次概率论与数理统计经济数学第一章吴传生
概率论与数理统计-绪论、第一章ppt课件
A B C
A B C A B C A B C AB C A BC A B C
B C A C A B
ABC
概率论与数理 A 6 “三人均未命中目标” : 统计课件
ABC
小
• 本节主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念；
结
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率
成功在于专注并不懈努力
• §1.1
随机事件
• §1.2
• §1.3 • §1.4
概率论与数理 统计课件
概率
条件概率 事件的独立性
§1.1 随机事件
成功在于专注并不懈努力
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
课程目标
成功在于专注并不懈努力
通过自学考试——以教材为基础，以考试大纲为中 心，达到考试要求，通过自学考试。 实际简单应用——在现实生活中简单应用概率论与 数理统计知识，学以致用，甚至研究学术问题。
概率论与数理 统计课件
目
录
成功在于专注并不懈努力
第一章 随机事件与概率(重点)
第二章 随机变量及其概率分布(重点)
解
(1) ABC
(4) A B C
——
(2) ABC
(3) ABC
概率论与数理 统计课件
( 5 ) A B CA B CA B C
成功在于专注并不懈努力
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
概率论与数理统计课程标准
《概率论》课程标准一．课程名称：概率论二．课时安排：本课程总学时计48，其中讲课48学时，具体学时分配如下表：《概率论》讲课学时分配表1三．预修课程：高等数学四．课程性质、课程目标与教学要求：《概率论》是经济类和管理类本科各专业的一门重要基础理论课，属必修课程。
《概率论》是研究随机现象客观规律性的数学学科。
通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本统计思想，培养学生分析和解决社会、经济和管理等方面实际问题的能力。
《概率论》是经济类和管理类本科各专业学习后续相关专业课程的数学基础。
五．课程教学内容纲要：第一章随机事件及其概率（12学时）1. 内容要点随机事件概念，事件间的关系及其运算，概率的统计定义，古典概型，概率的基本性质，加法公式，条件概率与乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式，事件的独立性，伯努利概型。
2.目的要求（1）理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。
（2）理解事件频率的概念，了解概率的统计定义。
（3）理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。
（4）了解概率的公理化定义。
（5）掌握概率的基本性质及概率加法定理。
（6）理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解全概率公式和贝叶斯公式。
（7）理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率公式。
第二章随机变量及其分布（12学时）1．内容要点随机变量概念，随机变量的分布函数，离散型随机变量及其概率函数（0-1分布，二项分布，泊松分布，几何分布，超几何分布），连续型随机变量及其密度函数（均匀分布，指数分布，正态分布），随机变量的函数的分布。
2．目的要求（1）理解随机变量的概念，离散型随机变量及其概率函数的概念和性质，连续型随机变量及其概率密度的概念和性质。
（2）理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率。
(3) 掌握二项分布，泊松分布、正态分布，了解均匀分布与指数分布。
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
ppt课件
9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
ppt课件
27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
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47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
经济数学微积分_吴传生10_1微积分_吴传生
t0
dt t0
所求特解为 x Acos kt.
C1 A, C2 0.
补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
三、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程y 4 y 0
把条件 V |t0 0 代入(8)式，得
C1 0
把条件 S |t0 0 代入(9)式，得
C2 0
把 C1,C2 代入(9)式，得
S 1 gt 2 . 2
(10)
这正是我们所熟悉的物理学中的自由落体运动公式.
二、基本概念
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t2 x)dt xdx 0, z x y, x
0是______阶微分方程；
3. d sin2 是______阶微分方程； d
4. 一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 .
二、确定函数关系式 y C1 sin( x C2 )所含的参数,使 其满足初始条件 y x 1, yx 0.
三、设曲线上点 P( x , y)处的法线与 x 轴的交点为Q , 且线段 PQ被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2x , y 4 y 12e2x 4 3e2x 0, y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
练习题
一、 填空题:
1. xy 2 y x 2 y 0是______阶微分方程；
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
概率论与数理统计教学大纲
本科课程教学大纲《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计课程编码：A050760 开课单位：经济与政治学院开设学期：第四学期课程类型：专业基础课课程性质：必修总学时数：共54学时，其中讲授54学时，实验0学时周学时数：3适用专业：经济学本科编写时间：2013年12月先修课程：有：高等数学参考教材：吴传生主编《经济数学--概率论与数理统计》，北京：高等教育出版社，高等教育出版社，2009一、课程的教学目标与任务概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科的一门重要的基础理论课。
本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质二、本课程与其它课程的联系前导课程《高等数学》后续课程经济管理类专业课程三、课程内容及基本要求第一章随机事件的概率（6学时）第一节随机试验随机试验1.基本要求掌握随机试验的概念。
第二节样本空间、随机事件样本空间，随机事件，事件间的关系与事件的运算1.基本要求（1）掌握样本空间、随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件的概念；（2）熟练掌握事件间的关系与事件的运算。
2.重点、难点重点：事件间的关系与事件的运算难点：事件间的关系与事件的运算3.说明：重难点教学拟采用讲授和举例的方法，配合课后练习4.重点考核内容事件间的关系与事件的运算第三节频率与概率频率，概率1.基本要求（1）了解频率的概念和性质；（2）掌握概率的概念和性质，熟练掌握使用概率的性质计算事件的概率。
2.重点、难点重点：使用概率的性质计算事件的概率难点：使用概率的性质计算事件的概率3.说明：重难点教学拟采用讲授和举例的方法，配合课后练习4.重点考核内容使用概率的性质计算事件的概率第四节古典概型古典概型的特点，古典概型的计算1.基本要求熟练掌握古典概型的特点和古典概型的计算。
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲英文名称：Probability and statistics课程代码：221101008课程类别：专业基础课课程性质：必修开课学期：第三学期总学时： 54学时总学分：3考核方式：闭卷先修课程：高等数学适用专业：经济学专业一、课程简介概率论与数理统计是经济学专业的一门专业基础课。
概率论与数理统计是研究不确定性现象的数量规律性的一门学科，是对随机现象进行定量分析的重要工具，它在现代科学技术中占有很重要的地位，是研究自然现象、处理现代工程技术、解决科研和生产实际问题的一种有力的数学工具，已被广泛应用于每一学科领域、工农业生产和经济管理部门中。
开设本课程的目的在于，通过本课程的学习，使学生初步掌握概率论与数理统计等方面的基础知识，了解它的基本理论与基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运动所学知识解决实际问题的能力，同时使学生了解概率论与数理统计在经济方面的应用，具备概率思想分析实际随机问题的能力，为专业课程的学习打下基础。
学生在进入本课程学习之前，应学过高等数学课程，该课程的学习为本课程提供了必须的数学基础知识。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础。
本课程总54学时，其中理论课47学时，习题课7学时，考核方式为闭卷考试，根据平时考勤成绩、习题作业成绩、阶段性单元检测成绩及闭卷期末考试成绩综合给予最终成绩评定。
二、课程目标及其对毕业要求的支撑目标1人文素养目标：教育学生认真学习马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”、科学发展观和新时代中国特色社会主义的重要思想；忠诚党的教育事业和体育事业，培养学生互教互学、团结友爱、共同提高的集体主义精神；培养学生有严格组织纪律性，吃苦耐劳和勇敢顽强的意志品质。
目标2理论知识培养目标：使学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基础知识，初步掌握处理随机事件的基本思想和方法。
概率论与数理统计第一章教案(20201111184011).docx
第一随机事件一、随机象在自然界和人社会生活中普遍存在着两象：一是在一定条件下必然出的象，称确定性象。
例如： (1)一物体从高度h（米）垂直下落，t （秒）后必然落到地面，且当高度h一定，可由公式h 1 gt 2得到，t2h / g（秒）。
2(2)异性荷相互吸引，同性荷相互排斥。
⋯另一是在一定条件下我事先无法准确知其果的象，称随机象。
例如：(1) 在相同条件下抛同一枚硬，我无法事先知将出正面是反面。
(2)将来某日某种股票的价格是多少。
⋯概率就是以数量化方法来研究随机象及其律性的一数学学科。
二、随机了随机象的律性行研究 , 就需要随机象行重复察，我把随机象的察称随机，并称， E 。
例如，察某射手固定目行射；抛一枚硬三次 , 察出正面的次数；某市 120 急救一昼夜接到的呼叫次数等均随机。
随机具有下列特点：(1)可重复性；可以在相同的条件下重复行；(2)可察性；果可察 , 所有可能的果是明确的；(3)不确定性：每次出的果事先不能准确知。
三、本空尽管一个随机将要出的果是不确定的 , 但其所有可能果是明确的 , 我把随机的每一种可能的果称一个本点 , e（或）；它的全体称本空 , S ( 或 ).例如：(1) 在抛一枚硬察其出正面或反面的中有两个本点：正面、反面 . 本空S={ 正面，反面 } 或 S { e1 , e2 }( e1正面， e2反面 ) 。
(2)在将一枚硬抛三次，察正面 H、反面 T 出情况的中，有 8 个本点，本空： S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH ,TTT }。
(3)在抛一枚骰子，察其出的点数的中，有 6 个本点： 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点，6 点，本空可 S {1 ，2，3，4，5，6} 。
(4)察某交台在一天内收到的呼叫次数，其本点有无多个：i 次，i =0,1,2,3，⋯，本空可S {0，1，2，3，⋯}。
(5)在一批灯泡中任意抽取一个，其寿命，其本点也有无多个( 且不可数) ：t小，本空可S { t | 0t}=[0,+] 。
吴传生 经济数学 微积分 第一章1.6 PPT
四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C 总 C 固 C 可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
平均成本
总成本 产量
固定成本
可变成本 产量
即 C AC
C (Q ) Q
C
1
Q
C
2
(Q )
3 Q + 4 P = 1 0 0 ,求 总 收
益和平均收益．
解
价格函数为
P
100 3 Q 4
,
100 Q 3 Q 4
100 3Q 4 .
2
所以总收益为
R (Q ) P Q
,
平均收益为
A P (Q ) P (Q )
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C Q
2
q
其中 ，
1 2
C 1 Tq 为贮存费，
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 y ka
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
b
t
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示
1 .4
2.某 工 厂 对 棉 花 的 需 求 函 数 由
PQ
=0.11 给
出 ,（ 1） 求 其 总 收 益 函 数 R;（ 2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若 工 厂 生 产 某 种 商 品 ， 固 定 成 本 200,000 元 ， 每 生 产 一 单 位 产 品 ， 成 本 增 加 1000 元 ， 求总成本函数。
《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
概率论与数理统计第01章概率论的基本概念第1讲-1
28
(一)频率 定义 在相同条件下, 进行了n次试 验, 在这n次试验中, 事件A发生的次数nA称为 事件A发生的频数. 比值nA/n称为事件A发生的 频率, 并记成fn(A). 由定义, 易见频率具有下述基本性质: 1, 0≤fn(A)≤1; 2, fn(S)=1; 3, 若A1,A2,...,Ak是两两互不相容的事件, 则 fn(A1∪A2∪...∪Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An).
29
历史上的掷硬币试验
试验者 德.摩尔根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼 抛掷次数 正面出现次 正面出现频 数m 率m/n n 2048 4040 12000 24000 30000 1061 2048 6019 12012 14994 0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
A, A = S − A.
A
S
A
23
在进行事件运算时, 经常要用到下述定律. 设 A,B,C为事件, 则有 交换律: A∪B=B∪A; A∩B=B∩A. 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C); A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 德•摩根律:
概 率 论 与 数 理 统 计
( 第三版 )
浙江大学
盛 骤 谢式千 潘承毅 编
高等教育出版社
1
概率论与数理统计
2
第一章 概率论的基本概念
第1讲
3
在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现 象. 在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试 验中其结果又具有统计规律性的现象, 称为随 机现象. 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统 计规律性的一门数学学科.
概率论与数理统计教学设计(第一章)
传统讲授
教学用具
教学目的 1.掌握频率的基本性质； 2.概率的统计定义概率的公理化定义
参考资料
《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率与数理统计》吴传生编，高等教育出版社
教
学 基 本 内
1．频率的定义 2. 概率的定义 3. 概率的性质
容 教学
分析 重 1.理解频率与概率的基本概念。
点 2.概率的基本性质， 通过举例让学生理解
1
的任一个被抽取的可能性均为 10 . 这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论 发展初期主要的研究对象.
教学组织 与安排
一、古典概型的特点
新授内容 二、计算古典概型的方法
三、几何概型
归纳小结 总结古典概型的特点和求解古典概型和超几何概型的问题。
作业 习题 2、6、13
教学后记
本节课以人为本，以学生为主体，教师为组织者、引导者，同时将教学育 人课程思政渗透到教学中去，本节课的例题贴近生活、贴近学生，课堂讲 解条理清晰，同时也培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的自主学 习的能力。
-8-
作业 习题 1、2
教学后记
1、从发生的角度清楚事件的关系与运算的涵义； 2、熟练掌握由简单事件表示复杂事件的方法 3、掌握事件之间的变形； 4、理解事件互斥与对立不等价。
-1-
课程章节 课时 授课方式
2.频率与概率
第一章：概率论的基本概念/第三节：频率与概率
2 学时
授课类型
新授课 □习题课 □实验课 □其 他
参考资料
《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率与数理统计》吴传生编，高等教育出版社
教 学 1. 随机试验 基 2. 样本空间、样本点 本 3. 随机事件 内 4. 事件之间的关系与运算 教学 容 分析
概率论与数理统计课件(完整版)
1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
系统一:先串联后并联
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
*
例3. 100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批 乐器,测试情况如下: 经测试认为音色纯 认为音色不纯 乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯 0.05 0.95
*
1. 公式法：
当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
注
计算条件概率有两种方法:
*
2.缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.
*
随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
*
2. 样本空间与随机事件
样本空间的分类:
离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
概率论与数理统计第一章课后答案
习 题1.11．试判断下列试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果．解（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．2．写出下列试验的样本空间．（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．解（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；（2）Ω={0，1，2，3，……}；（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}22(,)| 1.x y x y Ω=+≤3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．解A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)};{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B =;ABC =∅AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)};C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};{(5,5)}.BC =4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：（1） 呼唤次数大于2 ；（2） 呼唤次数在5到10次范围内；（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 ．解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：（1）A 发生而B 不发生；（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；（3）A 、B 、C 中只有一个发生；（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；（6）A 、B 、C 不同时发生．解 (1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ； (5)AB BC AC ； (6) ABC6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员．（１）叙述ABC 的意义．（2）在什么条件下ABC C =成立？（3）在什么条件下A B ⊂成立？解（1）该生是二年级女生，但非运动员．（2）全学院运动员都是二年级女生．（3）全系男生都在二年级7．化简下列各事件：（1） ()A B A -； （2）()A B B -；（3）()A B A - ；（4）()A B B -（5）()()()A B A B A A ．.解．(1) ()A B A A -=； (2) ()A B B A B -= ； (3) ()A B A A B -=- ；(4) ()A B B -=Φ； (5) ()()()()A B A B A B A A B AB ==.习题1.2 1．已知事件A 、B 、AB 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P A B 解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-及题设条件得()0.40.30.60.1P AB =+-=又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=2．设1()()()4P A P B P C ===，()0P AB =，1()()16P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。
概率论与数理统计(文科)吴传生1.1(大)
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
1 {0,1,2,3}
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 2 {0,1,2,3,, N }
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
3 {( x, y) T1 x y T2 }
无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生 必然事件——全体样本点组成的事件,记 为, 每次试验必定发生的事件. 不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
—— 非数学书都是中文版的，且
中文版的书都是非数学书
作业: P7 习题1一1
2 3
第1周
问题
在一次乒乓球比赛中设立奖金1千 元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部 奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了 3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因 必须中止比赛.问这1000元应如何分配 才算公平?
A1 A2
A3
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
i 1
n
An
An 1Байду номын сангаас
运算律
吸收律
事件 运算
对应
集合 运算
A A A
A A A
A ( AB ) A A ( A B) A 重余律 A A
幂等律 差化积
主讲 梁斌
1
《 概 率 论 与 数 理 统 计 》
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排列、组合的几个简单公式 a排列: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同排列总数为：
pnk
n(n
1)(n
2)(n
k
1)
(n
n! k)!
k = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2)2 1 n!
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1 k n)的不同排列总数为：
n nn nk
m j1
x
j1
n
j2 0
n j2
x
j2
x 比较两边 k 的系数，可得
m n k m n
k i0 i k i
想想看:如何说明音乐会问题中每个人的机会相等
请看下面的演示
分球入箱问题
以球、箱模型为例给出一类常见的 古典概型中的概率计算
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)被分在 N 间房的每一间中，求 指定的n间房中各有一人的概率.
人 房
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生 一次车祸的概率.
车祸 天
在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.
正确的答案是：
请思考： 还有其它解法吗？
P( A)
15
8 2
5 2
13
140
21
P(
A
)
C110C
81C
61C
1 4
C 140 4!
PA 1 PA 13 21
例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双 鞋”(事件A)的概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为
标志着概率论的诞生.
例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.
了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务 人员.
了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤பைடு நூலகம்高度.
请看
福尔莫斯破密码
福尔莫斯为什么能破译出那份密码? 对案情的深入了解和分析; 运用字母出现的统计规律性.
第m个步骤有nm种方法,
必须通过每一步骤,才算完成这件事，
则完成这件事共有
n1 n2 nm
种不同的方法 .
3.排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别：
3把不同的钥匙的6种排列
顺序不同是 不同的排列
而组合不管 顺序
从3个元素取出2个 的排列总数有6种
P32 6
C32 3
从3个元素取出2个 的组合总数有3种
设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法,
…； 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共
有n1 + n2 + … + nm 种方法 .
基本计数原理
2. 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法，
第二个步骤有n2种方法, …；
P C
C
84C
3 28
C
7 36
2.8%
例 有6张纸牌,其中4张黑桃,2张红桃,从中
随机地有放回地取两次,每次只取一张,求
(1)取到的两张都是红桃的概率?
p
A
C21C21 C61C61
22 66
1 9
(2)取到的两张颜色相同的概率?
kn ，称为组合系数。
Pnk Cnk k!
c、组合系数与二项式展开的关系
组它合出系现数在下面又的常二称 kn项为式二展项开式的系公数式，中因：为
(a
b)n
n k0
n k
a
k
b
n
k
由 (1 x)mn (1 x)m (1 x)n
运用二项式展开
有
mn m
j0
j
nx j
m j1 0
二.古典概率---比率
分析:10个人,共分3张音乐会票.
准备一个盒子,里面放10个大小和质地一样的球 其中白球3个,黑球7个,充分扰乱以后,让每个人抽 取一个球,凡抽到白球者得票.
每个人得到票的机会相等
一个试验,有n个同等可能的结果,其中有k个结 果是使某事件A发生,那么事件A发生的概率为
P A k
(2n)! 2!2!2!
(2n)! 2n
而出现事件A的分法数为n!,故
P( A)
n! (2n)!/ 2n
n!2n (2n)!
北京体育彩票（36选7不重复）:
特等奖:选中全部7个正选号码
PA
1
C
7 36
1.2
/
千万
一等奖:选中6个正选号码+特别号码
P
B
C
C6 1
71
C
7 36
8.4
/
千万
五等奖:选中4个正号或3个正号+1个特号
一.概率论简介
在我们所生活的世界 上，充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象； 从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万 化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.
带有随机性、偶然性的现象.
随
机
当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
1 2 34
第1张 1 2 3 4
第2张 1 2 3 4
第3张 1 2 3 4
n=4,k =3 共有4.4.4=43种可能取法
b、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：
C
k n
Pnk k!
n! (n k)!k!
Ck n 常记作
现 象 的 特
或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或 观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪 个结果“凭机会而定”.
点
随机现象的统计规律性 随机现象并不是没有规律可言 在一定条件下对随 机现象进行大量观 测会发现某种规律性.
由意大利数学家和赌博家卡丹诺(1501-1576) 1564年他写了一本《机遇博弈》于1663年发表.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双” （事件A）的概率是多少？
1
3
5
7
9
下面的算法错在哪里？
P(
A)
15
8 2
10
4
2
4
6
8
10
从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只
错在同样的“4只配成两双”算了两次.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双” （事件A）的概率是多少？
n
P A 3
10
称为古典概率.
试验结果
e1, e2, …，eN
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能 的并在此基础上计算事件的概率.
这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的
基本计数原理 1. 加法原理