高三数学复习考试中档题7
江苏省高三数学复习中档题满分练习(含答案)
江苏省高三数学复习中档题满分练习（含答案）所以OA=OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，所以BE∥OF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC. (2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(1)解由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e=.设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.因为==，所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，+xtan +x=a，x==，S2==.(2)当a固定，变化时，令sin 2=t，则=(0利用单调性求得t=1时，=.2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。
适合高三刷的数学中档试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则函数的值域为（）。
A. $[1,+\infty)$B. $[1,\sqrt{2}]$C. $[0,+\infty)$D. $[1,2]$2. 若$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{4})+1$，则函数的周期为（）。
A. $\pi$B. $\frac{\pi}{2}$C. $\frac{\pi}{4}$D. $2\pi$3. 在三角形ABC中，若$\angle A=\frac{\pi}{3}$，$\angle B=\frac{\pi}{4}$，则$\angle C$的度数为（）。
A. $45^\circ$B. $60^\circ$C. $75^\circ$D. $90^\circ$4. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+5n$，则$a_1$的值为（）。
A. $-1$B. $0$C. $1$D. $2$5. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，则双曲线的离心率为（）。
A. $\frac{a}{b}$B. $\frac{b}{a}$C. $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$D. $\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$6. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$的图像在区间$(-1,0)$上的变化趋势为（）。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增7. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2$，$a_4=32$，则该数列的公比为（）。
A. $2$B. $4$C. $8$D. $16$8. 若不等式$|x-1|<3$的解集为（）。
A. $(-2,4)$B. $(-4,2)$C. $(-2,2)$D. $(-4,1)$9. 已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则函数的对称轴方程为（）。
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷(7)
山西省朔州市重点中学2024届高三高考数学试题系列模拟卷（7）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2B 1CD ．1 3．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -= C ．22123x y -= D ．22132y x -= 5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π6．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．2037．已知等差数列{}n a 中，468a a +=则34567a a a a a ++++=（ ）A ．10B ．16C ．20D ．248．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49- B ．23 C ．32或49- D ．32 9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i -11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3） C ．4433f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23- C ．13- D ．34- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学中档题冲刺训练
中档题训练1 姓名1．从原点出发的某质点M ，按向量a →=()0,1移动的概率为23，按向量b →=()0,2移动的概率为13，设M 可到达点()0,n 的概率为n P 。
（1）求1P 和2P 的值；（2）求证()21113n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式2．18．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1， AA 1=2，E 是BB 1的中点. （1）求证：AE ⊥平面A 1D 1E ； （2）求二面角E —AD 1—A 1的正切值； （3）求顶点A 到平面C 1D 1E 的距离.3．已知平面向量a )1,3(-=，b )23,21(=。
（Ⅰ）证明a ⊥ b ； （Ⅱ）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a )3(2-+t b ，y k -=a t +b ，且x ⊥y ，试求函数关系式)(t f k =；（Ⅲ）据（Ⅱ）的结论，讨论关于t 的方程0)(=-k t f 的解的情况。
4．已知函数11log )(--=x mxx f a是奇函数)1,0(≠>a a 。
(1) 求m 的值；（2）判断）（x f 在区间),1(+∞上的单调性并加以证明； （3）当)2,(,1-∈>a r x a 时，)(x f 的值域是),1(+∞，求r a 与的值. （1）m=－1…………3分 （2）由（1），).1,0(11log )(≠>-+=a a x x x f a任取11)(,11)(,11)(,),,1(2221112121-+=-+=-+=<+∞∈⋅x x x t x x x t x x x t x x x x 则令设，)1)(1()(21111)()(2112221121---=-+--+=-∴x x x x x x x x x t x t . ,,1,12121x x x x <>> ,0,01,011221>->->-∴x x x x1111),()(221121-+>-+>∴x x x x x t x t 即.……………………………………6分),1()(,11log 11log ,12211+∞-+>-+>∴在时当x f x x x x a a a上是减函数；……7分 当0<a <1时，),1()(+∞在x f 上是增函数.……………………8分（2）当a >1时，要使)(x f 的值域是),1(+∞，则111log >-+x x a ，011)1(,11>-++->-+∴x a x a a x x 即 而a >1，∴上式化为0111<--+-x a a x ①………………………………10分 又),121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a∴当x >1时，0)(>x f . 当0)(,1<-<x f x 时.因而，欲使)(x f 的值域是),1(+∞，必须1>x ，所以对不等式①，当且仅当111-+<<a a x 时成立.………………12分32,1,1,1121+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+=-=∴a r a a a a r 得解之.…………………………14分中档题冲刺2 姓名1．设a 、b是两个不共线的非零向量（t ∈R ）①若a与b 起点相同，t 为何值时，a，t b，31（a +b）三向量的终点在一直线上？ ②若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时|a －t b |的值最小？解：①设a －t b =m[a －31(a +b )](m ∈R) 化简得 )132(-m a =)3(t m-b ∵a 与b 不共线 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=-0321230132t mt m m ∴t=21时，a、t b 、31(a +b )终点在一直线上②|a －t b |2=（a －t b ）2=|a |2+t 2|b |－2t|a | |b |cos 60°=（1+t 2－t ）|a |2, ∴t=21时，|a－t b |有最小值||23a2．已知曲线轴与y d cx bx ax y L +++=23:相交于点A ，以其上一动点P （x 0,y 0）为切点的直线l 与y 轴相交于Q 点.（Ⅰ）求直线l 的方程，并用x 0表示Q 点的坐标；（Ⅱ）求.sin sin lim0AQPAPQx ∠∠+∞→Ⅰ）解：c bx ax k c bx ax y d A ++=++='020223,23),,0(0002000200))(23(0),)(23(y x c bx ax y x x x c bx ax y y Q +-++==-++=-∴得令 )))(23(,0(00020y x c bx ax Q +-++∴（Ⅱ）由正弦定理得：2|||2|)(|2|lim sin sin lim )(|2|)(|23|sin sin 20203020203020203020203020200020300==++++=∠∠∴+++--=-+-+---==∠∠+∞→+∞→a a cx bx ax x bx ax AQP APQ cx bx ax x bx ax d y x d y cx bx ax AP AQ AQP APQ x x3．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是以ABC ∠为直角的等腰三角形，12,3,AC a BB a D ==是11A C 的中点，E 是1B C 的中点。
高三数学中档题训练(7-9)
高三数学中档题训练（7）班 级 姓 名1．34sin (cos )55i θθ-+-（）是纯虚数，则=θ2tan2、等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则}{n a 的公比为3、记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+， 若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为4、已知不等式2210ax x +->的解集是A ，若⊆（3，4）A ,则实数a 的取值范围是5、已知不等式222xy ax y ≤+,若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈该不等式恒成立，则实 数a 的取值范围是6、已知)3,3(A ，O 是原点，点),(y x P 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥030230y x y x x ，求（1）OP OA ⋅的最大值 （2OP OA ⋅的取值范围.7、已知函数321()33f x x x x a =-+++．若()f x 在区间[]3,4-上的最小值为73，求a 的值．8、已知向量)20,0))(cos(,1(),2),(sin(πϕωϕωϕω<<>+=+=→→x b x a ，函数)(),)(()(x f y b a b a x f =-+=→→→→的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点.)27,1(M .（1）求)(x f 的表达式；（2）求)2011()3()2()1()0(f f f f f +⋅⋅⋅++++高三数学中档题训练（8）班 级 姓 名1、x t x y cos sin +=在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t .2、已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为 ．3、面积为S 的ABC ∆的三边c b a ,,成等差数列，4,60==∠︒b B ，设ABC ∆外接圆的面积为'S ，则=S S :'4已知：圆M ：0222=-+y y x ，直线l 的倾斜角为︒120，与圆M 交于P 、Q 两点，若0=⋅→→OQ OP (O 为原点)，则l 在x 轴上的截距为 .5已知)1(-x f 为奇函数, )1(+x f 为偶函数, 1)2011(=f ,=)4(f .6设函数]3,4[,sin 2)(ππω-∈=x x x f ，其中ω是非零常数.（1）若)(x f 是增函数，则ϖ的取值范围是 ；（2）若)(x f 的最大值为2，则ϖ的最大值等于7已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >的解集为(1,3)-. （1）若函数()()g x xf x =在区间(,)3a-∞内单调递减，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，证明方程3()21f x x =-仅有一个实数根.8已知ABC ∆中，5||,10||==AD AC ,0,115=∙=AB CD DB AD(1)求||AC AB -(2)设θ=∠BAC ,且已知54)cos(=+x θ，02<<-x π，求x sin9如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界 的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要 求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的 半径O M R = ，45MOP ∠= ，O B 与O M 之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形A B C D 的面积S 表示成θ的函数.（2）若45R m =，求当θ为何值时，矩形A B C D 的面积S 有最大值？ 其最大值是多少？(精确到0.01m 2)ABCDMOPQ F高三数学中档题训练（9）班 级 姓 名1．不等式2(1)2x x --<的解集是2、函数()tan 42y x ππ=-的部分图像如图所示，则=∙+AB OB OA )(3、已知两个点(2,1)A -和(1,3)B -分布在直线320x y a -++=的 两侧，则a 的取值范围为4．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为5、对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n 2，则数列{n a }的前n6、函数)32sin(lg π+=x y 的单调递减区间为7、设A B C ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且(2)cos cos b A C -=．（1）求角A 的大小；（2）若角6B π=，B C 边上的中线A M ABC ∆的面积．8、已知圆C 的圆心坐标为（2，-1），且与x 轴相切（1）求圆C 的方程； （2）求过点P(3,2)且与圆C 相切的直线方程； （3）若直线过点P(3,2)且与圆C 相切于点Q ，求线段PQ 的长。
高三数学中档练习题推荐
高三数学中档练习题推荐高三是学生们最为紧张和重要的一年，而数学作为一门重要的学科，占据着整个高考的很大比重。
为了帮助高三学生们更好地备考数学，我精心挑选了一些中档练习题，希望能给同学们提供有针对性的练习，提高数学解题能力。
1. 函数（1）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。
（2）已知函数g(x) = 2^x，求g(0)的值。
2. 三角函数（1）已知直角三角形中的一条锐角的正弦值为1/2，求该角的大小。
（2）已知sin(a) = 3/5，cos(b) = 4/5，且a和b为锐角，求sin(a+b)的值。
3. 数列与数列求和（1）已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的第5项。
（2）已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前6项的和。
4. 三角函数与解析几何（1）已知平面直角坐标系中有一条直线L，其斜率为-2，经过点(3, 4)，求直线L的方程。
（2）已知平面直角坐标系中有一个圆心在原点，半径为3的圆，求该圆上的一点P(x, y)，使得点P与直线y = 2x之间的距离最短。
5. 概率与统计（1）甲、乙、丙三个人依次从一副扑克牌中抽取一张纸牌，不放回，求出甲乙丙三个人抽到的纸牌分别为黑桃、红心、梅花的概率。
（2）某班级60名同学中，有20人擅长数学，30人擅长英语，并且既擅长数学又擅长英语的有10人。
从该班级中任意选出一名学生，求他既不擅长数学也不擅长英语的概率。
这些练习题涵盖了高三数学中的各个知识点，通过解答这些题目，可以加深对数学知识的理解和掌握，提高解题能力和应试水平。
希望同学们在备考中能够认真对待每一道题目，多思考、多总结，相信付出努力一定会有收获。
祝愿大家高考顺利！。
高三数学复习中档题7
中档题7一、填空题1．设集合{}2120A x x x =+-=，集合{}10B x kx =+=，如果A B A ⋃=，则由实数k 组成的集合中所有元素的积等于 . 2．假设复数()3,12a ia R i i-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知向量()2,1,10,52=+==a b a b a ，则=b .4．假设命题“,x R ∃∈使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 .5.在数列{}n a 中，假设对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值()*n N ∈，且79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .6．已知函数()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，假设()2f x ≤恒成立，则a b +的最大值为 .7．过点()3,4C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12r r = . 8．如图，已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且30BAC ∠=，,M N 分别在棱AC AD 和上，则BM MN NB ++的最小值为 .二、解答题9．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.〔1〕求角C 的最大值〔2〕假设角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小.10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA PD =,且PD 与底面ABCD 所成的角为45.〔1〕求证：PA ⊥平面PCD〔2〕已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点Q ，使//EQ 平面PBC ？假设存在，证明你的结论；假设不存在，试，说明理由.11．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x 元()911x ≤≤时，一年的销售量为485x -万件，并且全年该药品需支付2x 万元的宣传及管理费.〔1〕求该医药公司一年的利润L 〔万元〕与每件药品的售价x 的函数关系式；〔2〕当每件药品的售价为多少元时，该公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.12．已知曲线221:14y C x +=与曲线22:1C y x =-，设点()()000,0P x y y >是曲线1C 上任意一点，直线0014y yx x +=与曲线2C 交于,A B 两点. 〔1〕判断直线0014y yx x +=与曲线1C 的位置关系；〔2〕以,A B 两点为切点分别作曲线2C 的切线，设两切线的交点为M ，求证：点M 到直线1:220l x y --=与2:220l x y ++=距离的乘积为定值.13．设函数)(x f 的定义域为M ，具有性质P ：对任意M x ∈，都有)1(2)2()(+≤++x f x f x f .〔1〕假设M 为实数集R ，是否存在函数),1,0()(R x a a a x f x∈≠>= 具有性质P ，并说明理由；〔2〕假设M 为自然数集N ，并满足对任意M x ∈，都有N x f ∈)(. 记)()1()(x f x f x d -+=.求证：对任意M x ∈，都有)()1(x d x d ≤+.14．设非常数数列{a n }满足βαβα++=++n n n a a a 12，*∈N n ，其中常数βα,均为非零实数，且 0≠+βα.〔1〕证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是02=+βα；〔2〕已知25,141121====a a ，，βα，求证：数列{}11-+-n n a a()2,≥∈*n N n 与数列()*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n 21中没有相同数值的项.中档题7答案1、02、63、54、13a -≤≤5、2996、1747、25 89、〔1〕由条件知，当cos 0C =cos 0C ≠时，2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨∆=-≤⎩，即2cos 02cos 3cos 20C C C >⎧⎨+-≥⎩，1cos 2C ∴≥. C ABC ∆为的内角， 03C π∴<≤，∴角C 的最大值为3π. (2)有〔1〕知3C π=， 23A B π∴+=，由2a b =，得sin 2sin A B =.2sin 2sin 3B B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,即13sin 2sin 2sin 22B B B B B +==，即2tan 0,,36B B B ππ⎛⎫=∈∴= ⎪⎝⎭. 10、证明〔1〕过点P PH AD ⊥作交于H .侧面PAD ABCD ⊥底面，PH ABCD ∴⊥平面.PD ∴与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=.,45.PA PD PAD =∴∠=则90APD ∠=..,PA PD CD AD ∴⊥⊥平面PAD ABCD ⊥底面，.,CD PAD PA PAD ∴⊥⊂平面平面.CD PA ∴⊥,PD CD D ⋂=PA PDC ∴⊥平面. Q 为PD 的中点时，//EQ 平面PBC .证明如下：取PC 的中点F ，连,FQ FB .则1//,.//,2FQ CD FQ CD BE CD =12BE CD =，∴四边形BEQF 为平行四边形.//.BF EQ BF ∴⊂平面,PBC EQ ⊄平面PBC ，//EQ ∴平面PBC .11、〔1〕该公司一年的利润L 〔万元〕与售价x 的函数关系式为：()48625L x x x =-•--， []9,11x ∈.〔2〕()48625L x x x =-•--，令[]()4815,4,6,210t x t t L t t --=∈∴=--=483823838t t ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当482t t =，即5x =+L 取得最大值38-.则当每件售价为5+元时，该公司一年的利润L最大，最大值为38-.12、〔1〕直线直线0014y y x x +=与曲线1C 相切00221444y yx x y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，22004840x x x y ⇒-+-= ()()222220000816416440x y x y ⇒∆=--=+-=.〔2〕设()()1122,,,A x y B x y002441y y x x y x =-⎧⎨=-⎩，()2000012120044440,1x y x x x y x x x x y y ⎛⎫⇒+-+=⇒+=-=-+ ⎪⎝⎭ 22:12C y x y x '=-⇒=，切线()()2111:12AM y x x x x --=-,即：()21121y x x x =-+①同理切线()222:21BM y x x x =-+②联立①②得012002242x x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，即00024,2x M y y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 设点M 到直线12,l l 距离分别为12,d d，1d ==2d ==20201222001161644555y x d d y y --===.13、证明：〔1〕因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)， 这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . 〔2〕(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ).14、〔1〕解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：假设βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列.②必要性：假设}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. 〔2〕由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-.又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=〔2n ≥〕.由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.。
高三数学中档题+详细答案(全)
高三数学中档题+详细答案〔全〕班级 姓名1.如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点．〔1〕求证：平面；〔2〕求证：平面； 〔3〕在上是否存在一点，使得∠=45°，若存在，试确定的位置，并判断平面与平面是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设、分别是椭圆的左、右焦点，．1F 2F 1422=+y x )1,0(-B 〔Ⅰ〕若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;〔Ⅱ〕若C 为椭圆上异于B 一点，且，求的值；〔Ⅲ〕设P 是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.3． 已知定义在上的奇函数 〔〕，当 时，取极小值〔1〕求的值；〔2〕当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.〔3〕求证:对,都有4．设数列的前项和为，为常数，已知对，当时，总有.⑴ 求证：数列｛｝是等差数列；{}n a n n S d *∈∀N m n ,m n >d m n m S S S m n mn )(-+=--na⑵ 若正整数n, m, k 成等差数列，比较与的大小，并说明理由！k n S S +mS 2高三数学中档题训练27班级 姓名1. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.xoy 4y x =+()222109x y a a +=>〔1〕求圆C 的方程；〔2〕若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足，求点P 的坐标.18.某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：〔1〕引进该设备多少年后，开始盈利？〔2〕引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′3.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合.〔1〕若，且，求M和m的值；〔2〕若，且，记，求的最小值.4.设数列满足，若是等差数列，是等比数列.〔1〕分别求出数列的通项公式；〔2〕求数列中最小项及最小项的值；〔3〕是否存在，使，若存在，求满足条件的所有值；若不存在，请说明理由.高三数学中档题训练28班级姓名1、已知分别是正三棱柱的侧面和侧面的对角线的交点,是棱的中点. 求证:〔1〕平面;〔2〕平面平面.2．在平面区域内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M．〔1〕试求出⊙M的方程；〔2〕过点P〔0，3〕作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2+y2-4x+y+4=0的两条切线，切点分别记为C，D．试确定的值，使AB⊥CD．3.已知函数．〔1〕当a=1时，证明函数只有一个零点；〔2〕若函数在区间〔1，+∞〕上是减函数，求实数a 的取值范围．4. 已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．〔1〕求的值；〔2〕已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．高三数学中档题训练29班级姓名1．已知函数，．〔1〕求的最大值和最小值；〔2〕若不等式在上恒成立，求实数的取值范围2、已知椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕若直线过圆的圆心，交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．3．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．〔1〕函数是否属于集合？说明理由；〔2〕若函数属于集合，试求实数和的取值范围；〔3〕设函数属于集合，求实数的取值范围．4．设常数，函数.0a ≥2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞ 〔1〕令，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；〔2〕求证：在上是增函数； 〔3〕求证：当时，恒有．高三数学中档题训练30班级 姓名1．若函数的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕若点图象的对称中心，且，求点A 的坐标.2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M 〔1,〕, N 〔 －,〕两点.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕在椭圆上是否存在点P 〔x,y 〕，使P 到定点A 〔a,0〕〔其中0＜a ＜3〕的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．3.设A 〔x1 , y1〕,B 〔x2 ,y2〕是函数f 〔x 〕=+log2图象上任意两点，且=〔+〕,点M 的横坐标为.⑴求M 点的纵坐标；⑵若Sn==f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕,n ∈N*,且n≥2，求Sn; ⑶已知an=n ∈N*,Tn 为数列{an}的前n 项和，若Tn<λ〔Sn+1+1〕 对一切n>1且n ∈N*都成立，求λ的取值范围.4.已知函数f 〔x 〕= +lnx 的图像在点P 〔m,f 〔m 〕〕处的切线方程为y=x ,设． ()2ln ng x mx xx =--〔1〕求证：当恒成立；〔2〕试讨论关于的方程： 根的个数．高三数学中档题训练261.证明：〔1〕连接与相交于，则为的中点.连结，又为的中点，MD C B //1∴，又平面，平面⊄C B 1BD A 1MD ⊂BD A 1//1C B ∴平面 . …………………………………………4′BD A 1〔2〕，∴平行四边形为菱形，， 又面⊥1AC BD A 1B A AC 11⊥∴，面 …………………………7′⊥∴B A 111C AB 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱中，， 111C B A ABC -111C B BB ⊥⊥∴11C B 平面. ……………………………………9′A ABB 1〔3〕当点为的中点时，∠=45°，且平面平面. 设AB=a ，CE=x，∴，，111A B AC =1C E a x =-∴，1A E ==BE∴在中，由余弦定理得1A BE 22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒即222222322a x a x a ax +=++--⋅2a x =-∴x=a ，即E 是的中点. ………………………………………13′12C C 1 D 、分别为、的中点，.E AC C C 11//AC DE ∴1AC 平面，平面.BD A 1⊥∴DE BD A 1又平面，∴平面平面. …………………………15′⊂DE BDE ⊥BD A 1BDE 2．解：〔Ⅰ〕易知所以，设，则())12,F F (),P x y())2212,,,3PF PF x y x y x y⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值[]2,2x ∈-0x =P 12PF PF ⋅2-当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 2x =±P 12PF PF ⋅1〔Ⅱ〕设C 〔〕， 由得，又 所以有解得． 220014x y +=2670λλ+-=舍去）01(7>=-=λλ〔Ⅲ〕 因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，∴的周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．1PBF ∆1F所以当P 点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．3．解〔1〕∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，∴，即恒成立 ∴ …………4分 32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--220bx d -=0,0b d ==∴，,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+= ∵时，取极小值,∴，1x =()f x 23-2303a c a c +=+=-且解得 ………8分1,31-==c a〔2〕当时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，),(),,(2211y x B y x A则由知两点处的切线斜率分别为,1)('2-=x x f ,1211-=x k ,1222-=x k 且…………〔*〕 …………13分1x 、，2[1,1]x ∈-2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与〔*〕相矛盾，故假设不成立. ………………16分4〔本小题满分18分〕 ⑴证明：∵当时，总有m n >d m n m S S S m n m n )(-+=--∴ 当时，即 2分2≥n d n S S S n n )1(11-+=--,)1(1d n a a n -+=且也成立 ………3分1=n∴ 当时，2≥n dd n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111∴数列｛｝是等差数列 …………5分na⑵解： ∵正整数n, m, k 成等差数列，∴,2m k n =+ ∴)2)1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+ ))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=……9分2)(4k n d-=∴ ① 当时，0>d k n S S +mS 2>② 当时， 0<d k n S S +mS 2<③ 当时， ……10分 高三数学中档题训练270=d k n S S +mS 2= 1. 解：〔1〕由已知可设圆心坐标为， …………………………∴得，∴圆心坐标为， …………………………()2248t t ++=2t =-()2,2-4'所以圆的方程为 ……………………………()()22228x x ++-=6'〔2〕由题意，椭圆中，即29b =，∴，∴ …………………………216c =()4,0F 8'设，则，(),P m n ()()224016m n -+-=()()22228m n ++-= ……………………………11'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或即 …………………………………………()4120,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或14' 2. 解：〔1〕设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元则y=50n-[12n+×4]-98=-2n2+40n-98n(n -1)2由y>0可得10n <10+ ∵n ∈N*，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′〔2〕方案一：年平均盈利当且仅当即n=7时取“＝”982n =n共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y=-2n2+40n-98=-2〔n-10〕2+102 当n=10时，ymax=102共盈利102+8=110万元………………………………………13′方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. 〔1〕由 ……………………1′ 又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′〔2〕,4ca ⎧⎪⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′[]2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-4112,22a a a -==-其对称轴方程为x131,2,222a a ⎡⎫≥-∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′ 4181,24a a m f a a --⎛⎫==⎪⎝⎭ ………………………12′1()164g a M m a a ∴=+=-…………………………13′[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时， ……15′4.解：〔1〕由成等差数列知其公差为1， 故 ……………………()12113n n a a n n +-=-+-⋅=-3'21322,1,b b b b -=--=-由等比数列知，其公比为，{}1n n b b +-12故 …………11122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭6' 11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6== ………232282n n n -+-+27182n n -+8' 11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝+6=2+ …………………………………………………2121()2112n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭-42n -10' 〔2〕由〔1〕题知,= ,所以当或时，取最小项，其值为3…〔3〕假设存在，使-2-=-则- 即 …………0<27142n n -+42n -12<2527132714n n n n n --+<<-+15' ∵是相邻整数22713714n n n n -+-+与∴，这与矛盾，所以满足条件的不存在 (52)nZ -∉52n Z -∈k 17'高三数学中档题训练282、证明：〔1〕连结，因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点…………………………………………4分所以，且在平面中，而不在平面中，故平面…………………7分//EF BC BC ABC EF ABC //EF ABC〔2〕因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，，故由得……9分又因为是棱的中点，且为正三角形，，故由得， (11)分D BC ABC ∆∴BC AD ⊥//EF BC EF AD ⊥ 而，平面，所以平面，又平面，故平面平面.……………………………………14分1A AAD A =1,A A AD ⊂1A AD EF ⊥1A AD EF ⊂AEF AEF ⊥1A AD2. 〔1〕设⊙M 的方程为〔x-a 〕2+〔y-b 〕2=r2〔r ＞0〕，则点〔a ，b 〕在所给区域的内部．2分于是有,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分〔未能去掉绝对值，每个方程给1分〕解得 a=3，b=4，r=，所求方程为〔x-3〕2+〔y-4〕2=5． …………………10分〔2〕当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分因，故，解得=6． …………………………18分13PM k =λ3232PN k --==-λ当=6时，P 点在圆N 外，故=6即为所求的满足条件的解．〔本验证不写不扣分〕3.解：〔1〕当a=1时，，其定义域是，2121()21x x f x x x x --'∴=-+=-令，即，解得或．()0f x '=2210x x x ---=12x =-1x = ，舍去．x >12x ∴=-当时，；当时，．01x <<()0f x '>1x >()0f x '<∴函数在区间〔0，1〕上单调递增，在区间〔1，+∞〕上单调递减∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．()f x 2(1)ln1110f =-+= 当时，，即．1x ≠()(1)f x f <()0f x < ∴函数只有一个零点． ()f x 〔2〕法一：因为其定义域为，所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==①当a=0时，在区间上为增函数，不合题意1()0,()f x f x x'=>∴(0,)+∞ ②当a>0时，等价于，即．()0(0)f x x '<>(21)(1)0(0)ax ax x +->>1x a >此时的单调递减区间为．()f x 1(,)a +∞依题意，得解之得．11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩1a ≥③当a<0时，等价于，即·()0(0)f x x '<>(21)(1)(0)ax ax x +->>12x a >-此时的单调递减区间为，得()f x 1(,)2a -+∞11,0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞2221()a x ax f x x -++'∴=由在区间上是减函数，可得()f x (1,)+∞在区间上恒成立．22210a x ax -++≤(1,)+∞① 当时，不合题意0a =10≤② 当时，可得即0a ≠11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞4. 〔1〕 由 得α∴=β=〔2〕(221122111n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα++++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭又 ∴12n nb b +=1111ln4ln2a b a βα-===- ∴数列是一个首项为 ，公比为2的等比数列；{}n b 4ln∴)()1212421ln 122n n n S -+==--高三数学中档题训练291．解：〔1〕．又，，即，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵ππ2π2633x -∴≤≤π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤max min ()3,()2f x f x ==∴．〔2〕，，max ()2m f x >-∴且，min ()2m f x <+，即的取值范围是．2.〔1〕…………7分 〔2〕…………7分 3．〔本小题满分16分〕解：〔1〕，若，则存在非零实数，使得 ，……〔2分〕即，……〔3分〕因为此方程无实数解，所以函数．……〔4分〕 〔2〕，由，存在实数，使得 ，……〔6分〕 解得，……〔7分〕所以，实数和的取得范围是，．……〔8分〕 〔3〕由题意，，．由，存在实数，使得 ，……〔10分〕所以，，)1(21)1(20220+=++x a x a 化简得，……〔12分〕当时，，符合题意．……〔13分〕当且时，由△得，化简得0>a 2≠a 0≥0))(2(84224≥---a a a a a ，解得．……〔15分〕综上，实数的取值范围是．……〔16分〕4．解〔Ⅰ〕∵，∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x =-+，∴，∴，令，得，列表如下：()()2ln 2g x xf x x x a '==-+(0,)x ∈+∞22()1x g x x x-'=-=()0g x '=2x =∴在处取得极小值，(g x 即的最小值为． ()g x (2)22ln 22g a =-+(2)2(1ln 2)2g a=-+，∵，∴，又，∴． ln 21<1ln 20->0a ≥(2)0g >〔Ⅱ〕证明由〔Ⅰ〕知，的最小值是正数，∴对一切，恒有从而当时，恒有，故在上是增函数． 〔Ⅲ〕证明由〔Ⅱ〕知：在上是增函数，∴当时，， 又，1x >()(1)f x f >2(1)1ln 12ln110f a =-+-=∴，即，∴()0f x >21ln 2ln 0x x a x --+>2ln 2ln 1x x a x >-+ 故当时，恒有．高三数学中档题训练301x >2ln 2ln 1x x a x >-+ 1．解析：解：〔1〕 3分由于y=m 与的图象相切， 则； 5分)(x f y =221221-=+=m m 或〔2〕因为切点的横坐标依次成公差为等差数列，所以 2．解：〔Ⅰ〕设椭圆方程为mx+ny=1〔m ＞0,n,＞0且m≠n 〕 ……………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+ …………………4分,1932=n 1229=+n m ∴m= ………………………………………………6分41,91=n ∴椭圆方程为 …………………………………………7分14922=+y x〔Ⅱ〕设存在点P 〔x,y 〕满足题设条件，∴|AP|=〔x-a 〕+y ,又,∴y=4〔1 -〕,∴|AP|=〔x-a 〕+ 4〔1 -〕=〔x-a 〕+4-a 〔|x|≤3〕，…………………10分若|AP|的最小值为4-a ，依题意，时，即350,359≤≤＜a a 5424-a=1 ，∴a=;………………………………………12分542215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0 若即时，当x=3时,,359〉a 335＜a＜|AP|的最小值为〔3-a 〕,〔3-a 〕=1,∴a=2,此时点P 的坐标是〔3，0〕 .…………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是〔3，0〕.…………16分3.解:〔1〕 ∵x1+x2=1,∴yM===； 4分〔2〕 ∵对任意xÎ〔0,1〕都有f 〔x 〕+f 〔1-x 〕=1∴f 〔〕+f 〔1-〕=1,即f 〔〕+f 〔〕=1 而Sn==f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕, 又Sn==f 〔〕+f 〔〕+…+f 〔〕两式相加得2Sn=n-1,∴Sn=. 10分21-n〔3〕 n≥2时，an==4〔〕,Tn=<,λ>,而≤=，等号成立当且仅当n=2,∴λ>. 16分4．〔本小题满分16分〕〔1〕由k=得m=1∴f 〔m 〕=1=n+0,n=1∴． ———2′()12ln 2ln n g x mx x x xx x =--=--∴，()()222221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥∴在是单调增函数，()g x [)1,+∞∴对于恒成立．———6′()g x ()1112ln10g ≥=--=[)1,x ∈+∞〔2〕方程，∴．∵ ，∴ 方程为．0x >22ln 2xx ex tx =-+令，22ln (),()2xL x H x x ex t x ==-+，当上为增函数；21ln ()2xL x x -'=()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为减函数，()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在当时， ———11′ex =max 2()().L x L e e == ()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴、在同一坐标系的大致图象如图所示，()x 函数L ()H x∴①当时，方程无解．2222,t e e e e ->>+即t ②当时，方程有一个根．2222,t e e e e -==+即t ③当时，方程有两个根．—16′15、2222,t e e e e -<<+即t。
高三数学中档练习题
高三数学中档练习题一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最小正周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π2. 已知数列{an}是等差数列，a1 = 1，a3 = 4，那么a5的值是：A. 7B. 9C. 11D. 133. 以下哪个不等式是正确的：A. |x| < 1B. |x| ≤ 1C. |x| > 1D. |x| ≥ 14. 圆x^2 + y^2 = 1与直线x + y = √2的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的值：A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x + 1C. 3x^2 - 3x + 2D. 3x^2 - 3x + 1二、填空题（每题4分，共20分）6. 计算定积分∫[0,1] (2x - x^2) dx的结果为_________。
7. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，求向量a与向量b的数量积a·b的值为_________。
8. 将函数y = ln(x)的图像向左平移1个单位，向上平移2个单位后，得到的函数解析式为_________。
9. 已知抛物线y = x^2 - 4x + 3与x轴的交点坐标为_________。
10. 计算复数z = 1 + 2i的模长|z|的值为_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求证f(x)的图像关于直线x = 2对称。
12. 已知椭圆C：x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆C的焦点坐标，并计算椭圆C的离心率。
四、综合题（每题30分，共30分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a，求实数a的值，使得f(x)在区间[0, 3]上的最大值为5。
2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)
7.3 平面向量数量积及应用课标要求考情分析核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理2022(Ⅱ)卷4利用向量数量积的坐标运算求夹角2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算2020(Ⅰ)卷7向量数量积的运算和投影1.向量的夹角定义范围 共线与垂直图示已知两个非零向量a ⃗和b ⃗⃗,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角．[0,π]a ⃗//b⃗⃗?θ=0或π; a ⃗⊥b⃗⃗?θ=π2向量夹角：共起点定义已知两个非零向量a ⃗与b ⃗⃗,它们的夹角为θ，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ叫做a ⃗与b ⃗⃗的数量积,记作a ⃗?b ⃗⃗. 即a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|cosθ. 特殊情况 0⃗⃗a ⃗=0; a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=0 运算律a ⃗?b ⃗⃗=b ⃗⃗?a ⃗（交换律）;λa ⃗?b ⃗⃗=λ(a ⃗?b ⃗⃗)=a ⃗?(λb ⃗⃗)（结合律）;(a ⃗+b ⃗⃗)?c ⃗=a ⃗?c ⃗+b ⃗⃗?c ⃗（分配律）运算性质(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2; (a ⃗+b ⃗⃗)(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗2−b⃗⃗2 (a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗)2=a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+2b ⃗⃗?c ⃗+2c ⃗?a ⃗如图，设a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,考虑如下变换:过AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线,垂足分别为A 1、B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,称上述变换为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影, A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫做向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量.若向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为θ,则向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量为|a ⃗⃗|cosθ|b⃗⃗|b ⃗⃗4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a ⃗=(x 1,y 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2)，a ⃗,b⃗⃗的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ a ⃗?b ⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 夹角cosθ=a ⃗?b⃗⃗|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12?√x 22+y 22模 |a ⃗|=√a ⃗2 |a ⃗|=√x 12+y 12 垂直 a ⃗⊥b ⃗⃗a ⃗?b ⃗⃗=0 a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2=0 共线a ⃗//b ⃗⃗a ⃗=λb ⃗⃗(λ∈R ) a ⃗//b⃗⃗?x 1y 2=x 2y 1 不等关系a ⃗⃗,b⃗⃗共线时等号成立 |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12?√x 22+y 221.向量模长不等式：||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗±b ⃗⃗|≤|a ⃗|+|b ⃗⃗|; |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| 2.两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为锐角?a ⃗?b ⃗⃗>0且a ⃗，b ⃗⃗不共线;两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为钝角?a ⃗?b ⃗⃗<0且a ⃗，b ⃗⃗不共线1.【P24 T21】在三角形ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则向量BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为() A. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2.【P41 T3】设作用于同一点的三个力F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，若|F 1⃗⃗⃗⃗|=1，|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1→与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π，如图所示．(1)求F 3→的大小； (2)求F 2→与F 3→的夹角．考点一 平面向量数量积的运算 【方法储备】1.平面向量数量积的运算方法2.已知数量积求参数已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.角度1投影向量 【典例精讲】例1.(2022·安徽省期中)已知|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，且e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，则a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为．【名师点睛】本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题．设a⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，求出cos θ，根据投影向量的概念，即可求出结果． 【靶向训练】练1-1(2021·江苏省无锡市期末)设平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12，b ⃗⃗=(2,√5)，a ⃗?b ⃗⃗=18，则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量为() A. 12b⃗⃗ B. 18b⃗⃗ C. 12a ⃗ D. 18a⃗ 练1-2(2022·陕西省模拟)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为() A. 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 角度2平面向量数量积的概念及运算 【典例精讲】例2.(2022·山东省潍坊市模拟)在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．【靶向训练】练1-3(2022·江西省模拟)已知两个单位向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为60°，c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗.若c ⃗?b ⃗⃗=0，则t =．练1-4(2022·北京市期末)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为() A. −58B. 14C. 18D. 118角度3平面向量数量积的坐标运算 【典例精讲】例3.(2021·新课标Ⅰ卷.多选)已知O 为坐标原点,点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ), P 3(cos(α+β),?sin(α+β))，A(1,?0)，则() A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形公式，属于中档题． 根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．【靶向训练】练1-5(2022·辽宁省大连市模拟)设向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，且b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，则m =． 练1-6(2022·江西省萍乡市期末)已知向量m ⃗⃗⃗⃗=(2cosωx,−1)，n ⃗⃗=(√3sinωx −cosωx,1)，其中ω>0，函数f(x)=m⃗⃗⃗⃗?n ⃗⃗+2，且f(x)的最小正周期为π2，则f(x)的解析式为． 考点二 平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题 【方法储备】1.求平面向量模的方法2.求平面向量夹角的方法3.向量的垂直、共线问题(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即:a ⃗=(x 1,y 1), b ⃗⃗=(x 2,y 2),则a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗·b⃗⃗＝0?x 1x 2+y 1y 2=0. 应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直. (2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.【特别提醒】在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.角度1平面向量的模 【典例精讲】例4.(2022·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b⃗⃗|=√10，则|b ⃗⃗|=． 【名师点睛】利用数量积的性质即可得出．本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题．【靶向训练】练2-1(2022·湖北省咸宁市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=5，且|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗−b⃗⃗|=() A. 6B. 8C. 36D. 64练2-2(2022·.山东省济南市期末.多选) 若平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=()A. √3B. 3C. 5D. 6角度2平面向量的夹角 【典例精讲】例 5.(2022·江西省模拟)若非零向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=2√23|b ⃗⃗|，且(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b⃗⃗)，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π4 B. π2C. 3π4D. π【名师点睛】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．【靶向训练】练2-3(2021·湖北省武汉市期末)在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 若CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，则∠ADC =()A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. π2练2-4(2022·江苏省南通市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|=2√33|a ⃗⃗|，则向量<a ⃗⃗+b ⃗⃗，a⃗⃗>=()A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6角度3平面向量的垂直 【典例精讲】例6.(2021·浙江省温州市模拟)若|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，若(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则m 的值为【名师点睛】本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0．由条件可求得a ⃗⃗?b ⃗⃗=1，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0，从而会得到关于m 的方程，解方程即可求出m ．【靶向训练】练2-5(2021·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，若(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则实数λ=()A. −32B. 32C. −2D. 2练2-6(2022·上海市期末)已知a 、b 都是非零向量，且a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为．考点三 平面向量中的最值、范围问题 【方法储备】1.求最值、范围问题的思路（1）将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题，利用平面几何的知识求解； （2）将向量坐标化，转化为函数、方程、不等式的问题解决.【典例精讲】例7.(2022·湖北省黄冈市模拟)已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为() A. 16+16√55B. 16+8√55C. 165D. 565【名师点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系．根据题意，设AD 为斜边BC 上的高，求出AD 的值，连接PA ，可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，分析可得当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值，据此计算可得答案．【靶向训练】练3-1(2022·湖北省模拟)已知梯形ABCD 中，∠B =π3，AB =2，BC =4，AD =1，点P ，Q 在线段BC 上移动，且PQ =1，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为()A. 1B. 112C. 132D. 114练3-2(2022·江苏省宿迁市期末)在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若b(tanA +tanB)=2ctanB ，且G 是ΔABC 的重心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为．核心素养系列 直观想象、数学运算——平面向量与极化恒等式【方法储备】1.极化恒等式：a ⃗⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2] 三角形模型：在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中：则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) 2.利用极化恒等式求数量积问题的步骤：【典例精讲】例8.(2022·山东省模拟) 如图，在△ABC 中，AC =6，AB =8，∠BAC =π2，D 为边BC 的中点． (1)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若点P 满足CP →=λCA →(λ∈R)，求PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值； (3)若点P 在∠BAC 的角平分线上，且满足PA →=mPB →+nPC →(m,n ∈R).若1≤n ≤2，求|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围． 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化，考查运算求解能力，是中档题．(1)由极化恒等式及向量的加减运算求解；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0，由已知结合极化恒等式求解m 与n 值，进一步可得EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值． 【靶向训练】练4-1(2021·湖北省模拟)如图，已知P 是半径为3，圆心角为π2的一段圆弧AB ⏜上一点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A. −6B. 6−9√2C. −8D. 6−6√5练4-2(2022·福建省龙岩市期中)阅读下一段文字：(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，两式相减得(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2=4a ⃗?b ⃗⃗?a ⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =BC =3，求AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5，求EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值．易错点1．投影向量理解错误例9.(2022·湖北省武汉市期末.多选)若A i (i =1,2,…,n)是△AOB 所在的平面内的点，且OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.下面给出的四个命题中，其中正确的是() A. |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⋯+|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0C. 点A 、A 1、A 2…A n 一定在一条直线上D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量一定相等易错点2．向量夹角定义理解错误例10.(2021·辽宁省期中)已知|a ⃗⃗|=√2，|b ⃗⃗|=4，当b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)时，向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π6 B. π4 C. 2π3 D. 3π4易错点3．平面向量的运算律运用错误例11.(2022·江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量a ⃗⃗，b ⃗⃗，c⃗⃗，下列说法不正确的是() A. 若a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗，则a ⃗⃗=b ⃗⃗B. (a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗C. 若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗D. (a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗=(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗易错点4．混淆平面向量共线、垂直的坐标关系例12.(2022·福建省名校联考.多选)已知向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，则()A. 若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则m =12B. 若a ⃗⃗//b ⃗⃗，则m 的值为−2C. 若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则m =2D. 若m =3，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°答案解析【教材改编】1.【解析】在△ABC 中，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即AB ⊥AC ， 点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则G 为△ABC 的重心，设AC 的中点为D ,∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 故答案选：B ．2.【解析】 (1)由F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，知F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗+F 3⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，∵|F 1⃗⃗⃗⃗|=1,|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1⃗⃗⃗⃗与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π， ∴|F 3⃗⃗⃗⃗⃗|=|−F 1⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=√(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+4+2×1×2×(−12)=√3；(2)∵F 3⃗⃗⃗⃗⃗=−(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)，∴F 3⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗=−F 1⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗，设F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，∴√3×2×cosθ=−1×2×(−12)−4，解得cosθ=−√32，又θ∈[0,π]，∴θ=5π6．即F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为5π6．? 【考点探究】例1.【解析】设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，因为|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，所以cosθ=a ⃗⃗·b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=−123×5=−45， 因为e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，所以a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为：|a ⃗|cosθ·e ⃗=3×(−45)e ⃗=−125e ⃗．故答案为−125e ⃗．练1-1.【解析】因为平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12,?b ⃗⃗=(2,√5),?a ⃗?b ⃗⃗=18， 所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量是a ⃗⃗?b ⃗⃗|a⃗⃗|×a ⃗⃗|a⃗⃗|=1812×a ⃗⃗12=18a ⃗．故答案选；D ．练1-2.【解析】因为2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以O 为BC 中点，又△ABC 外接圆的圆心为O ， 所以三角形为以A 为直角顶点的直角三角形， 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以△ABO 为等边三角形，则∠ABC =60°，∠ACB =30°，所以向量CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为： CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 故答案选：C ．例2.【解析】∵在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=42−12×4×2×12=14，故答案为：14．练1-3.【解析】∵c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗，c ⃗?b ⃗⃗=0，∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b ⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=0， ∵a ⃗，b ⃗⃗是单位向量，∴|a ⃗|=|b⃗⃗|=1， 又∵a⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗?b ⃗⃗=1×1×cos60°=12， ∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=12t +(1−t)=0，∴t =2． 故答案为：2．练1-4.【解析】如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故答案选：C ．例3.【解析】OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)，OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?α,sin?α)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?β,−sin?β)，OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?(α+β),sin?(α+β))， AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosβ−1,−sinβ)，对于A ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2β+(−sinβ)2=1，A 正确；对于B ，|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosα−1)2+sin 2α=√2−2cosα，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√2−2cosβ，因为α,β不一定相等，所以|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|不一定相等，B 错误；对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cos(α+β)；OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β)，C 正确；对于D ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β)，不一定相等，D 错误．故选：AC ．练1-5.【解析】∵向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，∴2a ⃗⃗+b ⃗⃗=(4,2m +1)，∵b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，∴b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=8+2m +1=7，解得m =−1． 故答案为：−1．练1-6.【解析】f (x )=m ⃗⃗⃗⃗·n ⃗⃗+2=2cosωx ·(√3sinωx −cosωx)−1+2 =√3sin2ωx −(1+cos2ωx )+1=2sin (2ωx −π6)，∵最小正周期为π2，故ω=2，则f (x )的解析式为f (x )=2sin (4x −π6)． 故答案为：f (x )=2sin (4x −π6)．例4.【解析】∵向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b ⃗⃗|=√10．∴√4a ⃗⃗2+b ⃗⃗2−4a ⃗⃗?b ⃗⃗=√10，化为4+|b ⃗⃗|2−4|b ⃗⃗|cos45°=10，化为|b ⃗⃗|2−2√2|b ⃗⃗|−6=0，∵|b ⃗⃗|≥0，解得|b ⃗⃗|=3√2． 故答案为：3√2．练2-1.【解析】因为|a ⃗⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2+2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2a ⃗⃗?b ⃗⃗=36，所以a ⃗⃗?b ⃗⃗=−7． 因为|a ⃗⃗−b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2−2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2×7=64，所以|a⃗⃗−b ⃗⃗|=8． 故选：B ．练2-2.【解析】因为平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，所以夹角为0°或120°， 由题意知：|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3， 当夹角为0°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=4，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|=12，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9+4+12+6=6，故选项D 正确； 当夹角为120°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos120°=−2，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|cos120°=−6，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=−3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9−2−6−3=√3，故选项A 正确．故选：AD ．例5.【解析】∵(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)，∴(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0， 即3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2−a ⃗⃗?b ⃗⃗=0，即a ⃗⃗?b ⃗⃗=3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2=23b ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗，b ⃗⃗>=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗|=23b ⃗⃗22√23b ⃗2=√22，即<a ⃗⃗，b ⃗⃗>=π4，故选：A ．练2-3.【解析】根据题意，因为AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−43DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3，即|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ADC =−3，即cos∠ADC =−12，又∠ADC ∈(0,π)，所以∠ADC =2π3．故答案选：C ．练2-4. 【解析】∵|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2?a ⃗⃗?b ⃗⃗=0， 又∵|a ⃗⃗+b|=2√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=43a ⃗⃗2?|b ⃗⃗|=√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?a ⃗⃗=a ⃗⃗2+a ⃗⃗·b ⃗⃗=a ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗+b ⃗⃗,a ⃗⃗>=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)·a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗|·|a ⃗⃗|=22√33|=√32，故向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗的夹角为π6． 故答案选：D ．例6.【解析】∵|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗·b ⃗⃗=|a ⃗⃗|·|b⃗⃗|·cos60°=1 ∵(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，∴(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)?(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)=3m |a ⃗⃗|2+(5m −3)·a ⃗⃗·b ⃗⃗−5|b⃗⃗|2=3m +(5m −3)−20=0；∴m =238． 故答案为：238．练2-5.【解析】已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，则：a ⃗⃗?b ⃗⃗=|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos π3=2，已知：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)?a ⃗⃗=0，即：3a ⃗⃗2+λa ⃗⃗?b ⃗⃗=0，解得：λ=−32，故选：A ．练2-6.【解析】∵a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−5b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2−15b ⃗⃗2+16a ⃗⃗?b ⃗⃗=0①，又∵a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗−4b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−2b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2+8b ⃗⃗2−30a ⃗⃗?b ⃗⃗=0②，由①②得a ⃗⃗2=b ⃗⃗2=2a ⃗⃗?b ⃗⃗,又由cosθ=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗|?|b⃗⃗|，易得：cosθ=12，则θ=60°，故答案为：60°例7.【解析】根据题意，直角三角形ABC 中，∠A =90°，设AD 为斜边BC 上的高， 又由AB =2，AC =4，则AD =√4+16=4√55， 连接PA ，则圆A 的半径r =|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， 当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值， 此时|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+16=2√5， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最大值为4√55×2√5=8，故PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为165+8=565， 故选：D ．练3-1.【解析】如图，以B 为坐标原点，?BC 所在的直线为?x 轴， 过点B 且垂直与BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 因为AD//BC ，∠B =π3，AB =2，AD =1，所以D(2,√3)，不妨设P (x,0)，Q (x +1,0)(0≤x ≤3)， 则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,−√3)?(x −1,−√3) =(x −2)(x −1)+3=x 2−3x +5=(x −32)2+114，由二次函数性质得当x =32时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值114． 故选D.练3-2.【解析】由b(tanA +tanB)=2ctanB ，得sinB (sinAcosA +sinBcosB )=2sinC ·sinBcosB ， 整理得sinAcosB +cosAsinB =2sinCcosA ，即sin(A +B)=2sinCcosA ， 又sin(A +B)=sinC ， 所以cosA =12，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=bccosA =2,所以bc =4， 又AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， 所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=13√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=13√b 2+c 2+2×2≥13√2bc +4=√123=2√33, 当且仅当b =c 时，等号成立， 所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为2√33．【素养提升】例8.【解析】 (1)由勾股定理知，AB =√AB 2+AC 2=10；解法一(坐标法)：建立平面直角坐标系，如图所示：则A(0,0)，B(0,8)，C(6,0)，BC 的中点D(3,4)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−6,8)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×(−6)+4×8=14； 解法二(基向量法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(82−62)=14； 解法三(定义法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×cos2B =2×5×5×(2cos 2B −1)=50×[2×(45)2−1]=14；(2)由题意，点P 在AC 上，解法一(极化恒等式)：PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−25，所以当PD ⊥CA 时，此时|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4， PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗取到最小值，即(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)min =−9； 解法二(坐标法)：设P(x,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−x,8)?(6−x,0)=(x −3)2−9，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是−9； (3)解法一(坐标法)：以AC ，AB 为x ，y 轴建立坐标系，则∠BAC 的角平分线方程为y =x ，可以设P(a,a)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为(−a,−a)=m(−a,8−a)+n(6−a,−a)=(−am +6n −an,8m −am −an)，所以(m +n −1)a =8m =6n ，m =34n ，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2|a|=√2|24n7n−4|=√2|247−4n|，当1≤n ≤2时，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是[245√2,8√2]． 解法二(几何法)：由已知得(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 则有{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，即{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=64m ①(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36n ②；由①÷②得86=64m 36n，所以m =34n ，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1−m−n=3nAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4−7n，所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|24√2n (4−7n)|∈[24√25,8√2]．? 练4-1.【解析】由题意可得AB =√32+32=3√2，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则BC =√2，所以AC =4√2，取AC 的中点M ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 两式平方后作差得PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−8， 要使PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小，就要使PM 最小， 易知当圆弧AB 的圆心与点P ，M 三点共线时，PM 最小， 设AB 的中点为D ，圆心为O ，连接OD 和OM ， 此时DM =AM −AD =2√2−3√22=√22， 在△ODM 中，OM =√OD 2+DM 2=(3√22)(√22)=√5，所以PM 的最小值为3−√5，代入求得PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小值为6−6√5． 故答案选：D ．练4-2.【解析】 (1)由极化恒等式知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2]=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=9−94=274；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0， 由极化恒等式知，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，FB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24， 又AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5， ∴有{9m 2−n 2=27m 2−n 2=−5，解得m =2，n =3，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4m 2−n 2=7．? 【易错点归纳】例9.【解析】因为OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0， 所以AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，故选项B 正确； 即|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ， 所以|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ，则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i 在向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量相等， 又AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以点A 、A i 在同一条垂直于直线OB 的直线上， 故A 选项错误，选项C 正确，选项D 正确． 故选：BCD ．例10.【解析】根据题意，设向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为θ， 若b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则b ⃗⃗(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)=4a ⃗⃗?b ⃗⃗−b ⃗⃗2=4|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cosθ−|b ⃗⃗|2=16√2cosθ−16=0， 变形可得：cosθ=√22，又由0≤θ≤π，则θ=π4，故选：B ．例11.【解析】对于A ，a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗c ⃗⃗?(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?c ⃗⃗=0，不一定有a ⃗⃗=b ⃗⃗?，故A 不正确； 对于B ，利用向量数量积的运算性质可得：(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗?，故B 正确；对于C ，若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，但当a ⃗⃗，b ⃗⃗与c ⃗⃗的夹角不相等时，a ⃗⃗?c ⃗⃗≠b ⃗⃗?c ⃗⃗，故C 不正确；对于D ，a ⃗⃗?b ⃗⃗与b ⃗⃗c ⃗⃗都为实数，而a ⃗⃗与c ⃗⃗不一定共线，因此(a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗≠(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗.故D 不正确．故选：ACD ．例12.【解析】向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，A .若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则(−1)×1+2×m =0，解得m =12，故A 正确；B .若a ⃗⃗?//b ⃗⃗，则(−1)×m −2×1=0，解得m =−2，故B 正确；C .若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则√5=√1+m 2，所以m =±2，故C 错误；D .若m =3，则b ⃗⃗=(1,3)，则a ⃗⃗·b ⃗⃗=1×(−1)+2×3=5，|a ⃗⃗|=√5，|b⃗⃗|=√10， 所以cos <a ⃗⃗,b ⃗⃗>=a⃗⃗·b ⃗⃗⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√5×√10=√22， 又<a ⃗⃗,b⃗⃗>∈[0,180°]， 所以a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°?，故D 正确． 故选：ABD ．。
高三数学中档练习题
高三数学中档练习题一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B的结果是：A) {1, 2, 3, 4, 5}B) {1, 2, 3}C) {3, 4, 5}D) {1, 2}选择：_____2. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为：A) 1B) -1C) 0D) 2选择：_____3. 若log2(8x) = 4，则x的值为：A) 2B) 4C) 8D) 16选择：_____4. 已知三角形ABC，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为：A) 7 cmB) 13 cmC) 17 cmD) 25 cm选择：_____5. 若p(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 6，其中k为常数，若p(2) = 4，则k的值为：A) -8B) -6C) -4D) -2选择：_____二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 7x + 2y = 4x = _____, y = _____2. 已知函数f(x) = x^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则b = _____，c = _____3. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任选3个数字，不放回地抽取，若抽取的三个数字的和为12，则这三个数字可能是_____、_____、_____三、解答题1. 三角形ABC中，∠ACB = 90°，AB = 8 cm，BC = 15 cm。
求三角形ABC的面积。
解答：2. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(x)。
解答：3. 解方程组：3x - 2y = 72x + 3y = 1解答：四、证明题证明：在任意三角形ABC中，角平分线和边所构成的角的两边比例相等。
证明：五、应用题一块长方形的地皮，长为20米，宽为15米，现需要在长方形的四周围上一圈环形花坛，假设花坛的宽度为1米，求花坛的面积。
高三数学函数中档题训练
中档题训练（七）函数部分11. 设关于x 的二次方程227(13)20x k x k k -++--=的两根12,x x 满足12012x x <<<<,求k 的取值范围.2. 在函数)11(32≤≤-=x x y 的图象上有A 、B 两动点；满足AB ∥x 轴；点M(1,m)(m 为常数；m>3)是三角形ABC 的边BC 的中点；设A 点横坐标t ；△ABC 的面积为f (t). (1) 求f (t)的解析表达式； (2) 若f (t)在定义域内为增函数；试求m 的取值范围；(3) 是否存在m 使函数f (t)的最大值18？若存在；试求出m 的值；若不存在；请说明理由。
3. 已知f x x (sin )cos 12-=；求f x ()的解析式。
4. 命题p :函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q :1ax <+p 或q 为真命题；命题p 且q 为假命题；求实数a 的取值范围.5. 已知函数.12)(,2)(+-==x x x g x f x（1）证明：函数)(x g 在),1(+∞-上为增函数； （2）用反证法证明方程0)()(=+x g x f 没有负数根.6. 已知2)11()(+-=x x x f )1(>x ；（1）若2)(1)(1++=-x x f x g ；求)(x g 的最小值；（2）若不等式)()()1(1x m m x f x -⋅>⋅--对于一切]21,41[∈x 恒成立；求实数m 的取值范围。
7. 已知二次函数f （x ）=a c bx x ++2（a >0）；对称轴方程为=x 0x ；方程f （x ）=1有一个根为0；方程f （x ）=x 有两个根1x ；2x ．⑴如1x <2<2x <4 ．求证： 0x >－1． ⑵如0<1x <2 ；|2x －1x |=2 ．求b 的取值范围．中档题训练（八）函数部分21. 已知二次函数2()f x ax x =+（a ∈R ；a ≠0）． （Ｉ）当０＜a ＜12时；(sin )f x （x ∈Ｒ）的最大值为54；求()f x 的最小值． （II ）如果x ∈[0；1]时；总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．（III ）令1=a ；当[]()*∈+∈N n n n x 1,时；()x f 的所有整数值的个数为()n g ；求证数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n g 2的前n 项的和7<n T .2. 若不等式05)2(8824>+--+a x a x 对任意的实数x 均成立；求实数a 的取值范围。
高三数学中档题汇总(新课程)
高三数学中档题汇总一、导数考查重点：掌握运用导数的有关知识，研究一元三次函数的性质（单调性、极值与图象），进而研究与三个二次有关的问题。
利用导数的几何意义解决函数或解析几何中与切线有关的问题。
二、三角考查重点是：正弦型函数的图象与性质及三角形中的三角函数问题，基础是合理选择公式进行三角函数式的变换，对图象与性质关键是利用倍角公式、和异变形公式转化为一个正弦型函数，第二类解题的关键是恰当地利用各种关系，角角关系和边角关系，同时渗透方程思想。
三、数列考查重点是:等差、等比数列的通项公式及前n项和的灵活运用，等差等比数列的综合运用，递推数列问题，解题的关键是综合运用各种思想方法解题，如利用求等差、比数列的通项公式、前n项公式的思想方法（累加法、累积法和倒序求和法、错位相减法）解决有关杂数列问题，利用方程思想及转化思想解题，构造辅助数列解决递推数列问题，综合运用数列、函数方程，不等式等知识。
四、解析几何考查重点是:求曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的最值问题，解题关键是注意转化思想的运用，利用韦达定理、点差法、待定系数法、圆锥曲线的定义及弦长公式解题，对于以向量为背景的解析问题，常用思考方法是向量代数法和向量几何法。
五、立体几何考查重点是：空间位置关系（平行垂直）的确定和空间度量问题。
对于空间位置关系要严格利用相关的判定定理和性质定理证明，并掌握一般的证明思路和方法；空间度量问题主要是空间的角度和体积，异面直线所成的角主要是通过平移使得相交，线面角主要是找斜线的射影（或找垂线），二面角的平面角主要是利用定义法和垂线法确定，最后通过解三角形求得，同时注意解题步骤是一作（找）、二证、三求；体积问题主要是确定图形的形状利用相关公式求解，或利用等体积法和分解法求解。
高三数学中档题汇总（一）1． 已知函数)(x f 的定义域是()+∞,0，当x>1时，)(x f >0，且)()()(y f x f xy f +=1) 求)1(f2) 求证：)(x f 在定义域上是增函数 3) 如果1)31(-=f ，求满足不等式1)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围2、已知向量1),1,3(),cos ,(sin =⋅-==n m n A A m，且A 为锐角。
高中数学中档题
高三数学中档题训练51.已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为A B C △的内角A B C ，，的对边，且满足AC B ACB cos cos cos 34sin sin sin --=+ω.（Ⅰ）证明：a c b 2=+；（Ⅱ）若c b =，设θ=∠AOB ，(0)θπ<<,22O A O B ==，求四边形OACB 面积的最大值.2.已知N n *∈,数列{}n d 满足2)1(3nn d -+=,数列{}n a 满足1232n n a d d d d =+++⋅⋅⋅+；又知数列{}n b 中，21=b ，且对任意正整数n m ,，nm m n b b =.（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）将数列{}n b 中的第．1a 项，第．2a 项，第．3a 项，……，第．n a 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2013项和.3.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．A B ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，E A E B ⊥．（Ⅰ）求直线EC 与平面A B E 所成角的正弦值；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．[来源学科网]4.如图，F 1，F 2是离心率为22的椭圆C ：22221x y ab+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 在直线l 上，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 是否存在点M ，使以PQ 为直径的圆经过点F 2，若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．[来源:Z xxk .C o m ]5.已知函数()ln()f x a x b =+，()e 1x g x a =-（其中0a ≠，0b >），且函数()f x 的图象在点(0,(0))A f 处的切线与函数()g x 的图象在点(0,(0))B g 处的切线重合．（Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）若0x ∃，满足000()1x m x g x ->+，求实数m 的取值范围；第4题图 O B A x y x ＝－ 21 MF 1 F 2 P Q高三数学中档题训练61.已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-,函数()() 2.f x a b a =+⋅-(1)求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间;(2)已知a ，b ，c 分别为∆ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，23a =,4c =,且()1f A =.求A ，b 的长和∆ABC 的面积.2.小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为432,,543,且每个问题回答正确与否相互独立.(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;(2)用X 表示小王所获得奖品的价值,写出X 的概率分布列,并求X 的数学期望.3.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，AB AA 21=，N 是1CC 的中点，M 是线段1AB 上的动点（与端点不重合），且1AB AM λ=.(1)若21=λ，求证:1AA MN ⊥;(2)若直线MN 与平面ABN 所成角的大小为θ，求θsin 的最大值.4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距为32.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线O M 、M N 、O N 的斜率依次成等比数列，求△O M N 面积的取值范围.5.已知函数2()ln(1)f x x kx =++（k R ∈）.(1)若函数()y f x =在1x =处取得极大值,求k 的值; (2)[0,)x ∈+∞时,函数()y f x =图象上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≥⎩所表示的区域内,求k 的取值范围;(3)证明:2)12ln(1221<+--∑=n i ni ，+∈N n .高三数学中档题训练71.已知向量,53),,(),cos ,(cos c k h b a k A B h =⋅=-=错误！未找到引用源。
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中档题7一、填空题1．设集合{}2120A x x x =+-=，集合{}10B x kx =+=，如果A B A ⋃=，则由实数k 组成的集合中所有元素的积等于 . 2．若复数()3,12a ia R i i-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知向量()2,1,10,52=+==a b a b a g ，则=b .4．若命题“,x R ∃∈使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 5.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值()*n N ∈，且79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .6．已知函数()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，若()2f x ≤恒成立，则a b +的最大值为 .7．过点()3,4C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12r r = . 8．如图，已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且30BAC ∠=o，,M N 分别在棱AC AD 和上，则BM MN NB ++的最小值为 .二、解答题9．在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.（1）求角C 的最大值（2）若角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小.10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA PD =,且PD 与底面ABCD 所成的角为45o .（1）求证：PA ⊥平面PCD（2）已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点Q ，使//EQ 平面PBC ？若存在，证明你的结论；若不存在，试，说明理由.11．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x 元()911x ≤≤时，一年的销售量为485x -万件，并且全年该药品需支付2x 万元的宣传及管理费.（1）求该医药公司一年的利润L （万元）与每件药品的售价x 的函数关系式；（2）当每件药品的售价为多少元时，该公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.12．已知曲线221:14y C x +=与曲线22:1C y x =-，设点()()000,0P x y y >是曲线1C 上任意一点，直线0014y yx x +=与曲线2C 交于,A B 两点. （1）判断直线0014y yx x +=与曲线1C 的位置关系；（2）以,A B 两点为切点分别作曲线2C 的切线，设两切线的交点为M ，求证：点M 到直线1:220l x y --=与2:220l x y ++=距离的乘积为定值.13．设函数)(x f 的定义域为M ，具有性质P ：对任意M x ∈，都有)1(2)2()(+≤++x f x f x f .（1）若M 为实数集R ，是否存在函数),1,0()(R x a a a x f x∈≠>= 具有性质P ，并说明理由；（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意M x ∈，都有N x f ∈)(. 记)()1()(x f x f x d -+=.求证：对任意M x ∈，都有)()1(x d x d ≤+.14．设非常数数列{a n }满足βαβα++=++n n n a a a 12，*∈N n ，其中常数βα,均为非零实数，且 0≠+βα.（1）证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是02=+βα；（2）已知25,141121====a a ，，βα，求证：数列{}11-+-n n a a()2,≥∈*n N n 与数列()*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n 21中没有相同数值的项.中档题7答案1、02、63、54、13a -≤≤5、2996、1747、25 8、2 9、（1）由条件知，当cos 0C =时，不合题意.当cos 0C ≠时，2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨∆=-≤⎩，即2cos 02cos 3cos 20C C C >⎧⎨+-≥⎩，1cos 2C ∴≥. C ABC ∆Q 为的内角， 03C π∴<≤，∴角C 的最大值为3π. (2)有（1）知3C π=， 23A B π∴+=，由2a b =，得sin 2sin A B =.2sin 2sin 3B B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,即3133cos sin 2sin ,cos 2sin 2222B B B B B +==，即32tan .0,,336B B B ππ⎛⎫=∈∴= ⎪⎝⎭Q . 10、证明（1）过点P PH AD ⊥作交于H .Q 侧面PAD ABCD ⊥底面，PH ABCD ∴⊥平面.PD ∴与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=o .,45.PA PD PAD =∴∠=o Q 则90APD ∠=o..,PA PD CD AD ∴⊥⊥Q 平面PAD ABCD ⊥底面，.,CD PAD PA PAD ∴⊥⊂Q 平面平面.CD PA ∴⊥,PD CD D ⋂=Q PA PDC ∴⊥平面.（2）存在.当Q 为PD 的中点时，//EQ 平面PBC . 证明如下：取PC 的中点F ，连,FQ FB .则1//,.//,2FQ CD FQ CD BE CD =Q 12BE CD =，∴四边形BEQF 为平行四边形.//.BF EQ BF ∴⊂Q 平面,PBC EQ ⊄平面PBC ，//EQ ∴平面PBC .11、（1）该公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()48625L x x x =-•--， []9,11x ∈.（2）()48625L x x x =-•--Q ，令[]()4815,4,6,210t x t t L t t --=∈∴=--=484838238223886t t t t ⎛⎫-+≤-•=- ⎪⎝⎭.当且仅当482t t =，即526x =+时，L 取得最大值3886-.则当每件售价为526+元时，该公司一年的利润L 最大，最大值为3886-（万元）.12、（1）直线直线0014y y x x +=与曲线1C 相切00221444y yx x y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，22004840x x x y ⇒-+-= ()()222220000816416440x y x y ⇒∆=--=+-=.（2）设()()1122,,,A x y B x y002441y y x x y x =-⎧⎨=-⎩，()2000012120044440,1x y x x x y x x x x y y ⎛⎫⇒+-+=⇒+=-=-+ ⎪⎝⎭22:12C y x y x '=-⇒=，切线()()2111:12AM y x x x x --=-,即：()21121y x x x =-+①同理切线()222:21BM y x x x =-+②联立①②得012002242x x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，即00024,2x M y y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 设点M 到直线12,l l 距离分别为12,d d ，000001241222455x x y y y d ⎛⎫⎛⎫+-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， 000002241222455x x y y y d ⎛⎫⎛⎫-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，20201222001161644555y x d d y y --===.13、证明：（1）因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).由题设以及算术平均与几何平均不等式，得f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)， 这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . （2）(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ).14、（1）解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：若βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列.②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入12n n n a a a αβαβ+++=+，得[(1)]()(2)k n b kn b k n b αβαβ++++++=+.化简得2k k ααβ=+，即02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. （2）由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-.又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=（2n ≥）.由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.。