特殊的锐角三角函数值
人教版九年级下册28.1特殊角的锐角三角函数值教学设计
作业要求：
1.学生需独立完成作业，诚实守信，不得抄袭。
2.解题过程要求步骤清晰，书写规范。
3.小组合作题需充分发挥团队合作精神，共同完成。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
4.通过对特殊角的锐角三角函数值的学习，培养学生对数的敏感性和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等教学活动，引导学生自主发现特殊角的锐角三角函数值规律，培养学生自主学习的能力。
2.运用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生通过合作、探究、讨论等方式，深入理解特殊角锐角三角函数的概念和计算方法。
针对学生的困惑，我会进行有针对性的解答，巩固学生对知识的理解。最后，强调特殊角的锐角三角函数值在实际生活中的应用，提高学生的应用意识，为后续学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角的锐角三角函数值的学习，确保学生能够熟练掌握并运用到实际中，我设计了以下几类作业：
1.基础巩固题：布置一些基本的计算题，要求学生熟练掌握特殊角的正弦、余弦、正切值，并能快速准确地计算出结果。
学生在讨论过程中，可以相互提问、解答，共同探讨特殊角锐角三角函数值的规律。我会巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每个小组汇报讨论成果，共同分享学习心得。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计不同难度的题目，让学生独立完成。题目包括基础题、提高题和应用题，旨在检验学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将结合学生的生活经验，提出一个与学生实际相关的问题：“同学们，在我们的日常生活中，如建筑设计、制作家具等，经常会遇到各种角度的测量问题。那么，如何才能快速、准确地计算出这些角度的三角函数值呢？”通过这个问题，激发学生的好奇心，引导学生思考。
每一个角度的三角函数值表
（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。
特殊锐角三角函数值
特殊锐角三角函数值三角函数是一种重要的函数，可用来描述任意角度的实际运动、振动，以及各种复杂的数学关系。
它是一种多用途函数，能够把圆周运动变成直线运动，也可以用来求解振动、空气流动、电磁波传播等问题。
它也可以用来描述三角形的形状，以及多边形的形状。
三角函数在运算中有一个重要的性质，就是它可以在锐角处有很好的表达能力。
锐角是指两个直线之间较小的夹角，一般被划分为45°、30°、60°。
三角函数的特殊锐角值是指三角函数在特殊锐角（45°、30°、60°）处的值，它们出现的频率非常高。
下面是特殊锐角的三角函数值表：45°：sin45°=0.707，cos45°=0.707，tan45°=130°：sin30°=0.500，cos30°=0.866，tan30°=0.57760°：sin60°=0.866，cos60°=0.500，tan60°=1.732 这些特殊锐角三角函数值在数学中有着广泛的应用，它们可用于解决各种复杂的数学关系和运算问题。
例如，有一个包含60°锐角的三角形，那么它的两条直角边的边长比例可以用特殊锐角的三角函数值求出来，即a:b=sin60°:cos60°，即a:b=0.866:0.500。
此外，这些特殊锐角三角函数值还可用于求解另一个角度，例如给出一个等腰三角形的其中一个边长为a，另外一条边长为b，此时可以用特殊锐角三角函数值来求出它们之间的夹角，即tanα=a/b。
另外，特殊锐角三角函数值也可以用来求解特殊三角形，例如等腰直角三角形，它的两个直角的锐角值均为45°，然后可以利用三角函数特殊锐角值来求出等腰直角三角形的边长等相关数据。
总之，特殊锐角三角函数值对于数学的应用非常重要，它们既可以用来求解复杂的数学关系，也可以在求解三角形等几何问题时产生相当大的帮助，是数学中一种重要的参考值。
特殊锐角三角函数值
特殊锐角三角函数值
特殊锐角三角函数是指不完全属于圆角三角函数范畴的三角函数值，它们被称为特殊三角函数，并与圆角三角函数和不完全圆角三角函数构成一个完整的三角学框架。
特殊圆角三角函数的范围覆盖从0°到90°的角度，包括30°、45°、60°等特殊角度；但它们与一般圆角三角函数不同，在某些特殊角度上可以得到比圆角三角函数更精确的解。
特殊圆角三角函数一般指不对称的三角函数值，而不是对称的三角函数值。
对称的三角函数值包括正弦、余弦和正切，它们可以由180°、270°或360°旋转得到，因此可以使用0°~360°的角度来表示这些值。
非对称的三角函数值如锐角正切，它不能通过180°、270°或360°的旋转得到另一个值，仅能提供特定的特殊的角度的三角函数值。
正因如此，以上特殊角度的三角函数值可由特殊圆角三角函数表示：
•上正弦（Sin）：sin 30° = 0.5;
•上锐角正切（Cot）：cot 30° = 1.732;
•辅锐角正割（Sec）：sec 60° = 2。
特殊锐角三角函数在许多领域都有着广泛的应用，特别是在计算几何、机械、建筑和航海等工程技术领域。
它们的主要作用是用来解决三角函数方程及其他各种应用中的各种概念分析问题。
此外，它们在解决其他工程和数学问题方面更是尤为可观，如矩阵、经济学、建筑和微积分等。
锐角三角函数特殊三角函数值教案
28.1锐角三角函数（第三课时）——特殊角三角函数值板书设计例2：课后反思1、三角函数值的记忆。
2、三角函数值的表示方法。
3、三角函数值的求法（必须放在直角三角形中）。
教学过程设计2+；60sin6045-．tan4545．本课时练习1求下列各式的值：课题 30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 二、教学重点、难点重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 三、教学过程 （一）复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即01sin 302=，02sin 452=你还能推导出0sin 60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？ （二）实践探索1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30° cos45° tan60° 归纳结果30° 45° 60° siaA cosAtanA（三）教学互动 例 求下列各式的值：（1）00020245sin 30sin 245cos 60cos ++ （2）00000000cos 60sin 45cos 60cos 45cos 60sin 45sin 30cos 45+-+-+解 （1）原式=22212222122⨯⨯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛45212141=++=（2）原式=22321212221222122212221--=-+=+-+-+说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。
特殊锐角三角函数
4．当锐角A>45°时，sinA的值（ A．小于 C．小于 B2 ．大于 D．大于
）
B
2
2 2
3 2
5．当锐角A>30°时，cotA的值（ A．小于 C．小于 ）
3 2
C
1 B．大于 2
3 2
D．大于
1 2
3 2
6．计算：
(1) 2sin30°+3cos30°+cot45°
3 3 2 2
3 3 4 2
解：
2 2
3 2 5 (1)cos 30 sin 45 ; 2 2 4
cos 30 3 3 (2) cot 45 1 0. sin60 2 2
例3
求下列各式的值 : cos 450 0 (2) tan 45 sin 450
a
b
C
课堂小结
1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数，统称为 锐角∠A的三角 函数． 2．30°、45°、60°角的三角函数值． 3．锐角α的三角函数值的取值范围 ． 正弦 余弦 0＜ sinα＜1 0＜ cosα＜1 正切 余切 tanα>0 cotα>0
4．三角函数的增减性： sinα、tanα随着自变量α的增大而增大 cosα、cotα随着自变量α的增大而减小
5．三角函数的几个重要关系式
tanα•cot（90°-α） =1 sin2 α +cos2 （90°-α） =1 sinα= cos（90°-α） cosα= sin（90°-α） tanα= cot（90°-α） cotα = tan（90°-α）
随堂练习
1．当∠A为锐角，且tanA的值大于 时，∠A（ ） D
28.1.1锐角三角函数---特殊的三角函数值
？
思考
两块三角尺中有几个不同的锐角? 两块三角尺中有几个不同的锐角? 分别求出这几个锐角的正弦值余弦值正 切值． 切值．
设图中，每个三角尺较 短的边长为１，利用勾股 定理和三角函数的定义可 以求出这些三角函数值．
300、450、600角 的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:
三角函数 正弦sinα 锐角α
0 ’ ” 键,进一步得到 还可以利用 2nd F 07’08.97 这说明锐角A精确到1 的结果为 08.97”( ∠ A=30007 08.97 (这说明锐角A精确到1’的结果为 的结果为30 9 ). 3007’,精确到1”的结果为3007’9”). ,精确到1 的结果为
怎样验算求出 ∠A=3007’9”的 是否正确?
例4.(1)如图,在Rt△ABC中, 4.(1)如图, Rt△ABC中 如图 ,BC=√3,求 的度数. ∠C=900,AB=√6 ,BC=√3,求∠A的度数.
解: (1)在 中 图 ， BC 3 2 Qsin A = = = AB 2 6 0 ∴∠A = 45
(2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 如图 AO OB的 OB的√3倍,求α.
B 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦( 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切( 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个 锐角的余切等于它的余角的正切); 锐角的余切等于它的余角的正切); A c a b ┌ C
例4.(1)如图,在Rt△ABC中, 4.(1)如图, Rt△ABC中 如图 ,BC=√3,求 的度数. ∠C=900,AB=√6 ,BC=√3,求∠A的度数. (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 如图 AO OB的√3倍,求α. OB的
特殊角的锐角三角函数值
2
300
2
450
450
(7)tan450,tan600等于多少?
1
600
3
1
┌
1
┌
根据上面的计算,完成表格: <特殊角的锐角三角函数值表>
特殊角的锐角三角函数值表
锐角 A
锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
特殊角的锐角三角函数值表
找找规律， 记住它！
锐角 A
锐角三角函数 sin A cos A tan A
• 课本P67练习，1、2题
等腰三角形腰长为10厘米，顶角 是120°，则三角形底 边长 10 3 厘 米 ，面积是 25 3 平方厘米 。
怎样 做？
看谁做得快！
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为３0°, 高为7米, 扶梯的长度是多少? ?
30°
7米
1、课本P69 习题28.1 第3题
2
300
0
tan 60 3
0
2、角A是多少度？
1 sin A 0 2 30
3 cos A 2 0 30 2 cos A 0 2 45
2 sin A 0 45 2
3 sin A 0 2 60
tan A 1 0 45
3 tan A 0 3 30
1 cos A 0 2 60
tan A 3 0 60
2
450
450
1
600
3
┌
┌
1 锐角 A
锐角三角函数
1
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
解：在右图中，
特殊的锐角三角函数值
sin a12来自322
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
3
1
3
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。
布置作业
祝同学们学习进步！ 再见
知识点一
B D
典例精析
例2 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB 6,BC 3
B
，求∠A的度数;
6
3
A
C
精品课件
典例精析
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，
AO= 3 OB， 求 的度数.
A
O
B
精品课件
知识点二 C
C
60° 60°
直角
典例精析
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊的锐角三角函数值
学习目标
运用三角函数的概念，自主探索， 1
求出30°、45°、60° 角的三角函 数值；
2 熟记三个特殊锐角的三角函数值， 并能准确地加以运用.
∠A的对边
sinA
B
斜边
斜边
cosA
∠A的对边
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
∠A的对边
tanA
∠A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
如下表：
仔细观察,说说你
发现这张表有哪些规律?
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
特殊角的锐角三角函数值
特殊角的锐角三角函数值
锐角三角函数是一类可以用来描述特殊角（如90度、180度等）的三角函数。
它们通常是正弦、余弦和正切函数，它们可以在特定环境中执行非常有用的任务，比如将角度转换为符号及其对应的值，建立数学模型等等。
正弦函数用以描述特殊角的正弦值，是把给定角度的正弦值以数值的形式表示出来。
一般地说，正弦值表示角度所偏离0°的角度范围，其中0°被定义为0s，90°为1s，180°为0s，270°为-1s，360°又回到0s。
也就是说，可以通过正弦函数映射出角度对应的正弦值。
另一个锐角三角函数是余弦函数，其作用是计算特殊角的余弦值。
余弦值也是一个数值，表示角度与水平面之间的夹角，即它表示角度的偏移从0度到90度的距离。
它的取值范围也同样为0~1，其中0度的余弦值为1，90度的余弦值为0，180度的余弦值又回到1。
余弦函数可以帮助我们描述特殊角度对应的角度范围及其余弦值。
3.22锐角三角函数特殊角的三角函数值
你想知道小明怎样 算出的吗？
?
30°
1.65米 10米
例3、(1)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB= 6 ,BC= 3 。求∠A的度数。 (2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半 径OB的 3 倍,求α.
B
6
A
3
A
C
O
B
(1)
(2)
知识的升华
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. 求证:sin2A+cos2A=1
28.1锐角三角函数（3）
——特殊角的三角函 数值
B
∠A的对边
sinA 斜边
斜边 ∠A的对边
cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
仔细观察,说说你发现 这张表有哪些规律?
思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别 求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值。
30° sinα cosα tanα
1 2
3 2
45°
2 2 2 2
60°
3 2
1 2
3 3
1
3
例1、求下列各式的值. (1) cos260°+sin260°
(2) cos45 sin45
1
Cos² 60°表示 （cos60°）² ， 即（cos60°） ×（cos60°）
-tan45
解：（1）cos² 60°+sin² 60°
=（ =1； ）²（ 2 ）² + 2
3
（2）cos 45 tan 45
sin 45
=
三角函数特殊角值表
三角函数特殊角值表1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出：in30°=co60°=12in45°=co45°=22tan30°=cot60°=221tan45°=cot45°=132213451601说明：正弦值随角度变化，即030456090变化；值从031变化，其余类似记忆．23、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜＜90°时，则0＜in＜1；0＜co＜1；tan＞0；cot＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则inA＜inB；tanA＜tanB；coA＞coB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜＜45°，则inA＜coA；tanA＜cotA若45°＜A＜90°，则inA＞coA；tanA＞cotA．4、口决记忆法：观察表中的数值特征正弦、余弦值可表示为m形式，正切、余切值可表示为形式，有关m的值可归纳成23顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．巧记特殊角的三角函数值初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。
若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。
仔细观察表1，你会发现重要的规律。
表1中，三角函数值的前三行，分子被开方数排列特征依次为“1，2，3，3，2，1，3，9，27”。
“一二三，三二一，三九二十七”。
记此歌诀即可。
观察表2也可发现重要的规律。
表2中，弦函数分子被开方数分别为1，2，3，3，2，1，分母都是2；切函数分子的幂指数分别是1，2，3，3，2，1，分母都是3。
据此概括歌诀为：“一二三，三二一，弦内切外莫忘记。
锐角三角函数
∠∂的邻边 cos ∂ = 斜边 ∠∂的对边 tan ∂ = ∠∂的邻边
∂ 表示.
A
∂
B
C
把 sin ∂、 ∂、 ∂叫锐角∂的三角函数 cos tan
2.特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
C B
14.在Rt △ ABC中, ∠ C=900,下列式子不一定成立的是 A.sinA=cosB B.cosA=sinB A+ B C C. sin D.cosA=cosB = sin 2 2 15.下列说法中,正确的是( ) A.若a为锐角,则0<sina<1 B.已知tana= 3 ,则锐角a=300 C.tan300+tan450=tan(300+450) D.在Rt △ ABC中, ∠ C=900,则BC=ACtanA
3 8.已知关于x的方程, x − x tan ∂ + = 0 4 有两个相等的实数根,
2
则锐角为
.
9.已知∠ A为锐角,则sinA+cosA值一定 A.大于1 B. 小于1 C.等于1 D.无法确定
10.已知△ ABC的三边长分别为9,40,41,则其 最小锐角的正弦值为 . 11.已知一个直角三角形的两边分别为3和4, 则其最小锐角的正切值为 . 12.已知00<A<450,,则sinA,cosA,tanA大小关系 为 . 13.在△ ABC中, ∠ C=900,CD⊥AB于D, 如图,AC=3,AB=5 A D 则tan ∠ BCD= .
5.计算：sin210+sin220+sin230+---+sin2880+sin2890
九年级下册数学28.1特殊角的锐角三角函数值
推进新课 知识点1 特殊角的三角函数值
探究
60°
30°
45°
45°
1 这两块三角尺的锐角分别等于多少度？
探究
2 每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系? （设最短的边为a）
2a
30° 3a
60°
a
a
a
45°
45°
2a
思考 你能根据前面的计算填出下表吗？
锐角 锐角A 三角函数
sin A
cos A
tan A
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
得到tan30°36'结果
提问
若已知某锐角的三角函数值，能否用计算器求 出该锐角的度数呢？
若sin A=0.5018.
2nd F
sin键 °′″
输入函数值0.5018 得到结果
练习 3.用计算器求下列锐角三角函数值：
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
（3）(cos230°+sin230°)×tan60°. 3
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 7，
AC= 21 ，试求∠A，∠B的度数。
A
解：tanA
BC AC
7 21
1 3
3 3
tanB
AC BC
3
21
∴∠A＝30°，∠B＝60°. C
解：sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= 3，
2
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
特殊的锐角三角函数课件
正弦函数是周期函数，具有周期性。
余弦函数的公式和定理
定义
余弦函数是直角三角形中一个锐角的邻边的长度与斜边的 长度的比值。
公式
cos(α) = adjacent / hypotenuse
定理
余弦函数是周期函数，具有周期性。
THANKS
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问题。
余切函数的图像
01
定义
余切函数是以角度为自变量，以直角三角形邻边与对边的比值为函数值
的函数。
02 03
图像特点
在直角坐标系中，余切函数的图像也是一条在区间(-∞,+∞)内的连续曲 线，并且在π/2+2kπ(k∈Z)处取得极大值，在-π/2+2kπ(k∈Z)处取得 极小值。
应用
在数学和工程领域，余切函数经常用于解决与三角形和多边形有关的几 何问题。
tan(x) = 对边长度 / 邻边长度
定义域
值域
在直角坐标系中，正切函数的定义域是{x | x ≠ kπ + π/2， k ∈ Z}，即除了kπ + π/2 以外的所有实数。
正切函数的值域是全体实数，即R。
余切函数定义
余切函数定义
余切函数（cotangent） 是指直角三角形中，一个 锐角的邻边与对边的比值 。记作cot(x)，其中x是一 个锐角。
正弦函数的图像
01
02
03
定义
正弦函数是以角度为自变 量，以单位圆上点的纵坐 标为函数值的函数。
图像特点
在直角坐标系中，正弦函 数的图像是一条在区间[1,1]内的连续曲线，周期 性重复且具有对称性。
应用
在物理和工程领域，正弦 函数经常用于处理振动、 波动等问题。
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30°
cos30o 3a 3
2a 2
tan30o a 3 3a 3
60° 45°
sin60o 3a 3 2a 2
cos60o a 1 2a 2
tan60o 3a 3 a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin45o a 2 2a 2
cos45o a 2 2a 2
对于任何一个锐角α ，有 0＜sin A ＜1， 0＜cos A ＜1，tan A ＞0，
活动1
两块三角尺中有几 个不同的锐角？分别求 60°
出这几个锐角的正弦值、 余弦值和正切值．
30° 45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝ 2a2 a2 3a
sin30o a 1 2a 2
cos45 sin45
tan45
知识点一
B D
典例精析
例2 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB 6,BC 3，求∠A的度数;
B
6
3
A
C
.
典例精析
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，
AO= 3 OB， 求 的度数.
A
O
B
.
知识点二 C
C
60° 60°
直角
典例精析
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
tan 45o a 1 a
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
如下表：
仔细观察,说说你发现
这张表有哪些规律?
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
典例精析
例1求下列各式的值：
cos260°＋sin260°
B
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tanAsinA;tanA 1
cosA tanB
3.求证：sin2Acos2A1 A
C
sin2AsinA sinA
.
知识点三
解：如图，在Rt△OBD中，依题意：OB=OC=4，CD=2，
∴OD=2， 1
∴cos∠DOB= ,
∴∠DOB=60°,2
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊的锐角三角函数值
学习目标
运用三角函数的概念，自主探索， 1
求出30°、45°、60° 角的三角函 数值；
2 熟记三个特殊锐角的三角函数值， 并能准确地加以运用.
∠A的对边
sinA
B
斜边
斜边
cosA
∠A的对边
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边 C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
又OA=OB，OD⊥AB， ∴∠AOB=120°，即秋千摆动的角度为120°.
10.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一 个根，求2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°）的值 ．
.
课堂小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
30°
45°
60°
三角函数
sin a
1
2
3
2
2
2
c
2
tan a
3
1
3
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。
布置作业
祝同学们学习进步！ 再见