数学建模期末复习

一、 线性规划

1．求解下列线性规划问题： 共20分 max z=2x 1+7x 2-3 x 3

x 1+3x 2+4x 3≤30 （第一种资源限制约束）

x 1+4x 2- x 3≤10 （第二种资源限制约束）

x 1、x 2、x 3≥0

（1） 求出该问题的最优解和最优值；

（2） 第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解； （3） 增加一个新变量x 6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为???

?

??=????

??212616a a ，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。

解：（1）lingo 程序 max =2*x1+7*x2-3*x3;

x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=10;

最优解（x1 x2 x3）=（10 0 0） 最优值=20

（2） max =2*x1+7*x2-3*x3;

x1+3*x2+4*x3<=30; x1+4*x2-x3<=20;

最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0） 最优值=40

或对第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30范围内变化，

最优基解不变最优解（x1 x2 x3）=（20 0 0）最优值=40)

（3）max =2*x1+7*x2-3*x3+3*x4; x1+3*x2+4*x3+x4<=30; x1+4*x2-x3+2*x4<=10;

求解得到 最优解（x1 x2 x3 x4）=（10 0 0 0） 最优值=20

2．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。当前银行存款的利率见下表2。取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。

校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。（15分）

二年期 三年期 五年期

3、某公司打算在三个不同的地区设置4个销售点，根据市场预测部门估计，在不同的地区设置不同的数量的销售点，每月可得到的利润如表2所示。试问在各个地区应如何设置销售点，才能使每月获得的总利润最大其最大利润是多少并给出最优方案。（15分）

表2

销售点 利润

地区 0 1 2 3 4 1 0 16 25 30 32 2 0 12 17 21 22 3

10

14

16

17

解：变量 ij x 为0,1变量

x ij

0,(i =1,2, 3；j=1,2,3,4,5)

目标函数：Max 3

5

1

1

ij ij i j z x c ===

∑∑

约束条件：

5

13

5

11

1,1,2,3

[*(1)]4

ij j ij

i j x i x

j =====-=∑

∑∑

Cij=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17

程序： model : sets :

s/1..3/; d/1..5/; link(s,d):c,x; Endsets

max =@sum (link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j))); ! 同上面相同的目标函数 ; @for (s(i ):@sum (d(j):x(i,j))=1);

@sum (s(i):@sum (d(j):(j-1)*x(i,j)))=4; data :

c=0 16 25 30 32 0 12 17 21 22 0 10 14 16 17; Enddata

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 3)

X( 2, 2)

X( 3, 2)

答：地区1设2个销售点，地区2、3个设1个销售点，最大利润为47

4．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为20万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如表1所示。表1

由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。（15分）

解：xij:第i季度买进，第j季度卖出，（i<=j）

目标函数：Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-46 0)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)**(70+100*2)* *(70+100*3)**(70+100*1)**(70+100*2)**(70+100*1)*

约束条件：

X11=100

X12+x22=140

X13+x23+x33=200

X14+x24+x34+x44=160

X12+x13+x14<=20

X13+x14+x23+x24<=20

X14+x24+x34<=20

模型：

Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-46 0)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)**(70+100*2)* *(70+100*3)**(70+100*1)**(70+100*2)**(70+100*1)*;

X11=100;

X12+x22=140;

X13+x23+x33=200;

X14+x24+x34+x44=160;

X12+x13+x14<=20;

X13+x14+x23+x24<=20;

X14+x24+x34<=20;

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X11

X12

X22

X13

X23

X33

X14

X24

X34

X44

Row Slack or Surplus Dual Price

1

2

3

4

5

6

7

8

答：最大利润为：5160，季度冬买进120，本季度卖出100，等到季度夏卖出20 季度春买进140，本季度卖出140 季度秋买进180本季度卖出140 季度秋买进160本季度卖出160

二、 对偶分析

1、求解下列线性规划问题： 共25分 max z=4x 1+x 2+2x 3

8x 1+3x 2+x 3≤2 （第一种资源限制约束）

6x 1+x 2+x 3≤8 （第二种资源限制约束） x 1、x 2、、x 3≥0 （1） 求出该问题的最优解和最优值；

（2） 第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变，若改变请求出新的最优解；

（3） 现有新产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，问

该产品的售价至少为多少时才值得生产

（4） 由于资源缺乏，现有第三种原来并不受约束资源现在受到限制，限制方程为：

10x 4x 3x 2321≤++，问此时最优解是否受到影响，若需要改变，请求出新的最

优解

解：（1）最优解x1=x2=0,x3=2,最优值为4 程序：max =4*x 1+x 2+2*x 3;

8*x 1+3*x 2+x 3<=2 ; 6*x 1+x 2+x 3<=8 ;

结果：Global optimal solution found.

Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X3

Row Slack or Surplus Dual Price 2 (2)

法一：第一题进行灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到8范围内变化，最优基解不变最优

解（x1 x2 x3）= 0 0 4）最优值=8)

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease

X1 INFINITY

X2 INFINITY

X3 INFINITY

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2

3 INFINITY

法二：

程序：max =4*x1+x2+2*x3;

8*x1+3*x2+x3<=4;

6*x1+x2+x3<=8 ;

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost

X1

X2

X3

Row Slack or Surplus Dual Price

1

2

3

（3）

程序：

max=4*x1+x2+2*x3+x4;

8*x1+3*x2+x3+2*x4<=2;

6*x1+x2+x3+3*x4<=8;

灵敏度分析：x4可由一个单位增加3个单位，即当x4>4时生产，故售价至少大于4 Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease

X1 INFINITY

X2 INFINITY

X3 INFINITY

X4 INFINITY

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2

3 INFINITY

（4）最优基解不变，最优解为（x1 x2 x3）= 0 0 2）最优值=4)

程序：max=4*x1+x2+2*x3;

8*x1+3*x2+x3<=2;

6*x1+x2+x3<=8;

2*x1+3*x2+4*x3<=10;

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 1

Variable Value Reduced Cost

X1

X2

X3

Row Slack or Surplus Dual Price

1

2

3

4

2. 某厂的二种产品I、II分别在四种设备A1 、A2 、A3 、A4上加工。产品所需的机器台时、设备在计划内的有效台时、每件产品利润如下表所示：

（1）请制定一份最佳生产计划，使其总收入达到最大。试建立此问题的数学模型。

（2）求解此问题。（3）若把机器台时出租, 问应如何定价（20％）解：设生产1型x1 ，生产2型x2，

目标函数：max z=2*x1+3*x2

约束条件：2*x1+2*x2<=12

X1+2*x2<=8

4*x1<=16

4*x2<=12

程序：max =2*x1+3*x2;

2*x1+2*x2<=12;

x1+2*x2<=8;

4*x1<=16;

4*x2<=12;

解得：（x1 x2）=（4 2）

最优值=14

（2）

三、运输问题及整数规划

1．某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少各承包商对工程的报价如表3所示：（共10分）

A B C D

项目

投标者

甲15182124

乙19232218

丙26171619

丁19212317

解：

程序：model:

sets:

s/1..4/;

d/1..4/;

link(s,d):c,x;

Endsets

min=@sum(link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j)));! 同上面相同的目标函数;

@for(s(i):@sum(d(j):x(i,j))=1);

@for(d(j):@sum(s(i):x(i,j))=1);

data:

c=15 18 21 24

19 23 22 18

26 17 16 19

19 21 23 17;

Enddata

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 7

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 2)

X( 2, 1)

X( 3, 3)

X( 4, 4)

答：甲承包B乙承包A丙承包C 丁承包D

总费用：为70

2．已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共10分）。(用

B1B2B3产量销地

产地

A159215

A231718

A362817

销量181216

结果如下：

程序：model:

sets:

s/1..3/:a;

d/1..3/:b;

link(s,d):c,x;

Endsets

min=@sum(link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j)));! 同上面相同的目标函数;

@for(s(i):@sum(d(j):x(i,j))<=a(i));

@for(d(j):@sum(s(i):x(i,j))=b(j));

data:

a=15 18 17;

b=18 12 16;

c=5 9 2

3 1 7

6 2 8;

Enddata

end

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 6

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 1)

X( 1, 2)

X( 1, 3)

X( 2, 1)

X( 2, 2)

X( 2, 3)

X( 3, 1)

X( 3, 2)

X( 3, 3)

答：A1运15个单位到B3 A2运18个单位到B1 A3运16个单位到B2 A3运1个单位到B3

总费用：124

3、石油公司有三个石油贮存点，四个石油需求点。其容量和单位运价如表所示：

制定一个贮存点到需求点的运输计划，使总的运输费用最小。试建立此问题的数学模型并且求解。（10％）

4. 许多非洲国家由于恶劣气候而使农业蒙受损害，联合国组织决定派5位农业专家去帮助5个非洲不发达国家，以提高他们的粮食供应。，每位专家能帮助不同国家提高粮食供应达到不同水平，提高的期望值如下表：

专家\国家 A B C D E

1 1

2 15 1

3 1

4 17

2 11 17 14 16 19

3 1

4 1

5 11 18 18

4 1

5 13 12 17 16

5 13 15 12 15 14

假定每个国家有同样的人口，试提出一个专家指派计划，使粮食供应的增长达到极大。试建立此问题的数学模型并且求解。（10％）

5. 某汽车厂与一些单位签订了生产70辆汽车的合同，按合同规定明年每季度末分别提供10，15，25和20台汽车。该厂各季度的生产能力及生产每辆汽车的成本如表所示：

根据生产能力，该厂能提前完成合同，但因此要付出相应的贮存费。现规定每辆汽车积压一

个季度需付万元贮存费。试问该厂应怎样安排各季的生产计划，使总的生产费用最少试建立此问题的数学模型并且求解。（15％）

解：xij：第i季度生产第j季度交的车辆

目标函数：min=x11*+x12*++x22*+x13*++x23*++x33*11+x14*++x24*++x34*+11)+x44*

X11=10

X12+x22=15

X13+x23+x33=25

X14+x24+x34+x44=20

X11+x12+x13+x14<=25

X22+x23+x24<=35

X33+x34<=30

X44<=10

程序：min=x11*+x12*++x22*+x13*++x23*++x33*11+x14*++x24*++x34*+11)+x44*;

X11=10;

X12+x22=15;

X13+x23+x33=25;

X14+x24+x34+x44=20;

X11+x12+x13+x14<=25;

X22+x23+x24<=35;

X33+x34<=30;

X44<=10;

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X11

X12

X33

X24

X34

X44

Row Slack or Surplus Dual Price

2

3

4

5

6

8

9

答：最小费用为773，第一季度生产25，本季度交10，等到第二季度交15

第二季度生产25，等到第4季度交5

第三季度生产30，本季度交25，等到第4季度交5

第4季度生产10

6. 某服务公司有4名技术员（A1,A2,A3,A4）为四位顾客（B1,B2,B3,B4）提供服务，由于技术员专长不同其服务时间随顾客而变化。具体服务时间由下表给出：

服务时间B1B2B3B4

A136710

A25638

A328416

A48659

试为该公司制定一份指派计划，使其总服务时间达到最小。试建立此问题的数学模型并求解。（10％）

解：xij:i技术员服务j顾客，为0,1变量

Cij=3 6 7 10

5 6 3 8

2 8 4 16

8 6 5 9

目标函数：

44

11

min*

ij ij

i j

x c

==

=∑∑

约束条件：

4

1

4

1

1,1,2,3,4

1,1,2,3,4

ij

j

ij

i

x i

x j

=

=

==

==

∑

∑

顾

客

程序：model:

sets:

s/1..4/;

d/1..4/;

link(s,d):c,x;

Endsets

min=@sum(link:c*x);

!min=@sum(s(i):@sum(d(j):c(i,j)*x(i,j)));! 同上面相同的目标函数;

@for(s(i):@sum(d(j):x(i,j))=1);

@for(d(j):@sum(s(i):x(i,j))>=1);

data:

c=3 6 7 10

5 6 3 8

2 8 4 16

8 6 5 9;

Enddata

end

结果：Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 8

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 2)

X( 2, 3)

X( 3, 1)

X( 4, 4)

答：A1服务B2 A2服务B23 A3服务B1 A4服务B4

四、目标规划

1、设有一纺织厂可生产衣料和窗帘布共两种产品。该厂两班生产，每周的生产时间为80小时，无论生产哪种产品，该厂每小时的产量都是1千米。据市场预测，每周窗帘布的销售量为70千米，而衣料的销售量为45千米。假定窗帘布和衣料的单位利润分别为千元/千米和千元/千米，上级主管部门对该厂提出了以下四个顺序目标：

（1）尽可能避免开工不足；

（2）尽可能限制每周加班时间不超过10小时；

（3）尽可能满足市场需求；

（4）尽可能减少加班时间。

问该厂应如何安排生产才能使这些目标依序实现，试建立其数学模型。（15分）

解： 约束条件：

11223344128001290017002450

x x d d x x d d x d d x d d -+-+-+-++-+-=+-+-=-+-=-+-=

QSB---Goal programming

一级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30 二级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30 三级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30 四级目标：min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30

2、求解如下目标规划的满意解：

??

???????≥=-+=-++=-++++=+-+-+-+-+

-+

-+-+0

,,,,,,,71000100100401510)()(33221

1213322221112132211d d d d d d x x d d x d d x x d d x x d P d d P Minw 3．某农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施肥

料分别为吨、吨、吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为元/千克，大豆每亩可收获200千克，售价为元/千克，小麦每亩可收获300千克，售价为元/千克。农场年初规划时依次考虑以下的几个方面：

P1：年终收益不低于350万元； P2：总产量不低于万吨； P3：小麦产量以万吨为宜； P4：大豆产量不少于万吨； P5；玉米产量不超过万吨；

P6：农场现能提供5000吨化肥，若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。试建立该目标规划问题的数学模型（不需要求解）。（16分

五、图与网络及关键路线

六、1．已知四个城市间的距离如下表所示，求从A城市出发，经其余城市一次且仅一

次，最后返回到A城市的最短路径与距离。（18分）

A B C D

A--112028

B12--1825

C239--10

D34326--

解：

2．某企业拟开发一新产品，该新产品投产前工序资料如下表（15分）：

工序A B C D E F G H I J K L工序

紧前关系//A A D C，E F B，G B，G H G I，J，K紧前关系工时（周）4103682328521工时（周）

试求：1、绘制网络图；

2、计算时间参数；

3、确定关键线路。

2．某石油公司其输油管网如下图所示，试求该网络中的最大流（15分）。

.

结果为：

MODEL:

sets:

nodes/s,1,2,3,4,t/;

arcs(nodes,nodes)/

s,1 s,2 1,2 1,3 2,4 3,2 3,t 4,3 4,t/:c,f;

endsets

data:

c= 8 7 5 9 9 2 5 6 10;

enddata

max = flow;

@for(nodes(i)|i #ne# 1 #and# i #ne# @size(nodes):

@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=0);

@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1:

f(i,j)) = flow;

@for(arcs:@bnd(0,f,c));

END

Global optimal solution found.

Objective value:

Infeasibilities:

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

FLOW

C( S, 1)

C( S, 2)

C( 1, 2)

C( 1, 3)

C( 2, 4)

C( 3, 2)

C( 3, T)

C( 4, 3)

C( 4, T)

F( S, 1)

F( S, 2)

F( 1, 2)

F( 1, 3)

F( 2, 4)

F( 3, 2)

F( 3, T)

F( 4, 3)

F( 4, T)

Row Slack or Surplus Dual Price

1

2

3

4

5

6

3、某公司一新产品投产前全部准备工作如下表所示，试绘制网络图、计算时间参数和确定

关键路线（25分）。

工作工作内容紧前工作工时（周）

A市场调查/4

B资金筹备/10

C需求分析A3

D产品设计A6

E产品研制D8

F制定成本计划C、E2

G制定生产计划F3

H筹备设备B、G2

I筹备原材料B、G8

J安装设备H5

K调集人员G2

L准备开工投产I、J、K1

QSB---PERT-CPM

关键路线：A D E F G I L 时间参数:最早/最晚开工，最早/最晚结束