函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法

求曲线 y f (x) 凹凸区间和拐点的一般 步骤:
(1)确定函数的定义域； (2)求二阶导数.在定义域内求 f (x)0 的点和 f ( x ) 不存在的点； (3)划分区间并列表判别.
例 求曲线
y
5
(x2)3
5
x2
的凹凸区间和拐点.
9
解 (1)定义域 xR
(2) y 5(x2)23 10x,
解 (1)定义域 x R
(2) y earctanx11x2
yea rcta nx(1 1 x2)2ea rcta nx(1 2 x x 2)2
earctan x (1 x2)2 (1 2x),
令y 0, 得 :
x
1. 2
y
(12x) (1 x2)2
earctanx,
(3)列表
令y 0, 得 : x 1
B(1,6), C(2,1). y
6B
1
C
3 2 1 o 1 2
x
2
A
3
f(x)4(xx21)2
补充例题2 作函 f(x) 数 x3x2x1的.图
解 D ( , ),无奇偶性及周期性.
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
令f(x)0, 得驻 x点 1, x1. 3
f(x) f (x)
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐y近线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (1 3 ,0 ),(1 3 ,0 );
A(1,2), 作图
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
y
o
x
x y x2 1
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
(a ,b )
f ( x )
+
-
y f (x)
说明:
（1）定理1中的条件：“在开区间(a, b)内二 阶可导且f ″(x)恒大(小)于零”可以改为：在 开区间(a, b)内除个别点二阶导数为零或不存 在(但一阶导数存在)外，都有f″(x) >0 ( < 0)”， 其它条件不变，则原来的结论仍然成立； （2）定理1中的区间可换为其它各种区间， 结论也成立．
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
(3) 列表
x (,1) -1 (-1,0)
y + 0 -
y - - -
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
三、求曲线 y
x 的渐近线并画图 x2 1
.
练习题答案
一 、 1 、 y 1 ； 2 、 y 0 ,x 1 .
二、
y
y
33 2 2
23
o 1
1
32
9
x o1 3
1
x
1图
2图
y x2 1 x
y2 x(x1)2
ylnsinx
y
2
2 3
o
x
3图
三、 水 平 渐 近 线 y 0 .
y ( 0 . 5 ) 0 . 5 5 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 . 5 ) 0 . 5 5 ,
y (4 ) 1 .6 2 ,y (3 ) 1 .5 ,y (3 ) 1 .3 7
y x 3 x2 1
y x 3 x2 1
补充例题1
作函 f(x)数 4(x x 21)2的图 . 形
X O
这是概率统计中一个重要函数:
标准正态分布的概率密度函数图象．
例 作 y x 的图象 3 x2 1
解 (1)定义域 x ( , 1 )( 1 , 1 )( 1 , ) .
y 是 奇 函 数 , 其 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2)y
x2 3 3( x2 1)4 3
1 (1,)
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
y
极大值 2/3
0 (0,1)
-0+
拐点 (0,0)
1 (1, )
0+ ++
极小值 -2/3
续 作 y 1 x 3 x 的图象 3
x (,1) -1 (-1,0) 0 (0,1)
1 (1,)
y + 0 - - - 0 +
y - - - 0 + + +
y
极大值 2/3
拐点 (0,0)
极小值 -2/3
+
+
0
--
0
- - -+
拐点
极大值
x
0
(0,1) (1, 3 ) 3 ( 3,3) 3 (3,)
y - - -
0 +++
y
0
-
+
+
+
0-
y
拐点
极小值
拐点
(4)渐近线
lim x x1 3 x2 1
曲线有垂直渐近线 x1,x1.
(5)辅助点
y ( 4 ) 1 .6 2 ,y ( 3 ) 1 .5 ,y ( 3 ) 1 .3 7 ,
拐 点
大 值
最
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
思考题
两坐标轴 x 0， y 0是否都是 曲线 f ( x) s i nx 的渐近线？
x
思考题解答
limsinx0 x x
y 0是其图象的渐近线.
limsinx1 x0 x
x 0不是其图象的渐近线.
y sin x x
练习题
一、 填空题：
2
x
( ,1 ) 2
y
+
1
(1 , )
2
2
0
-
y f(x)
(
1
拐 点1
arctan
,e
2
)
2
区 间 ( ,1]是 曲 线 的 凹 区 间 , 区间[1 ,)是
曲 线 的 凸 区 间 , 2拐点为(1 ,earctan12 ).
2
2
二、曲线的渐近线 1.渐近线的定义 定义2 若曲线L上的动
y
四、曲线的凹凸性
1.曲线的凹凸的定义
Y
Y
观察图形
O
X
X
O
图1
图2
定义1 若在某区间内,曲线 y =f (x)位于其上 每点的切线的上(下)方,则称此曲线在该区间
内是凹(凸)的,该区间称为曲线的凹(凸)区间.
拐点的定义
连续曲线上凹凸的分界
点称为该曲线的拐点.
Y
注意:
P
拐点是曲线上的点,
O
应记为点的坐标 P(x0, f(x0))
,
驻点为
x1 3,x2
3
y
2 x(9
x2)
7
令 y 0, 解得x33,x40,x53
9( x2 1)3
(3)列表
y
x2 3 4,
3( x2 1)3
x (,3)
y
+
y
+
y
y
2x(9
x2)
7
9( x2 1)3
x1 3,x2 3
x33,x40,x53
-3
(3, 3) 3 ( 3,1) (-1,0)
令 f(x)0,
得特殊x点 1. 3
补充点:
A(1,0),
B(0,1),
C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
f(x ) ( 3 x 1 )x ( 1 ),f(x ) 2 (3 x 1 ).
x (, 1) 1 ( 1 , 1 ) 1
3
3
33
3
( 1 ,1 ) 3
xl imf(x)y0 或 xl im f(x)y0.
(2)直线 x x 0是曲线 y f (x)的垂直渐近线
lim xx0
f
(x)
或
lim
xx0
f
(x)
,
y
y0 是 曲 线 y1的 水 平 渐 近 线 ,
y 1 x
x
x
x0 是 曲 线 y1的 垂 直 渐 近 线 . O x
例 求下列曲线的渐近线方程:
1
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
铅直渐近线为______________.
二、 描出下列函数的图形：
1、 y x 2 1 ； x
2、 y 2 x( x 1)2；
3、 y ln sin x.
x2 (1) y x 2 4
解
因为
x2
lim
x
x2
4
=1,
所以 y 1 是曲线的水平渐近线.
因为
lim
x 2
x2 x2
4
,
lim
x 2
x
x2 2
4
,
所以 x2,x2 是曲线的垂直渐近线.
(2)
4(x 1) y x2 2
(学生练习 )
y 2 是 曲 线 的 水wk.baidu.com平 渐 近 线 ,
x 0 是 曲 线 的 垂 直 渐 近 线 .
解 D ( ,0 )( 0 , ) ,非奇非偶函数,且无对称性.
f(x)4(xx3 2),
f(x)8(xx4 3).
令f(x)0, 得驻 x点 2,
令 f(x)0, 得x3.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 (3,2)2 (2,0)
f(x) 0
(0,)
f ( x ) 的单调性可用 f ( x ) 来判别.
定理1 设函数y f(x)在闭区间 [ a , b ] 上连续, 在 开区间 ( a , b ) 内二阶可导且 f ( x ) 恒大(小)于零, 则曲线 y f (x) 在区间 [ a , b ] 上是凹(凸)的.
用表格直观记忆:
x
(a ,b )
3
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
( , 2)
(4)无渐近线
(5)求出辅助点
( 5 , 65), (2, 2 ),(
2 24
3
3,0),(1, 2 ),
3
(0,0),
(1,
2 ), 3
(
(6)作图：
3 ,0),
( 2 , 2 ), 3
( 5 , 65 ), 2 24
y 1 x3 x 3
例
作 y
1 x2
e
2
2
的图象
Y
(学生自己看书)
说明: