单自由度系统的振动
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2.1.1 自由振动方程
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
x0 2 2 A x0 ( ) pn pn x0 arctg( x ) 0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
2st
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 的静变形等于 st mg
Theory of Vibration with Applications
k
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
F1 k1 st
F2 k 2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
Theory of Vibration with Applications
第2章 单自由度系统的振动
振动理论与应用
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第2章单自由度系统的振动
目录
2.1 无阻尼系统的自由振动
2.2 计算固有频率的能量法
2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动
2.5 简谐激励作用下的受迫振动
2.6 简谐激励受迫振动理论的应用 2.7 周期激励作用下的受迫振动
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形 st 则求出系统的固有频率
g 1 f 2π st
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
Theory of Vibration with Applications
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第2章单自由度系统的振动
2.1.1 自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率 2.1.3 等效刚度系数 2.1.4 扭转振动
1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m( k1 k 2 )
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹 簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自 由振动频率。
解：将各弹簧的刚度系数按
mgl3 96EIh st (1 1 ) 3 48EI mgl
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Theory of Vibration with Applications
2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.4 扭转振动
等效系统
内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运 转中常常产生扭转振动，简称扭振。
扭振系统称为扭摆。 OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。 在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略 去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径 线和该线的静止位置之间的夹角 来决定， 称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使 圆盘产生单位扭角所需的力矩。
C
Fa b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形， a Fa 2 而此变形使C点发生的变形为 c b k 2b 2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
b2 a2
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
m mg k ( st x) x
m kx x
2 n
p x 0 x
无阻尼自由振动微分方程
Theory of Vibration with Applications
k 其中 pn m
固有圆频率
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
mg k st
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
1 f 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
Theory of Vibration with Applications
Theory of Vibration with Applications
返回首页
第2章单自由度系统的振动2.1.1 取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
自由振动方程
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为
mg k st
k mg
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
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Theory of Vibration with Applications
2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
m kx＝0 x
这一方程，可以等效为广义坐标的形式
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
由于每根弹簧所受的拉力都等于 重力mg，故它们的静变形分别为
1st
mg k1
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
等效的概念
meq q k eq q＝0
q pn q＝0 q＝Asin pnt
2
q＝C1cospnt C2cospnt
keq
q0 2 pn＝ －系统的固有频率；A q0 振动的振幅； p meq n
静力等效的原则，折算到质
量所在处。 先将刚度系数k2换算至质 量m所在处C的等效刚度系 数k。
C
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平衡的 关系，作用在B处的力为
2.1.3 等效刚度系数
k
C
F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
得系统的等效刚度系数
k k1k 2 b2 a 2 2 b a k1 b 2 k 2 a2
2
k1k 2 b 2
k1 k 2
物块的自由振动频率为
pn
k k1k 2 b m m(a 2 k1 b 2 k 2 )
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
mgl3 st 48EI
求出系统的固有频率为
1 f 2π
48EI ml 3
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
Theory of Vibration with Applications
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Fra Baidu bibliotek
2.1 无阻尼系统的自由振动
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x
x0，x x0
可解
C1 x0
C2
x0
0
x x 0 cos 0 t
x0
0
sin 0 t
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Theory of Vibration with Applications
2.1 无阻尼系统的自由振动
2.8 任意激励作用下的受迫振动
2.9 响应谱
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Theory of Vibration with Applications
第2章单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
Theory of Vibration with Applications
返回首页
第2章单自由度系统的振动 关于单自由度系统振动的概念
2.1.3 等效刚度系数
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标 原点O，建立坐标系，并以撞击时刻 为零瞬时，则t=0时，有
x 0 st
自由振动的振幅为
x0 2 gh
x0 2 2 A x ( ) st 2h st pn
2 0
梁的最大挠度
2 max A st st 2h st
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.2 振幅、初相位和频率
2π m 2π 系统振动的周期 T pn k
系统振动的频率 f
1 pn k 2π T 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率 pn是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
arctan
pn q0 －振动的位相；q0－初始广义坐标；q0－初始速度。 q0
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Theory of Vibration with Applications
2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
mg st k
1st
mg k1
2st
mg k2
1 1 1 k k1 k 2
k1 k 2 k k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
Theory of Vibration with Applications
0 pn
sin pnt
对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和 当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振 动规律、特征是完全相同的。
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.4 扭转振动
图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两 轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。
Theory of Vibration with Applications
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.4 扭转振动
根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程
I O k n
2 pn 0
kn 固有圆频率 pn IO
扭振的运动规律 0 cos pnt
meq q k eq q＝0
k eq－等效刚度：使系统在 广义坐标方向产生单位 位移， 需要在这一坐标方向施 加的力或力矩。 meq－等效质量：使系统在 广义坐标方向产生单位 加速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
Theory of Vibration with Applications
f、pn 只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固 有频率，圆频率
Theory of Vibration with Applications
pn 称为固有圆频率。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时
另一种形式
x A sin( pnt )
振 幅
x0 2 2 A x0 ( ) pn pn x0 arctg( x ) 0
初 相 位 角
两种形式描述的物 块振动，称为无阻 尼自由振动，简称 自由振动。
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
2st
mg k2
如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹 簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧 的静变形等于 st mg
Theory of Vibration with Applications
k
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，此弹簧的静变形等于
F1 k1 st
F2 k 2 st
系统平衡方程是 Fx 0
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧， 使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则
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振动理论与应用
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第2章单自由度系统的振动
目录
2.1 无阻尼系统的自由振动
2.2 计算固有频率的能量法
2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动
2.5 简谐激励作用下的受迫振动
2.6 简谐激励受迫振动理论的应用 2.7 周期激励作用下的受迫振动
解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧 来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果 知道系统的静变形 st 则求出系统的固有频率
g 1 f 2π st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
典型的单自由度系统:弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直 方向振动时，可视为集中质量。如不 计梁的质量，则相当于一根无重弹簧， 系统简化成弹簧-质量系统
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第2章单自由度系统的振动
2.1.1 自由振动方程 2.1.2 振幅、初相位和频率 2.1.3 等效刚度系数 2.1.4 扭转振动
1 2π
k 1 m 2π
k1 k 2 m( k1 k 2 )
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
组合弹簧的等效刚度
例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹 簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自 由振动频率。
解：将各弹簧的刚度系数按
mgl3 96EIh st (1 1 ) 3 48EI mgl
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.4 扭转振动
等效系统
内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运 转中常常产生扭转振动，简称扭振。
扭振系统称为扭摆。 OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。 在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略 去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径 线和该线的静止位置之间的夹角 来决定， 称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使 圆盘产生单位扭角所需的力矩。
C
Fa b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形， a Fa 2 而此变形使C点发生的变形为 c b k 2b 2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
b2 a2
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2.1 无阻尼系统的自由振动
m mg k ( st x) x
m kx x
2 n
p x 0 x
无阻尼自由振动微分方程
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k 其中 pn m
固有圆频率
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.1 自由振动方程
其通解为： x C1 cos p n t C 2 sin p n t
mg k st
mg F1 F2 (k1 k 2 ) st
系统的固有频率
1 f 2π k 1 m 2π k1 k 2 m
k k1 k 2
k称为并联弹簧的等效刚度系数。
并联后的等效弹簧刚 度系数是各并联弹簧 刚度系数的算术和。
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第2章单自由度系统的振动2.1.1 取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴 顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块 在静平衡位置时，由平衡条件，得到
自由振动方程
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的 运动微分方程为
mg k st
k mg
k 固有圆频率 pn m
pn g
st
st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
等效的概念
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
m kx＝0 x
这一方程，可以等效为广义坐标的形式
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。
当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧 的静变形之和，即 st = 1st + 2st
由于每根弹簧所受的拉力都等于 重力mg，故它们的静变形分别为
1st
mg k1
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
等效的概念
meq q k eq q＝0
q pn q＝0 q＝Asin pnt
2
q＝C1cospnt C2cospnt
keq
q0 2 pn＝ －系统的固有频率；A q0 振动的振幅； p meq n
静力等效的原则，折算到质
量所在处。 先将刚度系数k2换算至质 量m所在处C的等效刚度系 数k。
C
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。 设在C处作用一力F，按静力平衡的 关系，作用在B处的力为
2.1.3 等效刚度系数
k
C
F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
得系统的等效刚度系数
k k1k 2 b2 a 2 2 b a k1 b 2 k 2 a2
2
k1k 2 b 2
k1 k 2
物块的自由振动频率为
pn
k k1k 2 b m m(a 2 k1 b 2 k 2 )
由材料力学可知，简支梁受集 中载荷作用，其中点静挠度为
mgl3 st 48EI
求出系统的固有频率为
1 f 2π
48EI ml 3
中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为
k 48EI l3
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2.1 无阻尼系统的自由振动
其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。 设t=0时， x
x0，x x0
可解
C1 x0
C2
x0
0
x x 0 cos 0 t
x0
0
sin 0 t
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2.8 任意激励作用下的受迫振动
2.9 响应谱
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第2章单自由度系统的振动
2.1 无阻尼系统的自由振动
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第2章单自由度系统的振动 关于单自由度系统振动的概念
2.1.3 等效刚度系数
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标 原点O，建立坐标系，并以撞击时刻 为零瞬时，则t=0时，有
x 0 st
自由振动的振幅为
x0 2 gh
x0 2 2 A x ( ) st 2h st pn
2 0
梁的最大挠度
2 max A st st 2h st
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.2 振幅、初相位和频率
2π m 2π 系统振动的周期 T pn k
系统振动的频率 f
1 pn k 2π T 2π m
系统振动的圆频率为 pn 2πf
圆频率 pn是物块在自由振动中每2 秒内振动的次数。
arctan
pn q0 －振动的位相；q0－初始广义坐标；q0－初始速度。 q0
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.3 等效刚度系数
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、 k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处 于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是 st，而弹性力分别是
mg st k
1st
mg k1
2st
mg k2
1 1 1 k k1 k 2
k1 k 2 k k1 k 2
k称为串联弹簧的等效刚度系数 串联后的弹簧刚度系数的倒数等于 各串联弹簧刚度系数倒数的算术和
f
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0 pn
sin pnt
对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和 当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振 动规律、特征是完全相同的。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.4 扭转振动
图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两 轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.4 扭转振动
根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程
I O k n
2 pn 0
kn 固有圆频率 pn IO
扭振的运动规律 0 cos pnt
meq q k eq q＝0
k eq－等效刚度：使系统在 广义坐标方向产生单位 位移， 需要在这一坐标方向施 加的力或力矩。 meq－等效质量：使系统在 广义坐标方向产生单位 加速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
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f、pn 只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关，
而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f 称为固 有频率，圆频率
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pn 称为固有圆频率。
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2.1 无阻尼系统的自由振动
2.1.2 振幅、初相位和频率
用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时