第5讲 空间关系

B A
meet (2)

B A

B A

空间关系的概念

空间关系是数字环境下空间认知、空间分析、空 间推理的前提和基础。空间关系包括
– 由空间物体的几何特性（如空间物体的地理位置与形 状）引起的空间关系，如：距离、方位、邻近、包含、 连通性、相似性等； –由空间对象的几何和非几何属性共同引起的空间关系， 如空间分布现象中的统计相关、空间自相关、空间相 互作用、空间依赖等。 –时间上的先后关系； –成因上的因果关系等。

交叉模型：
–4元组 –9元组模型 –基于Voronoi图的9元组模型（V9I）
交叉模型的内部、边界、外部的定义
全域X 边界A
内部A
补A-
对于二维简单面状目标而言，其边界A为连续曲 线，内部A应是连通的，且A为一个闭包， A∪A∪A-1 = X，X为整个连续空间 。
交叉模型的不包括的情况
当两个面状目标之间的拓扑关系由相离（disjoint）、相接（meet） 逐步地转化为部分重叠（partially overlap）时，与“补”有关的5 个交集均为非空
补在区分线\面关系中的作用
B A

B A

9元组 表达式

用空间物体A的边界（A）、内部（A）、补（A-） 与空间物体B的边界（B）、内部（B）、补（B-） 两两之间的交集，构成下式所示的空间关系描述 的9元组框架：
A B ( A, B ) Ao B A B
A B o
Ao B o A B o

contains



非简单线性目标举例
16种简单线状目标间的拓扑空间关系1
序 号 1 2
A
A B
图例
语义解释 A与B相离（不相交） A 的两边界点分别与 B 的两 边界点相接
4元组值
其它4元组值等 价图例
B



B A
A
B B
9
A
10
A A
B B
B A


11
A
12
B B
A
A
13
A B A B o o o o A B A B



简单语意解释
A的两个边界点与B的两个 边界点重合 A的一个边界点在B的一个 边界点上 A的两个边界点在B的内部





补在区分线\线关系中的特点
当两个简单线状目标具有相离、相接、穿 越（cross）和部分重叠关系时，与“补” 有关的5个交集均为非空 当一个线状目标落入另一个线状目标的内 部（如equal，cover）时，与“补”有关 的某些元素会为非空值，
a. 目标不连通
b. 目标为非闭包
四元组模型

四元组模型将空间目标看作是点集，利用 两个点集间边界、内部之间的交，构成如 下式所示的4元组：
R4I(A,B)=
A B o A B
A B o
A B
o o

其中A、A是目标A的边界和内部，B和B 是目标B的边界和内部。
A
A
B
A inside
B
disjoint

overlap

equal

cover-by
空间拓扑关系描述
陈军, 2002,Voronoi动态空间数据 模型
空间拓扑关系描述

交互模型：是运用空间目标的整体，而不是将目 标分解为更细的组成部分，去区分和定义空间关 系，最具代表性的是 Randell 等人提出的空间逻 辑（spatial logic）。
–缺点：需要预先假设目标间的可能的关系，不可能保 证完备性，但对每一种可能的关系，描述结果是唯一 的。
9元组比4元组能区分更多线\线关系
B A B
A
B
A
A
B
A
B
R4I(A,B)


R9I(A,B)


A
B
A
14
B

A
B B


A
B
15
A来自百度文库
16


B
A
A
B

基于边界、内部和外部的9元组

Egenhofer等（1991）提出将空间目标的 补（complements）引入空间关系描述框 架。其理由是，对于一个拓扑空间的点集A， 其边界（A）、内部（A）和补（A-）构 成整个拓扑空间，只有把补纳入拓扑空间 关系描述框架，才可能得到完备的拓扑空 间关系描述。
A B
Ao B A B
R9 I
9元组描述框架的特点

与4元组相比：
–9元组增加了A∩B-，A∩B-，A-∩B，A-∩B 和A-∩B- 5个与“补”有关的交集 –9元组所区分的面\面拓扑关系的数目与4元组 一样 –在描述两组线\线目标、线、面目标时，其描 述能力比4元组要强 ，9元组区分出33种不同 的线\线关系
B
6
A
B
7
A
B

16种简单线状目标间的拓扑空间关系2
8
B A B
A 的一个边界点与 B 的一个边界点相接， 且A的内部与B的内部相交 A的一个边界点与B的内部相接，且B的 一个边界点与A的内部相接 A的一个边界点与B的内部相接，且A的 内部与B的内部相交 B与A的内部重合 A 的一个边界点与 B 的一个边界点相接， A的另一个边界点与B的内部相接，且B 的另一个边界点与A的内部相接， A 的一个边界点与 B 的一个边界点相接， A的另一个边界点与B的内部相接，且A 的内部与B的内部相交 A的边界点与B的内部相接，B的一个边 界点与A的内部相接，且A的内部与B的 内部相交 A 的一个边界点与 B 的一个边界点相接， A的另一个边界点与B的内部相接，且A 的内部与B的内部相交 A 的一个边界点与 B 的一个边界点相接， A的另一个边界点与B的内部相接，B的 另一个边界点与 A 的内部相接，且 A 的 内部与B的内部相交

–与“补”有关的交集发挥作用
补在区分线\线关系中的作用
A B A B A B meet (2)

B A cross

A
B overlap
A equal
B
B
A

四元组模型对线目标的内部、边界的定义
边界A
内部A 外部A-1
简单线状目标应满足以下条件：
(a) 有且仅有两个端点，A={pa, pb}，且pa≠pb (b) 边界A与内部A不相交，即A∩A=。 (c) 内部A与A不相交，即A∩A=。
B A
B cover
disjoint

meet (1)


A
3
A
B

B

补在区分面状目标间空间关系的作用
A B A meet

B
A
B
A
B
A
B
B cover
空间关系
周 晓 光
Zxg@mail.csu.edu.cn
测绘与国土信息工程系
内 容

空间拓扑关系的描述
– 四元交模型（4I模型） – 九元交模型（9I模型） – 基于Voronoi图的九元交模型（V9I模型）

空间拓扑关系的表达 空间拓扑关系的计算与查询 时空拓扑关系及其应用 空间方向关系的描述
A B A B o o o o A B A B
A B B A A A B
3
A
B
A 的一个边界点与 B 的内部 相接 B 的一个边界点与 A 的内部 相接
4
A B
5
A B
A的内部与B的内部相交
A 的一个边界点与 B 的一个 边界点相接，且 A 的另一 个边界点与B的内部相接 B 的一个边界点与 A 的一个 边界点相接，且 B 的另一 个边界点与A的内部相接


9员组模型区分了33种线\线目标之间的空间拓扑关系
在4元组下不能区分、在9元组下可以区分的线与线关系示例
编 号
1
A
图示
B
4元组取 值
9元组取值
A B B

2
A
B
A



A的一个边界点在B的内部 B的两个边界点在A的内部 B的一个边界点在A的内部
4元组区分的简单面域间的8种空间拓扑关系
序号 1 图例
A B
语义解释 A、B相离（不相交）
4元组值




A B A B o o o o A B A B
2
3 4 5 6 7 8
A
A B A B A
B B A B A
A、B相接
A、B相等 A 包 含 于 B， 且 两 者 边 界不交 A 包 含 B， 且 两 者 边 界 不交 A 包 含 于 B， 且 两 者 边 界相交 A 包 含 B， 且 两 者 边 界 相交 A、B部分重叠