中考数学总复习分层提分训练解直角三角形(以真题为例)

合集下载

中考《解直角三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。

【分层训练】中考数学总复习解直角三角形.docx

为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工 . 从 /C 上的一点 B 収 Z^Z ） =140°,
000 m, ZD=50 °.为了使开挖点 E 在直线 JC±,那么 DE= _______________ m（供选用的三角
函数值 : sin50 °^0.766 0, cos50 ^0°.642 8, tan50 ^ 1°.192） .
第 5 讲解直角三角形
一级训练
4பைடு நூலகம்1. 已知 RtZUBC 中， ZC=90°, tanJ=^, BC=8,则 AC=( )
32
A. 6
C. 10
D. 12
2. （2012 年山东青海）如图 6-5-11,在 RtAJ^C 中， CD 是斜边 MB 上的中线 , 已知 CD=
5, JC=6,贝 iJtanB 的值是 (
tan8 °^y, sinl0 ?°箱 ,
10. （2011 年浙江衢州）在一次夏令营活动中 , 小明同学从营地 / 出发 , 到昇地的北偏东 60。方向的 C 处. 他先沿 1E 东方向走了 200 m 到达 B 地，再沿北偏东 30。方向走，恰能到达口的地 C（如图 6-5-16） ,由此可知， B, C 两地和距 __________ m.
□□ □□
□ □
⑵
45% BC=50 m.请你帮小明计算他家到公路 / 的距离 Q（精确到 0.1m）- （参考数据：迈？
1.414,迈 ~1.732）
D
BC
A
图 6-5-17
二级训练
13. （2011 年四川绵阳）周末，身高都为 1.6 米的小芳、小丽來到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度 . 如图 6-5-18,小芳站在 / 处测得她看塔顶的仰角次为 45。，小丽站在 B 处测得她看塔顶的仰角 P为 30。 . 她们又测出 A, B 两点的距离为 30 米. 假设她们的眼睛离头顶都为 10 厘米，贝恂计算出塔高约为（结果精确到 0.01,参考数据：迈 "1.414, 迈 =1.73） .（）

中考数学必考点提分专练08 解直角三角形的实际应用(含解析)

|类型1| 两直角三角形在高线同侧1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A 出发沿AC方向前进23.5 m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41)解:在Rt△ACB中，AC=121，∠A=37°，∴tan A=BCAC=BC121≈0.75，∴BC≈90.75，由题知AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5.在Rt△DCE中，∠EDC=45°，∴tan∠EDC=ECCD=1，∴EC=97.5，∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8.答:塔冠BE的高度约为6.8 m.2.[2019·衡阳]如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶√3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:√3≈1.73，√2≈1.41)解直角三角形的实际应用提分专练08解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.x米，设楼房AB的高为x米，则EB=√33∵坡度i=1∶√3，CD=10米，∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5√3米，，在Rt△ADH中，tan∠ADH=AHDH∴DH=√3(x-5).x=√3(x-5)，∴5√3+10+√33解得x=15+5√3≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图3①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.(1)求坐垫E到地面的距离.(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长.(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)解:(1)如图①，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°，EC=BC+BE=60+15=75(cm)，∴EM=EC sin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，故坐垫E到地面的距离为67.5+32=99.5(cm).(2)如图②所示，过点E'作E'H ⊥CD 于点H ，由题意知E'H=80×0.8=64(cm)，则E'C=E 'Hsin∠ECH =64sin64°≈71.1(cm)，∴EE'=CE -CE'=75-71.1=3.9(cm).|类型2| 两直角三角形在高线异侧4.[2019·铜仁]如图，A ，B 两个小岛相距10 km ，一架直升机由B 岛飞往A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km ，当直升机飞到P 处时，由P 处测得B 岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A ，B ，P 和海平面上一点M 都在同一个平面上，且M 位于P 的正下方，求h.(结果取整数，√3≈1.732)解:由题意得，∠P AB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km ，在Rt △APM 和Rt △BPM 中，tan ∠P AM=ℎAM =√3，tan ∠PBM=ℎBM =1， ∴AM=3=√33h ，BM=h.∵AM+BM=AB=10，即√33h+h=10，解得h=15-5√3≈6. 答:h 约为6 km .5.[2019·海南]如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里.(1)填空:∠BAC= ，∠C= ； (2)求观测站B 到AC 的距离BP .(结果保留根号)解:(1)30°45°(2)设BP=x海里.由题意，得BP⊥AC，则∠BPC=∠BP A=90°.∵∠C=45°，∴∠CBP=∠C=45°，则CP=BP=x.在Rt△ABP中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°.∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP=√3x，∴√3x+x=10，解得x=5√3-5，则BP=5√3-5.答:观测站B到AC的距离BP为(5√3-5)海里.6.[2019·邵阳]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm，∠ADE=30°，DE=190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度.(结果精确到1 cm；温馨提示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)解:设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x.∵∠ADE=30°，∴OC=12OD=95+x，∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.∵tan∠BAD=BCAC ，∴2.14≈95-x40，解得:x≈9，∴2x=18，即OB的长度约为18 cm.|类型3| 其他类型7.[2019·泸州]如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20√2n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C 恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20√5n mile.(1)求sin∠ABD的值；(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20√2，∠DAE=45°，∴DE=20√2×sin45°=20.在Rt△BED中，BD=20√5，∴sin∠ABD=EDBD =20√5=√55.(2)过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE=20，BD=20√5，∴BE=√BD2-DE2=40.易知四边形BFDE是矩形，∴DF=EB=40，BF=DE=20，∴CF=BC-BF=30.在Rt△CDF中，CD=√DF2+CF2=50，∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.8.[2019·镇江]在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).(1)∠ABC=°；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.(参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)①②解:(1)30[解析]∵五边形ABDEF是正五边形，=108°，∴∠ABD=(5-2)×180°5∠DBG=∠BAC=78°，∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°，故答案为:30.(2)作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC=QC，AC∴QC=AC·sin∠QAC≈10×0.98=9.8.在Rt△BQC中，∠ABC=30°，∴BC=2QC=19.6，∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6.9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sinα=3，木箱底5部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部.解:∵BH=0.6，sin α=35，∴AB=BHsinα=0.635=1，∴AH=0.8.∵AF=FC=2，∴BF=1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH ， ∴△EFP ∽△ABH ，△FBQ ≌△ABH ， ∴EPAH =EFAB ，BQ=BH=0.6，即EP0.8=1.61， ∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)<2米， ∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部.。

中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。

第19讲中考数学总复习(练习题) 解直角三角形的应用

在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴AB=BC,
在Rt△ABD中,∵∠ADB=60°,
∴BD=
3
AB=10
3
3 m,
∴CD=BC－BD=(30－10 3)m.
导航
6.(2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距
离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位
于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离
为 25 6 海里(结果保留根号).
导航
解析:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
PC
在 Rt△APC 中,cos∠APC=PA,
3
∴PC=PA·cos∠APC=50× =25
2
PC
在 Rt△PCB 中,cos∠BPC= ,
PB
PC
25 3
( D )
(参考数据:sin 50°≈0.77;
cos 50°≈0.64;tan 50°≈1.19)
A.69.2米
B.73.1米
C.80.0米
D.85.7米
导航
解析:∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
∴DE∶CE=5∶12,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,
∴BE=150－120=30(米),
尝试利用所学知识测量河对岸大
树AB的高度,他在点C处测得大树
顶端A的仰角为45°,再从C点出发
沿斜坡走2 米到达斜坡上D点,在点D处测得树顶端A的仰
角为30°,若斜坡CF的坡比为i=1∶3(点E、C、B在同一水平
线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;

2020年九年级数学中考复习题型解直角三角形(带答案)

解直角三角形题型一利用勾股定理求面积例 1.在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【解析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，225AD AE DE ∴=+=，四边形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．变式训练1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【解析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．题型二勾股定理逆定理的应用例2-1.在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．2a =，3b =，5c =D ．4a =，5b =，3c =【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A .222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B .设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C .(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D .222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．例2-2.如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【解析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，20AB cm =，15BC cm =，∴由勾股定理可得：2222201525AC AB BC cm ++=；（2）在ADC ∆中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC ∴+=，90ADC ∴∠=︒；（3）由（2）知，90ADC ∠=︒，∴四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=. 变式训练1.下列说法中，正确的有( )①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形； 71017ABC ∆为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；7x ，10x 17x ，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．变式训练2.如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC ∠=︒，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【解析】连接AC ，在Rt ADC ∆中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC ∆中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD ∆与Rt ABC ∆的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC ∠=︒，12AB =，9BC =，15AC ∴=，39CD =，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC ∴∆为直角三角形，ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC AD AB BC =⨯-⨯ 11153612922=⨯⨯-⨯⨯ 27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．题型三利用勾股定理求最短路径例3.如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm【解析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．【答案】解：如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C∠=︒，11052AC cm cm=⨯=，20BC cm=，35PC BC=，12CP cm∴=，由勾股定理得：222251213()AP AC CP cm=+=+=，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，故选：B．变式训练1.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【解析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(23)3dm+⨯，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++⨯=，解得17x =．故选：B ．变式训练 2.如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B '，则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．故选：C ．变式训练3.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米【解析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''=+=÷+-+=，最短路程为10PA cm '=．故选：B ．题型四利用勾股定理解折叠问题例4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．【解析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB ∠=︒，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =，8BC cm =2210AB AC CB cm ∴=+=将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE ∴∆的面积14362=⨯⨯= 答：BDE ∆的面积为26cm变式训练1.如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH ∠=︒，3BF cm =，求FH 的长．【解析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，90FPH ∠=︒，222FH PH PF ∴=+，222(9)3x x ∴=-+，5x ∴=，FH ∴的长是5cm ．变式训练 2.如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD '处，AD '交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【解析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA ∠=∠，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，AD BC =，90B ∠=︒，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠．ADC ∆与△AD C '关于AC 成轴对称ADC ∴∆≅△AD C '，DAC D AC ∴∠=∠'，D AC ACB ∴∠'=∠，AE EC ∴=；（2）2AB cm =，4BC cm =，2CD cm ∴=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S ∆=， 22.52 2.52AEC S cm ∆⨯==．答：重叠部分的面积为22.5cm ．题型五勾股定理的实际应用例5.数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【解析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，∴旗杆的高度为15米．变式训练1.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【解析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC ∆中：90CAB ∠=︒，17BC =米，8AC =米， 2215AB BC AC ∴=-=（米)，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD ∴=-⨯=（米)，22100646AD CD AC ∴=-=-=（米)，1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．变式训练 2.勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 向外移了多少米？（注意：3.15 1.77)≈【解析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．【答案】解：Rt OAB ∆中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，222226241OB AB AO m ∴=-=-=；同理，Rt OCD ∆中，2.6CD m =， 2.40.5 1.9OC m =-=，22222619 3.15 1.77OD CD OC m ∴=-=-=，1.7710.77()BD OD OB m ∴=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．题型六锐角三角函数定义例1.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( )A．12B．22C．32D．223【解析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可．【答案】解：设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝＝2x，∴sin B＝＝＝，故选：D．变式训练1.如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cos A的值的有()个（1）ADAC（2）ACAB（3）BDBC（4）CDBC．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cos A＝＝＝，故（1），（2），（4）正确．故选：C．题型七网格中的锐角三角函数值例7.如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB∠的值为( )A ．55B ．255C ．12D ．33【解析】由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin ∠ACB 的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B 作BD ⊥AC 于D ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， ∵S △ABC ＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC ＝＝5， ∵AC •BD ＝5，∴BD ＝，由勾股定理可知：BC ＝＝， ∴sin ∠ACB ＝＝＝故选：A ．变式训练 1.如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于32，则sin (CAB ∠= )A．332B．35C．105D．310【解析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【答案】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，由勾股定理，得AB＝AC＝，BC＝．由等腰三角形的性质，得BE＝BC＝．由勾股定理，得AE＝＝，由三角形的面积，得AB•CD＝BC•AE．即CD＝＝．sin∠CAB＝＝＝，故选：B．题型八特殊角三角函数值的计算例8.计算：2sin60cos45sin30tan60︒+︒-︒︒．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．【答案】解：原式＝+﹣×，＝+﹣，＝．变式训练1.计算：（1）222sin 30sin60sin 45cos 30︒+︒-︒+︒；（2）tan30tan 45tan 60tan 45︒+︒︒︒．【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+ ＝+；（2）原式＝＝．变式训练2.22cos30tan30cos60(1tan60)︒+︒︒--︒【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．【答案】解：原式＝2×+×﹣+1＝+1．题型九解直角三角形例9.如图，在ABD ∆中，AC BD ⊥于点C ，32BC CD =，点E 是AB 的中点，tan 2D =，1CE =，求sin ECB ∠的值和AD 的长．【解析】利用已知表示出BC ，CD 的长，再利用勾股定理表示出AB 的长，进而求出sin ∠ECB 的值和AD 的长．【答案】解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°．∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB ．∵＝，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ．在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴＝2，∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝＝．由AB ＝2，得x ＝，∴AD ＝＝＝2x ＝2×＝．变式训练1.如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=．（1）求AD 的长；（2）求sin DBC ∠的值．【解析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90°∴∠A ＝45°，∴AH ＝DH ，设AH ＝x ，∴DH ＝x ，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，变式训练 2.如图，已知Rt ABC∠=︒，CD是斜边AB上的中线，过点A作∆中，90ACB=．AH CH⊥，AE分别与CD、CB相交于点H、E，2AE CD（1）求sin CAH∠的值；（2）如果5CD=，求BE的值．【解析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．【答案】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得：AC＝＝CH，∴sin∠CAH＝＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．设CE＝x（x＞0），则AE＝x，在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，解得：x＝1，∴CE＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．题型十解直角三角形的应用之坡度坡角问题例10.如图，扶梯AB坡比为1:2，滑梯CD坡比为3．若40=，某人BC mAE m=，30m≈，从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41≈3 1.73≈5 2.24)【解析】首先在直角△ABE中根据AE＝40m和坡比求得AB和BE，然后得出CF的长，最后在直角△CFD中求得CD的长即可，继而求出经过的路径＝AB+BC+CD的长度即可．【答案】解：∵扶梯AB的坡比为1：2，即BE：AE＝1：2，AE＝40m，∴BE＝20m，∴AB＝＝＝20（m），∵CF＝BE＝20米，CF：DF＝1：，∴FD＝CF＝20（m），∴CD＝＝＝40（m），∴经过的路径＝AB+BC+CD＝20+30+40＝70+20≈114.8（m）．答：共经过路径长114.8m．变式训练1.今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为20013米，斜坡BC的长为2002米，坡度是1:1，已知A点海拔121米，C点海拔721米（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．【解析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，∴BE＝CE＝200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD＝600米，∴BF＝400米，∵121+400＝521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，∴AF＝＝600米，∴BF：AF＝400：600＝2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），∴AC＝＝1000米，即钢缆AC的长度是1000米．题型十一解直角三角形的应用之仰角俯角问题例11.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53︒，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45︒，已知山坡AB的坡度1:3，10AB=米，21AE=米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：4tan533︒≈，cos530.60)︒≈【解析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．【答案】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5米；∴AH＝5米，∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（5+21）米．Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE＝28米．∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．答：宣传牌CD高为（5﹣2）米．变式训练1.如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45︒，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40︒，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin400.64︒≈，︒≈，cos400.77︒≈，tan400.84结果保留整数）【解析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，则四边形DECG为矩形，∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，∴GF＝GC＝5，∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，∴DM＝≈，由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，解得，x≈33.2，则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），答：该塔AB的高度约为38米．四、易错点辨析1.三角形构成问题中，忘记对构成三角形的前提（三边关系）进行检验.2.忽视直角三角形致错，题中没有说明角是直角，而直接应用正弦、余弦函数的定义.3.边角关系理解不透致错.4.记忆特殊三角函数值不准确，造成计算错误.五、直击中考1.（2017河北（11））如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的( ).【答案】A.【解析】试题分析：正方形的对角线的长是10214.14，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.2.（2015河北（16））如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以，乙可以D.甲可以，乙不可以【答案与解析】所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选A．3.（2014河北（8））如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【】A.2B.3C.4D.5【答案】A．【解析】4.（2019河北（19））勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．【答案】（1）20；（2）13；【解析】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13.5.（2013河北（26））一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图1所示）．探究如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)拓展在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.图1图2图3图4延伸在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.图5【答案与解析】。

精选-中考数学真题分类汇编第三期专题28解直角三角形试题含解析

解直角三角形一.选择题1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==；【解答】解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO==，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．二.填空题1.（2018·湖北江汉·3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C 附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：182.（2018·湖北荆州·3分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，∴CE=33，∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，∴BE=CE=33，∴AE=a+33，∵tanA=，∴tan30°=，即33=a+33，解得a=33（﹣1）≈24.1，∴a的值约为24.1米，故答案为：24.1．3．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD 为100米，则两景点A.B间的距离为100+100米（结果保留根号）．【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．∵CD=100米，∴AD=CD=100米，DB=米，∴AB=AD+DB=100+100（米）．故答案为：100+100．4. （2018·湖北咸宁·3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．5.（2018·辽宁大连·3分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°．∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．故答案为：9.5．三.解答题1.（2018·广西贺州·8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，∴AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，解得：AM=CM=40，∵∠ECB=15°，∴∠BCF=90°﹣15°=75°，∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，∴BM=40，∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里．2.（2018·广西梧州·8分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【分析】过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度．【解答】解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．在Rt△CMD中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．在Rt△BDN中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8m．在Rt△ADN中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6m．∴AB=AN+BN=45.4m．答：瀑布AB的高度约为45.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键．3.（2018·湖北十堰·7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．【解答】解：过C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠A=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD=AC=50海里，在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD+BD=50+50≈193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里．【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4.（2018·云南省昆明·7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE.DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；【解答】解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=AB=5（m），AE=5（m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．5.（2018·浙江省台州·8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC 为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF 即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．6．（2018·辽宁省盘锦市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH=CD=30m．∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．7．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH===20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8.（2018•呼和浩特•8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）解：作DH⊥BC于H．设AE=x．∵DH：BH=1：3，在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，∴DH=60，BH=180，在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x，∵又HC=ED，EC=DH，∴HC=x，EC=60，在Rt△ABC中，tan33°=，∴x=，∴AC=AE+EC=+60=．答：山顶A到地面BC的高度AC是米9.（2018•广安•8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可．【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，在Rt△CDB中，tan∠DCB=，解得：DB=200，在Rt△CDA中，tan∠DCA=，解得：DA=200，∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．10.（2018•莱芜•9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C.E.D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）【分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE=，∴DE=CD﹣CE=5.04﹣3.33=1.71≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．（2018·江苏镇江·6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在Rt△AFM中，MF=，在Rt△CNH中，HN=，∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，即8=x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼AB的高度AB长13.3m．12．（2018·江苏常州·8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A.B和点C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在Rt△BDE中，∠DBA=60°，∴BE=xm，在Rt△ACH中，∠BAC=30°，∴AH=xm，由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，解得：x=30，即CH=30m，则该段运河的河宽为30m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．。

九年级数学中考总复习试题解直角三角形(含答案)

中考总复习——解直角三角形（时长：45分钟满分：100分）学校：班级：姓名：得分：一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1） tan30︒的值等于（）．（A（B（C ）1（D（2）2cos60︒的值等于（）．（A ）1 （B（C（D ）2（3）已知直角三角形中30︒角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（）．（A ）2cm （B ）4cm（C ）6cm（D ）8cm（4）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，则下列各式中，正确的是（）．（A ）2sin 3B = （B ）2cos 3B =（C ）2tan 3B =（D ）3tan 2B =（5）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若2tan 5BAC ∠=，则此斜坡的水平距离AC 为（）．（A ）12m （B ）30m（C ）50m（D ）75m第（5）题（6）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB BC ⊥，//EF BC ，143AEF ∠=︒， 1.2m AB AE ==，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（7）在Rt ABC △中，若90A ∠=︒，13BC =，12AC =，则tan C的值为．（8）在Rt ABC △中，若90C ∠=︒，3sin 2A =，则tan A 的值为．（9）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，O均在格点上，则OAB ∠的正弦值是．（10）如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，若5AB =，8BC =，4sin 5B =，则tan CDE ∠的值为．三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）（11）（本小题12分）计算．（Ⅰ）2sin30cos30sin60︒⋅︒-︒；（Ⅱ）222sin 45tan 45cos 45︒︒-︒．（A ）（B ）（D ）（C ）第（6）题图① 图② 图③第（9）题第（10）题如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，82BC =，35B ∠=︒，解这个直角三角形（结果取整数）．（参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈．）（13）（本小题12分）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连接AC ，BC ．测得221m BC =，45ACB ∠=︒，58ABC ∠=︒．根据测得的数据，求AB 的长（结果取整数）．参考数据： sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈．第（13）题ABC45︒58︒第（12）题BA C如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC 为m 78 ，从甲的顶部A 处测得乙的顶部D 处的俯角为 48︒，测得底部C 处的俯角为58︒，求甲、乙建筑物的高度AB 和DC （结果取整数）．参考数据：tan48 1.11︒≈，tan58 1.60︒≈．第（14）题专题4 解直角三角形参考答案一、选择题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（1）D（2）A（3）B（4）C（5）D（6）A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．（7）512（8（9（10）12三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）（11）（本小题12分）解：（Ⅰ）1202=⨯=-=原式 . …………………6分（Ⅱ）21110==-=原式. ………………………… 12分（12）（本小题12分）解：在 Rt ABC △ 中，∵ 90C ∠=︒，35B ∠=︒，∴ 180903555A ∠=︒-︒-︒=︒， ……………………… 4分 ∵ 82cos350.82BC AB AB︒==≈， ∴ 100AB =， ……………………… 8分 ∵ sin350.57100AC ACAB ︒==≈， ∴ 57AC =． ……………………… 12分（13）（本小题12分）解：如图，过点A 作AH CB ⊥，垂足为H ．根据题意，45ACB ∠=︒，58ABC ∠=︒，221BC =． ∵ 在Rt CAH △中，tan AHACH CH∠=， …… 2分 ∴ tan 45AHCH AH ==︒． ……………… 4分 ∵ 在Rt BAH △中，tan AH ABH BH ∠=，sin AHABH AB∠=， ∴ tan58AH BH =︒，sin58AHAB =︒． …………………… 6分 ABC 45︒58︒H又 CB CH BH =+， …………………… 8分 ∴ 221tan58AH AH =+︒．可得221tan581tan58AH ⨯︒=+︒． …………………… 10分 ∴ 221tan58221 1.601601tan58sin581 1.600.85AB ⨯︒⨯=≈=+︒⋅︒+⨯（）（）．答：AB 的长约为160m ． ………………………… 12分（14）（本小题14分）解: 如图，过点 D 作 DE AB ⊥，垂足为 E ．则 90AED BED ∠=∠=︒．由题意可知，78BC = ，48ADE ∠=︒，58ACB ∠=︒， 90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒．可得四边形 BCDE 为矩形． …………… 3分 ∴ 78ED BC == ，DC EB =． ………… 4分在 Rt ABC △ 中，tan ABACB BC ∠=， ∴ tan5878AB BC =⋅︒≈ ⨯1.60≈125 ． ……………………… 8分在 Rt AED △ 中，tan AEADE ED∠=， ∴ tan48AE ED =⋅︒．∴ tan58tan4878 1.6078 1.1138EB AB AE BC ED =-=⋅︒-⋅︒≈⨯-⨯≈． … 12分 ∴ 38DC EB == ．答：甲建筑物的高度AB 约为125m ，乙建筑物的高度DC 约为38m ． … 14分。

2021年九年级中考数学一轮复习分层训练：解直角三角形

解直角三角形【基础练习】1．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值( ) A ．不变 B ．缩小为原来的13C.扩大为原来的3倍 D ．不能确定2．(2020·雅安中考)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，sin B ＝0.5，若AC ＝6，则BC 的长为( ) A.8 B ．12 C ．63 D ．1233．(2020·安徽中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠DBC ＝∠A .若AC ＝4，cos A ＝45 ，则BD 的长度为( )A.94 B ．125 C ．154D ．4 4．(2020·鸡西中考)如图，在△ABC 中，sin B ＝13，tan C ＝2，AB ＝3，则AC 的长为( )A.2 B ．52C ．5D ．2 5．(2020·黔西南中考)如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A ′B ′的位置，已知AO 的长为4 m ．若栏杆的旋转角∠AOA ′＝α，则栏杆A 端升高的高度为( )A.4sin αm B ．4sin α m C.4cos αm D ．4cos α m6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( ) A.sin B ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC.sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC7．如图，点D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD 等于( ) A.12 B ．34 C ．45 D ．358．(2020·菏泽中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为____．9．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是120 m ，则乙楼的高CD 是____m(结果保留根号).10．(2020·仙桃中考)如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20 n mile ，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为____n mile.11．如图，拦水坝的横断面为四边形ABCD ，AD ∥BC ，AD ＝3 m ，坝高AE ＝DF ＝6 m ，坡角α＝45°，β＝30°，则BC 的长为____m.12．计算：⎪⎪⎪⎪1tan 30°－1cos 60° －tan 60°·tan 30°＋(sin 245°＋cos 245°)0＋2cos 30°＝____.13．(2020·怀化中考)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树点A 处测得古树顶端D 的仰角为30°，然后向古树底端C 步行20 m 到达点B 处，测得古树顶端D 的仰角为45°，且点A ，B ，C 在同一直线上，求古树CD 的高度．(已知：2 ≈1.414，3 ≈1.732，结果保留整数)14．(2019·梧州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 上一点，AB ＝5，BD ＝1，tan B ＝34 .(1)求AD 的长； (2)求sin α的值．【能力提升】15．(2020·广元中考)规定：sin (－x )＝－sin x ，cos (－x )＝cos x ，cos (x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ，给出以下四个结论：(1)sin (－30°)＝－12 ；(2)cos 2x ＝cos 2x －sin 2x ；(3)cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ；(4)cos 15°＝6－2 4.其中正确的结论的个数为()A.1个B．2个C．3个D．4个16．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan ∠ABC＝___．17．(2020·孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为____m(结果保留根号).18．(2020·泰安中考)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移___m时，才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)19．(源于沪科九上P131)两栋居民楼之间的距离CD＝30 m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)答案解直角三角形【基础练习】1．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值( A ) A ．不变 B ．缩小为原来的13C.扩大为原来的3倍 D ．不能确定2．(2020·雅安中考)如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，sin B ＝0.5，若AC ＝6，则BC 的长为( C ) A.8 B ．12 C ．63 D ．1233．(2020·安徽中考)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠DBC ＝∠A .若AC ＝4，cos A ＝45 ，则BD 的长度为( C )A.94 B ．125 C ．154D ．4 4．(2020·鸡西中考)如图，在△ABC 中，sin B ＝13，tan C ＝2，AB ＝3，则AC 的长为( B )A.2 B ．52C ．5D ．2 5．(2020·黔西南中考)如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A ′B ′的位置，已知AO 的长为4 m ．若栏杆的旋转角∠AOA ′＝α，则栏杆A 端升高的高度为( B )A.4sin αm B ．4sin α m C.4cos αm D ．4cos α m6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A.sin B ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC.sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC7．如图，点D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD 等于( D ) A.12 B ．34 C ．45 D ．358．(2020·菏泽中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若BC ＝4，CD ＝3，则cos ∠DCB 的值为__23__．9．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是120 m ，则乙楼的高CD 是m(结果保留根号).10．(2020·仙桃中考)如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20 n mile ，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为n mile.11．如图，拦水坝的横断面为四边形ABCD ，AD ∥BC ，AD ＝3 m ，坝高AE ＝DF ＝6 m ，坡角α＝45°，β＝30°，则BC 的长为12．计算：⎪⎪⎪⎪1tan 30°－1cos 60° －tan 60°·tan 30°＋(sin 245°＋cos 245°)0＋2cos 30°＝__2__.13．(2020·怀化中考)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树点A 处测得古树顶端D 的仰角为30°，然后向古树底端C 步行20 m 到达点B 处，测得古树顶端D 的仰角为45°，且点A ，B ，C 在同一直线上，求古树CD 的高度．(已知：2 ≈1.414，3 ≈1.732，结果保留整数)解：由题意可知，AB ＝20 m ，∠DAB ＝30°， ∠C ＝90°，∠DBC ＝45°.∴△BCD 是等腰直角三角形．∴CB ＝CD . 设CD ＝x m ，则BC ＝x m ，AC ＝(20＋x ) m ．在Rt △ACD 中，tan 30°＝CD CA ＝CD AB ＋CB ＝x 20＋x ＝33 .∴x ＝103 ＋10≈27.答：古树CD 的高度约为27 m ．14．(2019·梧州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 上一点，AB ＝5，BD ＝1，tan B ＝34 .(1)求AD 的长； (2)求sin α的值．解：(1)由tan B ＝34 ，可设AC ＝3x ，则BC ＝4x .∵AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴(3x )2＋(4x )2＝52. ∴x ＝－1(舍去)或x ＝1. ∴AC ＝3，BC ＝4. ∵BD ＝1，∴CD ＝3.∴AD ＝CD 2＋AC 2 ＝32 ；(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，可得△BDE ∽△BAC .设DE ＝3y ，则BE ＝4y . ∵BE 2＋DE 2＝BD 2，∴(4y )2＋(3y )2＝12. ∴y ＝－15 (舍去)或y ＝15 .∴DE ＝35 .∴sin α＝DE AD ＝210.【能力提升】15．(2020·广元中考)规定：sin (－x )＝－sin x ，cos (－x )＝cos x ，cos (x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ，给出以下四个结论：(1)sin (－30°)＝－12 ；(2)cos 2x ＝cos 2x －sin 2x ；(3)cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ； (4)cos 15°＝6－24. 其中正确的结论的个数为( C )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个16．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt △ABC 是“好玩三角形”，且∠A ＝90°，则tan ∠ABC ＝2 或3__． 17．(2020·孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB 的长为__⎝⎭3 __m(结果保留根号).18．(2020·泰安中考)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26 m ，斜坡AB 的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移__10__m 时，才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)19．(源于沪科九上P 131)两栋居民楼之间的距离CD ＝30 m ，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3 m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30°，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？(参考数据：3 ≈1.7，2 ≈1.4)解：设太阳光线GB 交AC 于点F ，过点F 作FH ⊥BD 于点H ，连接BC ，由题意知，AC ＝BD ＝3×10＝30 m ，FH ＝CD ＝30 m ，∠BFH ＝∠α＝30°.在Rt △BFH 中，tan ∠BFH ＝BH FH ＝BH 30 ＝33 ，∴BH ＝30×33＝103 ≈10×1.7＝17(m). ∴FC ＝HD ＝BD －BH ≈30－17＝13(m). ∵133≈4.3，∴在第4层的上面，即第5层．答：此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第5层．。

初三中考复习解直角三角形专题复习训练题含答案

初三中考复习解直角三角形专题复习训练题含答案2019 初三中考复习解直角三角形专题复习训练题1. 如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，则AC边上的高BD的长是( )A．4 B．8 C．2 3 D．4 32. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A．2a B．22a C.3a D．43 3a3. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为( )A.12B．55C.1010D．2554．直线y＝3x－3与x轴所成的锐角为x，则tan x＝______. 5．计算：cos230°－2sin60°－tan30°＋tan245°＝_______.6．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝13，求sin A、cos A、tan A的值．7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝23，AB＝6，求BC的长．8. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米．求河的宽度．(结果保留根号)9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．10. 如图在△ABC中，AB＝1，AC＝2，sinB＝24，求BC的长．5. 346. 解：过点D 作DE ⊥CD 交BC 于点E ，在Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13＝DECD ，设DE ＝x ，则CD ＝3x.又∵DE ⊥AC ，∴DE ∥AC ，∵AD ＝BD ＝12AB ，∴DE ＝12AC ，∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，AC ＝2x ，CD ＝3x ，∴AD ＝13x ，∴sinA ＝31313，cosA ＝21313，tanA ＝32.7. 解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°sinA＝BC AB ＝23，∵AB ＝6，∴BC ＝4. 8. 解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵∠β＝45°，∠ADC ＝90°，∴AD ＝DC ，设AD ＝DC ＝xm ，则tan30°＝x x ＋100＝33，解得：x ＝50(3＋1)，答：河的宽度为50(3＋1)m.9. (1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC, ∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DBF ＝∠DAC, ∴△ACD ∽△BFD ； (2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90° ∴ADBD ＝1, ∴AD ＝BD, ∵△ACD ∽△BFD, ∴AC BF ＝ADBD＝1, ∴BF ＝AC ＝3. 10. 解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，Rt △ABD 中，sinB ＝AD AB ＝24，∴AD ＝24，BD ＝AB 2－AD 2＝1－18＝144.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝2－18＝304.∴BC ＝BD ＋CD ＝13＋304.11. 解：∵在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米，∴BC ＝2.3m ，∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝70.5°，∴tan70.5°＝AC BC ＝AD ＋2.32.3≈2.824，解得：AD≈4.2，答：像体AD 的高度约为4.2m.12. 解：∵BN ∥ED ，∴∠NBD ＝∠BDE ＝37°，∵AE ⊥DE ，∴∠E ＝90°，∴BE ＝DE·tan∠BDE≈18.75(cm)，如图，过C 作AE 的垂线，垂足为F ，∵∠FCA ＝∠CAM ＝45°，∴AF ＝FC ＝25cm ，∵CD ∥AE ，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD ＝EF ，∵AE ＝AB ＋EB ＝35.75(cm)，∴CD ＝EF ＝AE －AF≈10.8(cm)，答：线段BE 的长约等于18.8cm ，线段CD 的长约等于10.8cm.13. 解：根据题意，得△ABE 和△BDC 是直角三角形，∴∠3＝∠4＝90°，∵∠A ＋∠2＝90°，∠1＋∠2＝90°.∴tan ∠1＝tanA ＝13.在Rt △BCD 中，tan ∠1＝CD BD ，设CD ＝x ，则BD ＝3x ，∴x 2＋(3x)2＝(5)2，∴x ＝22，BD ＝3x ＝322.答：BD 的长为322米．14. 解：(a)由入射角等于反射角，得△AOB ∽△COD ，∴AB CD ＝OB OD ，即AB 1.7＝63.4，∴AB ＝3(m)； (b)由同一时刻物高与影长成正比，得AB BE ＝CD DF ，即AB 1.8＝10.6，∴AB ＝3(m)； (c)由光的直线传播，得△CEF ∽△CAB ，△CFG ∽△CBD ，∴EF AB ＝CFCB ＝FG BD ，∴0.2AB ＝0.69，∴AB ＝3(m)． 15. 解：(1)如图，过点D 作DE ⊥AB ，过点B 作BF ⊥CD ，∵∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC ＝105°，∴△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，∴∠CBF ＝45°，在四边形ABCD中，∠ADC＝360°－∠A－∠C－∠ABC＝360°－45°－45°－105°＝165°，∴∠BDF＝∠ADC－∠ADB＝165°－105°＝60°，∴∠DBF＝30°，∵AD＝2，∴由勾股定理得AE＝DE＝ 2.∵∠ABC＝105°，∴∠ABD＝105°－45°－30°＝30°，∴在Rt△BDE中，BD＝2DE＝2 2.由勾股定理得BE＝ 6.∴AB＝2＋6；(2)设DE＝x，则AE＝x，BD＝2x，∴DF＝12BD＝x，由勾股定理得BE＝3x，BF＝BD2－DF2＝2x2－x2＝3x，∴CF＝3x，∵AB＝AE＋BE＝x＋3x，CD ＝DF＋CF＝x＋3x，AB＋CD＝(2＋23)x＝23＋2，∴x＝1，∴AB＝(3＋1)x ＝3＋1.。

中考数学专题知识点题型复习训练及答案解析(经典珍藏版)：17 解直角三角形

备考中考一轮复习点对点必考题型题型17 解直角三角形考点解析1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．五年中考1．（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）2．（2018•成都）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）3．（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．4．（2016•成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC＝20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）5．（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）一年模拟1．（2019•成华二诊）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）2．（2019•青羊二诊）如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3m，大门距主楼的距离是45m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是m．求：（1）学校主楼的高度（结果保留根号）；（2）大门上方A与主楼顶部D的距离（结果保留根号）3．（2019•龙泉二诊）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°，cos22°，tan22°）4．（2019•锦江二诊）成都市第十三次党代会提出实施“东进”战略，推动了城市发展格局“千年之变”成都龙泉山城市森林公园借“东进”之风，聚全市之力，着力打造一个令世界向往的城市中心，如图为成都市龙泉山城市豪林公园三个景点A，B，C的平面示意图，景点C在B的正北方向5千米处，景点A 在B的东北方向，在C的北偏东75°方向上．（1）∠BAC的大小（2）求景点A，C的距离（ 1.414， 1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，结果精确到0.1）5．（2019•武侯二诊）为了把成都建设成为一个美丽宜居的公园城市，近年来先后打造了白鹭湾湿地公园、天府公园等一系列生态公园．如图，某游客在点O处测得白鹭湾湿地公园A位于他的南偏东30°方向，测得天府公园B位于他的南偏东16°方向，且白鹭湾湿地公园A位于天府公园B的正北方向．若OB＝26千米，求游客从O点出发，沿OA方向去白鹭湾湿地公园A的距离OA的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）6．（2019•双流区二诊）如图，在大楼AB正前方有一长为20米的斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，小明在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E 在同一直线上．根据以上的测量数据，请求出大楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据： 1.414，1.732）7．（2019•金牛区二诊）成都市在地铁施工期间，交管部门计划在施工路段设高为3米的矩形路况警示牌BCEF（如图所示BC＝3米）警示牌用立杆AB支撑，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求立杆AB的长度（结果精确到整数， 1.73. 1.41）8．（2014•郫都一诊）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）9．（2019•郫都二诊）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）10．（2019•高新一诊）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为70m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D 处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°．求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．（参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60）．精准预测1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据： 1.414， 1.732， 2.449）3．如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AEM＝22°，在离建设物CD25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AFB＝45°（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：）4．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）5．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A 处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD 和大楼AC的高度吗？6．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C 港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．7．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里？（ 1.414， 1.732，结果精确到0.1海里）8．如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度为多少？（结果精确到1米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 1.73）9．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了cm．（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）10．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD ＝336米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长．（结果保留根11．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求A、B两观景台之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）12．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C 在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，（1）求B到C的距离；（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（ 1.732）．13．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为1：2．（1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；（2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）14．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：1.41， 1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）15．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据： 1.41， 1.73）备考中考一轮复习点对点必考题型题型17 解直角三角形考点解析1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．五年中考1．（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【点拨】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．【解析】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．2．（2018•成都）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【点拨】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．【解析】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4海里．答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．3．（2017•成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．【点拨】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．【解析】解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝42（千米），∵△BCD中，∠CBD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD＝2（千米），∴BC BD＝2（千米）．答：B，C两地的距离是2千米．4．（2016•成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，量出高度AB＝1.5m，测得旗杆顶端D的仰角∠DBE＝32°，量出测点A到旗杆底部C的水平距离AC＝20m，根据测量数据，求旗杆CD的高度．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【点拨】根据题意得AC＝20米，AB＝1.5米，过点B做BE⊥CD，交CD于点E，利用∠DBE＝32°，得到DE＝BE tan32°后再加上CE即可求得CD的高度．【解析】解：由题意得AC＝20米，AB＝1.5米，∵∠DBE＝32°，∴DE＝BE tan32°≈20×0.62＝12.4米，∴CD＝DE+CE＝DE+AB＝12.4+1.5≈13.9（米）．答：旗杆CD的高度约13.9米．5．（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【点拨】要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD AB＝100m，解直角△CEB，根据正弦函数的定义可得CE ＝BC•sin42°．【解析】解：在直角△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m，∴BD AB＝100m，在直角△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200m，∴CE＝BC•sin42°≈200×0.67＝134m，∴BD+CE≈100+134＝234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．一年模拟1．（2019•成华二诊）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）【点拨】如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM ＝ym．构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN ＝CM＝ym．在Rt△CEM中，∵tan∠ECM0.63，∴0.63 ①，在Rt△DEN中，∵tan∠EDN 1.47，∴ 1.47 ②，由①②可得y＝50，答：楼间距AB的长度为50m．2．（2019•青羊区二诊）如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3m，大门距主楼的距离是45m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是m．求：（1）学校主楼的高度（结果保留根号）；（2）大门上方A与主楼顶部D的距离（结果保留根号）【点拨】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后利用特殊角的三角函数即可求得学校主楼的高度；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数、勾股定理可以求得大门上方A与主楼顶部D的距离．【解析】解：（1）作EF∥BC交DC于点F，∵BC＝45m，∴EF＝45m，∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，∴tan30°，∴，解得，DE＝15，∵EB m，∴DC＝1516m，即学校主楼的高度是16m；（2）作AG∥BC交DC于点G，∵BC＝AG＝45m，AB m，DC＝16m，∴GC＝AB＝3m，∴DG＝16313m，∵∠AGD＝90°，∴AD2m，即大门上方A与主楼顶部D的距离是2m．3．（2019•龙泉二诊）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°，cos22°，tan22°）【点拨】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．【解析】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B，∴tan22°，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B，∴sin22°，∴AB32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．4．（2019•锦江二诊）成都市第十三次党代会提出实施“东进”战略，推动了城市发展格局“千年之变”成都龙泉山城市森林公园借“东进”之风，聚全市之力，着力打造一个令世界向往的城市中心，如图为成都市龙泉山城市豪林公园三个景点A，B，C的平面示意图，景点C在B的正北方向5千米处，景点A 在B的东北方向，在C的北偏东75°方向上．（1）∠BAC的大小（2）求景点A，C的距离（ 1.414， 1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，结果精确到0.1）【点拨】（1）由三角形的外角性质即可得出结果；（2）作CD⊥AB于D，如图所示：则∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，BC＝5，∠B＝45°，得出△BCD是等腰直角三角形，得出BD＝CD BC，在Rt△ACD中，∠A＝30°，得出AC ＝2CD，即可得出答案．【解析】解：（1）由三角形的外角性质得：∠BAC＝75°﹣45°＝30°；（2）作CD⊥AB于D，如图所示：则∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，BC＝5，∠B＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD BC，在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴AC＝2CD＝55×1.414≈7.1（千米）；答：景点A，C的距离约为7.1千米．5．（2019•武侯二诊）为了把成都建设成为一个美丽宜居的公园城市，近年来先后打造了白鹭湾湿地公园、天府公园等一系列生态公园．如图，某游客在点O处测得白鹭湾湿地公园A位于他的南偏东30°方向，测得天府公园B位于他的南偏东16°方向，且白鹭湾湿地公园A位于天府公园B的正北方向．若OB＝26千米，求游客从O点出发，沿OA方向去白鹭湾湿地公园A的距离OA的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【点拨】由题意得到AB∥OC，根据平行线的性质求得∠DAO＝∠AOC＝30°，则∠B＝∠BOC＝16°．所以通过解直角△BDO得到OD的长度；由含30度角直角三角形的性质求得OA的长度即可．【解析】解：根据题意，得AB∥OC．∴∠DAO＝∠AOC＝30°，则∠B＝∠BOC＝16°．在直角△BDO中，OB＝26千米，∠B＝16°．∴OD＝OB•sin B＝26×sin16°≈26×0.28＝7.28（千米）．在直角△ADO中，∠DAO＝30°．∴OA＝2OD＝2×7.28＝14.56（千米）．答：游客从O点出发，沿OA方向去白鹭湾湿地公园A的距离OA的长度约为14.56千米．6．（2019•双流二诊）如图，在大楼AB正前方有一长为20米的斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，小明在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．根据以上的测量数据，请求出大楼AB的高度．（结果保留整数，参考数据： 1.414，1.732）【点拨】过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设AB＝x米，根据矩形的性质得到DF＝EA，DE ＝AF，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设AB＝x米，则DF＝EA，DE＝AF，在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CD＝20米，∴DE＝10米，EC＝10米，∴AF＝10米，BF＝（x﹣10）米，在Rt△BCA中，∵∠BCA＝60°，AB＝x米，∴AC x米，在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，∠BDF＝45°∴BF＝DF＝AE＝EC+AC，∴x﹣10＝10x，解得x＝2030≈65答：大楼AB的高度约为65米．7．（2019•金牛二诊）成都市在地铁施工期间，交管部门计划在施工路段设高为3米的矩形路况警示牌BCEF （如图所示BC＝3米）警示牌用立杆AB支撑，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求立杆AB的长度（结果精确到整数， 1.73. 1.41）【点拨】设AB＝x米，由∠BDA＝45°知AB＝AD＝x米，再根据tan∠ADC建立关于x的方程，解之可得答案．【解析】解：设AB＝x米，在Rt△ABD中，∵∠BDA＝45°，∴AD＝AB＝x米，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝60°，∴tan∠ADC，即，解得：x4（米），答：立杆AB的长度约为4米．8．（2019•郫都一诊）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）。

(通用版)中考数学必考点提分专练 08 解直角三角形的实际应用(含解析)-人教版初中九年级全册数学试

|类型1| 两直角三角形在高线同侧1.[2019·襄阳]襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A 出发沿AC方向前进23.5 m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41)解:在Rt△ACB中，AC=121，∠A=37°，∴tan A=BCAC=BC121≈0.75，∴BC≈90.75，由题知AD=23.5，∴CD=AC-AD=97.5.在Rt△DCE中，∠EDC=45°，∴tan∠EDC=ECCD=1，∴EC=97.5，∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8.答:塔冠BE的高度约为6.8 m.2.[2019·某某]如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD=10米，山坡的坡度i=1∶√3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:√3≈1.73，√2≈1.41)解直角三角形的实际应用提分专练08解:过点D作DH⊥AB于点H，交AE于点F.作DG⊥BC于点G，则DG=BH，DH=GB.x米，设楼房AB的高为x米，则EB=√33∵坡度i=1∶√3，CD=10米，∴坡面CD的铅直高度DG为5米，坡面的水平宽度CG为5√3米，在Rt△ADH中，tan∠ADH=AH，DH∴DH=√3(x-5).x=√3(x-5)，∴5√3+10+√33解得x=15+5√3≈23.7(米).所以楼房AB的高度约为23.7米.3.[2019·宿迁]宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图3①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为32 cm，∠BCD=64°，BC=60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm.(1)求坐垫E到地面的距离.(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE'的长.(结果精确到0.1 cm，参考数据:sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)解:(1)如图①，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°， EC=BC+BE=60+15=75(cm)，∴EM=EC sin ∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，故坐垫E 到地面的距离为67.5+32=99.5(cm). (2)如图②所示，过点E'作E'H ⊥CD 于点H ，由题意知E'H=80×0.8=64(cm)，则E'C=E 'Hsin∠ECH =64sin64°≈71.1(cm)，∴EE'=CE-CE'=75-71.1=3.9(cm).|类型2| 两直角三角形在高线异侧4.[2019·某某]如图，A ，B 两个小岛相距10 km ，一架直升机由B 岛飞往A 岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的h km ，当直升机飞到P 处时，由P 处测得B 岛和A 岛的俯角分别是45°和60°，已知A ，B ，P 和海平面上一点M 都在同一个平面上，且M 位于P 的正下方，求h.(结果取整数，√3≈1.732)解:由题意得，∠P AB=60°，∠PBA=45°，AB=10 km ，在Rt △APM 和Rt △BPM 中，tan ∠P AM=ℎAM =√3，tan ∠PBM=ℎBM =1， ∴AM=√3=√33h ，BM=h.∵AM+BM=AB=10，即√3h+h=10，3解得h=15-5√3≈6.答:h约为6 km.5.[2019·某某]如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空:∠BAC=，∠C=；(2)求观测站B到AC的距离BP.(结果保留根号)解:(1)30°45°(2)设BP=x海里.由题意，得BP⊥AC，则∠BPC=∠BP A=90°.∵∠C=45°，∴∠CBP=∠C=45°，则CP=BP=x.在Rt△ABP中，∠BAC=30°，则∠ABP=60°.∴AP=tan∠ABP·BP=tan60°·BP=√3x，∴√3x+x=10，解得x=5√3-5，则BP=5√3-5.答:观测站B到AC的距离BP为(5√3-5)海里.6.[2019·某某]某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm，∠ADE=30°，DE=190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度.(结果精确到1 cm；温馨提示:sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)解:设OE=OB=2x，∴OD=DE+OE=190+2x.∵∠ADE=30°，∴OC=12OD=95+x，∴BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.∵tan∠BAD=BCAC ，∴2.14≈95-x40，解得:x≈9，∴2x=18，即OB的长度约为18 cm.|类型3| 其他类型7.[2019·某某]如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20√2n mile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C 恰好在点B的正北方向上，且相距50 n mile，又测得点B与小岛D相距20√5n mile.(1)求sin∠ABD的值；(2)求小岛C，D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值).解:(1)过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD=20√2，∠DAE=45°，∴DE=20√2×sin45°=20.在Rt△BED中，BD=20√5，∴sin∠ABD=EDBD =20√5=√55.(2)过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE=20，BD=20√5，∴BE=√BD2-DE2=40.易知四边形BFDE是矩形，∴DF=EB=40，BF=DE=20，∴CF=BC-BF=30.在Rt△CDF中，CD=√DF2+CF2=50，∴小岛C，D之间的距离为50 n mile.8.[2019·某某]在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC=78°，AC=10.小霞用5X这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②).(1)∠ABC=°；(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.(参考值:sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)①②解:(1)30[解析]∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠ABD=(5-2)×180°=108°，5∠DBG=∠BAC=78°，∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=30°，故答案为:30.(2)作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC=QC，AC∴QC=AC ·sin ∠QAC ≈10×0.98=9.8. 在Rt △BQC 中，∠ABC=30°， ∴BC=2QC=19.6， ∴GC=BC-BG=BC-AC=9.6.9.[2019·威海]如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC )为2米，高(EF )和宽都是1.6米.通过计算判断:当sin α=35，木箱底部顶点C 与坡面底部点A 重合时，木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部.解:∵BH=0.6，sin α=35，∴AB=BHsinα=0.635=1，∴AH=0.8.∵AF=FC=2，∴BF=1，作FQ ⊥BG 于点Q ，作EP ⊥FQ 于点P ，∵FB=AB=1，∠EPF=∠FQB=∠AHB=90°，∠EFP=∠FBQ=∠ABH ， ∴△EFP ∽△ABH ，△FBQ ≌△ABH ， ∴EP AH =EF AB，BQ=BH=0.6，即EP 0.8=1.61，∴EP=1.28，∴EP+BQ=1.88(米)<2米， ∴木箱上部顶点E 不会触碰到汽车货厢顶部.。

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。

中考专题复习解直角三角形（含答案）

中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。

4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。

5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。

7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。

第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。

依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。

2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。

(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。

⽤字母表⽰，即。

坡度⼀般写成的形式，如等。

把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。

【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。

中考数学总复习分层提分训练：等腰三角形与直角三角形含答案(以2010-2012年真题为例)

等腰三角形与直角三角形一级训练1．(2011年湖南邵阳)如图4－2－31所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝() A．40°B．50°C．80°D．100°图4－2－31 图4－2－32图4－2－332．(2011年浙江舟山)如图4－2－32，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为()A．2 3B．3 3 C. 4 3 D. 6 33．如图4－2－33，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为() A．50°B．60°C．30°D．40°4．(2010年广东深圳)如图4－2－34，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是()A．40°B．35°C．25°D．20°图4－2－34 图4－2－35 图4－2－365．(2012年山东济宁)如图4－2－35，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于()A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是()A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°7．已知在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是() A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞68．(2011年江苏无锡)如图4－2－36，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝_________cm.9．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．(2011年山东德州)下列命题中，其逆命题成立的是________(只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．11．如图4－2－37，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝______.图4－2－37 图4－2－3812．(2012年江苏淮安)如图4－2－38，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC ＝45°，BD＝102，AB＝20.求∠A的度数．13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为() A．75°或15°B．36°或60°C．75°D．30°14．(2012年贵州黔西南州)如图4－2－39，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE ⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为______．图4－2－39 图4－2－4015．(2011年山东枣庄)如图4－2－40，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________；(3)△ACD为________三角形，四边形ABCD的面积为________；(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是______．三级训练16．如图4－2－41，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为________．图4－2－41 图4－2－4217．(2011年湖北黄冈)如图4－2－42，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过点D作DE丄DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF 的长．1．C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.59．C10．①④ 11. 312．解：∵在直角三角形BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝ 102，∴BC ＝CD ＝10 .又∵∠C ＝90°，AB ＝20，∴∠A ＝30°.13．A 解析：三角形的高可在三角形内、三角形外，于是可得等腰三角形的顶角为30°或150°，故底角为75°或15°.14．10＋21315．解：(1)如图D11.图D11(2)2 55 5 (3)直角 10 (4)1216．817．解：连接BD ，如图D12.图D12 ∵在等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上的中点，∴BD ⊥AC ，BD ＝CD ＝AD ，∠ABD ＝45°.∴∠C ＝45°.∴∠ABD ＝∠C .又∵DE ⊥DF ，∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF .∴∠FDC ＝∠EDB .在△EDB 与△FDC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EBD ＝∠C ，BD ＝CD ，∠EDB ＝∠FDC ，∴△EDB ≌△FDC (ASA)． ∴BE ＝FC ＝3.∴AB ＝7，则BC ＝7. ∴BF ＝4.在R T △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42， ∴EF ＝5.。

中考数学总复习分层提分训练：图形的相似含答案(以2010-2012年真题为例)

图形的相似一级训练1．(2011年浙江台州)若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶16 2．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1,2,3,4B ．1,2,2,4C ．3,5,9,13D ．1,2,2,33．(2012年陕西)如图6－4－17，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ＝( )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4图6－4－17 图6－4－18 图6－4－19 图6－4－204．(2011年江苏无锡)如图6－4－18，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①、②、③和④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似 5．(2011年湖南怀化)如图6－4－19，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为( )A ．9B ．6C ．3D ．46．如图6－4－20，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1,0)，则E 点的坐标为( )A ．(2，0) B.⎝⎛⎭⎫32，32 C ．(2，2) D ．(2,2)7．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC ＝3，B ′C ′＝1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( )A ．5∶3B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶58．(2012年黑龙江牡丹江)如图6－4－21，在平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC ，边AD 分别交于点E 和F ，过点E 作EG ∥BC ，交AB 于点G ，则图中相似三角形有( )A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对图6－4－21 图6－4－229．如图6－4－22，已知在△ABC 中，P 是AB 上的一点，连接CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件____________(只要写出一种合适的条件)．10．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm ，那么较大三角形的周长为______cm.11．(2010年广东佛山)一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图6－4－23，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看(精确到1 cm)?⎝⎛⎭⎫参考数据：黄金分割比为5－12，5＝2.236图6－4－23 12．已知：如图6－4－24，D ，E 分别在△ABC 的边BC ，AC 上，AD ，BE 交于点G ，AD ⊥BC ，点F 在AD 上，且△EFG ∽△BDG . 求证：△AEF ∽△ACD .图6－4－2413．(2012年湖南株洲)如图6－4－25，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于点O . (1)求证：△COM ∽△CBA ；(2)求线段OM的长度．图6－4－25二级训练14．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值()A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个15．如图6－4－26，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接度量A，B间的距离．小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图6－4－26(1)、(2)、(3)所示(图中a，b，c表示长度，α，β，θ表示角度)．(1)请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：图6－4－26(1)AB＝________，图6－4－26(2)AB＝________，图6－4－26(3)AB＝________；(2)请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图(不要求写画法)，用字母标注需测量的边或角，并写出AB的长度．图6－4－2616．如图6－2－27，点C，D在线段AB上，△PCD是正三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；(2)当△ACP∽△PD B时，求∠APB的度数．图6－2－2717．如图6－4－28，江边同一侧有A，B两间工厂，它们都垂直于江边的小路，长度分别为3千米、2千米，且两条小路之间的距离为5千米，现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管最短，则供水站应建在距点E处多远的位置？图6－4－28三级训练18．(2011年湖南怀化)如图6－4－29，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为点M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求这个矩形EFGH的周长．图6－4－29参考答案1．A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C7.D8.C9．∠APC＝∠ACB10.1011．解：设其应穿x cm高的鞋子，根据题意，得6595＋x＝5－12.解得x≈10cm.12．证明：∵△EFG∽△BDG，∴∠EFG＝∠GDB.又∵∠ADC＝90°，∴∠EFG＝90°.在△AEF和△ACD中，∠AFE＝∠ADC，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.13．(1)证明：∵点A与点C关于直线MN对称，∴AC⊥MN.∴∠COM＝90°.在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠COM＝∠B.又∵∠ACB＝∠ACB，∴△COM∽△CBA.(2)解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∴OC＝5.∵△COM∽△CBA，∴OCCB＝OMAB.∴OM＝15 4.14．B15．解：(1)a·tanα2c b(2)(注：本题方法多种，下面列出3种供参考)方法一：如图D43.图D43 方法二：如图D44.图D44方法三：如图D45.图D4516．解：(1)当CD2＝AC·DB时，△ACP∽△PDB.∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°.∴∠ACP＝∠PDB＝120°.若CD2＝AC·DB，则根据相似三角形的判定定理，得△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时，∠APC＝∠PBD，∵∠PDB＝120°，∴∠DPB＋∠DBP＝60°.∴∠APC＋∠B PD＝60°.∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠BPD＝120°.17．解：如图D46，作出B关于河岸的对称点C，连接AC，则BF＋FA＝CF＋FA＝CA，根据两点之间线段最短，可知水站建在F处时，供水管路最短．易得△ADF∽△CEF.∴设EF＝x，则FD＝5－x.根据相似三角形的性质，得EFFD＝CEAD，x5－x＝23，解得x＝2.即EF＝2千米．故应建在距点E2千米处的位置．图D46 18．(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC.∴AMAD＝HGBC.(2)解：由(1)，得AMAD＝HGBC，设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得30－x30＝2x40，解得x＝12 ，即2x＝24.∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．。

2020-2021年中考数学提分训练第17讲解直角三角形

第17讲解直角三角形建议用时： 40分钟1．(2020·杭州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ， c ，则( B )A ．c ＝bsin BB ．b ＝csin BC ．a ＝btan BD ．b ＝ctan B2．(2020·聊城)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB 的值为( D )A.355B.175C.35D.45 第2题第3题3．(2020·黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A′B′的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A 端升高的高度为( B )A.4sin α米 B ．4sin α米 C.4cos α米 D ．4cos α米 4. (2020·重庆B 卷)如图垂直于水平面的5G 信号塔AB 建在垂直于水平面的悬崖边B 点处，某测量员从山脚C 点出发沿水平方向前行78米到D 点(点A ，B ，C 在同一条直线上)，再沿斜坡DE 方向前行78米到E 点(点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)，在点E 处测得5G 信号塔顶端A 的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，则信号塔AB 的高度约为( D )(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)A．23米B．24米C．24.5米D．25米5．(2020·娄底)如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cos α，阻力臂L2＝l·cos β，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是( A)A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定6. (2020·广元)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny，给出以下四个结论：(1)sin(－30°)＝－1 2；(2)cos2x＝cos2x－sin2x；(3)cos(x－y)＝cosxcosy＋sinxsiny；(4)cos15°＝6－2 4.其中正确的结论的个数为(C )A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2019·绵阳)在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝102，AC＝55，则△ABC的面积是________75或25______.8. (2020·黔西南州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC 上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为__23__．9．(2020自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为__62__米(结果保留根号)．第8题10．(2019·青海)如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为__43－4__.第10题第11题11．(2019·宿迁)如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__.12．(2019·营口)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，AC 与BD 交于点E ，AC ⊥BD ，则tan ∠BAC 的值是( C )A.14B.24C.22D.13第12题第13题13．(2020·天门)如图，海中有个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D 处，测得小岛A 在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD 为__202__海里．14．(2020·荆州)“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1 km.若tan ∠ABC ＝34，∠DEB ＝45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了__24__ km.15．(2020·遵义)某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD 的顶部A 处距地面高为2.2 m ，为了解自己的有效测温区间，身高1.6 m 的小聪做了如下实验：当他在地面N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B 处测得A 的仰角为18°；在地面M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C 处测得A 的仰角为60°.求小聪在地面的有效测温区间MN 的长度．(额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1 m ，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：延长BC 交AD 于点E ，则AE ＝AD －DE ＝0.6 m ．根据题意，得MN ＝BC ＝BE －EC，即MN＝AEtan18°－AEtan60°≈1.875－0.346≈1.5(m)．答：小聪在地面的有效距离MN的长度约为1.5 m.16．(2020·泰州)我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15 m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6 m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？(结果精确到1 m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36)解：由题意，∠ACE＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15，AB＝6.在Rt△BDE中，DE＝BEtan50°≈211.19≈17.647.在Rt△ACE中，CE＝AEtan23°≈150.42≈35.714.∴CD＝35.714－17.647≈18(m)．答：两次观测期间龙舟前进了18 m.17．(2019·铁岭)如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离(AB长)为16 m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D 在同一平面内．(1)求AB与CD之间的距离(结果保留根号)．(2)求建筑物CD的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0．6，tan 53°≈1.3，3≈1.7)解：(1)如图，作AM⊥CD于M.则四边形ABCM为矩形，∴CM＝AB＝16，AM＝BC.在Rt△ACM中，tan α＝CM AM，则AM＝CMtan α＝16tan 30°＝163(m)．答：AB与CD之间的距离163m；(2)在Rt△AMD中，tan β＝DM AM，则DM＝AM·tan β≈16×1.7×1.3＝35.36，∴DC＝DM＋CM＝35.36＋16≈51(m)．答：建筑物CD的高度约为51 m.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

解直角三角形
一级训练
1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则AC ＝( ) A ．6 B.323
C ．10
D ．12 2．(2012年山东青海)如图6－5－11，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )
A.45
B.35
C.34
D.43
图6－5－11 图6－5－12 图6－5－13
3．(2011年湖南衡阳)如图6－5－12，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( )
A ．10 m
B ．10 3 m
C ．15 m
D ．5 3 m
4．(2012年山东济南)如图6－5－13，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为( )
A.13
B.12
C.22
D ．3 5．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值( )
A ．不变
B ．缩小为原来的13
C ．扩大为原来的3倍
D ．不能确定 6．(2011年重庆江津)在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝12，sin A ＝________.
7．(2012年江苏常州)若∠α＝60°，则∠α的余角为______，cos α的值为 ______ .
8．(2011年湖北襄阳)在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC 方向开山修路(如图6－5－
14)，为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝1 000 m ，∠D ＝50°.为了使开挖点E 在直线AC 上，那么DE ＝______m(供选用的三角函数值：sin50°≈0.766 0，cos50°≈0.642 8，tan50°≈1.192)．
图6－5－14 图6－5－15 图6－5－16
9．(2011年内蒙古乌兰察布)某厂家新开发的一种电动车如图6－5－15，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 离地面的距离为1 m ，则该车大灯照亮地面的宽度BC 是________m(不考虑其他因素)．
⎝
⎛⎭⎪⎫参考数据：sin8°≈425，tan8°≈17，sin10°≈950，tan10°≈528 10．(2011年浙江衢州)在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，到A 地的北偏东60°
方向的C 处．他先沿正东方向走了200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图6－5－16)，由此可知，B ，C 两地相距________m.
11．(2011年甘肃兰州)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32
，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1的值．
12．(2011年广东汕头)如图6－5－17，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公
路l ，AB 是A 到l 的小路．现新修一条路AC 到公路l .小明测量出∠ACD ＝30°，∠ABD ＝45°，BC ＝50 m ．请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD (精确到0.1 m)．
(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
图6－5－17
二级训练
13．(2011年四川绵阳)周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图6－5－18，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A，B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10 厘米，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.73)．( )
图6－5－18
A．36.21 米 B．37.71 米 C．40.98 米 D．42.48 米
14．在△ABC中，∠C＝90°，若b＋c＝90，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．
15．(2011年安徽)如图6－5－19，某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1 500 m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长．(参考数据：3≈1.73)
图6－5－19
16．如图6－5－20，两座建筑AB及CD，其中距离AC为50米，在AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角α＝60°，求两座建筑物AB及CD的高(精确到
0.1米)．
图6－5－20
三级训练
17．如图6－5－21(1)为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图6－5－21(2)为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为5 m，每层楼高3.5 m，AE，BF，CH都垂直于地面．若EF＝16 m，求塔吊的高CH的长(精确到0.1 m)．
(1) (2)
图6－5－21
函数与平面直角坐标系
参考答案
1．A 2.C 3.A 4.A 5．A 6.512 7.30° 12 8.642.8 9．1.4 10.200
11．解：由sin(α＋15°)＝32，得α＝45°. 原式＝2 2－4×22
－1＋1＋3＝3. 12．解：设小明家到公路l 的距离AD 为x m.
在Rt△ABD 中， ∵∠ABD ＝45°，∴BD ＝AD ＝x .
在Rt△ACD 中， ∵∠ACD ＝30°，∴tan ∠ACD ＝AD
CD ，即tan 30°＝x x ＋50.
解得x ＝25(3＋1)≈68.3. 答：小明家到公路l 的距离AD 约为68.3 m.
13．D
14．解：在Rt△ABC 中，∠A ＋∠B ＝90°，又∵∠A －∠B ＝30°，
∴∠A ＝60°，∠B ＝30°. ∴b ＝12
c . 又∵b ＋c ＝90， ∴b ＝30，c ＝60. ∴a ＝b tan60°＝30 3.
15．解：∵OA ＝1 500×tan 30°＝1 500×33
＝500 3(m)， OB ＝OC ＝1 500 m ， ∴AB ＝1 500－500 3≈1 500－865＝635(m)．答：隧道AB 的长约为635 m.
16．解：在Rt△ABC 中， ∠ABC ＝90°－α＝30°， ∴AB ＝AC
tan ∠ABC ＝50
3
3≈86.6(米)．
∴EC ＝AB ＝86.6(米)．
在Rt△BDE 中， DE ＝BE ·tan β＝50×33
≈28.9(米)， ∴CD ＝DE ＋EC ＝28.9＋86.6≈115.5(米)．
答：两座建筑物AB ，CD 的高分别约为86.6米和115.5米．
17．解：根据题意，得
DE ＝3.5×16＝56，AB ＝EF ＝16.
∵∠ACB ＝∠CBG －∠CAB ＝15°， ∴∠ACB ＝∠CAB .
∴CB ＝AB ＝16. ∴CG ＝BC ×sin30°＝8.
∴CH ＝CG ＋HG ＝CG ＋DE ＋AD ＝8＋56＋5＝69(m)．
答：塔吊的高CH 的长为69 m.。