论微积分的哲学原理

论微积分的哲学原理
亮笔
“哲学不应当从自身开始。

而应当从它的反面，从非哲学开始”①。

自然科学是哲学的基础。

数学、物理学、化学、生物学、天文学等等，蕴含着极其丰富哲学思想。

微积分是研究变数的科学。

从本质上看是辩证法在数学上的运用。

因此，微积分中的哲学思想比起初等数学更丰富、更明显。

如果将其全部抽象出来，可以构成一部完整的自然哲学。

本文试从微积分与现实世界的关系及其辩证内容略作粗浅探讨。

关于微积分的本原问题
微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。

唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。

唯心主义认为纯数学产生于纯思维。

它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。

杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表②。

牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。

他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。

各自独立地创立了微积分。

这个功劳是应该肯定的。

但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。

其运算出发点是先验的。

所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”③。

唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学。

恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”④微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。

生产实践对微积分的创立起着决定的作用。

从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。

到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。

随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。

它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。

微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。

这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。

二是求曲线的切线。

三是求函数的极大值、极小值。

四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题。

上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。

其中的量都在不断变化着。

因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。

生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。

于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经《解释几何》这个“助产婆”的接生“而分娩了”。

所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。

有了变数，运动进入了数学。

有了变数，辩证法进入了数学。

有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了”⑤
微积分不仅是适应生产和科学发展需要的产物。

而且，它的概念、运算法则、定理、推论等在客观世界中都各有其现实的原型。

微分与积分的现象在自然界中普遍存在。

自然界的蒸发与凝结过程，就是微分与积分及其相互转化的辩证过程恩格斯是这样描述自然界中的微分与积分现象及其矛盾的相互转化：
“如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度x就减少了dx。

这样一层分子又
一层分子继续蒸发，事实上就是一个连续不断的微分。

如果热的水蒸汽在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子一层又一层地积累起来。

，直到容器满了为止。

那么这里就真正进行了一种积分。

这种积分和数学的积分不同地方只在于：一种是由人的头脑有意识地完成的。

另一种是由自然界无意识地完成的。

”⑥
不仅如此。

自然界中的微分、积分过程还表现在机械运动与热运动的相互转化；分子的分解与化合；物质的构造等多个方面。

当机械运动转化为热，即转变为分子运动的时候，宏观的机械运动被微分了。

反过来，当水蒸汽的分子在蒸汽机的汽缸中积累起来，把活塞举高一定的距离，这时热运动又变成了宏观的机械运动，它是一个积分的过程。

在化学反应中表示物体分子组合的一切化学方程式，就形式来说是微分方程式。

这些方程式实际上是表示这些分子的原子量而积分起来了。

以上说的是一次微分的情况。

高次微分是否也有其现实原型呢？结论是肯定的。

我们从微商的力学意义中知道：瞬时速度U（t）是路程函数S（t）的一阶微商，即U（t）=S’（t）;加速度a（t）又是速度函数U(t)的微商，也是路程函数S(t)微商的微商，称之为二次微商，即a(t)=S"(t)。

根据自然辩证法和现代物理学的观点。

自然界是由无数个层次组成的系统。

按其质量的相对的大小可作如下排列：。

总星系——恒星系——太阳系——地球上的物体——分子和原子——基本粒子。

如果我们把前一个层次当作一个原函数看待，那么后一个层次便是微分所得到的“导数”或称“微商”。

这样连续地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx²；三次微分dx³。

直到n次微分dxｎ。

由此看出高次微分处处有自己的原型。

它与物质世界的各个层次建立了一一对应关系。

物质是无限可分的。

微分过程也是无限的。

物质不灭，微分不止。

这就是微积分同物质世界的对应关系。

微分或积分的过程正是反映了物质的不同层次之间物质形态的相互转化和运动形态的相互转化。

我们肯定微积分的客观基础，并不否认纯思维对纯数学的能动作用。

微积分来源于客观世界。

但这种反映不是消极被动的。

人的意识具有主观能动性和相对独立性。

微积分作为一种科学理论，它属于意识范畴，同其他科学一样，当它从客观世界中抽象出来后，就和现实世界相脱离，作为某种独立的东西，而与现实世界相对立，并在自己的领域中开始独立的矛盾运动。

它通常可以不受来自外部的明显影响，而凭借经验的摸索，借助逻辑的方法，巧妙地开发出数学“王国”中丰富的宝藏。

微分三角形就是思维能动性的自由创造。

，是一种幻想的量。

所以列宁说：“在数学上也是需要幻想的，甚至没有它就不可能发明微积分”⑦。

唯心主义者抓住这一点大做文章，鼓吹微积分是数学家的“天才”头脑的产物。

他们不懂得思维与存在的辩证关系，不懂得思维的独立性依然要以现实客观为基础。

科学的幻想不是胡思乱想，需要凭借经验的摸索。

前面谈到的微分三角形，它是在处理差分三角形经验的启示下，通过思维的加工制作，才创造出一种处于纯粹状态的微分三角形。

所以，微积分的高度抽象，不但没有掩盖它起源于现实的本质，反而更深刻地反映着现实。

它使人们逐步揭示了事物量的关系的本质联系。

反映各种不同类型的具体对象中量的共同规律，从而使微积分广泛地运用到各种不同的具体对象中去。

比如：
F(x)-F(x0)
F′(x)== lim -------------
ｘ→ｘ0 ｘ-ｘｏ
这一抽象的形式可以刻划物体运动瞬时速度，也可以刻划切线的斜率、物质的比热、电流的强度。

又如双曲线偏微分方程，在弹性力学中描写震动，在流体力学中描写流体动态，在声
学中表现为声压方程，在电学中表现为电报方程。

双曲线偏微方程，反映着这些不同对象在数量上的共同属性。

正如列宁说的：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似'中。

”⑧因此，微积分的高度抽象性不是离现实世界愈来愈远，而是对现实世界认识愈深，揭示了多样性物质世界的统一性。

物质不是无限可分的吧。

到夸克为止，也仅仅是“感觉”到，而不是“观察”到。

小到10^-36数量级，已经是无法观察了。