专题导数中的构造函数解不等式高考数学总复习之典型例题突破压轴题系列解析

专题导数中的构造函数解不等式高考数学总复习之典型例题突破压轴

题系列解析

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专题06导数中的构造函数解不等式导数中经常出现给出原函数与导函数的不等式，再去解一个不等式，初看起来难度很大，其中这只是一种中等题型，只需根据原函数与导函数的关系式或者题目选项所给的提示构造函数，使得可根据原函数与导函数的关系式判断所构造函数的单调性，再将不等式化为两个函数值的形式，根据单调性解不等式即可。

【题型示例】

1、定义在上的函数满足:,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )

A. B. C. D.

【答案】A

2、设函数在上的导函数为，对有，在上，

，若直线，则实数的取值范围是（）

A..

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

令，则，所以函数为奇函数，当时，，所以函数在上是减函数，故函数在上也是减函数，由，可得在上是减函数，

，解得，实数的取值范围是.

3、已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式

的解集为（）

A. B. C. D.或

【答案】B

【解析】

令，则，因为，所以，即在上为增函数，不等式可化为，即

，又单调递增得，所以不等式的解集为.

4、定义在的函数的导函数为，对于任意的，恒有，

，，则的大小关系是（）

A. B. C. D.无法确定

【答案】B

【解析】

构造函数，因，故在上单调递增，则，即，所以，应选B.

【专题练习】

1、设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

构造函数,因

,故是单调递减函数，所以等价于,解之可得,应选D．

2、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有

，则不等式的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】D

3、定义在上的函数满足：恒成立，若，则与

的大小关系为（）

A. B.

C. D.与的大小关系不确定

【答案】A

【解析】

设，则，由题意，所以单调递增，当时，，即，所以.

4、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有

，则不等式的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

由，得：，令，则当时，，即在是减函数，，

，由题意：

又在是减函数，∴，即，故选C.

5、已知是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且

，,则的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

∵函数是偶函数，∴，∴，即函数是周期为的周期函数，∵，∴，

设，则函数的导数，

故函数是上的减函数，则不等式等价为，

即，解得，即不等式的解集为.

6、已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足

，若，则不等式的解集是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

因为，所以，由题意知，当时，，所以，所以在上单调递增，又为偶函

数，则也是偶函数，所以，由得，所以，则.故选D.

7、设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有

，则不等式的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为函数是定义在上的函数，所以有，

所以不等式可变形为.

构造函数，则，

所以函数在上单调递增，

由，可得．

8、已知的定义域为,为的导函数,且满足,则不等式

的解集是（）

A. B. C. D.

【答案】D

9、已知是定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成

立，则（）

A. B. C.

D.

【答案】D

【解析】

因为即，所以

，所以函数在上单调递增，从而

即.

10、若函数在上可导，且满足，则( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

由于，恒成立，因此在上时单调递减函数，∴，即，故答案为B。

11、已知定义域为R的函数满足，且的导数，则不等式

的解集为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

设，则，，

，由题意，因此当时，，递减，当时，，递增，所以的解集为

．