等差数列与等比数列归纳
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系等差数列和等比数列是高中数学中重要的概念，它们在各种数学问题和实际应用中具有广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的项数关系进行总结。
一、等差数列的项数关系等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的前n项求和公式等差数列的前n项求和公式是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 等差数列的项数关系对于等差数列，我们常常需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = (an - a1) / d + 1其中，an为第n项，a1为首项，d为公差。
根据等差数列的性质，我们可以通过已知的首项、公差和某一项的值，求解出项数n。
二、等比数列的项数关系等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 * r^(n - 1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的前n项求和公式等比数列的前n项求和公式也是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等比数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
2. 等比数列的项数关系对于等比数列，我们需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = log(an / a1) / log(r) + 1其中，an为第n项，a1为首项，r为公比。
根据等比数列的性质，我们可以通过已知的首项、公比和某一项的值，求解出项数n。
三、应用举例例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，我们需要求出第10项的值。
根据等差数列的项数关系公式，我们可以得知：n = (an - a1) / d + 1n = (a1 + (n - 1)d - a1) / d + 1n = (3 + (10 - 1)2 - 3) / 2 + 1n = 10因此，等差数列的第10项的值为 3 + (10 - 1)2 = 21。
等差数列与等比数列知识总结
2.中项法
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法
2.中项法
设元技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
四数等比：
联系
真数等比，对数等差;指数等差，幂值等比。
等差数列与等比数列知识梳理
等差数列与等比数列
等差数列
等比数列
定义
( 为常数, )
递推公式
( )
( )
通项公式
（ ）
中项
（要性质
②
③从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如： （下标成等差数列）
②
③从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如： （下标成等差数列）
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
(完整版)等差、等比数列公式总结
一、等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)二、等比数列等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
等比数列的前n项和公式为：S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）一、等差数列等差数列是一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的差是恒定的。
这个恒定的差值被称为公差，通常用字母d表示。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 + (n 1)d其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = n/2 (a_1 + a_n)或者S_n = n/2 (2a_1 + (n 1)d)这个公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列，其中每一项与前一项之间的比是恒定的。
这个恒定的比值被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的一般形式可以表示为：a_n = a_1 q^(n 1)其中，a_n表示第n项，a_1表示第一项，n表示项数。
S_n = a_1 (1 q^n) / (1 q) （当q ≠ 1时）或者S_n = n a_1 （当q = 1时）这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的前n项和。
三、应用场景等差数列和等比数列在数学和现实生活中的应用非常广泛。
例如，在金融领域，等差数列可以用来计算定期存款的利息，而等比数列可以用来计算复利的增长。
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
点击进入相应模块
知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
点击进入相应模块
上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等比数列与等差数列知识点
＝
．
第 7页（共 13页）
2．等比数列前 n 项和的性质 公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成等比数列，
其公比为 qn． 8．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列 等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn＝na1+ n（n﹣1）d 或 Sn＝ ②等比数列前 n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法：
，
∴＝
，
＝1， ＝
，＝
，
∵数列{ }也为等差数列，
∴
＝+，
∴
＝1+
，
解得 d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
＝（2n﹣1）2，
∴
＝
＝
，
由于
为单调递减数列，
∴
≤ ＝112＝121，
故选：D． 2．等差数列的性质 【等差数列】
第 2页（共 13页）
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差
∴an＝
，
把 n＝1 代入 2n﹣1 可得 1≠2， ∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是 等差数列，题中 an 的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下． eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公式为 解：∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7， ∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7， 解得 a＝2． ∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9， ∴数列 an 是以 1 为首项，4 为公差的等差数列， ∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
(完整版)等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结数列是数学中一个重要的概念，它是指按一定规律排列的一组数。
常见的数列有等差数列和等比数列。
在学习数列时，熟练掌握数列的公式是非常重要的。
本文将对等差数列和等比数列的公式进行总结。
一、等差数列的公式等差数列是指一个数列中后面的数与前面的数之差相等。
这个相等的差值就是等差数列的公差（d）。
等差数列的通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an为第n项，a1为第一项，d为公差。
等差数列的前n项和公式如下：Sn = n/2·[2a1 + (n-1)d]其中，Sn为前n项和。
二、等比数列的公式等比数列是指一个数列中后面的数与前面的数之比相等。
这个相等的比值就是等比数列的公比（q）。
等比数列的通项公式如下：an = a1·q^(n-1)其中，an为第n项，a1为第一项，q为公比。
等比数列的前n项和公式如下：Sn = (a1(1-q^n))/(1-q)其中，Sn为前n项和。
三、等差数列和等比数列的关系等差数列和等比数列都是常见的数列，它们有着一定的联系。
如果在等比数列中，取对数可以得到一个等差数列，相反地，在等差数列中，取指数可以得到一个等比数列。
具体如下：对于等比数列：取对数得到：log(an) = log(a1·q^(n-1))化简可得：log(an) = log(a1) + (n-1)log(q)令b = log(a1)，d = log(q)，则可得到：log(an) = b + (n-1)d这个式子和等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d一样，只不过d变成了log(q)。
所以，等比数列的通项公式也可以看做是等差数列的通项公式在取对数后的形式。
对于等差数列：取指数得到：an = a1·r^(n-1)化简可得：an = a1·e^(ln(r)·(n-1))令b = ln(a1)，d = ln(r)，则可得到：an = e^b·e^(d·(n-1))这个式子和等比数列的通项公式an = a1·q^(n-1)一样，只不过q变成了e^d。
等差数列及等比数列的性质总结
【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结在数学的广袤领域中，数列是一个重要的概念，而等差数列和等比数列则是其中最为基础且关键的两种类型。
理解和掌握它们的知识点，对于解决各种数学问题以及培养逻辑思维能力都具有至关重要的意义。
一、等差数列（一）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，常用字母\（d\）表示。
例如：数列\（2, 4, 6, 8, 10\cdots\）就是一个公差为\（2\）的等差数列。
（二）通项公式等差数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。
比如，在等差数列\（3, 5, 7, 9, 11\cdots\）中，首项\（a_1 ＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第\（5\）项\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11\）。
（三）等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（b\）为\（a\），＼（c\）的等差中项，且\（b ＝＼frac{a ＋ c}｛2}＼）。
例如：＼（4\）是\（2\）和\（6\）的等差中项，因为\（＼frac{2 ＋6}｛2} ＝ 4\）。
（四）前\（n\）项和公式等差数列的前\（n\）项和公式有两个：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）＼（S_n ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）假如有一个等差数列\（1, 3, 5, 7, 9\cdots\），要求前\（5\）项的和。
首项\（a_1 ＝ 1\），第\（5\）项\（a_5 ＝ 9\），项数\（n ＝ 5\），那么\（S_5 ＝＼frac{5×（1 ＋ 9)｝｛2} ＝ 25\）或者，利用另一个公式，公差\（d ＝ 2\），＼（S_5 ＝ 5×1 ＋＼frac{5×（5 1)×2}｛2} ＝ 25\）（五）性质1、若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。
归纳等差数列与等比数列中二级结论
归纳等差数列与等比数列中二级结论一、等差数列常见结论1、判断给定的数列{}n a 是等差数列的方法（1）定义法：1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列；（2）通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；（3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和 222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列；（4）等差中项法：*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列；2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n m a a d n m N n m n m-⇒=∈≠-； 3、若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+4、列{}n a ，{}n b 都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列；5、数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；7、若数列{}n a 是等差数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，反之也成立；当p q =时，2m n p a a a +=，即p m n a a a 是和的等差中项；8、若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ；9、若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；10、若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n S n 也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12；11、若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=； 12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++；13、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234,,,m m m m S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前m 项,2m 项,3m 项,4m 项,……的和，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列（等差数列的片段和性质）；14等差数列{}n a 中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶，，则11S n S n +=-奇偶；若项数n 为偶数，221nn a S S a =+奇偶； 15、在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列；16．有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题：（1）何时存在最大值和最小值①若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值②若10,0a d <>，则前n 项和为n S 存在最小值（2）如何求最值①方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值； ②方法二：利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和n S 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”二、【等比数列】中的二级结论1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0（3）等比数列中任何一项都不为0（4）符号语言的描述：若数列{}n a 中满足1n n a q a +=（不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；2、当且仅当两个数a 和b同号是才存在等比中项，且等比中项为G =3、若,,a G b 成等比数列，则2G ab =4、判断给定的数列{}n a 是等比数列的方法（1）定义法：1n na q a +=（不为0的常数）⇔数列{}n a 为等比数列； （2）中项法：221n n n a a a ++=⇔数列{}n a 为等比数列；（3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和=A-Aq nn S （A 是常数，0,0,1A q q ≠≠≠）⇔数列{}n a 为等比数列；5、等比数列通项公式的推广：若{}n a 为等比数列，则*(,)n m n m a a q n m N -=∈6、若数列{}n a 是等比数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a =，反之也成立；当p q =时，2m n p a a a =，即p m n a a a 是和的等比中项；7、等比数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；8、等比数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；9、若数列{}n a ，{}n b 都是等比数列且项数相同，则2{}(0),{},{}{}n n n n n na ka k ab a b ≠，都是等比数列； 10、若等比数列{}n a 的公比q 为参数，则在求前n 项和n S 时应分1q =和1q ≠两种情况讨论，即111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩；当1q ≠时1(1)(,0,0,1)1n n a S A q A A q q q=-=≠≠≠- 11、若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为,,x x xq q ； 12、（等比数列的片段和性质）公比不为1-的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列；13、用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a q 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；三、等差与等比数列综合二级结论1、若正项数列{}n a 为等比数列，则数列{log }an a 为等差数列； 2、若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a b 为等比数列； 3、任意两数,a b 都存在等差中项为2a b +，但不一定都存在等比中项，当且仅当,a b 同号时才存在等比中项为4、任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；。
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
等差与等比数列知识与方法总结
等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点N2cab+ =定义:nn n n n n a aa a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →⋅=-11n n q a a 等比中项：abc 成等比数列ac b =⇒2基本概念推广m n m n q a a -⋅=前n 项和=n S )1(11)1()1(111≠--=--=q qqa a qq a q n a n n 等比数列与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--⋅===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅⇒+=+}{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差则nk n a a a ,...,21成等比基本性质 当101>>q a 或1001<<<q a 时 {}n a 为递增数列当101><q a 或1001<<>q a 时 {}n a 为递减数列当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括 （一）．一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列{a n }的通项公式a n ；数列的前n 项和公式S n ；一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn（二）等差数列1．等差数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
即：成等比数列}{)0,0,2(1n n n n a q a n d a a ⇔≠≠≥=--2．等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
(完整版)等差数列与等比数列知识总结
等差数列
等比数列
定义
( 为常数, )
或：
或：
通项公式
（ ）
中项
若a,A,b成等差数列，则
若a,G,b成等比数列，则
即
前 项和
重要性质
②
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
定义法
证明一个数列为等比数列的方法：
定义法
设元巧
三数等差：
三数等比：
已知数列前n项和 ，求 的方法：
（1）当 时，由 求得；
6、等差数列{ }中，已知d=3,且 求前100项和.
7、已知等比数列{ }的前3项和是 ，前6项和是 ，求它的前10项和.
（2）当 时，由 求得，并验证 是否满足 .
等差数列与等比数列知识梳理
复习训练题
1、求等差数列-1,2,5，…的通项公式，并写出第50项.
2、求等比数列10,1， ，…的通项公式，并写出第12项.
3、在等差数列{ }中， =4， =20，求 .
4、在等比数列{ }中， ，求 .
5、在数列{ }的前n项和为 求数列的通项公式 .
等差等比数列基础知识点
一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2nd S S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q aqa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知c b a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列； （2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b 求证：{n b }是等比数列.[解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当 .,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k 由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当① ②.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP PQbn an S n 222,①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQ P Q ≠++-=-.)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P QP +-=+++=∴+-=++∴≠+[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP Q P a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.①②[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.①②①，②[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、 选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（ ） （A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ) A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
高考数学 题型全归纳 等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比1．数列的定义顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：an= a1＋（n－1）d ．①这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将an看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．4．等差中项A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：2ba A +=，或2 A=a＋b．显然A是a和b的算术平均值．2 A=a＋b（或2ba A +=）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或2ba A +=）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或2ba A +=）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列．5．等差数列前n项的和等差数列前n项和的公式是：()21nnaanS+=，①或()dnnnaSn211-+=②公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n 项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证． 公式②中的n S 也可看作关于变量n 的二次式（d ≠0时），其图像是在二次函数：x d a x d y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2212的图像上当x 取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n 项和n S 的最大值或最小值问题提供了直观的背景．6．等比数列的定义顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．7．等比数列的通项公式等比数列的通项公式是：an= a1qn －1． ①这里，一方面，可将an 看作是n 的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．8．等比中项G 称作a 与b 的等比中项是指三数a ，G ，b ，成等比数列．其数学表示是ab G ±=，或 G2=ab ．显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．9．等比数列前n 项的和等比数列前n 项和的公式是：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==.111,111q q q a q na S n n公式()q q a S nn --=111可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值． 公式()q q a S nn --=111 即()111--=n n q q a S ． 从函数的观点看，Sn 是关于qn 的一次式，因此点（qn ，Sn ）在直线()111--=x q a y 上．。
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二轮专题复习：等差数列与等比数列澄海实验高级中学 曦怀一、教材分析：数列知识是历年高考的重点容，是必考的热点。
数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。
这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。
二、复习目的：1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。
培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力.三、复习重点、难点：重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问题、解决问题． 复习容：四、复习过程：（一）知识要点回顾： 1、重要公式：（1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：1n 1 n 1S n 2n n S a S -=⎧=⎨-≥⎩.（2）等差数列：①定义：1{}(n n n a a a d +⇔-=为等差数列常数）.②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .(3)等比数列:①定义：1{}(0.n n n na a q q a a +⇔=≠为等比数列，为常数）, ②通项公式：11n n a a q -= n m n m a a q -= .③前n 项和公式：111 , 1(1) , 111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩. ④等比中项:211n n n a a a -+= .2、重要性质：（1）若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈*N ） 在等差数列{}n a 中有：m n p q a a a a +=+ 在等比数列{}n a 中有： m n p q a a a a =（2）等差（比）数列依次k 项之和仍然成等差（比）数列：若数列{}n a 是等差（比）数列，则23243,,,,k k k k k k k S S S S S S S ---仍然成等差（比）数列.（3）等差（比）数列依次“等距离”取出若干项仍然成等差（比）数列 （二）基础练习1.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ B ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．122.在由正数组成的等比数列{}n a 中，若569,a a =3132310log log log a a a +++则的值为（ C ）A. 32log 5+B. 12C. 10D. 8（三）例题讲解：例1.已知等差数列｛a n ｝的首项a 1=1，公差d >0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列｛b n ｝的第2、3、4项. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵设数列{}n c 对任意自然数n 均有3121231n nn c c c c b b b b a =+++++ 成立, 求：1232009c c c c ++++的值.解:⑴由题意得，,2111()(13)(4)(0)a d a d a d d ++=+>,1(2)0d d a -=化简得，解得，1020d d a =-=（舍去） 或 112a d =∴=，{}2 1.n n a a n ∴=-数列的通项公式为，22353,9b a b a ∴===={}3n 23.b a q q b ==设等比数列的公比为，则 {}2212333.n n n nnb b b q---⋅=⋅=∴=数列的通项公式为，⑵当n =1时，121113,33c a c b b ==∴=⋅= 当n ≥2时, 3121123nn nc c c c a b b b b +++++=由，① 31121231n n n c c c c a b b b b --++++=得，② 由①-②得，12,n n n na a cb +=-=1223.n n n c b -∴==⋅(n )≥2113.n c ==当时，不满足上式13,(1)23,()n n n c n ⎧⎪⎨⎪⎩-=∴=⋅≥2, 2200812320093232323c c c c ∴++=+⨯+⨯++⨯++200823(13)313⨯-=+-2008200933(31)3.=+-=小结：本小题考查等差、等比数列的基本知识，利用基本量1,a d 结合等比数列的中项公式，得出数列{}{}n n a b 、的通项公式。
还考查已知前n 项和n S 求通项公式的基本方法，要注意分n =1和 n ≥2两种情况。
最后根据等比数列的前n 项和公式求和.考查方程思想、化归思想、及分类讨论等思想方法，以及推理和运算能力．例2.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（1）证明数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． （1）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（2）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． （3）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭1212413244443232n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫-++-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(34)2n n =-+-2314()233n n =-+-23149()2636n ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦．*1,4n n n N S S +∴∈当时-单调递减，2121144(3114)02n n S S S S +∴≤=-⨯+-=--所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． 另解：14n n n T S S +=令-，161)2n T n '∴=-+（ *104n n n n N T S S +'∴∈≤∴当时，，-单调递减，2121144(3114)02n n S S S S +∴≤=-⨯+-=--所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．小结：本小题以数列的递推关系为载体主要考查等比数列的概念、通项公式及分组求和的方法。
并且解决数列与不等式证明综合运用的问题。
考查转化思想，以及推理和运算能力． （四）巩固练习：1.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，设12nn n a b -=． 证明：数列{}n b 是等差数列；且求出{}n a 的通项公式。
解：（1）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+， 11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=⋅．2.等差数列{}n a 的各项均为正数，13,a =前n 项和n s ，{}n b 为等比数列，11,b =且223364,960b s b s ==（1）求n n a b 与（2）求12111ns s s +++（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩①解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++ （五）专题小结1.数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、中项公式及等比、等差数列的性质的灵活运用。
2.解数列问题时，若条件中指出数列为等差或等比数列一般将条件化归为基本量首项和公差（比）运用方程的思想求出基本量，进而解决问题。
3.解数列问题时，若条件中的数列不是等差（比）数列，一般通过构造新的等差（比）数列，将问题转化为等差（比）数列问题来解决。
（六）课外练习1.{}n a 是等差数列，1278104,28,a a a a s +=+==（ B ） A. 64 B. 100 C. 110 D. 1202.已知等差数列｛a n ｝,｛b n ｝前n 项和分别是S n 、T n ，若231n nS n T n =+，则1111a b 等于（ C ）(A)1117 (B)23 (C)2132 (D)493.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且13a +，23a ，34a +构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项；（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．公比为q ，由22a =，得1322a a q q==，． 又37S =，知2227q q++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=． 数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2） 31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2nn b n ∴===3ln 2n ⋅又13ln 2n n b b d +-==，{}n b ∴是首项为3ln 2公差为3ln 2的等差数列 12n n T b b b ∴=+++1()(3ln 23ln 2)3(1)ln 2.222n n b b n n n n +++===。