数学分析ch14-1第一类曲线积分与第一类曲面积分
曲线与曲面积分应用
曲线与曲面积分应用曲线与曲面积分是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
本文将介绍曲线与曲面积分的基本概念、计算方法和应用实例。
一、曲线积分曲线积分是通过将曲线分割成无穷小的线段，并对每个线段上的函数值进行累加来计算整条曲线上的函数积分。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是函数在曲线上的积分，常用符号表示为∫f(x,y) ds。
其中f(x,y)表示曲线上的函数，ds表示曲线的弧长差。
第一类曲线积分可以应用于计算质量、重心和功等物理量。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是向量场在曲线上的积分，常用符号表示为∫F·ds。
其中F表示向量场，ds表示曲线的弧长差。
第二类曲线积分可以应用于计算流量、环量和曲线的平均速度等物理量。
二、曲面积分曲面积分是通过将曲面分割成无穷小的面元，并对每个面元上的函数值进行累加来计算整个曲面上的函数积分。
曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是函数在曲面上的积分，常用符号表示为∬f(x,y,z) dS。
其中f(x,y,z)表示曲面上的函数，dS表示曲面的面积元。
第一类曲面积分可以应用于计算质量、电荷和电通量等物理量。
2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是向量场在曲面上的积分，常用符号表示为∬F·dS。
其中F表示向量场，dS表示曲面的面积元。
第二类曲面积分可以应用于计算通量、旋度和曲面的平均速度等物理量。
三、曲线与曲面积分的应用实例1. 物理学中的应用曲线与曲面积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过计算电场在闭合曲面上的曲面积分，可以求解闭合曲面内的电荷总量。
又如，通过计算磁场在闭合曲线上的曲线积分，可以求解闭合曲线内的电流总量。
2. 工程学中的应用曲线与曲面积分在工程学中也有许多实际应用。
例如，在流体力学中，通过计算流速场在曲面上的曲面积分，可以求解通过曲面的流体质量。
第一型曲面积分
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2
x 2 y 2 a 2
a 0
a(a 2 x 2 ) a x y
2 2 2
dxdy
2a dr
2π
a 2 r 2 cos 2 a2 r 2
0
r d
2πa
πa
a
2a 2 r 2 a2 r 2
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f ( x , y , z )dS
D xy
2 f ( x , y , z( x , y )) 1 z x ( x, y) z 2 y ( x , y )dxdy
记忆口诀：“一代二换三投影”。
注： （1）计算第一型曲面积分 f ( x, y, z )dS
S1 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 ; S2 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 .
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
S1 S2
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2
x 2 y 2 a 2
a 0
a(a 2 x 2 ) a x y
2 2 2
S
D
EG F 2 dudv , (3)
曲线积分与曲面积分-第一类曲面积分
D yz = {( y , z ) y ≤ R, 0 ≤ z ≤ H }.
o
x
Σ1 R y
dS dS = 2 I = ∫∫ 2 ∫∫ R2 + z 2 2 R +z Σ1 Σ
2 d S = 1 + x 2 + xz d y d z y
= 1+ ( = R
y R y
2 2 2
)2 + 0 d y d z
Σ
Σ1 Σ2
(3) 对称性：
对面积的曲面积分
∫∫ f ( x , y , z ) d S，
Σ
对称性的利用类似于三 重积分 .
如：若 f ( x , y , z ) 在 Σ 上连续， Σ 关于 yoz 面对称， 则 f ( x, y, z) = f ( x, y, z) 0, ∫∫ f ( x, y, z)d S = 2∫∫ f ( x, y, z)d S, f ( x, y, z) = f ( x, y, z) Σ
dS , 其中 ∑是介于平面 I = ∫∫ 2 2 2 x + y +z Σ
Σ = Σ1 + Σ 2
2 2
z = 0 , z = H 之间的圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 .
解 (方法1)
Σ1 : x =
z
H
Σ2
R y ,
( y , z ) ∈ D yz
( y , z ) ∈ D yz
Σ 2 : x = R2 y 2 ,
∫∫ f ( x , y )dσ
D Ω
I是空间闭区域Ω→∫∫∫ f ( x , y , z )dv I是曲线 Γ → I是曲线 Σ →
∫ f ( x , y, z )ds
曲线积分和曲面积分
第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。
由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。
§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。
我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。
为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。
在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。
最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。
每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。
在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。
第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。
曲线积分与曲面积分-第一类曲线积分
2 近似 在小弧段 Ai 1 Ai 上任取一点 M i ( ξ i , ηi )， 该弧段 的质量可近似表示为 ΔM i ≈ μ( ξ i , ηi )Δsi ( i = 1,2,L, n) 3 求和 整个构件质量的近似值
M = ∑ ΔM i ≈ ∑ μ( ξ i , ηi )Δsi
i =1 i =1 n n
第十章 曲线积分与曲面积分
本章基本要求
1. 理解两类曲线积分的概念，知道两类曲 线积分的性质. 2. 掌握两类曲线积分的计算方法. 3. 熟悉格林公式(Green)，会用平面曲线积分 与路径无关的条件. 4. 知道两类曲面积分的概念及高斯公式 (Gauss)、斯托克斯公式(Stokes)，并会计算两类 曲面积分.
1≤ i ≤ n
Ai 1 Ai 上任取一点 M i ( ξ i , ηi ), 作乘积 f ( ξ i , ηi )Δsi
（i = 1,2,L, n）并作黎曼和 ∑ f ( ξ i , ηi )Δsi . ,
n
令λ → 0， 若此和的极限总存在， 即极限值与曲线
L的分法及点 M i的取法无关，
i =1
y
θ= π
4
解 L 的极坐标方程为：
1o 求 d s
ρ = a cos 2θ
2
2
2
O
2
x
a sin 2θ 2 ρ (θ ) ρ ′(θ ) = 2a sin 2θ , ρ ′(θ ) = ρ (θ )
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) d θ
2
ds =
=
a2 ρ (θ ) + ( a sin 2θ ) dθ dθ = ρ (θ ) ρ (θ )
Γ : x = φ( t ), y = ψ ( t ) , z = ω( t ) (α ≤ t ≤ β )
华理高数全部复习资料之 第一型曲线积分与曲面积分
第13章第一型曲线积分与曲面积分内容提要：1．第一型平面曲线积分（对弧长的曲线积分）：1) 定义：2) 性质：a.b. 若，则c. 表示在封闭曲线上求第一型曲线积分3) 计算：a.( )b.c.4) 应用曲线形物件的弧长曲线形物件的质量曲线形物件的质心曲线形物件的转动惯量2．第一型曲面积分1）概念：设是分块光滑的曲面，函数定义在曲面上，将任意分成个小块，，（也表示第小块曲面的面积）。
任取一点，令是各小块曲面中两点间距离的最大值，若极限存在，且极限值与分割和取点的方法无关，则称此极限为在曲面上的第一型曲面积分，记为。
2）性质：第一型曲面积分有和二重积分类似的线性性质和可加性质。
3）计算：第一型曲面积分可以转化为二重积分进行计算。
设曲面是由方程给出，在平面上的投影区域为，且函数在上有连续的偏导数，在上连续，则。
类似地，可以将曲面投影在平面和平面上来计算。
复习指导：第13章第一型曲线积分与曲面积分学习指导：1．两型曲线积分的计算：，其中为保证，要求积分上限>下限，即而是起点A对应的t, 是终点B对应的t,即由下限到上限，总是由起点到终点，而不管谁大谁小。
2．两型曲线积分的关系：，其中为曲线L切线的方向余弦。
3．平面曲线积分可推广到空间曲线积分：，其中为L切线的方向余弦。
4．格林公式：（1）利用格林公式可求平面图形的面积（2）利用格林公式时必须验证P,Q在D内是否有一阶连续偏导。
例：，由于P,Q在D内不具有连续偏导，故此题不能用格林公式求，其实（3）L为D取正向的整个边界曲线，不形成封闭曲线的可补上一段使形成封闭回路。
例：计算其中L是椭圆的上半圆解：补上一段形成回路（4）Pdx+Qdy为恰当微分，求其原函数的方法：a.用线积分方式：b.从定义出发：例：（2x+siny）dx+xcosydyP=2x+sinyQ=xcosyc.直接用凑微分法：。
数学分析ch14-1第一类曲线积分与第一类曲面积分
L
L
L
L
3
曲面的面积
设曲面∑的方程为
x x(u,v),y y(u,v),z z(u,v) ， (u, v) D ， 即
r(u,v) x(u,v)i y(u,v) j z(u,v)k ， (u, v) D ， 这里 D 为 uv 平面上具有光滑（或分段光滑）边界的有界闭区域。假设 这个映射是一一对应的（这样的曲面称为简单曲面），且 x, y,z 对 u和v 有连续偏导数，相应的 Jacobi 矩阵
n
f (i ,i , i )si 。
i 1
如果当所有小弧段的最大长度 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点{Pi} 的取法及弧段 Pi1Pi 上的点 (i ,i , i ) 的取法无关，则称 这个极限值为 f (x, y, z) 在曲线 L 上的第一类曲线积分，记为
f (x, y, z)ds 或 f (P)ds 。
L
L
即
n
L
f (x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i
) si
。
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， L 称为积分路径。
这样，本节一开始所要求的曲线 L 质量就可表为
M (x, y, z)ds 。
L
在平面情形下，函数 f (x, y) 在平面曲线 L 上的第一类曲线积分记
e x2 y2 ds
a
2
e
2x
2dx ea 1 。
0
OA
圆弧 »AB 的参数方程为 x a cos, y a sin, 0 π 4 ，所以
e x2 y2 ds π 4 ea ad π a ea 。
»AB
0
曲线积分和曲面积分
（8） ．
解： ．
故积分与路径无关．
如图10-6，选取路径 ，计算积分．
原积分
．
（9） ．
解： ，故积分与路径无关，
如图10-7，选取路径 计算积分．
原积分
．
10.3计算下列第一型曲面积分：
（1） ， 是 在第一象限的部分．
解： ，
．
如图10-8，
．
（2） ， 是
的表面．
解：如图10-9，取 ．
取 ，
曲线积分和曲面积分
一、一、基本内容
（一）第一型曲线积分与曲面积分
1.第一型曲线积分
（1）第一型曲线积分的定义
若 是封闭的，则记作 ．
(2)第一型曲线积分的计算
2.第一型曲面积分
（1）第一型曲面积分的定义
（2）第一型曲面积分的计算
（二）第二型曲线积分
1第二型曲线积分的定义
设 ，
当 ， ， 都存在时，
其中 是 的单位切向量，
的外侧．
解： ．
由对称性知 ．
故原积分
设 ， ， ，
则仍有 ．
．
（4）求向量 过曲面 为 的全表面流向外侧的流量．
解： ．
三、测验题
1.1.填空
（1） 是曲线 ，其周长为 ，则 等于．
解：由积分的对称性知 ，又 即： ，
故 ．
（2） 是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为 ，则
．
解：由格林公式， ．
解： ．
．
．
．
故 ， ．
（3）计算 ，其中 是 从 轴正向看 的方向为顺时针方向．
解：取 为 被 所截得的部分，由右手定则方向为下侧，根
据斯托克斯公式有：
曲线积分与曲面积分知识点
是F 在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。
(3)(3)第一类曲面积分nf(x, y,z)ds_lim 0f( i , i , J S i_0 i 1S i 表示第i 个小块曲面的面积，(i , i , 面的最大直径。
实际意义：当f(x,y , z)表示曲面上点(x,y,z )处的面密度时，(存在时)为 S i 上的任一点,是n 块小曲f (x, y, z)ds 表示曲面的质量，当Pdydz Qdzdx Rdxdy= li 叫nP( i ,i 1i )( S i )yz Q( i , i , i)( S i )zxR( i , i , i )( S i)xy任意分为n 块小曲面后第I 块S i第十章曲线积分与曲面积分一、 重点 两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
三、 内容提要 1. 1.曲线(面)积分的定义：(1)(1)第一类曲线积分nf(x, y)ds_limf ( i , i ) S i (存在时)Li oS i 表示第i 个小弧段的长度，(i , i )是 S i 上的任一点小弧段的最大长度。
实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，L f (x, y)ds 表示L 的质量；当f(x,y) 1时，ds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点(x,y )处的高时，f(x,y)ds 表示此柱面的面积。
(2)(2)第二类曲线积分nPdx Qdy_lim[P( i , i ) x i Q( i , i ) y i ](存在时)L=i 1实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为： W LF dS L Pdx Qdy ，其中 dS = (dx,dy )事实上，L Pdx , L Qdy 分别f(x,y,z) 1时，ds 表示曲面的面积。
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
微积分 第一类曲面积分
所围四面体整个边界曲
求 例3、
xyz dS , : z x
y ( 0 z 1 ).
2
求 例4、
xdS , : x
2
y
2
1, z x 2 及 z 0 .
所围成空间立体的表面
四、数量值函数在几何形体上的积分及物理应用综述
1、几何形体上的积分 定积分、第一类曲线积分 重积分、第一类曲面积分
dm
J
dm
y
转动惯量： 引力：
Fx
Ix
J
3
y dm , I
2
J
x dm
2
J
G ( x x 0 ) r
dm , F y
J
G ( y y 0 ) r
3
dm , F z
J
G ( z z 0 ) r
3
dm
例5、求密度为常数
的质心坐标及对
f ( x , y , z ) dS
D yz
f [ x ( y , z ), y , ] 1 x y x dydz z
2 2
求 例1、
( x y z ) dS , : y z 5 被 x
2
y
2
25 所截部分 .
求 例2、
xyzdS , : x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1 面.
（2）近似：
第 i 个小曲面质量 m i ( i , i , i ) S i .
第18章 曲线积分和曲面积分
602第十八章 曲线积分和曲面积分§1 第一类曲线积分一、定义背景：在计算曲线段上的质量分布问题时，我们曾把曲线段上的质量转化为如下一个有限和0lim (,,)i i i i f s λξης→∆∑的极限，这个有限和的极限正是本节要介绍的第一类曲线积分，先给出数学定义。
给定光滑曲线段:l AB ，),,(z y x f 定义在l 上且连续，给定l 的一个分割：T ：B A A A A n =<<<= 10这里“<”表示曲线上从A 到B 的顺序。
记 1||i i i s A A -∆=（弧长），max{}i s λ=∆（分割细度）。
定义1、设存在实数I ，使对任意的0ε>，存在0δ>，使对任意分割T ，当λδ<时， 对任意的 1(,,)i i i i i x y z A A -∈，都成立：1|(,,)|ni i i i i f x y z s I ε=∆-<∑，称I 为),,(z y x f 在l 上的第一类曲线积分，记为⎰=lds z y x f I ),,(。
其中),,(z y x f 称为被积函数，l 称为积分路径。
注、显然，定义表明==⎰sds z y x f I ),,(i i i i s z y x f ∆∑→),,(lim 0λ。
注、有时用l 表示弧长，因而，第一类曲线积分也记为(,,)lI f x y z dl =⎰。
不论如何记第一类曲线积分，必须注意到第一类曲线积分是对弧长的积分。
603注、其几何意义为：1=f 时，⎰=lds z y x f I ),,(l s =，（l 的弧长）。
注、第一类曲线积分满足类似的积分性质（略）。
二、计算从定义式可知，计算的本质问题在于对i s ∆的处理，下面，就以此为出发点导出其计算公式。
先给出参数方程下的计算公式。
设给定曲线段l ：βα≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z z t y y t x x ,)()()(是C '的，即],[)(),(),(βαC t z t y t x '∈。
1 第一型曲线积分解析
y
R cos R sin
( )
O
L Rx
R2 sin 2 (R sin )2 (R cos )2d
R3 sin 2
d
2
R3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
例8. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为
解
I y L
x2 y 1 x2
ds
2 1
x2 ln x 1 x2
1 1 x2 dx
2
1
x
ln
xdx
ln
4
3 4
.
例7. 计算半径为R ,中心角为
的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
x
2π
cos t d t 0
0
a
a2 k2
2π
sin t d t
0
0
k
a2 k2
2π
tdt
2π2k
0
a2 k2
故质心坐标为 ( 0, 0, k π )
内容小结
1. 定义 f (x, y) ds L
f (x, y, z)ds
2. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds g(x, y, z)ds (, 为常数)
2 (
i)
2 (
i
)ti
.
第一类曲面积分
其中λ表示各小块曲面直径的最大值，fx,y,z称为被积函数， Σ称为积分曲面，dS称为曲面面积元素.
一、 第一类曲面积分的概念与性质
注
函数f(x,y,z)在闭正面Σ上的积分记为Σf(x,y,z)dS.
卫星重心的连线为z轴，建立坐标系，如 图10-13所示(为简明，仅画出了zOx面).
图 10-13
二、 第一类曲面积分的计算
卫星覆盖的曲面Σ是上半球面被半顶角为β的 圆锥面所截得的部分.Σ的方程为
z=R2－x2－y2, 它在xOy面上的投影区域
Dxy=(x,y)x2+y2≤R2sin2β.
二、 第一类曲面积分的计算
分析
如果该物体的面密度为常量，那么这物体的质量可用公
式
质量=
来计算.由于该物体上各点处的面密度是变量，所以不能
用上述方法来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.
(1)分割.将Σ任意分成n小块，相应地，曲面状物体也分成
n
ΔSi(i=1,2,…,n)，同时ΔSi也代表第i个小块的面积，取
其中一小块ΔSi来考虑.设小块ΔSi的质量为ΔMi，则整个曲面形
二、 第一类曲面积分的计算
可以看到卫星覆盖了全球三分 之一以上的面积，故使用三颗相隔 2π3角度的通信卫星就可以覆盖几乎 地球全部表面.
谢谢聆听
可以证明，当f(x,y,z)在光滑曲面Σ上连续时，f(x,y,z)在Σ上的 第一类曲面积分总是存在的.今后总假定f(x,y,z)在Σ上连续.
由此可知，引例中曲面形物体的质量当面密度ρ(x,y,z)为光滑 曲面Σ上的连续函数时，就等于ρ(x,y,z)在Σ上的第一类曲面积分
第一型曲线曲面积分
L
的面积
z
z a2 x 2 y2
y
4a2 x 2 y2 dl 4a L t 2 2 8a sin dt 16a 0 2013-7-11 2
4
2
x
L
2(1 cos t )dt
21
0
2
三、第一型曲面积分的概念和性质
设f ( M ), g ( M )在曲线L上可积, 则 , R,
f ( M ) g ( M )在L上也可积, 并且有
[f ( M ) g ( M )]dl
L
L
f ( M )dl g ( M )dl
L
性质2：（路径可加性）
若曲线L由曲线L1与曲线L2连接而成, 且 f ( M )在L, L1 , L2上可积, 则有
S 0 i i i i 1
23
i
第一型曲面积分与 第一型曲线积分有类似 的性质和存在性条件 .
15
[例3] 计算 x dl, 其中L为圆周 : x y z a , L z x y z 0. [解] 首先找曲线的参数方程 y o 先找L在xy平面投影曲线的
2 2 2 2 2
参数方程, 这就是L的参数方程 x 的x , y两式, 利用 x y z 0 就可得到第三式
[例] 假设有一不均匀的金属曲面S , 在S上的点M处的面密度为 ( M ), 求S的质量m .
M i
Si
S
[解] 分割: 将S任意分成n小块
近似 : mi ( M i )Si
求和 : m m i ( M i )S i
2013-7-11
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弧段 Pi1Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立
I
n
i 1
ti ti 1
f (x(i ), y(i ), z(i )) f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt s 。
s
s
从而得到
点 Pi (x(ti ), y(ti ), z(ti )) (i 1,2, , n 1) ， 并 设 P0 ((x( ), y( ), z( )) 。记小弧段 Pi1Pi 的长度为 si ，那么它的弧长为
si
ti ti1
x2 (t) y2(t) z2(t)dt 。令
n
i 1
ti ti 1
f (x(i ), y(i ), z(i )) f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt s 。
s
s
从而得到
f (x, y, z)ds lim I 。 0 L
在 L 上的第一类曲线积分存在，且
f (x, y, z)ds
f (x(t), y(t), z(t))
x2(t) y2 (t) z2(t)dt 。
L
证记
I
f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
作区间[, ] 的划分 P : t0 t1 t2 L tn ，在 L 上顺次插入分
为 f (x, y)ds 。
L
第一类曲线积分具有以下性质：
性质 1 （线性性）如果函数 f , g 在 L 上的第一类曲线积分存在，
则对于任何常数, ， f g 在 L 上的第一类曲线积分也存在，且成
立
( f g)ds fds gds 。
L
L
L
性质 2（路径可加性）设曲线 L 分成了两段 L1, L2 。如果函数 f 在
f (x, y, z)ds lim I 。 0 L
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y, z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ，当 max ( si )充分小时， f (x, y, z) 在每个
弧段 Pi1Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立
I
L
L
即
n
L
f (x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i
) si
。
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， L 称为积分路径。
这样，本节一开始所要求的曲线 L 质量就可表为
M (x, y, z)ds 。
L
在平面情形下，函数 f (x, y) 在平面曲线 L 上的第一类曲线积分记
其中 x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x(t), y(t), z(t) 不同时为零（即 L 为光 滑曲线），那么 L 是可求长的，且曲线的弧长为
s x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
定理 14.1.1 设 L 为光滑曲线，函数 f (x, y, z) 在 L 上连续。则 f (x, y, z)
n
f (i ,i , i )si 。
i 1
如果当所有小弧段的最大长度 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点{Pi} 的取法及弧段 Pi1Pi 上的点 (i ,i , i ) 的取法无关，则称 这个极限值为 f (x, y, z) 在曲线 L 上的第一类曲线积分，记为
f (x, y, z)ds 或 f (P)ds 。
其中 x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x(t), y(t), z(t) 不同时为零（即 L 为光 滑曲线），那么 L 是可求长的，且曲线的弧长为
s x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x x(t), y y(t), z z(t), t ，
特别地，如果平面光滑曲线 L 的方程为 y y(x), a x b ，
则
f (x, y)ds
b
f (x, y(x))
1 y2(x)dx 。
a
L
例 14.1.1 计算 I e x2y2 ds ，其中 L 为圆周 x2 y2 a2 ，直线 y x L
数学分析ch14-1第一类曲线积分与第 一类曲面积分
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。
定义 14.1.1 设 L 是空间 R3 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A 和 B ，函数 f (x, y, z) 在 L 上有界。令 A P0 , B Pn 。在 L 上从 A 到 B 顺 序地插入分点 P1, P2 , , Pn1 ，再分别在每个小弧段 Pi1Pi 上任取一点 (i ,i , i ) ,并记第 i 个小弧段 Pi1Pi 的长度为 si （ i 1,2, , n ），作和式
L 上的第一类曲线积分存在，则它在 L1 和 L2 上的第一类曲线积分也存
在。反之，如果函数 f 在 L1 和 L2 上的第一类曲线积分存在，则它在 L 上
的第一类曲线积分也存在。并成立
fds fds fds 。
L
L1
L2
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x x(t), y y(t), z z(t), t ，
i 1
n
i 1
ti
ti 1
f
( x(i
),
y(i ),
z(i
))
f
(x(t),
y(t),
z(t))
x2(t) y2(t) z2(t)dt 。
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y, z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ，当 max ( si )充分小时， f (x, y, z) 在每个
n
f (x(i ), y(i ), z(i ))si ， i 1
其中 (x(i ), y(i ), z(i )) 为弧段 Pi1Pi 上任意一点。那么
I
n
f (x(i ), y(i ), z(i )) si f (x(t), y(t), z(t))
x2(t) y2(t) z2(t)dt