1978年高考数学试题

一九七八年

（理科考生五，六两题选做一题。文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题。） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.

解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积。 解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a

则.42,222

2

πππππa a a a r a r =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⋅==体积

3．求函数)2lg(x y +=的定义域。

解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域。 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值。

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

2

2 5.化简：

二 .（本题满分14分）

已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数。对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图。 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可

分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=

k

2;

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=

k

2，半短轴=2。

.25

4:.)()1.0()4(41 2

12

1

4323

12

1b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解

如图：

y 22±=y 如图。 3）k<0时，方程为

这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上。如图：

C C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)C

D 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900。

∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD 。∴△AMC ≌△ADC ∴CM=CD 同理CN=CD 。∴CD=CM=CN 。 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900

。

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD 。

∴CD 2=AM ·BN 。

Y Y Y

k=1/4

X

Y Y y=2 k=-4 X

M

C

N

A B

D 1442

2=+-y k x

四．（本题满分12分）

五．（本题满分20分）

已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小。又已知顶点C 的对边c 上的高等于34。求三角形各边a ,b,c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）

六．（本题满分20分）

.

22log 18log 9log 5log 218log 95log 45log .

5log ,518:.45log .518),2(9log 18181818181836183618a

b

a b a a b b -+=++=⋅⋅=

=∴==≠= 解求已知.

43460cos 45cos ;

6445sin 3

4;860sin 34,347545120,45.32,1,32,1:.032)33(x tgC tgA,(2)(1)(2) .33)3)(3-(-1C)A tgAtgC)tg(-(1tgC tgA (1)

32120,60.2180:212+=︒+︒=+==︒

==︒=

∴︒=︒-︒=︒=∴+==<+===+++-+=-=+=++=︒=+︒=∴+=︒=++a b DB AD c b a c C A tgC tgA C A x x x tgAtgC C A B C A B C B A 上的高等于又知则得设解这方程得的两根是可知由而又解 .

2

2:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知

七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？

2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上。画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论。

3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等。

解：用配方法得：

.

2

1sin 3)cos (sin sin 3 )cos sin 3(cos )sin 3(sin 2sin cos 2cos sin )2sin()

(3

1

sin .

1sin 9sin 9cos sin 9cos 2sin ..

cos sin 32sin 2

3

2sin :,02sin 22sin 3.

2cos sin 3:,1sin 2sin 3222242222222π

βααααααααααβαβαβαααααααβαααββαβαβα=

+∴==+=+=+=+=∴=∴+=+∴===-==+为锐角得由得由.

)2

3

(49,)21(45,)21(41,,1,0,1.,,,,..4

3

:,

4

5

454,21212m - x ),

4

5

4,212(.24

5

,054,0.4544542122222

图略之间函数关系为

时当直线上抛物线的顶点都在这条是什么值不论因此方程中不含直线它的图象是一条

所满足的方程此即各抛物线顶点坐标二式相减得即坐标为函数图象抛物线的顶点时所以当极值为的极小值为+=++=+-=+-==---=+-=--=+=+-+--

==++-∴+-

⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++=x y x y x y y x m m m y x m m y m m m m m m y m m x y