三次函数的单调区间和极值课件
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
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利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
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导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
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导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
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指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
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05
函数单调性与其他知识点关联
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函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值
题型探究·课堂解透
提醒1 求三次函数的最值 例1 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b，若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切 线方程为y＝－x＋1. (1)求a，b的值； (2)求函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值．
解析： (1)由已知可得f(0)＝b＝1. 又f′(x)＝3x2－2x＋a，所以f′(0)＝a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋1，f′(x)＝3x2－2x－1， 令f′(x)>0，解得x<－13或x>1， 所以f(x)在[－2，－13)和[1，2]上单调递增，在[13，1)上单调递减． 又因为f(－2)＝－9，f(1)＝0，所以函数y＝f(x)在[－2，2]上的最小值为－9.
1．3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点 要点一 最值的概念❶ 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_连__续_不__断__的曲 线，那么它必有最大值和最小值．
批注❶ (1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不 断，但不能保证有最大值或最小值． (2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保 证y＝f(x)有最大值和最小值．
＋
0
－
0＋
f(x) 3
↗
16 3
↘
－16
3
↗
－3
∴f(x)min＝f(2)＝－136，f(x)max＝f(－2)＝136.
提醒2 由函数的最值确定参数的值
例2 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1，1]上的最大值为1，最 小值为－ 6，求函数的解析式．
《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)
例3 （2）
讨论函数 f ( x) ( x 1) x 的单调性
2 3
解 （1）该函数的定义域为( , )
2 2 1 5x 2 / 3 3 f ( x ) x ( x 1) x 1 3 3x 3 2 / 令 f ( x ) 0得 x , 显然 x =0为f ( x )的不可导点, 5 2 于是 x 0, x 分定义区间为三个子区间 5 2 2 ( , 0), (0, ), ( , ) 5 5
/
( x 0)
所以f ( x)在区间[0, )内单调增加, 又f (0) 0 因此, 当x 0时, 恒有f ( x) f (0), x 即 ln(1 x) 1 x
二、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
x ln(1 x ) 证法 2 证明不等式 1 x
x 设函数f ( x) ln(1 x) , 1 x 因为f ( x)在[0, )上连续, 当x 0时, 1 1 x x x f ( x) 0, 2 2 1 x (1 x) (1 x)
x f/(x) f(x)
（ ， -
7 ） 6
7 6
7 7 （ ， ） 6 10
7 10
7 （ ， ） 10
+
不可导 极大值
-
0 极小值
+
从表中可知：
7 7 x1 是极大值点，极大值f ( ) 0 6 6 7 7 7 3 x2 是极小值点，极小值f ( ) 980 10 10 50 7 7 单调增加区间（-， ），（ ， ） 6 10 7 7 单调减少区间（ ， ）。 6 10
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三次函数性质总结.
三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
特别是文科。
系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？ 反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？ 反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。
三次函数及其简单性质
26.（12 浙江理 17）设 a R ，若 x 0 时，均有[(a 1)x 1](x2 ax 1) 0 ，则 a ___________.（ 3 ） 2
27（. 17
江苏理
11）已知函数
f
(x)
x3
2x
ex
1 ex
，其中 e 是自然对数的底数.若
f
(a 1)
2x, x a
②若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是_______________.（ (,1) ）
23.（15 安徽理 15）设 x3 ax b 0 ，其中 a ， b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根
的是_________________.（写出所有正确条件的编号）（①③④⑤）
A. [2,10]
B. [1,8]
C. [2,2]
D. [0,9]
16.已知函数 f (x) (x a)3 3x a(a 0) 在[1, b] 上的值域为[2 2a,0] ，则 b 的取值范围是（ ）
A. [0,3]
B. [0,2]
C. [2，3]
D. (1,3]
17.（11 天津文 20）函数 f (x) ax3 3 x2 1(a 0) ，当 x [ 1 , 1 ] 时 f (x) 0 ，则 a 的范围是（ ）
不可能的是···········································································（ ）
A. S 1且 T 0
B. S 1且 T 1
C. S 2且 T 2
D. S 2且 T 3
三次函数的图象与性质课件-2025届高三数学一轮复习
THANK YOU
(
).
. > 0, < 0, > 0, > 0
√
. > 0, < 0, < 0, > 0
. < 0, < 0, > 0, > 0
. > 0, > 0, > 0, < 0
y
P
x2
O
x1
x
【点拨】当三次函数有两个极值点 Δ > 0 时，若a > 0，则三次函数曲线形状为
单减， x1, x2 单增
极小值 f (x1)
极大值 f (x2)
Байду номын сангаас
0
y
o
y
x o
在上单调递减
无极值
f ( x) 的图像
对称中心
b
3a
(− ,f −
b
3a
x
)（即拐点，其横坐标为二阶导函数零点）
总结：
1.三次函数的单调性由a来决定； Δ > 0
若a > 0，则三次函数曲线形状为“N字型”；
若a < 0，则三次函数曲线形状为“反N字型”
2 + =0
∆= 4 2 −
f ( x)的单调性
12
f ( x) 的极值
a0
a0
0
0
y
y
0
y
y
x1
x
o x1
x2
o x
−∞, x1 ， x2,+∞
o
在上单调递增
单增， x1, x2 单减
极大值 f (x1)
极小值 f (x2)
湘教版高中数学选修1-1第3章 3.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值[读教材·填要点]设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数，可能有以下三种情形：(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．①若a>0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(2)函数F′(x)有一个零点x＝w.①若a>0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a<0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(3)函数F′(x)有两个零点x＝u和x＝v，设u<v.①若a>0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增.可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．②若a<0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减.可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．[小问题·大思维]1．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值；当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．2．若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上有且只有一个极小值点，那么该极小值是否是函数的最小值？提示：借助图象可知，该极小值就是函数的最小值．求下列函数的单调区间和极值．(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝－x3＋12x＋6.[自主解答](1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：当x＝－3时，函数有极大值，且y极大值＝57；当x＝1时，函数有极小值，且y极小值＝－7.(2)y′＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)，令y′＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调增区间为(－2,2)．当x＝－2时，y有极小值，且y极小值＝f(－2)＝－10；当x＝2时，y有极大值，且y极大值＝f(2)＝22.(1)求多项式函数的单调区间，关键是求出f′(x)后，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(2)单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可写成闭区间．1．求函数y＝8x3－12x2＋6x＋1的极值．解：y′＝24x2－24x＋6＝6(4x2－4x＋1)，令y′＝6(4x2－4x＋1)＝0，解得x1＝x2＝1 2.当x变化时，y′，y的变化情况如表所示：所以此函数无极值．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 3＋x 2＋x ＋1，x ∈[－3,2]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]． [自主解答] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1， 令f ′(x )＝－(3x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝2时，f (x )取最小值－1； 当x ＝－3时，f (x )取最大值34.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0，且x 0∈[a ，b ]；(3)求最值，有两种方式：①是将f (x 0)的值与f (a )，f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．2．求函数f (x )＝4x 3＋3x 2－36x ＋5在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝12x 2＋6x －36＝6(2x 2＋x －6)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝32.又f (－2)＝57，f ⎝⎛⎭⎫32＝－1154，f (2)＝－23， ∴函数f (x )的最大值为57，最小值为－1154.设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[自主解答] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以，当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，又f (4)－f (1)＝－272＋6a ＜0， 即f (4)＜f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163. 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.(1)f (x )在区间I 上为增函数⇒f ′(x )≥0在区间I 上恒成立，f (x )在区间I 上为减函数⇒f ′(x )≤0在区间I 上恒成立．(2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a ，b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2， 又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f ⎝⎛⎭⎫23＝9527， 又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－2时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若x ∈[－3,2]时都有f (x )>2c －12恒成立，求c 的取值范围．[巧思] 解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))恒成立问题转化为F (x )＝f (x )－g (x )>0(F (x )＝f (x )－g (x )<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F (x )的单调性及最值．[妙解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f ′(－2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，12－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－6.(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋3x －6. 令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：∴f (x )在[－3,2]上的最小值为c －72.即2c －12<c －72，∴c <－3，∴c 的取值范围为(－∞，－3)．1．下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不．正确的序号是( )A ．①③B ．③④C ．②③④D ．②④解析：根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系，易得③④一定不正确． 答案：B2．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调递减区间为( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)，(2，＋∞)解析：f ′(x )＝6x 2－18x ＋12， 令f ′(x )＜0，得1＜x ＜2. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－195．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)是R 上的增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0在R 上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－12ac ≤0，从而解得a >0，且b 2≤3ac .答案：a>0且b2≤3ac6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0，或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.故x＝0时，f(x)最大值是3.一、选择题1．函数y＝f(x)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值解析：由最值与极值的概念可知，D选项正确．答案：D2．函数y＝x3－3x＋3在区间[－3,3]上的最小值为()A．1B．5C．12 D．－15解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，得3x2－3＝0，∴x＝1或x＝－1.当－1<x<1时，y′<0；当x>1或x<－1时，y′>0，∴y极小值＝1，y极大值＝5.又当x＝－3时，y＝－15；当x＝3时，y＝21，∴y min＝－15.答案：D3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有－2和4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.答案：B4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15D ．－22解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 令f ′(x )<0，得－1<x <11. ∴f (x )的单调递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)6．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，∵f (x )在R 上是单调函数， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴Δ＝4a 2＋96b >0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6.ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，∴ab 的最大值为9.答案：98．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[－1,2]都有f (x )>m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－x －2＝0，得x ＝－23或x ＝1，由题意知只要f (x )min >m 即可， 易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 三、解答题9．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．解：(1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：又因为f (x )在区间端点处的函数值为f (－3)＝0， f (3)＝－18，所以f (x )max ＝2，f (x )min ＝－18. (2)f ′(x )＝2x ＋54x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝－3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以x 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间．(2)若x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝⎛⎭⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2， 所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表： 单调递增 单调递减 单调递增所以函数f (x )的递增区间为⎝⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)； 递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。
三次函数的单调区间和极值课件
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结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
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(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
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三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
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思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
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热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数学组 何高萍 高二（6）班
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引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
三次函数的性质;单调区间和极值资料
变式训练:
1.讨论函数f(x)=x3 +ax+5的增减性。
2.已知f(x)=x3 +ax2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，
则a的取值范围为（ Ｄ）
A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6
3.已知函数f (x) x3 ax在R上递增， 则a的取值范围是 _______ .
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三次函数图象与x轴交点问题
三次函数f(x)=ax3 +bx2 +cx+d(a 0)图象的性质揭示了 一元三次方程ax3 +bx2 +cx+d=0(a 0)根的实质. 由f(x)的图象的性质不难看出: 方程实数根的个数即f(x)图象与轴的交点个数.
三次函数f(x)的导数F '(x) 3ax2 2bx c(a 0)
1.若=4b2 -12ac 0即b2 3ac,则三次函数f(x)无极值, 图象在R上为单调函数,其图象与x轴有且有一个交点. 即方程ax3 +bx2 +cx+d=0(a 0)有且有一个实数根.
a>0
a<0
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2.若=4b2 -12ac>0即b2>3ac,则三次函数f(x)有2个极值点x1x2 , 不妨设极大值为f(x1),极小值f(x2 ),其图象与x轴交点情况 取决于2个极值点与x轴的关系:
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变式训练
1.方程x3-6x2+9x-4=0的实数根个数是（ B ） A.3 B.2 C.1 D.0
2.设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a. (1)求f (x)的极值；
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三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
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思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
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热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
个不同的交点，求 m 的取值范围；
函数与方程， 数形结合
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f(x)与g(x)的
图象有交点
f(x)=g(x) 有实数根
F(x)=f(x)g(x)有零点
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课堂小结
知识技能
思想方法
成功体验
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知识技能： 1、会利用导数求三次函数单调区间和极值 注：含参数三次函数单调性分类标准其导函数 二次函数对应的方程的实根是否存在，若存在 判断两根的大小
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结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
2. 方程 exx2=m 有且只有一根，求 m 的取值范围． 若 x<2 呢？
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谢谢指导
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第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
（2）函数 f（x）有极值，求实数 a 的取
值范围
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解f'(： x)3x26xa
令f '(x)0
(1)3 61a 20
解得 :a3
(2)3 6 1a 2 0
解得 :a3
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
变式：当 a=-2 时, （1）若曲线 y=f(x)与 直线 y=m 有三个不同 的交点，求 m 的取值
范围； f(x)2x33x21x2
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
当 a=-2 时, (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=-12x+m 有两
思考2、系数a >0时， a, b,c 变化时，图像特 征会变化吗？ 系数 a 和导函数（二次函数）判别式 决定图像特征变化
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三次函数与其导函数图象之间的关系
增区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
减区间:(x1, x2)
增区间: (-∞, +∞)
增区间: (-∞, +∞)
8
思考3、当系数 a <0 时，请同学们类比 a>0学习变化规律
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(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
2、通过三次函数图象研究函数零点个数 思想方法： 数形结合，函数与方程，分类整合， 转化与化归等数学思想
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1、设 a>0，函数 f(x)＝axx2＋＋1b(b 为常数)． (1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个； (2)若 b=0，函数 f(x)的极大值为 1, 试求 a 的值．此 时 f(x)=2 有几个根？
数学思想
15
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若 a<0,讨论函数 f(x)图象与 x 轴的交 点个数；
（3）当 a 取何值时,函数 f(x)图象与 x 轴 有且只有一个交点；
数形结合数 学思想
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探究：三次函数图像与x轴交点有哪几种可能性？
小结：利用导数求函数单调性步骤
2
f(x)2x33x2
f'(x)6x26x
3
f(x) 3x36x24x5
f'(x)9x21x24
4
f(x)x32x22x7
f'(x)3x24x2
5
f(x)x33x29x
f'(x)3x26x9
6
思考:三次函数与其导函数图象之间的关系 ？
思考1、哪个系数对单调性没影响？d
解： f ' ( x ) 6 x 2 6 x 12
f '(x) 6(xa)(x1) 令f '(x) 0解得x1 a或x2 1 (1)当a1时，f '(x)0f (x)单调增区间为 -， （ ） (2)当a1时，x(,1)(a,),f '(x) 0 x(1,a) f '(x) 0 f (x)单调增区(间,1)和(a,)，f (x)单调减区(1间 ,a)
6 4 2
-15
-10
-5
-2
-4
-6
-8
5
10
15
6
4
2 C
-15
-10
-5 -2
-4
-6
-8
5
10
15
6 4 2
-15
-10
-5
C -2
-4
-6
-8
5
10
15
6 4 2
-15
-10
-5
C
-2
-4
-6
-8
5
10
15
17
6 6
4 4
2 2
-15
-10
-5
5
10
15
-15
-10
-5
-2
-2
-4 -4