《确定二次函数的表达式》习题

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北师版九年级下册数学课件第2章2.3确定二次函数的表达式

课堂导练 2．(2020·江西)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)
的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 … y … m 0 －3 n －3 … (1) 根据以上信息，可知抛物线开口向 ____上____ ，对称轴为 __直__线__x_＝__1____； (2)求抛物线的表达式及 m，n 的值；
课后训练 9．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A(－1，
0)，B(2，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，点 P 是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式；
课后训练
解：∵A(－1，0)，B(2，0)，C(0，4)， ∴设抛物线所对应的函数表达式为 y＝a(x＋1)(x－2)，将 C(0，4)的坐标代入 y＝a(x＋1)(x－2)，整理得 4＝－2a，解得 a＝－2，∴该抛物线所对应的函数表达式为
课后训练
8．已知 A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2) 五个点，抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中三个点．
(1)求证：C，E 两点不可能同时在抛物线 y＝a(x－1)2＋k (a＞0)上．
课后训练
证明：由题意可知，抛物线的对称轴为直线 x＝1.若 C(－1，2) 在此抛物线上，则 C 点关于直线 x＝1 的对称点(3，2)也在此抛物线上．∴点 E(4，2)不在此抛物线上．∴C，E 两点不可能同时在抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
精彩一题 10．(中考·宁波已知抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 经过点(1，0)，0，32. (1)求该抛物线的函数表达式；

21.2 二次函数表达式的确定

21.2 二次函数表达式的确定一、精心选一选1﹒已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（）A.y＝－6x2+3x+4B.y＝－2x2+3x－4C.y＝x2+2x－4D.y＝2x2+3x－42﹒顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝13x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（）A.y＝13(x+6)2 B.y＝13(x－6)2C.y＝－13(x+6)2D.y＝－13(x－6)23﹒若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（）A.y＝－(x－2)2－1B.y＝－12(x－2)2－1C.y＝(x－2)2－1D.y＝12(x－2)2－14﹒二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（）A.y＝2x2－4xB.y＝－x(x－2)C.y＝－(x－1)2+2D.y＝－2x2+4x5﹒已知抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，则该抛物线的解析式为（）A.y＝x2－4x+1B.y＝x2－6x+6C.y＝x2－8x+15D.y＝x2－10x+28 第4题6﹒如果二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（）A. b＝2，c＝4B.b＝2，c＝－4C.b＝－2，c＝4D.b＝－2，c＝－47﹒已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（）A.y＝13x2－2x+4B.y＝－13x2+2x－4C.y＝13x2－2x－4D.y＝－x2+6x－1282小明观察上表，得出下面结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的对称轴是直线x＝12；③函数y的最大值为6；④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个9﹒已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.A.y＝x2－2x－3B.y＝x2+2x+3C.y＝x2－2x－4D.y＝x2+6x+4二、细心填一填11.若抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为___________.12.若抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在x轴上，则m＝_________________.13.若函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，则此函数表达式为_____________________.14.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.第15题图第16题图16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.三、解答题19.已知二次函数y＝－2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.20.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.（1）求此抛物线的函数关系式；（2）当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？（3）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.21.如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.（1）求此二次函数的表达式；（2）一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.22.如图，抛物线y＝x2－bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△P AB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21.2二次函数表达式的确定课时练习题参考答案一、精心选一选1﹒已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（） A .y ＝－6x 2+3x +4 B .y ＝－2x 2+3x －4 C .y ＝x 2+2x －4 D .y ＝2x 2+3x －4 解答：设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，则541a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得：234a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩， ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2+3x －4，故选：D .2﹒顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y ＝13x 2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（） A .y ＝13(x +6)2 B .y ＝13(x －6)2 C .y ＝－13(x +6)2 D .y ＝－13(x －6)2解答：∵抛物线的顶点为（6，0），∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －6)2， ∵所求抛物线的开口向下，开口的大小与函数y ＝13x 2的图象相同， ∴a ＝－13， ∴y ＝－13(x －6)2，故选：D .3﹒若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（） A .y ＝－(x －2)2－1 B .y ＝－12(x －2)2－1 C .y ＝(x －2)2－1 D .y ＝12(x －2)2－1 解答：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2－1，把（0，3）代入上式得：a (0－2)2－1＝3，解得：a ＝1， ∴y ＝(x －2)2－1，故选：C .4﹒二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（） A .y ＝2x 2－4x B .y ＝－x (x －2) C .y ＝－(x －1)2+2 D .y ＝－2x 2+4x解答：由图象可知：抛物线的对称轴是x ＝1（根据抛物线的对称性），顶点坐标为（1，2），∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2+2，∵抛物线过点（2，0）， ∴a (2－1)2+2＝0，解得：a ＝－2，∴y ＝－2(x －1)2+2＝－2x 2+4x ，故选：D .5﹒已知抛物线y ＝x 2－2(m +1)x +2m 2－m 的对称轴为x ＝3，则该抛物线的解析式为（） A .y ＝x 2－4x +1 B .y ＝x 2－6x +6 C .y ＝x 2－8x +15 D .y ＝x 2－10x +28 解答：∵抛物线y ＝x 2－2(m +1)x +2m 2－m 的对称轴为x ＝3， ∴m +1=3，解得：m ＝2，∴y ＝x 2－2(2+1)x +2×22－2＝x 2－6x +6，故选：B .6﹒如果二次函数y ＝－x 2+bx +c 的图象顶点为（1，－3），那么b 和c 的值是（） A . b ＝2，c ＝4 B .b ＝2，c ＝－4 C .b ＝－2，c ＝4 D .b ＝－2，c ＝－4 解答：∵二次函数y ＝－x 2+bx +c 的图象顶点为（1，－3）， ∴－2(1)b⨯-＝1，则b ＝2，24(1)4(1)c b ⨯--⨯-＝－3，则c ＝－4，故选：B .7﹒已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y 轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（） A .y ＝13x 2－2x +4 B .y ＝－13x 2+2x －4 C .y ＝13x 2－2x －4 D .y ＝－x 2+6x －12 解答：设抛物线的解析式为y ＝a (x －3)2－1，把（0，－4）代入得a ×(－3)2＝－4，解得：a ＝－13∴y ＝－13(x －3)2－1＝－13x 2+2x －4，故选：B .82小明观察上表，得出下面结论： ①该抛物线的开口向下； ②该抛物线的对称轴是直线x ＝12； ③函数y 的最大值为6；④在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解答：根据表格中数据可得出抛物线的开口向下，故①正确；根据表格中数据规律可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）即当x＝－2时，y＝0和当x＝3时，y＝0，所以对称轴为x＝12，故②正确；当x＝12时，函数有最大值，而表中0和1所对应的y值为6，所以最大值不为6，故③错误；并在直线x＝12的左侧，y随x的增大而增大，故④正确，综合上述，正确的结论为①②④，故选：D.9﹒已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.A.y＝x2－2x－3B.y＝x2+2x+3C.y＝x2－2x－4D.y＝x2+6x+4解答：∵抛物线y＝x2－2x+c的对称轴为x＝1，∴顶点A的横坐标为1，∵顶点A在直线y＝x－5上，∴y＝1－5＝－4，则A（1，－4），把A（1，－4）代入y＝x2－2x+c得：1－2+c＝－4，解得：c＝－3，∴y＝x2－2x－3，故选：A.10.如图，已知抛物线y＝－x2+px+q的对称轴为x＝－3，过抛物线的顶点M的一条直线y＝kx+b与抛物线的另一个交点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（）A.（0，2）B.（43，0）C.（0，2）或（－43，0）D. （0，2）或（43，0）解答：由题意得：3211pp q-⎧=-⎪-⎨⎪=--+⎩，解得：64pq=-⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式为y＝－x2－6x－4，由y＝－x2－6x－4＝－(x+3)2+5得：顶点M的坐标为（－3，5），∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，∴只需PM+PN最小，①如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P，则M′（3，5），设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则531a ta t=+⎧⎨=-+⎩，解得：12 at=⎧⎨=⎩，故当x＝0时，y＝2，即P（0，2）；②如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则M′N与y轴的交点即为所求的点P，如①类似即可求得P（－43，0），综合上述，符合条件的点P的坐标是（0，2）或（－43，0），故选：C.图1 图2二、细心填一填11.y＝－4x2－2x；12. 3；13.y＝－2x2+8或y＝－2x2－8；14. y＝29x2+49x－169；15.y＝－x2+2x+3；16. y＝x2－2x－3；17. －1，4，4+4－18..11.若抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为_________.解答：∵抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，∴m2－4＝0，且m－2≠0，∴m＝－2，∴y＝－4x2－2x，故答案为：y＝－4x2－2x.12.若抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在x轴上，则m＝_________________.解答：∵抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在y轴上，∴41(3)41m⨯⨯+⨯＝0，解得：m＝－3，故答案为：3.13.若函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，则此函数表达式为_____________________.解答：∵函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，∴把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，∵函数的最大值为8，∴抛物线的开口向下，即a＜0，顶点纵坐标k＝8，∴a ＝－2，把a ＝－2代入ah 2+h ＝0得：－2 h 2+k ＝0，解得：h ＝±2，∴此函数表达式为y ＝－2(x －2)2+8或y ＝－2(x +2)2+8，即y ＝－2x 2+8或y ＝－2x 2－8，故答案为：y ＝－2x 2+8或y ＝－2x 2－8.14.已知二次函数的图象与x 轴的两个交点A 、B 关于直线x ＝－1对称，且AB ＝6，顶点在函数y ＝2x 的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.解答：∵二次函数图象的对称轴为直线x ＝－1，且与x 轴的两个交点A 、B ，AB ＝6， ∴直线与x 轴交于（－4，0），（2，0），顶点的横坐标为－1， ∵顶点在函数y ＝2x 的图象上， ∴y ＝2×(－1)＝－2， ∴顶点坐标为（－1，－2），设二次函数的解析式为y ＝a (x +1)2－2，把（2，0）代入得：0＝9a －2，解得：a ＝29， ∴y ＝29(x +1)2－2＝29x 2+49x －169，故答案为：y ＝29x 2+49x －169.15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.第15题图第16题图第17题图第18题图解答：由图象可知，抛物线的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（－1，0），设函数解析式为y ＝ax 2+bx +c ，则：1230b ac a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴y ＝－x 2+2x +3，故答案为：y ＝－x 2+2x +3.16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________. 解答：根据图象可：抛物线与x 轴的两个交点为（－1，0），（3，0），把（0，－3）代入解析式得：－3＝－3a ，解得：a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x +1)(x －3)＝x 2－2x －3，故答案为：y ＝x 2－2x －3. 17.如图，已知直线y ＝－34x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线y ＝－12x 2+2x +5的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y ＝－34x +3于点Q ，则当PQ ＝BQ 时，a 的值是_____________________________.解答：由题意知：P （a ，－12a 2+2a +5），则点Q 为（a ，－34a +3），点B 为（0，3），当点P 在点Q 上方时，BQ54a =， PQ ＝－12a 2+2a +5－(－34a +3)＝－12a 2+114a +2， ∵PQ ＝BQ ， ∴54a ＝－12a 2+114a +2，解得：a ＝－1或a ＝4，当点P 在点Q 下方时，BQ54a =， PQ ＝－34a +3－(－12a 2+2a +5)＝12a 2－114a －2， ∵PQ ＝BQ ， ∴54a ＝12a 2－114a －2，解得：a ＝4+a ＝4－综合上述，a 的值为－1，4，4+4－故答案为：－1，4，4+4－18.如图，抛物线y ＝－12x 2+bx +c 过A （0，2），B （1，3），CB ⊥x 轴于点C ，四边形CDEF 是正方形，点D 在线段BC 上，点E 在此抛物线上，且在直线BC 的左侧，则正方形CDEF 的边长为__________________________. 解答：把A （0，2），B （1，3）代入y ＝－12x 2+bx +c 得： 21232c b =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝－12x 2+32x +2，设正方形CDEF 的边长为a ，则D （1，a ），E （1－a ，a ），把E （1－a ，a ）代入y ＝－12x 2+32x +2得：－12(1－a )2+32(1－a )+2＝a ，整理得：a 2+3a －6＝0，解得：a 1＝32-，a 2＝32-（舍去），∴正方形CDEF ，. 三、解答题19.已知二次函数y ＝－2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，－2）.（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C ，试求△CAO 的面积.解答：（1）把A （0，4）和B （1，－2）代入y ＝－2x 2+bx +c 得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为y ＝－2x 2－4x +4，（2）∵y ＝－2x 2－4x +4＝－2(x 2+2x )+4＝－2[(x +1)2－1]+4＝－2(x +1)2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为（－1，6）；（3）由（2）知：顶点C （－1，6），∵点A （0，4），∴OA ＝4，∴S △CAO ＝12OA c x ＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2.20.如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （1，0），B （5，0），C （0，5）三点.（1）求此抛物线的函数关系式；（2）当x 取何值时，二次函数中的y 随x 的增大而增大？（3）若过点C 的直线y ＝kx +b 与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△BCE 的面积.解答：（1）把A （1，0），B （5，0），C （0，5）代入y ＝ax 2+bx +c 得：025505a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：165a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴此抛物线的函数关系式为y ＝x 2－6x +5；（2）∵y ＝x 2－6x +5＝(x －3)2－4，∴抛物线的对称轴为x ＝3，又∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；（3）把x ＝4代入y ＝x 2－6x +5得：y ＝－3，∴E （4，－3），把C （0，5），E （4，－3）代入y ＝kx +b 得：543b k b =⎧⎨+=-⎩，解得：25k b =-⎧⎨=⎩，∴y ＝－2x +5，设直线y ＝－2x +5交x 轴于点D ，则D （52，0）， ∴OD ＝52， ∴BD ＝5－52＝52， ∴S △CBE ＝S △CBD +S △EBD ＝12×52×5+12×52×3＝10，即△BCE 的面积为10.21.如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象是由y ＝－x 2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与x 轴的交点为A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C .（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P 是抛物线对称轴上l 上一动点，求使AP +CP 的值最小时点P 的坐标.解答：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象是由y ＝－x 2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2+4，即y ＝－x 2+2x +3；（2）当y ＝0时，－(x －1)2+4＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝3，∴A （－1，0），B （3，0），当x ＝0时，y ＝3，则C （0，3），抛物线y ＝－(x －1)2+4的对称轴为直线x ＝1，点A 与点B 关于直线x ＝1对称，连接BC 交直线x ＝1于点P ，如图，则P A ＝PB ，∴P A +PC ＝PB +PC ＝BC ，∴此时AP +CP 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把B （3，0）、C （0，3）分别代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x +3，当x ＝1时，y ＝－x +3＝2，∴P 点坐标为（1，2）.22.如图，已知二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点P （－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y 轴的直线.（1）求此二次函数的表达式；（2）一次函数y ＝kx +b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A （－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，求点B 的坐标.解答：（1）∵对称轴是经过（－1，0）且平行于y 轴的直线， ∴－21m ⨯＝－1， ∴m ＝2，∵二次函数的图象经过点P （－3，1），∴9－3m －8＝0，解得：n ＝－2，∴此二次函数的表达式为y ＝x 2+2x －2；（2）把P （－3，1），A （－4，0）代入y ＝kx +b 得：3140k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线P A 的解析式为y ＝x +4，由2422y x y x x =+⎧⎨=+-⎩得31x y =-⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩，∵点B 在点P 的右侧，∴点B 的坐标为（2，6）.23.如图，抛物线y ＝x 2－bx +c 交x 轴于点A （1，0），交y 轴于点B ，对称轴是x ＝2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使△P AB 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解答：（1）由题意得：1022b c b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：b ＝4，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x +3；（2）存在，∵点A 与点C 关于直线x ＝2对称，∴连接BC 与直线x ＝2交于点P ，则点P 即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C 的坐标为（3，0），∴抛物线与y 轴的交点为（0，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，则303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x +3，∴直线BC 与直线x ＝2的交点坐标为（2，1），即点P 的坐标为（2，1）.。

20181026初四数学《确定二次函数的表达式》习题

初四数学《确定二次函数的表达式》习题1．已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．2．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．3．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，BE并求出△CBE 的面积S的值．4．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，请求出点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得QC+QA最短？若Q点存在，求出Q点的坐标；若Q点不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）点C在y轴的正半轴上．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．7．已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣3，0）．①求此二次函数的解析式；②在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．8．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）9．如图，抛物线y=﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式；（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PA+PC最小．11．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形．12．【附加题】已知二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1图象的顶点P，求此时m的值．13．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD的面积．16．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．18．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx ﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．19．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．（1）在图中画出△A1OB1；（2）求经过A，A1，B1三点的抛物线的解析式．20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置=8，并求出此时P点的坐标．时，满足S△PAB20181026初四数学《确定二次函数的表达式》习题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）∵y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）．∴，解得：，所以二次函数解析式为y=x2﹣3x；（2）∵y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）．2．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣3）代入得﹣3=a×1×（﹣3），解得a=1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3．3．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C的直线与抛物线相交于点E（4，m），请连接CB，BE并求出△CBE 的面积S的值．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（5，0），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣1）（x﹣5），把C（0，5）代入得：5=a（0﹣1）（0﹣5），解得：a=1，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣6x+5，即抛物线的函数关系式是y=x2﹣6x+5．（2）∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x=3，又∵二次函数y=x2﹣6x+5的二次项系数为1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x≥3时y随x的增大而增大；（3）把x=4代入y=x2﹣6x+5得：y=﹣3，∴E（4，﹣3），把C（0，5），E（4，﹣3）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣2，b=5，∴y=﹣2x+5，设直线y=﹣2x+5交x轴于D，当y=0时，0=﹣2x+5，∴x=，∴OD=，BD=5﹣=，∴S=S△CBD+S△EBD=××5+××|﹣3|=10．△CBE4．如图，二次函数图象过A，B，C三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴AB=1+4=5，∵AB=OC，∴OC=5，∴C点的坐标为（0，5）；（2）设过A、B、C点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C的坐标代入得：，解得：a=﹣，b=，c=5，所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+5．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，请求出点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得QC+QA最短？若Q点存在，求出Q点的坐标；若Q点不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）∴，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）AB=3﹣（﹣1）=4，设△ABP的高为h，∵△ABP的面积为8，∴解得：h=4，当y=4时，﹣x2+2x+3=4，解得：x=1，∴p1（1，4）；当y=﹣4时，﹣x2+2x+3=﹣4，解得：，∴，即P点的坐标为（1，4）或（2+1，﹣4）或（﹣2﹣1，﹣4）；（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即抛物线的对称轴是直线x=1，作C点关于直线x=1的对称点E（E正好在抛物线上），连接AE，交直线x=1与Q，此时QC+QA最短，∵C点的坐标为（0，3），∴E点的坐标为（2，3），设直线AE的解析式为y=kx+h，把A、E的坐标代入得：，解得：k=1，h=1，即直线AE的解析式为y=x+1，把x=1代入得：y=1+1=2，即点Q的坐标是（1，2）．6．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）点C在y轴的正半轴上．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．【解答】解：（1）当x=0时y=3，所以C（0，3）；（2）把点（﹣1，0）、（3，0）代入y=ax2+bx+3，得，解得：a=﹣1，b=2，二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴当x=1时，y有最大值4．7．已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣3，0）．①求此二次函数的解析式；②在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【解答】解：①∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（﹣3，0），∴，解得，，∴此二次函数的解析式是y=x2+2x﹣3；②当x2+2x﹣3=0时，得x1=﹣3，x2=1，∵点A（1，0），∴点B的坐标为（﹣3，0），∴AB=1﹣（﹣3）=4，∵抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，点P的纵坐标的绝对值为：，∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴该抛向开口向上，有最小值，该函数的最小值是y=﹣4，∴点P的纵坐标是5，当y=5时，5=x2+2x﹣3，解得，x=﹣4或x=2，∴点P的坐标为（﹣4，5）或（2，5）．8．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，﹣3）代入得a×（﹣1）×3=﹣3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3．（2）∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为6，∴AB•|n|=6，解得：n=±3，当n=3时，m2+2m﹣3=3，解得：m=﹣1+或﹣1﹣，∴P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）；当n=﹣3时，m2+2m﹣3=﹣3，解得m=0或m=﹣2，∴P（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）；故P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）或（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）．9．如图，抛物线y=﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得，﹣1+5+n=0，解得，n=﹣4，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x﹣4；（2）y=﹣x2+5x﹣4=﹣（x﹣）2+，抛物线对称轴为：x=，顶点坐标为（，）；（3）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣4），∴OA=1，OB=4，在Rt△OAB中，AB==，①当PB=PA时，PB=，∴OP=PB﹣OB=﹣4，此时点P的坐标为（0，﹣4），②当PA=AB时，OP=OB=4此时点P的坐标为（0，4）．10．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式；（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PA+PC最小．【解答】解：（1）把A（2，0）和点B（﹣1，2）代入y=ax2+bx得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣x；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，而点C与点B关于抛物线的对称轴对称，所以C点坐标为（3，2），设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（2，0），C（3，2）代入得，解得，所以直线AC的解析式为y=2x﹣4；（3）如图，连结OC交直线x=1于点P，因为点A与点O关于直线x=1对称，则PA=PO，所以PA+PC=PO+PC=OC，根据两点之间线段最短得此时PA+PC的值最小，设直线OC的解析式为y=kx，把C（3，2）代入得3k=2，解得k=，所以直线OC的解析式为y=x，当x=1时，y=，所以此时P点坐标为（1，）．11．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形．【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）2﹣4，把（0，﹣3）代入得a﹣4=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4；（2）证明：当y=0时，（x+1）2﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=1，则A（﹣3，0），B （1，0），因为AC2=32+32=18，AD2=（﹣1+3）2+（﹣4）2=20，DC2=（﹣1）2+（﹣4+3）2=2，所以AC2+DC2=AD2，所以△ACD为直角三角形．12．【附加题】已知二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1图象的顶点P，求此时m的值．【解答】解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，顶点坐标是P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）．方法一：分别取m=0，﹣1，1，得到三个顶点坐标是P1（﹣1，0）、P2（0，2）、P3（﹣2，﹣4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y=﹣x2+x+2．将顶点坐标P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）代入y=﹣x2+x+2的左右两边，左边=﹣m2﹣3m，右边=﹣（﹣m﹣1）2+（﹣m﹣1）+2=﹣m2﹣3m，∴左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=﹣x2+x+2上．即所求抛物线的函数表达式是y=﹣x2+x+2．方法二：令﹣m﹣1=x，则m=﹣x﹣1，将其代入﹣m2﹣3m，得﹣（﹣x﹣1）2﹣3（﹣x﹣1）=﹣x2+x+2．即所求抛物线的函数表达式是y=﹣x2+x+2上．（2）如果顶点P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）在直线y=x+1上，则﹣m2﹣3m=﹣m﹣1+1，即m2=﹣2m，∴m=0或m=﹣2，∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1图象的顶点P时，m的值是﹣2或0．13．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：0=4a﹣4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，当x=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．则S四边形ABDC16．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．17．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．【解答】解：（1）由图象，可知A（0，2），B（4，0），C（5，﹣3），得方程组．解得a=﹣，b=，c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．顶点坐标为（，）．（2）所画图如图．（3）由图象可知，当﹣1＜x＜4时，y＞0．18．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx ﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．【解答】解：（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：，解得；∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．19．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．（1）在图中画出△A1OB1；（2）求经过A，A1，B1三点的抛物线的解析式．【解答】解：（1）如右图．（2）设该抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c．由题意知A、A1、B1三点的坐标分别是（﹣1，0）、（0，1）、（2，0）．∴，解这个方程组得．∴抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+1．20．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置=8，并求出此时P点的坐标．时，满足S△PAB【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P的纵坐标为|y P|，∵S=8，△PAB∴AB•|y P|=8，∵AB=3+1=4，∴|y P|=4，∴y P=±4，把y P=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1±2，把y P=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S=8．△PAB。

二次函数典型例题及练习题

二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 5.函数Y=X 2+2X-3(-2≦X ≦2)的最大值和最小值分别是_______. 6．已知二次函数y=-x 2+bx-8的最大值为8，则b 的值为_______. 7、已知函数y=21x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是_______ 专题二：二次函数表达式的确定考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（）图22- 1- 012 yx13x =ABC D图1菜园墙A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）2 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.练习：已知抛物线y=12x 2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k的取值范围是________. 2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．图2图13.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<05. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四二次函数的应用例4 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元） 15 20 30…y （件） 25 20 10…若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？练习：1、如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．1<x -或x>5x y33 2 2 1 14 1- 1- 2-O 图3x y3-2、教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是 m 。

新北师大版九年级数学确定二次函数表达式

已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
y ax bx 1 解：因为抛物线与 y 轴交点纵坐标为 1，所以设抛物分析：设二次函数式为y=ax²+bx+c，2确定这个二次函数需要三个条件来确定系数a,b,c的值，
线关系式为 , 由于这个二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1，所以c=1，因此可设y=ax²+bx+1把已知的两 ∵点代经入过关系点式求(出2a,,5b的)和值即(可-。2,13), ∴ 4a 2b 1 5,
解：设二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c. 把（ -1， 10）、（ 1， 4）、（ 2， 7）分别代入抛物线 y=ax2+bx+c 得：
a - b + c = 1 0 a+b+c=4 4 a + 2 b + c = 7
a = 2 解这个方程组得： b=-3
小结： 1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。 2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有一个是已知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式.
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么
初步探究 2 如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为y=a(x-4)2+3 又∵图象过点（10，0） ∴(10-4)2a+3=0 解得a=－112 ∴图象的表达式为

确定二次函数的表达式练习题

2.3确定二次函数的表达式练习题一、填空题1．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为．2．若抛物线的顶点为（﹣2，3），且经过点（﹣1，5），则其表达式为．3．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式（写一个即可）4．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．5．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式．二、选择题6．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣257．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9 8．将二次函数y＝x2+x﹣1化为y＝a（x+h）2+k的形式是（）A．y＝B．y＝（x﹣2）2﹣2C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+29．将二次函数y＝x2﹣4x+6化成顶点式，变形正确的是（）A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x+2）2+2 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣2 10．抛物线的形状、开口方向与y＝x2﹣4x+3相同，顶点在（﹣2，1），则关系式为（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1C．y＝（x+2）2+1 D．y＝﹣（x+2）2+111.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 13．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2 （x+1）2B．y＝2 （x﹣1）2C．y＝﹣2 （x+1）2D．y＝﹣2 （x﹣1）214．一个二次函数的图象的顶点坐标为（3，﹣1），与y轴的交点（0，﹣4），这个二次函数的解析式是（）A．y＝x2﹣2x+4 B．y＝﹣x2+2x﹣4C．y＝﹣（x+3）2﹣1 D．y＝﹣x2+6x﹣12三、解答题15．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …﹣x2+bx+c… 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y＝﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．16．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．17．如图，在直角坐标系中，已知直线y＝x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C 点坐标为（﹣2，0）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．18．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+C经过点B（0，3）和点A（3，0）（1）求该抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式；（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，请在备用图上画出符合题意的图形，并求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．19．直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c 经过A、B两点．（1）求抛物线表达式；（2）点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．。

《确定二次函数的表达式》典型例题2

《确定二次函数的表达式》典型例题例1 求经过A〔0，-1〕、B〔-1，2〕，C〔1，-2〕三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式.例2 抛物线经过点〔-1，1〕和点〔2，1〕且与x轴相切.〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕当x在什么范围时，y随x的增大而增大；〔3〕当x在什么范围时，y随x的增大而减小.例3 设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为〔-2，0〕，求原抛物线的解析式.例4 〔辽宁省试题〕看图，解答以下问题.〔1〕求经过A、B、C三点的抛物线解析式；〔2〕通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕用平滑曲线连结各点，画出该函数图象.参考答案例1 分析：因为抛物线的对称轴与y轴平行，所以抛物线解析式的形式可设为y=ax2+bx+c，要确定这个解析式必须求出三个系数a、b、c的值.A、B、C三点在抛物线上，因此它们的坐标必须适合上面的函数式，即有这是关于a、b、c的三元一次方程组，可以求出a、b、c的值来.解：设所求抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，因为抛物线经过A、B、C三点，所以有所以，所求抛物线的解析式为y=x2-2x-1.例2 分析：由于抛物线经过的两点〔-1，1〕和〔2，1〕的纵坐标都是1，又根据抛物线的对称性知道对称轴12x=，画出草图：可得顶点坐标系1(,0)2，可以设解析式为21()2y a x=-将x=-1，y=1代入上式得出a值.〔可由教师板演，学生在练习本上写出解题过程〕.方法二〔此法在以后的学习中涉及〕：因为抛物线与x轴相切即与x轴只有一个交点，所以判别式b2-4ac=0.又由于抛物线过〔-1，1〕和〔2，1〕点，所以可设解析式的形式为y=ax2＋bx＋c，列出方程组解方程组求出a 、b 、c. 解：〔1〕根据方法一：∵ 顶点坐标)0,21(， ∴ 2)21(-=x a y 将1,1=-=y x 代入此式 1=2)211(--a ，得94=a 所求解析式为9194942+-=x x y . 〔2〕094>=a ，图象开口向上当21≥x 时，y 随x 的增大而增大. 〔3〕当21<x 时，y 随x 的增大而减小. 例3 解：由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为：y=〔x+5〕2+b 〔x+5〕+c-1=x 2+〔b+10〕x+〔5b+c+24〕.0=〔-2〕2+〔b+10〕×〔-2〕+〔5b+c+24〕.解之得b=-6，c=10.原抛物线的解析式为y=x 2-6x+10.说明：关于二次函数图象的平移是很重要的：一是上、下平移，如将y=ax 2+bx+c 的图象上移h 个单位，那么新图象的解析式为y=ax 2+bx+c+h 〔如下移那么改为-h 〕.二是左右平移，如将y=ax 2+bx+c 的图象向左移k 个单位，那么新图象解析式应改写为：y=a 〔x+k 〕2+b 〔x+k 〕+c ，如果是向右平移k 个单位，那么改写为y=a 〔x-k 〕2+b 〔x-k 〕+c.分析：三点求抛物线的解析式，用待定系数法求解，先设出抛物线的解析式〔一般式〕，然后把三点坐标代入解析式，列出一个关于c b a ,,三个未知数的方程组，求解即可.例4 解：〔1〕由图可知)1,1(),2,0(),1,1(C B A ---设所求抛物线的解析式为c bx ax y ++=2依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-1,2,1c b a c c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.2,1,2c b a∴222-+=x x y〔2〕817)41(22222-+=-+=x x x y ∴顶点坐标为)817,41(--，对称轴为41-=x 〔3〕图象略，画出正确图象.说明：求二次函数解析式的问题，通常用待定系数法求解.首先要根据题目条件，选择抛物线解析式的适当形式，然后列出方程组求解.。

确定二次函数的表达式——建立二元一次方程组求解

1、我们在确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0 )的
关系式时，通常需要 2 个独立的条件.确定反比例函数 y k （k≠ 0)关系式时，通常需要 1 个条件.
x 2、如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）
的关系式时，通常又需要__3__个条件。
3、二次函数的表达形式有哪几种？
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
1、若二次函数图像的顶点为（-2，1），且过点（-1，0），求二次函数表达式； 2、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2，且过点（1，4），（5，0），求抛物线的解析式；
细细品味这几个题，我们在确定二次函数的表达式时应如何选择合理的表达形式？
二次函数常用的三种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知三个点坐标，选择一般式
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
一、设二、代三、解四、还原
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
解：∵ 图象的顶点坐标是(-1,-6) ∴可设二次函数的解析式为： y=a(x+1)2-6 ∵ 函数图象过点（2，3） ∴ a(2 +1)2 -6= 3 ∴ a= 1 ∴ 二次函数的解析式为： y= (x+1)2 -6
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是（3，0）。求这条抛物线的表达式。
赵州桥主桥拱的跨度AB约为36m,拱高OC约为6m.你能求出抛物线的表达式吗？

专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx

专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法＞方法一利用一般式求二次函数表达式1•已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（）A• y = x2—x—2B• y = —X2+X+2C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2D• y=—x'—x—2 或y=x? + x+22•若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式为 _____________ •3•—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时，y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ .4• [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点.⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式；（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.o V/\图2-ZT-1＞方法二利用顶点式求二次函数表达式5•已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（）A• y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4C・y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+66•已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）A.y = xB. y=—x237.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为㊁米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的函数表达式是____________ .图2-ZT-28•已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2.（1）求抛物线的函数表达式；（2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱.图2-ZT-3＞方法三利用交点式求二次函数表达式259•若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达式为（）A• y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4C • y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+410•抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（）A• y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+611・[2016揪阳实验中学期中]已知抛物线与x 轴交于A （1 ‘ 0），B （-4 ‘ 0）两点‘与y 轴交于点C ，且AB = BC ，求此抛物线对应的函数表达式.＞方法四利用平移式求二次函数表达式12 • [2017-绍兴]矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为（2，1）. 一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y=x?，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A - y=x 2 + 8x+ 14 B. y=x 2 —8x+14C • y=x 2+4x + 3 D. y=x 2—4x+313. [2017-盐城]如图2-ZT-4，将函数y =鬆一2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点Z ，B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图彖的函数表达式是（）A • y=*（x —2）2—2 B. y=|（x-2）2 + 7图 2-ZT-414 •如果将抛物线y = 2x 2+bx+c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了抛物线 y=2x?—4x+3.⑴试确定b ，c 的值；⑵求出抛物线y=2x?+bx+c 的顶点坐标和对称轴.＞方法五利用对称轴求二次函数表达式15 •如图2-ZT-5 »已知抛物线y = — x?+bx+c 的对称轴为直线x= 1，且与x 轴的一c . y=|(x —2)2—5个交点坐标为(3 ‘ 0)，那么它对应的函数表达式是__________y：X=1/f v/ 01图2-ZT-516.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2-ZT-6，二次函数y, = x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)?+l的“关于y轴对称二次函数”表达式为________________ ；二次函数y = a(x—hF+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为 _____________ ;(3)平面直角坐标系屮，记“关于y轴对称二次函数”的图彖与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形‘教师详解详析1 •［解析］C 由题意可知点C 的坐标是（0 ' 2）或（0 ‘ 一2）.设抛物线的表达式为r4a+2b+c=0 ‘r a= — \+bx+c.由抛物线经过点(2，0)，(—1，0)，(0，2)，得v a-b+c=0，解得＜ b=l ， .c=2，lc=2，物线的表达式是j=-?+x+2.同理，由抛物线经过点（2，0），（—1，0），（0，— 2）求得该抛物线的表达式为y=x 2-x~2.故这条抛物线的表达式为），=—d+x+2或y=F —x —2.2 •［答案］y=?+3x-4(16一4Z?+c=0， (b=3，［解析］将点(—4、0)、(2 ‘ 6)代入y=,+bx+c 、得］解得］l4+2b+c=6， lc=—4，・・・这个二次函数的表达式为y=/ + 3兀一4.3 • y=x~2x — 14a —2b+c=—4，4a+2b+c=0， c=0，r 1a=~2 '解这个方程组，得＜b=},、c=0，所以抛物线的表达式为尸~y+x.(2)由 y= —|x 2+x= —|(x —1)2+| »平分线段 OB 、：・OM=BM » :.AM+OM=AM+BM.连接4B 交直线x=\于点则此时AM+OM 的值最小.过点A 作AN 丄x 轴于点N ，在RtAABTV 中，AB=y ］AN 2+BN 2=^/42+42=4 ^2，因此 AM+OM 的最小值为 4 迈.5 • D6 •［解析］D J 函数图象过点（0，为和（2，弓），・・・函数图象的对称轴为直线x=\，故该函数图彖的顶点坐标为（1，2）.设函数表达式为.尸吩一1F+2.把（一1，— 1）代入，得4a+2 =—1，解得d=—扌，・•・此函数表达式为y=— |（x —1）2+2.7 •［答案］J =-10（X -|）2+4I 解析］设喷泉喷水轨迹的函数表达式为y=a （x —护+4.将点（0，为代入，得| +4，解得a=-l0，故喷泉喷水轨迹的函数表达式为y= —10（x —护+4.8・解：（I ）；•抛物线与直线y 2=x+\的一个交点的横坐标为2，・••交点的纵坐标为2+1{则抛可得抛物线的对称轴为直线x=\，并冃.对称轴垂直=3即此交点的坐标为(2，3). 设抛物线的表达式为yi=tz(x—1)2+4. 把(2 » 3)代入，得3=d(2—1)'+4，解得a= — 1，抛物线的表达式为yi = —(X— l)2+4=—x24-Zr+3.(2)令yi=0，即一d+2兀+3=0，解得%i=3 »x2= —1，二抛物线与兀轴的交点坐标为(3，0)和(一1，0).在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象、iij知使得yi$y2成立的x的取值氾圉为一1W X W2.1 39 •［解析］A由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线1 +4)=^，故该抛物线的顶点坐标为(号，乎).设该抛物线的表达式为尸心+l)(x—4).将(扌，手)代入，得晋=dg+l)(号一4)解得a= —1，故该抛物线的表达式为y=—(兀+1)(尢一4)=—,+3x+4.注意: 本题也可运用顶点式求抛物线的表达式.10•［解析］D设所求的函数表达式为X!)(x—%2)-因为抛物线y=ax2 + bx+c与兀轴的两个交点坐标为(一1，0)，(3,0)，所以y=a(x~3)(x+l).又因为其形状及开口方向与抛物线y=—2x1相同» 所以y= — 2(兀一3)(x+l)，即y=—2x2+4x+6.11•解：由4(1，0)，B(_4，0)可知AB=5，OB=4.又・：BC=AB，・・・BC=5.在RtABCO 中，寸52_42=3，・••点C的坐标为(0，3)或(0，-3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x— 1)(兀+4).将点(0 ' 3)代入‘得3=a(0-1)(0+4) >3将点(0，一3)代入，得一3=a(0-l)(0+4)，解得°=才3 3该抛物线对应的函数表达式为y=—^(x—l)(x+4)或)，=才(兀一l)(x+4)，即y= _討_条+3或『=条2+条_3.12 •［解析］A 根据题意可知点C的坐标为(一2，—1)，故一个点由点4平移至点C，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位.又・・•该点在点A时，抛物线的函数表达式为丿= x2，・••该点在点C时，抛物线的函数表达式为y=（兀+4）2—2=/+8兀+14.O x13•［解析］D 如图，连接AB »B r，过点4作AC丄交BE的延长线于点C，则AC=3.由于平移前后的抛物线形状相同，根据割补的思想可知阴彫部分的面积等于平行四边形ABBA的面积，:・BB‘・AC=3BB,=9，:・BB‘ =AA f=3 ‘故平移后的抛物线的表达式14•解：（1）・・了=2?一4兀+3 = 2（”一2兀+1 — 1） + 3 = 2（.丫一1）2+1，・・・将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y=2（x-4）2+3，.•・），=2,—16兀+35，.*./?= —16，c=35.（2）由y=2（x~4）2+3得顶点坐标为（4，3），对称轴为直线兀=4.15・［答案］y=-?+2x+3c b［解析「・•抛物线y=—/+加+c的对称轴为直线x=l，•逬=1，解得b=2，又・・•与x轴的一个交点坐标为（3，0），・・・0=—9 + 6+c，解得c=3，故函数表达式为）=一"+2兀+3.16•解：（1）（答案不唯一）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称.c °（2）y=2（x—2）~ + 1 y=a（x+/?）~+k（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A，B，O，C得到一个而积为24的菱形，由BC=6，得OA = S，则点4的坐标为（0，8），点B的坐标为（一3，4）.设一个抛物线的表达式为少=°（兀+3尸+4.4将点A的坐标代入，得9d+4=8，解得a=g.4 4二次函数少=刖兀+3F+4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为〉=彳（兀一3）2+4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于），轴对称二次函数”的表达式还4 c 4 o可以为y= _§（兀+3）2_4，y=—^（x—3）^-4.综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为)=£(X+3)2+4，),=詁一3尸+4或y4 4 o=一姿+3) —4，＞=一尹一3)2—4.。

21.2.3二次函数表达式的确定

*3.二次函数表达式的确定1.与x轴有唯一的交点(2,0),且经过(-1,9)的抛物线对应的函数表达式为()A.y=(x+2)2B.y=(x-2)2C.y=-(x+2)2D.y=-(x-2)22.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线对应的函数表达式可能是()A.y=x2-x-2B.y=-12x2+12xC.y=-12x2-12x+1D.y=-x2+x+23.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,7),(6,7),(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是.4.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后的抛物线经过点(3,-1),那么平移后的抛物线对应的函数表达式为.5.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是.6.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6m,底部宽度OM为12 m.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线对应的函数表达式.7.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,P的坐标分别为(0,2),(3,2),(2,3),(1,1).(1)请在图中画出△A'B'C',使得△A'B'C'与△ABC关于点P成中心对称;(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A'B'C'的三个顶点,求此二次函数的表达式.8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=-x2+(k-1)x+4的图象与y 轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且S△OAB=6.(1)求点A与点B的坐标;(2)求此二次函数的表达式.9.如图,▱ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 经过x轴上的点A,B.(1)求点A,B,C的坐标;(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线对应的函数表达式.10.(创新应用)阅读下面的文字后,解答问题.:“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a),B(1,-求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”题目中的矩形框部.(1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的表达式?若能,写出求解过程;若不能,说明理由.(2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,添加一个适当的条件,把原题补充完整.课后演练·能力提升答案：1.B由题意可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-2)2(a≠0),将点(-1,9)代入函数表达式可得9=9a,所以a=1,所以抛物线对应的函数表达式为y=(x-2)2.2.D将(-1,0),(2,0)代入各选项验证,结合开口方向可知选D.3.(1,-8)由题意可知4a-2b+c=7,36a+6b+c=7,9a+3b+c=-8,解得a=1,b=-4,c=-5,故抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x-5.由x2-4x-5=-8,即x2-4x+3=0,解得x=3或x=1.故另一点为(1,-8).4.y=-4x2+16x-135.x>12将点(-1,0),(1,-2)代入y=x2+bx+c,可得b=-1,c=-2,因此二次函数的对称轴为x=12.6.解:(1)M(12,0),P(6,6).(2)设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-6)2+6(a≠0).∵抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0),∴0=a(0-6)2+6,即a=-16.∴抛物线对应的函数表达式为y=-16(x-6)2+6.7.解:(1)画出△A'B'C'如图所示.(2)由(1)知,点A',B',C'的坐标分别为(2,0),(-1,0),(0,-1).因为二次函数图象与y轴的交点C'的坐标为(0,-1),故可设所求二次函数表达式为y=ax2+bx-1(a≠0).将A'(2,0),B'(-1,0)的坐标代入,得4a+2b-1=0, a-b-1=0,解得a=12,b=-12.故所求二次函数表达式为y=12x2-12x-1.8.解:(1)由函数表达式可知,当x=0时,y=4,∴点A的坐标为(0,4).∵S △OAB =12×BO×4=6, ∴BO=3.∴点B 的坐标为(-3,0).(2)把点B 的坐标(-3,0)代入y=-x 2+(k-1)x+4,得-(-3)2+(k-1)×(-3)+4=0. 解得k-1=-53.∴所求二次函数的表达式为y=-x 2-53x+4.9.解:(1)∵在▱ABCD 中,CD ∥AB 且CD=AB=4,∴点C 的坐标为(4,8).设抛物线的对称轴与x 轴相交于点H ,则AH=BH=2.∴点A ,B 的坐标分别为A (2,0),B (6,0).(2)由抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为C (4,8),设抛物线对应的函数表达式为y=a (x-4)2+8(a ≠0),把A (2,0)代入上式,并解得a=-2.∴y=-2(x-4)2+8.设平移后抛物线对应的函数表达式为y=-2(x-4)2+8+k ,把(0,8)代入上式,并解得k=32.∴平移后抛物线对应的函数表达式为y=-2(x-4)2+40,即y=-2x 2+16x+8. 10.解:(1)∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A (0,a ),B (1,-2),∴ a =c ,a +b +c =-2.又二次函数图象的对称轴为直线x=2,∴-b2a=2.解方程组 a =c ,a +b +c =-2,-b 2a=2,得 a =1,b =-4,c =1,∴能求出题目中二次函数的表达式,且所求表达式为y=x 2-4x+1. (2)可供补充的内容有(选其一即可): ①满足函数表达式的任意一点的坐标; ②a=1或b=-4或c=1; ③与y 轴的交点坐标为(0,1); ④顶点坐标为(2,-3)等等.。

第二章 2.3 确定二次函数的表达式(2)

5．如图，二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象过点 B(0，－2)．它与反比例函数 y＝－8x的图象交于点 A(m，4)，则这个二次函数的表
达式为( A )
A．y＝x2－x－2 C．y＝x2＋x－2
B．y＝x2－x＋2 D．y＝x2＋x＋2
二、填空题 6．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是 A(2，1)，且经过点 B(1，0)，
9．如图，已知Байду номын сангаас次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点(－1，0)，(1，
－2)，当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是x＞12 ．
三、解答题 10．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴的两交点的横坐标分别
是－1 和 3，与 y 轴交点的纵坐标是－23. 求抛物线的表达式．
则抛物线的函数关系式为 y＝－x2＋4x－3 ．
7．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(1，0)，B(3， 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0 ， 3) ，则二次函数的表达式
是 y＝x2－4x＋3 ．
8．若二次函数 y＝mx2－3x＋2m－m2 的图象经过原点，则 m＝ 2 ．
∵二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，
c＝3
a＝－1
则有：9a－3b＋c＝0 ，解得b＝－2；
4a＋2b＋c＝－5
c＝3
∴y＝－x2－2x＋3
(2)∵－(－2)2－2×(－2)＋3＝－4＋4＋3＝3 ∴点 P(－2，3)在这个二次函数的图象上 ∵－x2－2x＋3＝0， ∴x1＝－3，x2＝1； ∴与 x 轴的交点为：(－3，0)，(1，0) ∴S△PAB＝12×4×3＝6.

九下第1章二次函数1-3不共线三点确定二次函数的表达式习题新版湘教版

2 抛物线的顶点为(1，－4)，与y轴交于点(0，－3)，则
该抛物线的表达式为( )
A．y＝x2－2x－3
B．y＝2x2＋2x－3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2－3x－3
【点拨】设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将点(0，
－3)的坐标代入，得－3＝a(0－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)当x≤0时，y的最大值是2；当x＞0时，y的最大值为 2；x＞0 时，y 的最大值为 3，∴抛物线的对称轴 x＝b2在 y 轴的右侧，∴b＞0， ∵a＝－1＜0，x≤0 时，y 的最大值为 2，∴c＝2. 易得4×(－4×1(－)×c1－) b2＝3，解得 b＝±2，∵b＞0，∴b＝2. ∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2.
②写出符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小.
【解】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
(2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【解】∵x＝0 和 x＝2 时的函数值都是 1，∴抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴(1，n)是抛物线的顶点，(－1，m) 和(3，p)关于对称轴对称，若在 m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且 m≤0.∵－2ba＝1， ∴b＝－2a，∴二次函数为 y＝ax2－2ax＋1，∴m＝a＋2a＋ 1≤0，∴a≤－13.
(2)当y≤－2时，请直接写出x的取值范围．【解】当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.
9 已知A(m－1，m2)，B(m＋3，m2)是抛物线y＝x2－2x＋ c上两个不同的点．

2.3 确定二次函数的表达式(练习)(原卷版)

第二章二次函数
第三节确定二次函数的表达式
精选练习
基础篇
一．选择题（共8小题）
1．（2020•富顺县校级一模）将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（）
A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5 2．（2020•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2B．a＝2C．a＝1D．a＝﹣1
3．（2019秋•襄汾县期末）已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4B．8C．﹣4D．16
4．（2018秋•下城区期末）已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（）
A．y＝2x2+4x﹣1B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1D．y＝2x2+4x+1
5．（2019•福田区校级模拟）已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝x2+x﹣2C．y＝x2+3x+2D．y＝﹣x2+x+2
6．（2018秋•兴义市期末）二次函数的图象如图所示，则其解析式是（）
A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2﹣2x+3D．y＝﹣x2﹣2x﹣3
7．（2018秋•镇原县期末）顶点在点M（﹣2，1），且图象经过原点的二次函数解析式是（）。

北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)

第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】（1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）．【解析】（1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）．例题3、已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】（1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】暂无解析随练1、已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-．例题2、二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38，所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。

初中数学九年级下册确定二次函数的表达式

第二章
二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
导入新课
复习引入
2个
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要
已知几个点的坐标求出它的表达式？
2个 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ (1)设：（表达式）
待定系数法
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
1=a(0-8)2+9.
1 2 y ( x 8) 9. ∴所求的二次函数的表达式是 8
三交点法求二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2 为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. y 2 1 O -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
讲授新课
一特殊条件的二次函数的表达式