高三数学复习考试中档题7

中档题7

一、填空题

1．设集合{}2120A x x x =+-=，集合{}

10B x kx =+=，如果A B A ⋃=，则由实数k 组成的集合中所有元素的积等于 . 2．若复数

()3,12a i

a R i i

-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知向量()2,1,10,5

2=+==

a b a b a g ，则=b .

4．若命题“,x R ∃∈使2

(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 5.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值()

*

n N ∈，且

79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .

6．已知函数()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，若()2f x ≤恒成立，则a b +的最大值为 .

7．过点()3,4C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12r r = . 8．如图，已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且30BAC ∠=o

，,M N 分别在棱AC AD 和上，则

BM MN NB ++的最小值为 .

二、解答题

9．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式

2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.

（1）求角C 的最大值

（2）若角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小.

10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，

PA PD =,且PD 与底面ABCD 所成的角为45o .

（1）求证：PA ⊥平面PCD

（2）已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点

Q ，使//EQ 平面PBC ？若存在，证明你的结论；若不存

在，试，说明理由.

11．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x 元

()911x ≤≤时，一年的销售量为

48

5

x -万件，并且全年该药品需支付2x 万元的宣传及管理费.

（1）求该医药公司一年的利润L （万元）与每件药品的售价x 的函数关系式；

（2）当每件药品的售价为多少元时，该公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.

12．已知曲线2

21:14

y C x +=与曲线22:1C y x =-，设点()()000,0P x y y >是曲线1C 上任意一点，直线

0014y y

x x +=与曲线2C 交于,A B 两点. （1）判断直线0014

y y

x x +=与曲线1C 的位置关系；

（2）以,A B 两点为切点分别作曲线2C 的切线，设两切线的交点为M ，求证：点M 到直线1:220l x y --=与2:220l x y ++=距离的乘积为定值.

13．设函数)(x f 的定义域为M ，具有性质P ：对任意M x ∈，都有

)1(2)2()(+≤++x f x f x f .

（1）若M 为实数集R ，是否存在函数),1,0()(R x a a a x f x

∈≠>= 具有性质P ，并说明理由；

（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意M x ∈，都有N x f ∈)(. 记

)()1()(x f x f x d -+=.求证：对任意M x ∈，都有)()1(x d x d ≤+.

14．设非常数数列{a n }满足β

αβα++=++n n n a a a 12，*

∈N n ，其中常数βα,均为非零实数，

且 0≠+βα.

（1）证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是02=+βα；

（2）已知2

5

,141121====a a ，，βα，求证：数列

{}11

-+-n n a a

()2,≥∈*n N n 与数列

()

*

∈⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+N n n 21中没有相同数值的项.

中档题7答案

1、0

2、6

3、5

4、13a -≤≤

5、299

6、17

4

7、25 8、2 9、（1）由条件知，当cos 0C =时，不合题意.当cos 0C ≠时，2

cos 0

16sin 24cos 0

C C C >⎧⎨

∆=-≤⎩，

即2

cos 02cos 3cos 20C C C >⎧⎨+-≥⎩

，1

cos 2C ∴≥. C ABC ∆Q 为的内角， 03

C π

∴<≤

，∴角C 的最大值为

3

π

. (2)有（1）知3C π=， 23A B π

∴+=，由2a b =，得sin 2sin A B =.

2sin 2sin 3B B π⎛⎫

∴-= ⎪⎝⎭

,即

3133

cos sin 2sin ,cos 2sin 2222

B B B B B +==，即32tan .0,,336B B B ππ⎛⎫

=

∈∴= ⎪

⎝⎭

Q . 10、证明（1）过点P PH AD ⊥作交于H .

Q 侧面PAD ABCD ⊥底面，PH ABCD ∴⊥平面.PD ∴与平面ABCD 所成的角为

45PDH ∠=o .,45.PA PD PAD =∴∠=o Q 则90APD ∠=o

..,PA PD CD AD ∴⊥⊥Q 平

面PAD ABCD ⊥底面，.,CD PAD PA PAD ∴⊥⊂Q 平面平面.CD PA ∴⊥

,PD CD D ⋂=Q PA PDC ∴⊥平面.

（2）存在.当Q 为PD 的中点时，//EQ 平面PBC . 证明如下：取PC 的中点F ，连,FQ FB .则1

//,.//,2

FQ CD FQ CD BE CD =

Q 1

2

BE CD =，∴四边形BEQF 为平行四边形.//.BF EQ BF ∴⊂Q 平面,PBC EQ ⊄平面

PBC ，//EQ ∴平面PBC .

11、（1）该公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()48

625

L x x x =-•

--， []9,11x ∈.

（2）()48

625

L x x x =-•

--Q ，令[]()4815,4,6,210t x t t L t t --=∈∴=--=