整数划分
《算法设计与分析》实验指导书_bfm(全)
《算法设计与分析》实验指导书本书是为配合《算法分析与设计实验教学大纲》而编写的上机指导，其目的是使学生消化理论知识，加深对讲授内容的理解，尤其是一些算法的实现及其应用，培养学生独立编程和调试程序的能力，使学生对算法的分析与设计有更深刻的认识。
上机实验一般应包括以下几个步骤：（1）、准备好上机所需的程序。
手编程序应书写整齐，并经人工检查无误后才能上机。
（2）、上机输入和调试自己所编的程序。
一人一组，独立上机调试，上机时出现的问题，最好独立解决。
（3）、上机结束后，整理出实验报告。
实验报告应包括：题目、程序清单、运行结果、对运行情况所作的分析。
本书共分阶段4个实验，每个实验有基本题和提高题。
基本题必须完成，提高题根据自己实际情况进行取舍。
题目不限定如下题目，可根据自己兴趣爱好做一些与实验内容相关的其他题目，如动态规划法中的图象压缩，回溯法中的人机对弈等。
其具体要求和步骤如下：实验一分治与递归（4学时）一、实验目的与要求1、熟悉C/C++语言的集成开发环境；2、通过本实验加深对递归过程的理解二、实验内容：掌握递归算法的概念和基本思想，分析并掌握“整数划分”问题的递归算法。
三、实验题任意输入一个整数，输出结果能够用递归方法实现整数的划分。
四、实验步骤1．理解算法思想和问题要求；2．编程实现题目要求；3．上机输入和调试自己所编的程序；4．验证分析实验结果；5．整理出实验报告。
一、实验目的与要求1、掌握棋盘覆盖问题的算法；2、初步掌握分治算法二、实验题：盘覆盖问题：在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
三、实验提示void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) {if (size == 1) return;int t = tile++, // L型骨牌号s = size/2; // 分割棋盘// 覆盖左上角子棋盘if (dr < tr + s && dc < tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);else {// 此棋盘中无特殊方格// 用t 号L型骨牌覆盖右下角board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);}// 覆盖右上角子棋盘if (dr < tr + s && dc >= tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else {// 此棋盘中无特殊方格// 用t 号L型骨牌覆盖左下角board[tr + s - 1][tc + s] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);}// 覆盖左下角子棋盘if (dr >= tr + s && dc < tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);else {// 用t 号L型骨牌覆盖右上角board[tr + s][tc + s - 1] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);}// 覆盖右下角子棋盘if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);else {// 用t 号L型骨牌覆盖左上角board[tr + s][tc + s] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);}}一、实验目的与要求1、熟悉二分搜索算法；2、初步掌握分治算法；二、实验题1、设a[0:n-1]是一个已排好序的数组。
将正整数n划分成k个奇数的方法
将正整数n划分成k个奇数的方法正整数n可以被认为是一个由n个单位整数组成的集合，我们的目标是将这n个单位整数划分成k个奇数。
在此文章中，我们将讨论几种不同的方法，使得n可以被划分成k个奇数。
1. 动态规划动态规划是一种常用的解决划分整数问题的方法。
我们可以使用动态规划来求解将正整数n划分成k个奇数的方法。
具体步骤如下：（1）定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示将正整数i划分成j个奇数的方法数。
（2）初始化dp数组，令dp[i][1] = 1，表示将正整数i划分成1个奇数的方法数为1。
（3）使用动态规划的思想进行状态转移，对于每个dp[i][j]，可以将正整数i划分成j个奇数的方法数分为两种情况：一种是i不包含在划分中，另一种是i包含在划分中。
具体转移方程如下：dp[i][j] = dp[i-2][j-1] + dp[i-4][j-1] + ... + dp[i-(2*j-2)][j-1]（i-(2*j-2)大于等于0）（4）最终得到dp[n][k]即为将正整数n划分成k个奇数的方法数。
2. 递归递归是另一种解决划分整数问题的方法。
我们可以使用递归来求解将正整数n划分成k个奇数的方法。
具体步骤如下：（1）定义一个递归函数countWays(n, k)，表示将正整数n划分成k 个奇数的方法数。
（2）递归的终止条件为当n=0且k=0时，返回1；当n小于0或k 小于0时，返回0。
（3）递归的具体实现为countWays(n-1, k-1) + countWays(n-2, k-1) + ... + countWays(n-(2*k-2), k-1)（n-(2*k-2)大于等于0）。
（4）最终得到countWays(n, k)即为将正整数n划分成k个奇数的方法数。
3. 数学公式除了动态规划和递归外，我们还可以利用数学知识得出一些关于将正整数n划分成k个奇数的方法数的数学公式。
具体步骤如下：（1）首先我们可以知道，如果正整数n为偶数且k为奇数，或者正整数n为奇数且k为偶数时，将无法将正整数n划分成k个奇数。
整数划分
对于一个正整数n的划分，就是把n表示成一系列正整数的和，划分与次序无关。
如一个正整数5，可以划分为：[5][4,1][3,2] [3,1,1][2,2,1] [2,1,1,1][1,1,1,1,1]WT：将一个正整数n划分，共有多少种划分方式？上面的例子第一行，所有加数不超过5；第二行，所有加数不超过4；。
第五行，所有加数不超过1.定义int div(int n, int m) 表示正整数n，所有加数不超过m的划分数目。
分析m，n：1、n == 1 或m == 1时共1中划分方式2、n == m时 div(n,n) = div(n,n-1)+1，这样就把主要问题转化为对3的分解。
3、n > m时我们发现只要将div(n,m-1)加上包含加数m的划分数就等于div(n,m)。
即：div(n,m) = div(n,m-1) + 包含加数m的划分数。
包含加数m的划分数可以转化为：div(n-m,m)。
所以3可以表示为：div(n,m) = div(n,m-1) + div(n-m,m)4、n < m 等同于2至此，得到了递归条件并且找到了边界条件。
public int div(int n, int m){if(n == 1 || m == 1){return 1;}else if(n == m){return div(n, n - 1) + 1;}else if(n < m){return div(n, n);}else{return div(n, m - 1) + div(n - m, m);}}将问题稍微改一下，将正整数n划分为连续正整数。
如n = 15，可以划分为：[15][7,8][4,5,6][1,2,3,4,5]假设划分为i个正整数，起始正整数为x，可以表示为：x + x+1 + x+2 + ... + x+i-1 = n即：x + i*(i-1)/2 = n由于x > 0，所以：i*(i-1)/2 < n ==> i^2 - i - 2n < 0 *得到：0 < i < [1+sqrt(1+8n)]/2public int div2(int n){int count = 0;int max = (int)(1+(Math.sqrt(1+8*n)))/2; //最多可以划分成max个正整数for(int i = 1; i < max; i++){int d = i * (i - 1) / 2;if((n - d) % i == 0){int x = (n - d) / i; //将这i个正整数分解成i个x和因为连续递增而多出来的dfor(int j = 0; j < i; j++){System.out.print(x + j + " ");}count++;System.out.println();}}return count;}注：int max = (int)(1+(Math.sqrt(1+8*n)))/2;for(int i = 1; i < max; i++){}为什么可以将double强制类型转换：1、当(1+(Math.sqrt(1+8*n)))/2;结果为整数时，表示存在max，即可以划分为从1开始的一系列连续整数，由*得到：i取不到max，连续的一系列整数为1到(max-1)；2、当(1+(Math.sqrt(1+8*n)))/2;结果不为整数时，表示n在1、的基础上有所增加，但没有增加再次满足1、，再次满足1、的条件为n增加max+1，所以取不到max。
初二数学思维训练习题
初二数学思维训练习题1. 问题解析初二数学是学生接触到较为抽象的数学概念和思维方法的阶段。
为了培养学生的数学思维能力，我们需要提供一些思维训练习题，这些习题旨在锻炼学生的逻辑思维、推理能力和问题解决能力。
本文将提供一些适合初二学生的数学思维训练习题，帮助他们在数学学习中取得更好的成绩。
2. 习题一：数列与函数给定数列{an}，已知a1=1，an与an-1之间满足等式an = an-1 + 2n - 1。
求该数列的通项公式。
解析：首先我们可以列出数列的前几项：1, 4, 9, 16, 25, ... 可以观察到，该数列的每一项等于前一项加上2n-1。
我们可以将此等式化简为an = an-1 + 2n - 1，根据递推关系得出通项公式an = n^2。
因此，该数列的通项公式为an = n^2。
3. 习题二：平面几何在平面直角坐标系中，已知点A(-2, 1)，点B(3, 4)和点C(-1, -3)，求三角形ABC的面积。
解析：首先我们需要计算AB和AC两条边的长度。
根据两点之间的距离公式，得到AB的长度为√((3-(-2))^2 + (4-1)^2) = √(25+9) = √34，AC的长度为√((-1-(-2))^2 + (-3-1)^2) = √(1+16) = √17。
然后，我们可以利用三角形的面积公式，计算面积S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * √34 * √17 = 1/2 * √(34*17) = 1/2 * √578。
因此，三角形ABC的面积为√578/2。
4. 习题三：方程与不等式已知二次方程x^2 - 3x - 4 = 0，求其解并判断方程的根是否为整数。
解析：我们可以使用求根公式来解这个方程。
根据求根公式，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，其解可以表示为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) /(2a)。
将方程x^2 - 3x - 4 = 0代入求根公式，得到x = (3 ± √((-3)^2 - 4*1*(-4))) / (2*1) = (3 ± √(9+16)) / 2 = (3 ± √25) / 2。
贝蒂瑞利定理整数划分
贝蒂瑞利定理整数划分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：贝蒂瑞利定理是数学中一个非常重要的定理，它关于整数划分的性质给出了重要的结论。
整数划分是一个古老而重要的数论问题，它研究如何将一个正整数表示为一系列正整数之和的形式。
在整数划分中，我们通常会遇到一些有趣的问题和挑战，而贝蒂瑞利定理的提出正是为了解决整数划分中的一些问题。
整数划分问题最早可以追溯到欧几里得时代，当时欧几里得就曾对整数划分进行了研究。
整数划分问题的研究并没有停留在欧几里得时代，而是一直延续至今。
贝蒂瑞利定理就是在这样一个背景下应运而生的。
贝蒂瑞利定理的表述比较简单，它指出任意一个正整数n可以表示为以下形式的整数划分个数：n = p(1) + p(2) + ... + p(k)其中p(1), p(2), ..., p(k)都是正整数，且满足p(1) ≤ p(2) ≤ ... ≤ p(k)。
换句话说，贝蒂瑞利定理给出了整数划分的一种特殊表示方式。
贝蒂瑞利定理的证明并不难，主要是通过对整数划分的性质进行分析和推导。
在证明过程中，我们需要借助一些数论的基本知识，例如贝努利数的性质、斯特林数的性质等。
通过这些基本知识，我们可以比较容易地证明贝蒂瑞利定理的正确性。
贝蒂瑞利定理在数论中有着广泛的应用，特别是在组合数学和数论分析领域。
通过贝蒂瑞利定理，我们可以更好地理解整数划分的性质和规律，从而解决一些相关的数学问题。
贝蒂瑞利定理还可以用来推导一些数学恒等式，为数学研究提供重要的参考。
第二篇示例：贝蒂瑞利定理，又称为整数划分定理，是分析数论中一个重要的定理，它探讨了整数划分的问题。
整数划分是指将一个正整数n表示为一系列整数之和的过程。
整数4可以划分为1+1+1+1、2+1+1和2+2这几种分法。
整数划分在数学领域有着广泛的应用，涵盖了许多重要领域，如组合数学、代数、数论等。
贝蒂瑞利定理的内容比较复杂，但其基本思想是：一个正整数n的整数划分种数，等于n的分解中最大加数不超过m的整数划分种数的总和，其中m为正整数。
整数划分问题c语言编程
整数划分问题问题：将以正整数n 表示成一系列正整数之和表示成一系列正整数之和.n=n1+n2+n3+...+nk (.n=n1+n2+n3+...+nk (.n=n1+n2+n3+...+nk (其中其中n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)n1>=n2>=n3>=nk>=1, k>=1)这就是正整数这就是正整数n 的一个划分，正整数n 不同的划分个数称为正整数n 的划分数的划分数, , , 记作记作p(n)分析：在正整数n 的所有不同的划分中的所有不同的划分中,,将最大加数n1不大于m 的的划分个数记为q(n,m),q(n,m),可以建立如下递归关系可以建立如下递归关系可以建立如下递归关系1、 q(n,1)=1,n>=1;当最大加数n1不大于1的时候，任何正整数只有一种划分，即n=1+1+1+n=1+1+1+……+1+1，，其中有n 个12、 q(n,m)=q(n,n),m>=n;最大加数n1实际上不能大于n 。
特殊的，。
特殊的， q(1,m)=1 q(1,m)=13、 q(n,n)=1+q(n,n-1)q(n,n)=1+q(n,n-1)；；正整数n 的划分由n1=n 的一种还有最大划分小于等于n-1的划分组成的划分组成4、 q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1；；正整数n 的最大加数n1不大于m 的划分由n1=m 的划分和n1<=m-1的划分组成的划分组成递归式为递归式为: : 1;(n=1 or m=1)q(n, n);(n<m) q (n, m)=q(n, m)= 1+ q(n, n-1);(n=m) q(n,m-1)+q(n-m,m);(n>m) 伪代码伪代码: :q(n,m)/* q(n,m)/*求解整数求解整数n 的划分数的划分数*/ */{ if(n<1||m<1) return 0; if(n==1||m==1) return 1; else if(n<m) return q(n,n); else if(n==m) return 1+q(n,n-1); else return q(n,m-1)+q(n-m,m); } 的具体划分伪代码整数n的具体划分伪代码start: input：n part: { int i,j; for(i=x;i>=1;i--) if(i+total<=n) { a[t++]=i; total+=i; goto part; } if(total==n) print: { count++; print(n=a[0]+a[1]+...+a[t-1]) if (a[k]中，中，k != t-1) print("+"); else print(" "); if(a[1]==a[2]==a[3]==...a[t-1]==1) print("\n"); } } t=t-1 total=total-a[t]; } 程序代码如下：程序代码如下：#include "stdio.h" #define N 100 int a[N]; int t=0;//t作为数组a[]的下标的下标int total=0; int count=0;//划分数的计数器划分数的计数器划分数的计数器void part(int x,int n) { int i,j; for(i=x;i>=1;i--) if(i+total<=n) { a[t++]=i; //将n 的划分由大到小给数组a[] total+=i;//total 的值逐渐向n 靠拢，当n==total 时就是打印的时候时就是打印的时候 part(i,n); //递归调用，直到满足n==total } if(total==n)//等式两边n=total 时打印时打印{ count++; //计数，每打印一次增1，最终结果即为划分数，最终结果即为划分数printf("%d=",n);//打印等式左边的n 及= for(j=0;j<t;j++) { printf("%d",a[j]);//依次输出a[0],a[1],a[2]..... if(j<t-1) printf("+");//如果如果a[j]不是最后一个加数，那么打印+号 else { if(a[1]==1||a[0]==n) if(a[1]==1||a[0]==n) printf("\n");//printf("\n");//唯有n=n 或者a[1]为1，即除a[0]以外都为1的情况，进行下一行输出的情况，进行下一行输出else printf(" ");//同行等式间分割号同行等式间分割号} } } t--;//回到上一步t 值total-=a[t];//回到上一步total 值} void main() { int n; printf("输入是n:"); scanf("%d",&n); part(n,n);// 将n 划分成若干正整数之和的划分数。
2023年高考数学复习：函数及其性质多选题(原卷版)
【多选题与双空题满分训练】专题3 函数及其性质多选题 2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练新高考地区专用1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数()1x f x x+=，则（ ） A ．()f x 的定义域为R B ． ()f x 是奇函数 C ．()f x 在()0,+∞上单调递减D ． ()f x 有两个零点2．（2022·湖南永州·三模）已知函数()21ln 12f x x x x =--+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在[)2,+∞上为减函数 C ．()f x 有4个零点 D ．00x ∃>，使()00f x >()221111222y x x x =-+=--+ 3．（2022·湖北十堰·三模）已知函数()lg f x x =，则( )A ．()2f ，f，()5f 成等差数列B ．()2f ，()4f ，()8f 成等差数列C ．()2f ，()12f ，()72f 成等比数列D ．()2f ，()4f ，()16f 成等比数列4．（2022·山东枣庄·三模）已知a 、()0,1∈，且1a b +=，则（ ） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b5．（2022·重庆·模拟预测）已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．b a a b <B ．e e aba b >C ．e e ba a a >D ．e e bb a a <6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 是以2为周期的周期函数B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心C ．()()202120222f f +=-D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点7．（2022·江苏盐城·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=8．（2023·福建漳州·三模）若函数()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（）的图象与()()cos 2g x x θ=+的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．2ω=B ．θ的值可以是π3C ．函数f (x )在ππ[,]122单调递减D ．将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到g (x )的图象9．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ） A ．()f x 在[]1,2上单调递减 B ．()00f = C ．()20222022f =D ．()20231f '=10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+ ）A ．7839f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()6,8上为减函数C ．点()3,0是函数()f x 的一个对称中心D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解11．（2022·河北·模拟预测）若函数()21f x +（x ∈R ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0对称B ．2是函数()f x 的一个周期C ．()20210f =D ．()20220f =12．（2022·河北沧州·模拟预测）已知三次函数32()1f x ax bx cx =++-，若函数()()1g x f x =-+的图象关于点（1，0）对称，且(2)0g -<，则（ ）A ．0a <B ．()g x 有3个零点C ．()f x 的对称中心是(1,0)-D ．1240a b c -+<13．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1f x -关于(1,0)中心对称，()1f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则下列选项中说法不正确的有（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 周期为2C ．912f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2f x -是奇函数14．（2022·河北石家庄·二模）已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为2π B ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C．函数()f xD ．函数()f x 图象关于直线2x π=对称15．（2022·重庆八中模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 是以4为周期的周期函数 B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+16．（2022·湖北·一模）已知函数12)||+||cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数D ．()f x ≥-1恒成立17．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点18．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．419．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）对于偶函数sin ()xf x x a=+，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3π2x =处的切线斜率为249πB ．函数()1f x <恒成立C ．若120π,x x <<< 则12()()f x f x <D ．若()m f x <对于π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则m 的最大值为2π20．（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数()2441x x xf x x =+--，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的图象关于点()1,1对称C ．()f x 有唯一一个零点D ．不等式()()223f x f x +>的解集为()()1,13,-+∞21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（ ） A ．()10f =B ．()f x 在(]–,1∞上单调递减C ．若()()1212,x x f x f x <<，则122x x +<D ．若12,x x 是()()cos g x f x x π=-的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x << 22．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； 23．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数ln ()(0)sin ax x f x a x+=≤在[]2,2ππ-上的大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．24．（2022·广东茂名·模拟预测）所谓整数划分，指的是一个正整数n 划分为一系列的正整数之和，如n 可以划分为{}123,,,,k m m m m ，1k n ≤≤．如果{}123,,,,k m m m m 中的最大值不超过m ，即{}123max ,,,,k m m m m m ≤，则称它属于n 的一个m 划分，记n 的m 划分的个数为(),f n m ．下列说法正确的是（ ）A ．当1n =时，m 无论为何值，(),1f n m =B ．当1m =时，n 无论为何值，(),1f n m =C ．当m n =时，()(),1,1f n m f n m =+-D ．()6,46f =25．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R 上的单调递增的函数()f x 满足：任意x ∈R ，有()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=，则（ ）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x Tf xD ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，()1f x cx -≤26．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -==，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（ ）A ．0B ．13C ．23D ．1。
c++整数拆分和以及递归划分
fun(N);
system("pause");//getch();
}
运行结果：
方法2代码：（蛮做法）
#include<iostream>
#include<conio.h>
using namespace std;
void fun(int N)
{
int s=1,i,j,sum;
sum=s;
}//核心算法
//---------------------------------------------------------------------------
int main(int argc, char* argv[])
{
cout<<"***请输入要分解的正整数n："<<"\n";
int n;
for(i=1;i<=(N+1)/2;)
{
if(sum>N)
{
sum-=s;
++s;
}
else
{
if(sum==N)
{
cout<<N<<"=";
for(j=s;j<i;++j)
{
cout<<j<<"+";
}
cout<<j<<"\n";
sum-=s;
s++;
}
++i;
sum+=i;
}
}
整数划分问题
(2) dp[n][m]= dp[n][m+1]+ dp[n-m][m]dp[n][m]表示整数n 的划分中，每个数不小于m 的划分数。
B 划分的多个正整数中，正整数的数量是固定的把一个整数n 无序划分成k 份互不相同的正整数之和的方法总数。
方程为：dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];证明方法参考：/program/html/0369.htm另一种理解，总方法可以分为两类：第一类: n 份中不包含1 的分法，为保证每份都>= 2，可以先拿出k 个1 分到每一份，然后再把剩下的n- k 分成k 份即可，分法有: dp[n-k][k]第二类: n 份中至少有一份为1 的分法，可以先那出一个1 作为单独的1份，剩下的n- 1 再分成k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]相关习题：/ojs/show.php?Proid=1402&Contestid=0:8080/online/?action=problem&type=show&id=11299&courseid=0 #include<iostream>#include<stdio.h>using namespace std;int dp[4505][4505];int solve(int n,int m){int i,j;for(i=1;i<=n;++i){dp[i][0]=0;for(j=1;j<=m;++j){dp[0][j]=0;if(i>=j)dp[i][j]=dp[j-1][j]+1;else{dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i];if(dp[i][j]>=1000000007)dp[i][j]-=1000000007;}}}return dp[n][m];}int main(){int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);printf("%d\n",solve(n,m));return 0;}类似问题：M个小球装N个盒子，或者苹果装盘问题把M个球放到N个盒子,允许有空的盒子(不放球),有多少种放法?典型的DP问题:用F(m,n)表示有多少种放法:如果m=0 或者m=1 , F = 1如果n=0 或者n=1 , F =1既F(0,0) = F(0,1) = F(1,0) = F(1,1) = 1否则F = F(m-n,n) + F(m,n-1)这就是DP的解空间递归解每一次DP应用,都是一次创造#include <stdio.h>int F(int m,int n);int main(){int m;int n;int f;printf("Intput the number of M and N \n");scanf("%d %d",&m,&n);f = F(m,n);printf("There are total %d methods\n\n",f);};int F(int m,int n){if(m==0||m==1) return 1;if(n==0||n==1) return 1;if(m<n) return F(m,m);else return F(m-n,n)+F(m,n-1);};三、关于整数的质因子和分解【问题描述】歌德巴赫猜想说任何一个不小于6的偶数都可以分解为两个奇素数之和。
简单枚举算法教案
枚举算法的应用场景和 优势。
枚举算法的实现方法和 步骤。
枚举算法的实例演示和 练习。
02
枚举算法的基本概念
枚举算法的定义
枚举算法是一种通过列举所有可能情 况来解决问题的算法。它通过逐一检 查每个可能的情况，并排除不可能的 情况，最终找到符合条件的结果。
枚举算法通常适用于问题规模较小， 且可以通过暴力方式求解的情况。
顺序枚举的缺点是对于大规模问 题，效率较低，可能需要耗费大 量时间和计算资源。
01
顺序枚举是指按照一定的顺序逐 一列举所有可能的解，直到找到 满足条件的解或确定无解为止。
02
03
04
顺序枚举的优点是实现简单，适 用于简单的问题求解。
分支枚举
分支枚举是指根据问题的约束条件，将解空 间分成若干个子空间，然后分别在子空间中
枚举算法的优缺点总结
效率问题
枚举算法的时间复杂度较 高，对于大规模问题可能 运行时间较长。
存储空间
枚举算法需要存储所有可 能的解，可能占用大量存 储空间。
适用范围
枚举算法适用于规模较小 的问题，对于大规模问题 可能不适用。
未来研究的方向和挑战
1 优化枚举算法的效率
通过改进算法设计、使用并行计算等技术，降低枚举算 法的时间复杂度。
详细描述
随着处理器技术的发展，并行计算已经成为提高算法效率的重要手段。通过将枚举算法 的任务分解成多个子任务，并利用多核处理器或多台计算机同时执行这些子任务，可以 大大加快算法的执行速度。这种并行计算的方式可以充分利用计算机资源，提高算法的
效率。
并行计算优化
总结词
并行计算优化需要合理设计任务划分策略。
进行枚举。
分支枚举的优点是能够缩小解空间，提高搜 索效率。
整数划分
整数划分I.问题描述将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk（其中，n1≥n2≥…≥nk≥1,k≥1）正整数n的这种表示称为正整数n的划分。
正整数n的不同的划分个数称为正整数n的划分数，记作p（n）。
例如，正整数6有如下11种不同的划分，所以p（6）=11。
6；5+1；4+2，4+1+1；3+3,3+2+1,3+1+1+1,；2+2+2,2+2+1+1，2+1+1+1+1；1+1+1+1+1+1。
II.问题分析正整数n可以有不同的划分，用一维数组list[a]表示每一次划分的各个数字，而每一个数组的第一个元素则表示一个划分中的第一个数字。
递归调用同一个划分函数Divided，这样可以用多个一维数组表示正整数n的多个划分。
最后依次输出这些划分。
算法时间复杂性分析：将正整数N依次递减作为第一个数字，也就是下一次要进行划分的正整数N1，然后调用递归函数划分当前正整数N1。
每一次小的划分调用递归函数所用的时间是不同的，所以时间复杂性为O（n）=1+2+…+n=(1+n)*n/2,故时间复杂性可近似表示为O（n）=n*n。
III.算法描述：以下用C语言描述：void Divided(int n, int m = 0){int i;// 如果分割完毕if(n == 0){// 遍历输出数组printf("%d",list[0]);for(i = 1; i < m; ++i){printf("+%d ", list[i]);}printf("\n");return;}// 由大到小进行分割for(i = n; i > 0; --i){// 如果未分割或当期分割的数字不大于上一个分割的数字if(m == 0 || i <= list[m - 1]){// 将分割的数字存入数组list[m] = i;// 分割剩下的数字Divided(n - i, m + 1);}}}IV.程序#include<stdio.h>int list[255];void Divided(int n, int m = 0){int i; // 如果分割完毕if(n == 0){// 遍历输出数组printf("%d",list[0]);for(i = 1; i < m; ++i){printf("+%d ", list[i]);}printf("\n");return;}// 由大到小进行分割for(i = n; i > 0; --i){// 如果未分割或当期分割的数字不大于上一个分割的数字if(m == 0 || i <= list[m - 1]){// 将分割的数字存入数组list[m] = i;// 分割剩下的数字Divided(n - i, m + 1);}}}int main(){int n;while(~scanf("%d", &n)){Divided(n); }return 0;}。
整数划分的步骤
整数划分的步骤
1.确定划分的正整数的个数，也就是划分的项数。
这个数目可以是任意的，但划分项数越多，划分的可能性也越多。
2. 确定每个划分项的最大值。
这个最大值可以是任意的正整数，但是要注意，每个划分项的最大值应该小于或等于整数本身。
3. 从每个划分项的最大值开始，逐步减小每个划分项的值，直到所有划分项的和等于整数本身。
当划分项的值减小到1时，就意味着下一个划分项可以增加了。
4. 对于每种划分方法，计算出划分项的积，这就是整数划分的一种表示方法。
不同的划分方法可能会有相同的划分项积，所以需要进行去重操作，以避免重复计算。
整数划分是一个经典的组合数学问题，它有着广泛的应用，例如在计算概率、统计学、密码学等领域中都有重要的应用。
- 1 -。
C++求解一整数划分问题
C++求解⼀整数划分问题// rec.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <sstream>#include <list>#include <vector>#include <string>#include <stdexcept>using namespace std;//把数字转换为字符串string convertstrtoint(int j){stringstream tempstream;tempstream<<j;string i;tempstream>>i;tempstream.clear();tempstream.str("");return i;}//递归求解。
string recsmallt(int n,string result,int curtotal, int total){string temp="";if(curtotal==total) return result+",";for(int j=n;j>0;j--){if(curtotal+j==total){temp=temp+ result+"+"+convertstrtoint(j)+",";}if(curtotal+j<total){temp=temp+recsmallt(j,result+"+"+convertstrtoint(j),curtotal+j,total);}}return temp;}void getres(int n){string finalresult="";for(int j=n;j>0;j--){//去掉最后⾯的逗号finalresult=recsmallt(j,convertstrtoint(j),j,n);finalresult.resize(finalresult.size()-1);cout<<finalresult<<endl;}}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){getres(6);system("pause");return 0;}另外⼀种算法：#include <Windows.h>#include <stdio.h>#include <vector>using namespace std;void print(unsigned int x){vector<int> vec;unsigned int count;vec.push_back(x);count = x;unsigned int pos = vec.size() - 1;while(vec[0] != 0){if(vec[pos] == 0){//进⾏回溯vec.pop_back();pos--;vec[pos] --;count --;}else if(count < x){//后⾯数均不⼤于前⾯的数vec.push_back(vec[pos]);pos++;count += vec[pos];}else if(count > x){//后⾯的不能⽐前⾯的⼤，由于缺少判断，这⾥进⾏返回操作 count--;vec[pos] --;}else if(count == x){//满⾜要求，打印，下⼀轮初始化for(int i = 0; i <= pos; i++)printf("%d ", vec[i]);printf("\n");vec[pos]--;count --;}}return;}int main(int argc, char**argv){print(9);return 0;}。
分治算法详解及经典例题
分治算法详解及经典例题⼀、基本概念在计算机科学中，分治法是⼀种很重要的算法。
字⾯上的解释是“分⽽治之”，就是把⼀个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的⼦问题，再把⼦问题分成更⼩的⼦问题……直到最后⼦问题可以简单的直接求解，原问题的解即⼦问题的解的合并。
这个技巧是很多⾼效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅⽴叶变换(快速傅⽴叶变换)……任何⼀个可以⽤计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越⼩，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作⼀次⽐较即可排好序。
n=3时只要作3次⽐较即可，…。
⽽当n较⼤时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决⼀个规模较⼤的问题，有时是相当困难的。
⼆、基本思想及策略分治法的设计思想是：将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便各个击破，分⽽治之。
分治策略是：对于⼀个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（⽐如说规模n较⼩）则直接解决，否则将其分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题形式相同，递归地解这些⼦问题，然后将各⼦问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个⼦问题，1<k≤n，且这些⼦问题都可解并可利⽤这些⼦问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可⾏的。
由分治法产⽣的⼦问题往往是原问题的较⼩模式，这就为使⽤递归技术提供了⽅便。
在这种情况下，反复应⽤分治⼿段，可以使⼦问题与原问题类型⼀致⽽其规模却不断缩⼩，最终使⼦问题缩⼩到很容易直接求出其解。
这⾃然导致递归过程的产⽣。
分治与递归像⼀对孪⽣兄弟，经常同时应⽤在算法设计之中，并由此产⽣许多⾼效算法。
三、分治法适⽤的情况分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征：1) 该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质。
整数划分递推关系
整数划分递推关系
整数划分是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和的方式。
比如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2、4等共5种方式。
整数划分问题在数学中有很多应用，比如计数问题、概率问题、生成函数等。
整数划分问题可以用递推关系来描述。
设p(n)表示将正整数n
拆分成若干个正整数之和的方式数目，即整数划分数。
则有以下递推关系式：
1. 若n=1，则p(n)=1。
2. 若n=2，则p(n)=p(n-1)+1=2。
3. 若n>=3，则
p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-...
其中，递推关系式中的每一项都对应着将n拆分为某些数之和时的情况，例如p(n-5)表示将n拆分为一个5和若干个其他数之和时的情况数目。
需要注意的是，递推关系式中的项数是无限的，因为任何正整数都可以拆分成1的和。
利用递推关系式，可以快速地计算出任意正整数的整数划分数。
比如，p(4)=5，p(10)=42，p(20)=627，p(50)=204226。
但是，由于递推关系式中的项数是无限的，因此随着n的增大，计算整数划分数的时间复杂度也会随之增大。
因此，需要采用一些优化策略，如记忆化搜索、动态规划等，来提高计算效率。
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dp联手题总结
总结做的……不是令人满意的结果，历时一个月，靠，大梁半个月……关键子工程（project.c/cpp/pas）在大型工程的施工前，我们把整个工程划分为若干个子工程，并把这些子工程编号为1、2、……、N；这样划分之后，子工程之间就会有一些依赖关系，即一些子工程必须在某些子工程完成之后才能施工。
由于子工程之间有相互依赖关系，因此有两个任务需要我们去完成：首先，我们需要计算整个工程最少的完成时间；同时，由于一些不可预测的客观因素会使某些子工程延期，因此我们必须知道哪些子工程的延期会影响整个工程的延期，我们把有这种特征的子工程称为关键子工程，因此第二个任务就是找出所有的关键子工程，以便集中精力管理好这些子工程，尽量避免这些子工程延期，达到用最快的速度完成整个工程。
为了便于编程，现在我们假设：（1）根据预算，每一个子工程都有一个完成时间。
（2）子工程之间的依赖关系是：部分子工程必须在一些子工程完成之后才开工。
（3）只要满足子工程间的依赖关系，在任何时刻可以有任何多个子工程同时在施工，也既同时施工的子工程个数不受限制。
（4）整个工程的完成是指：所有子工程的完成。
例如，有五个子工程的工程规划表五个子工完成时间子工程1 子工程2 子工程3 子工程4 子工程5程的工程规划表：序号子工程1 5 0 0 0子工程2 4 0 0 0子工程3 12 0 0 0子工程4 7 1 1 0 0子工程5 2 1 1 1其中，表格中第I+1行J+2列的值如为0表示“子工程I”可以在“子工程J”没完成前施工，为1表示“子工程I”必须在“子工程J”完成后才能施工。
上述工程最快完成时间为14天，其中子工程1、3、4、5为关键子工程。
输入数据：第1行为N，N是子工程的总个数，N≤200。
第2行为N个正整数，分别代表子工程1、2、……、N的完成时间。
第3行到N+2行，每行有N-1个0或1。
其中的第I+2行的这些0，1，分别表示“子工程I”与子工程1、2、…、I-1、I+1、…N的依赖关系，（I=1、2、……、N）。
8的整数划分
8的整数划分全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：8的整数划分是一个经典的组合数学问题，它指的是将整数8划分成若干个整数之和的方式。
这个问题看似简单，但却涉及到了许多深奥的数学原理和方法。
在这篇文章中，我们将从历史、定义、性质以及计算方法等方面对8的整数划分进行详细的介绍。
我们来了解一下关于整数划分的历史。
整数划分这个概念最早可以追溯到欧几里得的《算术》一书中，他研究了将整数划分成若干个整数之和的问题。
而关于8的整数划分的讨论可以追溯到19世纪，当时的数学家们开始研究将整数8划分成若干个整数之和的方式，并提出了各种计算方法和性质。
在介绍8的整数划分之前，我们先来看一下整数划分的一般定义。
整数划分指的是将一个正整数n拆分成若干个正整数之和的方式，其中各个正整数可以是相同也可以是不同的。
对于整数8而言，它的所有划分方式包括8，7+1，6+2，6+1+1，5+3，5+2+1，5+1+1+1，4+4，4+3+1，4+2+2，4+2+1+1，4+1+1+1+1，3+3+2，3+3+1+1，3+2+2+1，3+2+1+1+1，3+1+1+1+1+1，2+2+2+2。
在这些划分方式中，我们可以发现有些方式是等价的，比如8和1+1+1+1+1+1+1+1就属于同一种划分方式。
这就涉及到了整数划分中的“等价划分”概念。
在整数划分中，如果两种划分方式的每个划分项的数量和数值都相同，那么这两种划分方式就是等价的。
通过等价划分的概念，我们可以排除掉重复的划分方式，从而减少计算的复杂度。
接下来，我们来探讨一下8的整数划分的性质。
我们可以得出结论：8的整数划分总共有22种。
这个结论可以通过计算方法来验证，也可以通过数学理论和推导来证明。
我们可以观察到8的整数划分中，最大的划分项是8，最小的划分项是1。
这个性质在整数划分中是非常常见的，通常会有一个最大划分项和一个最小划分项，中间各种划分项的组合方式则有多种多样。
在8的整数划分中，我们还可以发现几种特殊的整数划分方式。
整数划分问题
整数划分问题：目录：1. 整数划分问题的解释 .......................... 错误！未定义书签。
2. 对整数划分问题的4个递推式的解释 (2)3. 伪代码的方式描述算法：求解划分的个数；具体的划分..34. 把算法转换成程序实现的过程及结果 (4)1.整数划分问题的解释：将正整数n 表示成一系列正整数之和，k n n n +++...21，（其中，1,1...21≥≥≥≥≥k n n n k ）。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。
正整数n 的不同划分的个数称为正整数n 的划分数，记作p(n)。
那么，如果直接求解正整数n 的划分数，是很难求解的，这时，我们就要采用递归与分治策略，将这个大的问题转换为求解小的问题。
具体的思路如下：将正整数n 的所有不同的划分中，将最大加数1n 不大于m 的划分个数记作q(n,m)。
可以建立q(n,m)的如下递推关系。
1 n=1,m=1q(n,m)= q(n,n) n<m1+q(n,n-1) n=mq(n,m-1)+q(n-m,m) n>m>1.2.对整数划分问题的4个递推式的解释(1).q(n,1)=1,1≥nn当最大加数1n 不大于1时，任何正整数n 只有一种划分形式，即n=1+1+1+....1。
或者当n 等于1时，也只有一种划分，即1=1。
(2).q(n,m)=q(n,n), m>n最大加数1n 实际上不能大于n ，所以当m>n 时，就只有最大加数从n 开始算起，所以就等于q(n,n)。
当n=1时，无论m 为多少，划分数也只能有一个。
即q(1,m)=1。
(3).q(n,n)=q(n,n-1)+1当m=n 时，也就是求最大加数不大于n 的划分数，此时应该由两部分组成，一部分是1n =n 的划分，个数即为1；另一部分是11-≤n n 的划分，即求最大加数为n-1时的划分数。
(4).q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m)， n>m>1当n>m 时，最大加数1n 不大于m 的划分的个数也是由两部分组成，一部分是m n =1的划分数，第二部分是11-≤m n 的划分数，即把m n ≤1分成了m n =1和11-≤m n 两部分来求解。
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cout<<"+";
}
cout<<endl;
cout<<endl;
}
for(i=(m<n? m:n);i>0;i--) //总体分解成i种,每种又有不同的子情况。
{
//t<<"m="<<m<<endl;
//ut<<"n="<<n<<endl;
//ut<<"i="<<i<<endl;
（4）3+3 3+2+1 3+1+1+1（5）2+2+2 2+2+1+1 2+1+1+1+1
(6)1+1+1+1+1+1
如果左子树K小于右子树P，让P的右子树的的左子树以k倍数分下去。
源代码：
#include<iostream.h>
int a[50],sum=0;
void huafen(int m,int n,int ai) //将ｍ分为不大于ｎ的组成数，ai＞＝0是下标
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。
输入一个正整数，给出不同的划分，并求出总数。
(赖晓晖:如果有错误请大家批评指出,谢谢)
思路：是以二叉树的的思路做的，（用二叉树应该也可以做，可能在输出要判断有点麻烦。）
以6为例子：分为6种情况，而每种情况又有不同的子情况。
（1）：6（2）5+1（3）4+2 4+1+1
{
//ut<<"A "<<m<<" "<<n<<" "<<k<<endl;
//去掉注释可以清楚看到递归时的各个变量具体变化情况
int i;
if(0==m) //当ｍ为0是表示得到一个划分，进行输出
{
sum++; //用来累计有多少种，并在最后输出。
for(i=0;i<ai;i++)
{
cout<<a[i];
//ut<<"ai="<<ai<<endl;
a[ai]=i;
//t<<"B "<<m-a[ai]<<" "<<d[ai]<<" "<<ai+1<<endl;
huafen(m-a[ai],a[ai],ai+1); //递归分解，直到得到一个划分
}
}
void main()
{
int n;
cout<<"请输入要划分的数: ";
整数划分问题
将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不
同分个数。
另：给出所有不同划分的情况。
例如正整数6有如下11种不同的划分：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
cin>>n;
huafen(n,n,0);
cout<<n<<"共有"<<sum<<"种不同划分"<<endl;
}运行截图：