矩阵的LU分解(自编MATLAB)实验报告

LU 分解原理

定理：设A C n n

，如果 A 的顺序主子式

A 11

≠0, |a 11

a 12

a

21

a 22|≠0,…，|a 11a 12a 21a 22…a 12…a 22⋮⋮a n−11a n−12⋮

⋯a n−1n−1

|≠0 则存在唯一的主对角线上元素全为 1 的下三角矩阵L 与唯一的上三角矩阵 U ，使得

A =LU .

证明：对矩阵A 的阶数使用数学归纳法.

显然，当 n=1 时，A 11=1 ∙A 11 就是唯一的分解式。现假定对 n-1 阶矩阵，定理的结论成立。对 A 进行分块

A =(

A A −A A A A A

A

A AA

)

其中A A ,A A ∈A A −A

.由于 n-1 阶矩阵 A A −A 的 k 阶顺序主子式就是 A 的 k 阶主子式（k=1,2，…，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，A A −A 有唯一的 LU 分解

A A −A =A A −A A A −A

其中A A −A 的主对角线上的元素都1.由于 |A A −A |=|

A 11A 12A 21A 22

…A 12…A 22

⋮

⋮

A A −11A A −12

⋮

⋯

A A −1A −1

|=|A A −A A A −A |≠0

所以A A −A 及A A −A 是n-1阶可逆矩阵 先假设已有 A =LU ，其中

L =(

A A −A 0A

A

1

)， U= (

A A −A A A

A

A AA

)

A ，A ∈A A −A

是待定向量。作乘积

AA = (A A −A A A −A A A −A A A A A A −A A AA +A A A ) =(A A −A A A

A A A

A AA

)=A 则A，A 必须满足

A A −A A =A A ，A A A A −A =A A A ，A AA +A A

A =A AA

注意到A A −A 及A A −A 都是n-1阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定

A =A A −A −A A A ，A A =A A A A A −A −A

, A AA =A AA −

A A A

这就证明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性.

LU 分解算法

当 n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出 L 和 U .

因为当 A=LU 时，由于 L 可逆，故必存在可逆矩阵 P 使得

AA =A

即 PA=PLU=U .也就是说，可以先对 A 施行行的初等变换得出上三角矩阵U ，而矩阵 P 可以通过对单位矩阵I 进行相同的行初等变换得出，即

P(A,I) =(PA,PI) =(U,P)

于是A =A −A A ,为保持P 为下三角矩阵（从而A −A

也是下三角矩阵），在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.

LU 分解用于解方程组

矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便.如对线性方程组 AA =A ,设A =AA .我们先求解方程组 AA =A . 由于A 是下三角矩阵，则解向量A 可以通过依次求出其分量 A 1,A 2,⋯A A 而求出，在求解方程组AA =A .解向量A 可以通过该方程组依次求出分量A A ,⋯,A 2,A 1而快速得出.于是由两个方程组AA =A ，AA =A 的求解而给出

AAA =AA =A = AA 的解.

程序流程图

MATLAB程序

function f=LU_decom(A)

[m,n]=size(A)

if m~=n

fprintf('Error:m and n must be equal!m=%d,n=%d\n',m,n) end

for i=1:n-1

if (det(A(1:i,1:i))==0)

fprintf('Error:det A(%d,%d)=0!\n',i,i)

flag='failure'

return;

else

flag='ok';

end

end

L=eye(n);

U=zeros(n);

for i=1:n

U(1,i)=A(1,i);

end

for r=2:n

L(r,1)=A(r,1)/U(1,1);

end

for i=2:n

for j=i:n

z=0;

for r=1:i-1

z=z+L(i,r)*U(r,j);

end

U(i,j)=A(i,j)-z;

end

if abs(U(i,i))

flag='failure'

return;

end

for k=i+1:n

m=0;

for q=1:i-1

m=m+L(k,q)*U(q,i);

end

L(k,i)=(A(k,i)-m)/U(i,i); end end

L

U

实际数据计算

已知矩阵A=(211 410

−221)，A=(

1

2

1

)，先对A进性LU分解，

并求解方程 A A=A的解.

（1）A的LU分解

在MATLAB命令行中输入A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];并调用以上函数可得如下结果

>> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];LU_decom(A)

m =

3

n =

3

L =

1 0 0

2 1 0

-1 -3 1

U =

2 1 1

0 -1 -2

0 0 -4

（2）解方程组，程序及结果如下

%-----用LU分解解线性方程组------