固体物理期末考试题

1.5、证明倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。

证明：因为33121323,a a a a CA CB h h h h =-=- ，112233G hb h b h b =++利用2i j ij a b πδ⋅=，容易证明12312300h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=所以，倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。

解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥ ，123,,a ai a aj a ak ===由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ ，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ ，1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ===倒格子矢量：123G hb kb lb =++ ，222G h i k j l k a a aπππ=++晶面族()hkl 的面间距：2d Gπ= 2221()()()h k l a a a =++ 22222()a d h k l =++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

牛顿运动方程2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---N 个原胞，有2N 个独立的方程设方程的解[(2)]2[(21)]21i t na q n i t n aq n Ae Be ωωμμ--++==，代回方程中得到22(2)(2cos )0(2cos )(2)0m A aq B aq A M B βωβββω⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ A 、B 有非零解，2222cos 02cos 2m aq aqM βωβββω--=--，则12222()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M ωβ+=±-+两种不同的格波的色散关系1222212222()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+-+=+-++=--+一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当M m =时4cos 24sin 2aq m aq m βωβω+-==，两种色散关系如图所示： 长波极限情况下0q →，sin()22qa qa≈， (2)q mβω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.色散关系图：3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有20()q Aq ωω=- 求证：()1/2023/21(),4V f A ωωωωωπ=-<;0()0,f ωωω=>. 解()11222200000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=<⇒-=⇒=-时，依据()3()2,()()2q q Vdsq Aq f q ωωωπ∇=-=∇⎰，并带入上边结果有()()()()()()()1/21/200331/2223/201142()222q Vds V A V f A Aq ωπωωωωωππωωπ=⋅=⋅-=⋅-∇- 3.8、有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与2T 。

证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积2ndn π，且()22532222L s ndn kdk kdk d v ρωπρωωπππ===即则 ()()233220//22222333212121mDDB B x B B B B k T k T x DDd s k T s k T k T k T sd x dx E E ve v e v e ωωωωρρρωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+==---⎰⎰⎰，20,()v s ET E T C T T∂→∝∴=∝∂3时， 3.11一维复式格子2415 1.6710,4, 1.510/M m g N m m β-=⨯⨯==⨯4( 1.5110/),dyn cm ⨯即求（1），光学波00max min,ωω，声学波max Aω。

（2）相应声子能量是多少电子伏。

（3）在300k 时的平均声子数。

（4）与0max ω相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞（1），4131ma x 2422 1.510/ 3.0010,45 1.6710Adyn cm s M βω-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ ()()424131max242422 1.510455 1.6710/ 6.701045 1.67105 1.6710oM m dyn cm s Mm βω-+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4131m a x2422 1.510/ 5.99105 1.6710Adyn cm s m βω-⨯⨯===⨯⨯⨯（2）161312max 161312max 161312min 6.5810 5.9910 1.97106.58106.7010 4.41106.5810 3.0010 3.9510A o o s eVs eV s eVωωω---------=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯（3）max max maxmax//110.873,0.22111A OB B A Ok Tk Tnneeωω====--min min /10.2761OB Ok Tn eω==-（4）228.1cm πλμω==4.2、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k aπ=的0级波函数。

＜解＞2221()*241111()i mx i x i mx i m x ikx ikx a a a a kx e e e e e e L L L Lππππψ+===⋅=第一能带：*210,0,()2i x akm m x e a Lππψ⋅===第二能带：23*2221,,1,()x i x a a k b b b b m m x e a a Lπππππψ''=→⋅=-=-∴=i i 2a 则即（e =e ）第三能带：25*222211,,1,()i x i x i x a a a k c c m m x e e e a a L Lπππππψ'→⋅===⋅=即4.3、电子在周期场中的势能．2221(),2m b x n a ω⎡⎤--⎣⎦ n a b x n a b -≤≤+当 ()V x = 0 ， x n a b ≤≤-当(n-1)a+b其中d ＝4b ，ω是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以111()()()()a a bL b b V x V x V x dx V x dx L a a--===⎰⎰⎰ 题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是2222232111()()2236b b b b bbb b m m V V x dx b x dx b x x m b a a aωωω----⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰。

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数200021()cos ,()cos ()cos 2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b bπππ∞=-∞'=+==∑⎰⎰11222102,1()cos2bg g m xE V m E b x dx bbωπ===-⎰第一个禁带宽度以代入上式,利用积分公式()2232cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m =+-⎡⎤⎣⎦⎰得 22316m b ωπ=1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式2222()cosbg m xE b x dx bbωπ=-⎰再次利用积分公式有2222m b ωπ=2g E4.7、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。

求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。

（2）求出其能态密度函数的表达式。

（3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K 的费米能级0F E 及0F E 处的能态密度。

＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika ikas s E k J J e e J J ka E J ka εε-=--+=--=-0()()s ik R s E k E J J p e -⋅⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑(2) ,1121()2222sin sin L dk Na NN E dE J a ka J kaπππ=⨯⨯=⨯= (3), 000022()22222Fk F F F Nak Na N k dk k k aπρππ=⋅=⋅⋅=∴=⎰00111()2cos,()2sin2F F s F NNE E k E J a E N E aJ J aaππππ==-⋅===⋅4.12、设有二维正方晶格，晶体势为()22,4cos cos .x y U x y U a a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用近自由电子近似微扰论，近似求出布里渊区顶角,a a ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的能隙． ＜解＞以ˆˆ,i j 表示位置矢量的单位矢量，以12ˆˆ,b b 表示倒易矢量的单位矢量，则有，()11221122122ˆˆˆˆˆˆ,,,r xi yi G G b G b g b g b g g aπ=+=+=+为整数。

晶体势能()22,4cos cos .x y U x y U a a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222111111i x i x i y i y iG G G U r U e e e e U e ππππσσσσ--⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑()()()111020...0G G G U U U U =-===其中，而其他势能傅氏系数。