计算机控制理论基础

2 1− z −1 s= Ts 1+ z −1
1 − z −1 2 1 − z −1 (2 ) + 0.2(2 ) +1 −1 −1 1+ z 1+ z 0.185(1 + 2 z −1 + z −2 ) U (z) = = −1 −2 1 − 1.111z + 0.852 z E (z)
等效差分方程（控制算法）为：
即幅频可近似为常值T ，相频近似为一个纯滞后环节。
从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号产生 附加相移( 滞后) 。
( sT ) 2 1 − 1 + sT − +L T −s T 2 ≈ = T (1 − s + L) ≈ Te 2 s 2
1 − e − sT Gh ( s ) = s
上式表明，当T 很小时，零阶保持器可用半个采 样周期的时间滞后环节来近似。它使得相角滞后了。
幻灯片 2 T 1 连续化设计是一种离散系统的等效设计方法，即假设系统是一个连续系统，没有采样开关，先设计一个模拟（连续时间）控制器G c ( s ) ，经离散 化得到数字控制器D ( z ) 。 实际上，当采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续系统，因而可以将整个系统近似成连续系统。
T O S H I B A ,2 0 1 1 1 1 2 4
4. 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标： – 零极点个数； – 系统的频带； – 稳态增益； D(s) 等效离散 D(z) – 相位及增益裕度； – 阶跃响应或脉冲响应形状； – 频率响应特性。 • 数值积分法 一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变 离散化方法 换法 • 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法(脉冲响应不变法)
= e
jθ
z
2
=
相应的幅角为
1 + (
ωT ωT
ωT
2
)2
2(
ωT 2 = arctan = 2 arctan θ z = arctan ω T 2 1−( )2 1−( )2 2 2
ωT
)
可知，s 平面 ω 沿虚轴从－∞ 到 ＋ ∞ 变化，将 一对一地映射为 z 平面的整个单位圆周，从而不致产 生频率混叠现象。
D / A 可抽象为一个零阶保持器，由于采样频率远大于闭环带 宽，零阶保持器也只工作在低频段，其频率特性可近似表示为
−j 1 − e − jωT GDA ( jω ) = = T ×e jω
ωT
2
×
e
j
ωT
2
−e jωT
−j
ωT
2
= T ×e
−j
ωT
2
ωT ωT ωT ωT cos + j sin − cos − j sin 2 2 2 2 × jωT
1）双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）
(1)离散化公式 实质：将梯形面 积近似代替积分 进行z 变换，得
D( z ) = D( s)
s= 2 z −1 T z +1
D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s
u (t ) = ∫ e(t )dt
0 t
T [e(k ) + e( k − 1)] 2 T −1 U ( z ) = z U ( z ) + [ E ( z ) + z −1 E ( z )] 2 u (k ) = u (k − 1) +
T T 1 + s 1 + σ + 2 2 = z= T T 1− s 1− σ − 2 2
2 ωT j 2
j
ωT
s = σ + jω
T ωT 1+ σ + 2 2 2 z = 2 2 T ωT 1− σ + 2 2
s D(s) = 例： 2 ，T=1s，求 D(z) (s + 1)
s D(z) = (s + 1)2 2T(z 2 − 1) = (2 − T) 2 − 2(4 − T 2 )z + (2 + T) 2 z 2
2 1− z −1 s= T 1+ z −1
[例 ] 将
D(s ) =
1 Ts=1s双线性变换成D(z) s 2 + 0.2 s + 1
图 双线性变换的频率关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ 双线性变换的特点
• s 域虚轴映射为z 域单位圆，s 左半平面映射到单位圆内，s 右 半平面映射到单位圆外，且为一对一的映射； • D( s ) 稳定，双线性变换所得D ( z )一定稳定； • 具有串联性，若有数个连续环节相串联，可分别对每个环节 作双线性变换再相乘； • 稳态增益维持不变，即
计算机控制系统
第4 章 计算机控制系统的理论基础
4.5.1 连续系统的离散化方法及特点
T 1
连续化设计方法( 也称模拟化设计方法) ：忽略控制回 路中所有的零阶保持器和采样器，在s 域中按连续系 统进行初步设计，求出连续控制器，再通过某种近 似，将连续控制器变换为离散控制器，由计算机去实 现。在这个设计过程中，也可以用某种z 域分析法来 检验原来的设计目的是否业已达到。缺点：离散化过 程中，动态特性总要变坏，需要试凑。
= T ×e
−j
ωT
2
ωπ ωT sin sin ωT j 2sin − j ωT ω 2 s −j 2 2 2 × =T =T e e ωT ωπ jωT 2 ωs
ωT
当 ω s ≥ ( 4 ~ 10 ) ω b ，且Z O H 工作在低频段：
sin(ωT / 2) − jωT / 2 GDA ( jω ) = T ⋅ ⋅e ≈ Te − jωT / 2 ωT / 2
说明： 连续——离散化设计是一种近似的设计方法：
Ø由D(s)到D(z)的转换是一种近似过程； Ø在设计中，没有考虑保持器对系统的影响。（零保
带来T/2的相位滞后，使系统闭环性能变坏。因此连 续——离散化设计的系统，要求有较小的采样周期 T。） 本节重点： 1. 由D(s)到D(z)的多种近似方法。 2. 分析采样周期的选择对离散化的影响。
图5-10 双线性变换映射关系
2
2
★ 双线性变换为一对一映射
考虑频率变换，即 令 s = jω 可得 ωT Ts
z = 1 + 2 Ts 1 − 2 1 − ( = 1 + j 2 ωT 1 − j 2 ) 2 + jω T
ω T
2
ωT + 1 j 2 = ω T 2 1 + ( ) 2
1 D( z ) = 2 s + 0.2 s + 1
=
1
u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0.37e(k-1)+ 0.185e(k-2)
结论：连续控制器 D ( s ) 零点少于极点数，经双线性变换 后，零、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变 换将整个S 平面一一对应变换到Z 平面， D ( s ) 因此在无穷远 处的零点，经双线性变换后被变换到z = 1 处。
T (1 + z −1 ) U ( z) 2 1 D( z) = = = 2 ( z − 1) 1 − z −1 E ( z) T ( z + 1)
s与z之间的变换关系
比较
2 ( z − 1) s= T ( z + 1)
图5-9 梯形积分法
T s 2 z= T 1− s 2 1+
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系 – 当σ=0（s平面虚轴)映射为z 平面的单位圆周。 – 当σ> 0（s右半平面），映射 到z平面单位圆外 。 – 当σ< 0（s左半平面），映射 到z平面单位圆内 。 ②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定
1 . 基本思想 ◆计算机控制系统是由计算机及相应的信号变换装置 取代了常规的模拟控制器，基于此，将原来的模拟 控制规律离散化，变为数字算法，并由计算机实 现，便可完成计算机控制系统的设计，即所谓连续 域－离散化设计。 域－离散化设计 ◆连续域－离散化设计是一种间接设计法，其实质是 间接设计法 将数字控制器部分看作一个整体，并等效为连续传 ( s ) ，从而用连续系统理论来设计D( s )，再 函 D 将其离散化而得到 D ( z ) 。
2 .设计原理
方法说明：一种间接设计方法，将计算机、A / D 、 D / A 看做一个整体，则输入输出都是模拟量，用连续 系统的控制律设计方法进行设计，然后再将控制律离 散化，在计算机上编程实现；
D/A
1 ）A / D转换器的数学描述
若不计量化效应，A/D 本质上可看作一个理想的采样开 关，其输入输出关系表示为
lim D ( s ) = lim D ( z )
s→ 0 z→1
双线性变换后的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次； 双线性变换无频率混叠现象，但是频率轴产生了畸变。
( 3 )应用 ① 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述 一些好的特性，工程上应用较为普遍。 ② 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重， 主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节 的离散化。
1 ∞ R ( jω ) = ∑ R( jω + jnω s ) T n=−∞
*
当系统具有低通特性，且 时，可取基频来近似 1 * R ( jω ) ≈ R ( jω ) T 即A/D 的传函可近似为
1 R ( jω ) / R ( jω ) ≈ T
*
ω s ≥ (4 ~ 10)ω b
2 ） D / A 的频率特性
eTs
双线性变换法的特点
①与向后差分变换法一样，双线性变换法使用也非常 简便，无需对传递函数作因式分解，无论手工计算还 是计算机编程都很容易实现。 ②双线性变换将S 平面的左半平面（S 平面的稳定区域） 映射到Z 平面的单位圆内（Z 平面的稳定区域）, 因 此，双线性变换不改变系统的稳定区域，即变换前后 G ( s ) 与G ( z ) 的稳定特性不变 ③当采样周期不大时，双线性变换具有很好的近似程 度。双线性变换法除了在计算机控制系统的设计中有 着广泛的应用外，还可用于快速数字仿真及数字滤波 器设计等其它方面。
在控制理论中，若有滞后的环节，每滞后一段时 间，其相位裕量就减少一部分。我们就要把相应减少 的相位裕量补偿回来。假定相位裕量可减少5 °～ 1 5 °，则采样周期应选为：
1 T ≈ ( 0.15~ 0.5 ) ωc
其中ωC是连续控制系统的剪切频率。 按上式的经验法选择的采样周期相当短。因此， 采用连续化设计方法，用数字控制器去近似连续控制 器，要有相当短的采样周期。
等效控制器D( s )
综合起来可得等效控制器 D (s) 的频率特性
1 De ( jω ) ≈ ⋅ D (e jωT ) ⋅ Te− jωT / 2 = D(e jωT )e− jωT / 2 T
D(s) = Ddc (s)e−sT / 2
其中， Ddc(s) 为数字算法 D(z) 的等效传函，即设计对象； 滞后环节为 A/D 和D/A的近似，反映了ZOH 相位滞后特性。考 虑到采样对系统的影响，一般需加前置滤波器，其等效结构图 为 G(s)是将被控对象、 执行机构、传感器、 前置滤波器等合在 一起构成的广义对 象传函
★ 频率畸变
由双线性变换后的幅角可求得其在 z 域的角频率
ωz = θz
T =
ωT 2 ⋅ arctan 2 T
可见，s域角频率和z 域角频率是非线性关系，且将 s域 是非线性关系 ～π/ T 。 0～ ∞ 频段 压缩 到z域的有限频段0
当采样频率较高时， s 域和 z 域 的频率在低频段近似线性关系，具 有较好的保真度；而在高频段频率 则发生了较大变化（频率畸变）。
－s T / 2 有时也可取为如下的一阶 实际设计时， e 或二阶近似：
e
− sT / 2
1 ≈ sT 1+ 2
e
−sT / 2
≈
1 sT (sT)2 1+ + 2 8
3. 连续域－离散化设计步骤
• 根据系统的性能指标要求，选择采样频率，并设计抗混叠 的前置滤波器； • 考虑Z O H的相位滞后，根据性能指标的要求和连续域设计 H 方法，设计数字控制算法的等效传递函数 D ( s )； d c • 选择合适的离散化方法，将 D ( s ) 离散化，得到 D ( z ) ，并 离散化 d c 使二者尽量等效； • 检验系统闭环性能，如指标满足，进行下一步；否则重新 改进设计，包括： – 选择更合适的离散化方法 – 提高采样频率 – 修正连续域设计 • 将 D ( z )变为数字算法，并用计算机编程实现。