三次函数的单调区间和极值课件
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思考2、系数a >0时， a, b,c 变化时，图像特 征会变化吗？ 系数 a 和导函数（二次函数）判别式 决定图像特征变化
7
三次函数与其导函数图象之间的关系
增区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
减区间:(x1, x2)
增区间: (-∞, +∞)
增区间: (-∞, +∞)
8
思考3、当系数 a <0 时，请同学们类比 a>0学习变化规律
（2）函数 f（x）有极值，求实数 a 的取
值范围
12
解f'(： x)3x26xa
令f '(x)0
(1)3 61a 20
解得 :a3
(2)3 6 1a 2 0
解得 :a3
13
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
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Βιβλιοθήκη Baidu
三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
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思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
11
热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
6 4 2
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2 C
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2、通过三次函数图象研究函数零点个数 思想方法： 数形结合，函数与方程，分类整合， 转化与化归等数学思想
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1、设 a>0，函数 f(x)＝axx2＋＋1b(b 为常数)． (1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个； (2)若 b=0，函数 f(x)的极大值为 1, 试求 a 的值．此 时 f(x)=2 有几个根？
小结：利用导数求函数单调性步骤
2
f(x)2x33x2
f'(x)6x26x
3
f(x) 3x36x24x5
f'(x)9x21x24
4
f(x)x32x22x7
f'(x)3x24x2
5
f(x)x33x29x
f'(x)3x26x9
6
思考:三次函数与其导函数图象之间的关系 ？
思考1、哪个系数对单调性没影响？d
个不同的交点，求 m 的取值范围；
函数与方程， 数形结合
21
f(x)与g(x)的
图象有交点
f(x)=g(x) 有实数根
F(x)=f(x)g(x)有零点
22
课堂小结
知识技能
思想方法
成功体验
23
知识技能： 1、会利用导数求三次函数单调区间和极值 注：含参数三次函数单调性分类标准其导函数 二次函数对应的方程的实根是否存在，若存在 判断两根的大小
数学思想
15
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若 a<0,讨论函数 f(x)图象与 x 轴的交 点个数；
（3）当 a 取何值时,函数 f(x)图象与 x 轴 有且只有一个交点；
数形结合数 学思想
16
探究：三次函数图像与x轴交点有哪几种可能性？
解： f ' ( x ) 6 x 2 6 x 12
f '(x) 6(xa)(x1) 令f '(x) 0解得x1 a或x2 1 (1)当a1时，f '(x)0f (x)单调增区间为 -， （ ） (2)当a1时，x(,1)(a,),f '(x) 0 x(1,a) f '(x) 0 f (x)单调增区(间,1)和(a,)，f (x)单调减区(1间 ,a)
14
(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
变式：当 a=-2 时, （1）若曲线 y=f(x)与 直线 y=m 有三个不同 的交点，求 m 的取值
范围； f(x)2x33x21x2
20
例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
当 a=-2 时, (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=-12x+m 有两
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数学组 何高萍 高二（6）班
1
引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
2. 方程 exx2=m 有且只有一根，求 m 的取值范围． 若 x<2 呢？
25
谢谢指导
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-6 -6
-8 -8
5
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结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
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三次函数与其导函数图象之间的关系
增区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
减区间:(x1, x2)
增区间: (-∞, +∞)
增区间: (-∞, +∞)
8
思考3、当系数 a <0 时，请同学们类比 a>0学习变化规律
（2）函数 f（x）有极值，求实数 a 的取
值范围
12
解f'(： x)3x26xa
令f '(x)0
(1)3 61a 20
解得 :a3
(2)3 6 1a 2 0
解得 :a3
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
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三次函数与其导函数图象之间的关系
减区间:(-∞, x1), (x2, +∞)
增区间:(x1, x2)
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
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思考根据上表三次函数的单调性与极值有哪 些重要的结论？
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热身训练：已知函数 f (x) x3 3x2 ax 2 （1）函数 f(x)在 R 上单调函数，求实数 a 的取值范围
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2、通过三次函数图象研究函数零点个数 思想方法： 数形结合，函数与方程，分类整合， 转化与化归等数学思想
24
1、设 a>0，函数 f(x)＝axx2＋＋1b(b 为常数)． (1)证明：函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个； (2)若 b=0，函数 f(x)的极大值为 1, 试求 a 的值．此 时 f(x)=2 有几个根？
小结：利用导数求函数单调性步骤
2
f(x)2x33x2
f'(x)6x26x
3
f(x) 3x36x24x5
f'(x)9x21x24
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f(x)x32x22x7
f'(x)3x24x2
5
f(x)x33x29x
f'(x)3x26x9
6
思考:三次函数与其导函数图象之间的关系 ？
思考1、哪个系数对单调性没影响？d
个不同的交点，求 m 的取值范围；
函数与方程， 数形结合
21
f(x)与g(x)的
图象有交点
f(x)=g(x) 有实数根
F(x)=f(x)g(x)有零点
22
课堂小结
知识技能
思想方法
成功体验
23
知识技能： 1、会利用导数求三次函数单调区间和极值 注：含参数三次函数单调性分类标准其导函数 二次函数对应的方程的实根是否存在，若存在 判断两根的大小
数学思想
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax. （1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若 a<0,讨论函数 f(x)图象与 x 轴的交 点个数；
（3）当 a 取何值时,函数 f(x)图象与 x 轴 有且只有一个交点；
数形结合数 学思想
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探究：三次函数图像与x轴交点有哪几种可能性？
解： f ' ( x ) 6 x 2 6 x 12
f '(x) 6(xa)(x1) 令f '(x) 0解得x1 a或x2 1 (1)当a1时，f '(x)0f (x)单调增区间为 -， （ ） (2)当a1时，x(,1)(a,),f '(x) 0 x(1,a) f '(x) 0 f (x)单调增区(间,1)和(a,)，f (x)单调减区(1间 ,a)
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(3)当 a1时， x( ,a)(1, ),f'(x)0 x(a,1)f'(x)0 f(x)单调增(区 ,a)和 间 (1, )， f(x)单调减 (a,区 1)
注意：含参数三次函数单调区间分类的讨论标准 其导函数二次函数对应的方程是否有实根， 若有实根比较两实根的大小
分类整合， 转化与化归
变式：当 a=-2 时, （1）若曲线 y=f(x)与 直线 y=m 有三个不同 的交点，求 m 的取值
范围； f(x)2x33x21x2
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.
当 a=-2 时, (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=-12x+m 有两
第4章 4.3.3 三次函数的性质： 单调区间和极值
莆田华侨中学数学组 何高萍 高二（6）班
1
引例：指出下列函数的单调区间和极值点, 并画出函数及对应导函数的草图 (1) f (x) 2x3 3x2; (2) f (x) 3x3 6x2 4x 5; (3) f (x) x3 2x2 2x 7; (4) f (x) x3 3x2 9x
2. 方程 exx2=m 有且只有一根，求 m 的取值范围． 若 x<2 呢？
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谢谢指导
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-6 -6
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结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图象与x轴交点只有一个；
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图象与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图象与x轴交点有三个.
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例 2：已知函数 a R, f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax.