设我们知道一个等差数列的和S为35，项数n为5，我们可以先假设初始项a1为未知数x，公差d也为未知数y。
根据求和公式，我们可以得到一个方程式：S = (a1 + an) * n / 2。
将具体数值代入方程，我们得到35 = (x + (x + (n-1)y)) * n / 2，化简得 35 = (2x + (n-1)y) * n / 2，继续化简可得 70 = 2x + (n-1)y * n，即 2x + 4y = 70。
从这个方程中，我们可以发现x和y的取值不是唯一的，但它们需要满足方程。
我们可以通过试探不同的x和y值，来寻找满足这个方程的合理解。
通过上述例子，我们可以看到在已知一些条件的情况下，通过方程求解的方法可以帮助我们寻找等差数列。
四年级奥数举一反三第八课巧妙求和附作业
8讲巧妙求和（一）第一、知识要点．若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项2.有一个等差数列：，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项3.已知等差数列，，…，1001.这个等差数列共有多少项【例题2】有一等差数列：，，……，这个等差数列的第100项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100）”进行计算。
1公差×（项数－+首项=项，可根据“末项．第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少2.求，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把，…，99，100与列100，99，…，相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
【精品】四年级下册奥数试题-第十一课时 巧妙求和(二) 全国通用
第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。
【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
小学四年级奥数思维问题之巧妙求和(一)
巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题③情感态度与价值观目标:让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2巧妙求和(一)[例题精选及训练]【例1】等差数列4，10，16，22，…,52共有多少项？练习：1.等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4。
这个等差数列共有多少项？2.等差数列2，5，8，11，…,101共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是5，末项是117，总和是976，这个数列共有多少项？【例2】已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习：1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？【例3】有这样的一个数列1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。
练习：计算下面各题。
（1）1+2+3+4+…+49+50（2）6+7+8+9+…+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6,…，48，50的和练习：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）99+96+93+…+21+18【例5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习：1.如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？[课堂练习]1.有一个等差数列：9、12、15、18、...、2004，这个数列共有多少项？2.已知等差数列：1000、993、986、979、...、20，这个数列共有多少项？3.求等差数列：1、6、11、16、...的第61项。
四年级奥数讲义-第8讲 巧妙求和(一) 通用版
四年级奥数重点常考题第8讲巧妙求
和(一)
专题简析
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项.最后一项称为末项.数列中项的个数称为项数。
从第二项开始.后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列.后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式:“通项公式”和“项数公式”。
通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
王牌例题1
有一个数列:4.10.16.22.….52.这个数列共有多少项
【思路导航】容易看出这是一个等差数列.公差为6.首项是4.末项是52.要求项数.可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷6+1=9.即这个数列共有9项。
举一反三1:
1.等差数列中.首项=1.末项=39.公差=
2.这个等差数列共有多少项
等差数列的公式是：等差数列的项数＝（末项－首项)÷公差+1。
项数求得为20
2.有一个等差数列:2.5.8.11.….101.这个等差数列共有多少项
（101-2）÷（5-2）+1。
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和(教案)
2. 连续整数求和：学生掌握了乘法口诀，能运用口诀快速计算连续整数的求和。
3. 对称数求和：学生在学习多位数加减法时，已接触过对称数的概念，本节课将引导学生运用对称性简化求和过程。
核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
针对这些反思，我计划采取以下改进措施：
1. 在小组讨论环节，我会更加关注那些不太发言的学生，鼓励他们勇敢地表达自己的观点，并适时给予肯定和表扬。
2. 尝试引入更多样的教学方法，如角色扮演、数学建模等，让学生在丰富的教学活动中提高学习兴趣和参与度。
3. 加强学生的预习指导，通过设计具有思考性的预习问题，激发学生的求知欲，为课堂学习打下坚实基础。
2. 建议学生利用课余时间玩一些数学游戏，锻炼逻辑思维和计算能力，同时培养良好的学习习惯。
3. 鼓励学生阅读数学家传记，了解数学家的奋斗历程和成就，激发学生树立远大理想，为数学学习树立榜样。
4. 定期组织学生参加数学实践活动，如数学竞赛、讲座等，提高学生的数学素养，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
b. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同探讨解决问题的方法。
c. 案例研究：通过具体的求和案例，让学生分析问题、总结规律，培养学生解决问题的能力。
d. 项目导向学习：将学生分成小组，每组负责研究一种求和方法，最后进行汇报和分享，以提高学生的团队协作和自主学习能力。
2. 教学活动：
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和（教案）
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教版四年级下册奥数专讲中的“巧妙求和”。教学内容主要包括：数列的求和、连续整数的求和以及对称数的求和。这些内容与学生在三年级学过的整数加减法、乘法口诀以及本学期学习的多位数加减法有密切联系。
小学四年级奥数思维问题之巧妙求和(二)
巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题；通过对求和公式的推导，培养学生的观察能力和探究能力③情感态度与价值观目标:通过让学生体验探究发现的乐趣，培养学生的探索精神教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数字适当分组，并将每组中的数字合理配对，使问题得以顺利解决。
巧妙求和(二)[例题精选及训练]【例1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第十一天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？练习：1.刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读了50页恰好读完。
这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每一天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个单词？【例2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？练习：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？2.平面上有10个点，没有3个点在同一直线上。
过这些点最多可以画出多少条直线？3.有10个盒子，44个羽毛球。
能不能把44个羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等？【例3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手？练习：1.学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛,问一共要进行多少场比赛?2.一次同学聚会中，参加聚会的有43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他人握一次手。
四年级奥数举一反三第八课巧妙求和附作业
第8讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项2.有一个等差数列：，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项3.已知等差数列，，…，1001.这个等差数列共有多少项【例题2】有一等差数列：，，……，这个等差数列的第100项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少2.求，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把，…，99，100与列100，99，…，相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
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四年级奥数专题
巧妙求和（一）
专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2
例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一
1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？
2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？
3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？
例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？
分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
练习二
1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？
2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习三
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
练习四计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270。