高一数学必修一三角函数的概念及公式

三角函数的概念及公式

教学目标

1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积；

2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值；

3、同角三角函数的基本关系；

4、掌握诱导公式及应用。

重难点分析

重点：1、角度、弧度的转化； 2、同角三角函数基本关系； 3、诱导公式。 难点：1、角度的表示；

2、同角三角函数值的求解；

3、诱导公式的变换。

知识点梳理

1、角度概念：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角；若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

4、终边相同的角：所有与角α的终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合=S ________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

6、弧度制与角度制的换算关系式：π弧度=o

180。

7、在弧度制下，弧长公式为R l ⋅=α，扇形面积公式为R l S ⋅=

2

1

。（α为圆心角，R 为半径） 8、一般的，设角α终边上任意一点的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r ，那么

（1）

r y

叫做α的正弦，记作αsin ； （2）r

x

叫做α的余弦，记作αcos ；

（3）

x

y

叫做α的正切，记作αtan 。 9、同角三角函数关系的基本关系式

（1）平方关系：1cos sin 2

2=+x x （2）商数关系：x

x

x cos sin tan =

10、同角三角函数基本关系式的常用变形

（1）α2sin =________________；α2

cos =________________；

（2）2

)cos (sin αα+=________________；2

)cos (sin αα-=________________；

（3）ααcos sin ⋅=__________________=___________________。

注意：用同角三角函数的基本关系式求值时应注意

（1）注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2

2

sin 4cos 41αα+=等；

（3）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

2cos 1sin αα=±-，开方时要注意正负。

11、诱导公式：奇变偶不变、符号看象限。

知识点1：终边角（终边相同、终边在一直线上）的表示

【例1】（1）写出与o

35-角终边相同的角的集合；

（2）在（1）的集合中，将适合不等式≤≤-αo

720o

1080的角α求出来。

【随堂练习】

1、与610°角终边相同的角可表示为【 】 A.k ·360°＋230°，k ∈Z B.k ·360°＋250°，k ∈Z C.k ·360°＋70°，k ∈Z D.k ·360°＋270°，k ∈Z

2、与－457°角的终边相同的角的集合是【 】

A ．{α|α＝457°＋k ·360°，k ∈Z }

B ．{α|α＝97°＋k ·360°，k ∈Z }

C ．{α|α＝263°＋k ·360°，k ∈Z }

D ．{α|α＝－263°＋k ·360°，k ∈Z }

3、与o

2010终边相同的最小正角是_________，绝对值最小的角是_______________。

【例2】若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α是第________象限角【 】

A ．一或三

B ．一或二

C ．二或四

D ．三或四

【随堂练习】

1、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 。

知识点2：象限角的表示

【例1】已知α是第二象限的角，问： （1）α2是第几象限的角？（2） 2α是第几象限的角？（3） 3

α

是第几象限的角？

【随堂练习】

1、已知α为第三象限角，则

2

α

所在的象限是【 】 A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限 C.第一或第三象限 D. 第二或第四象限 2、若α为第一象限的角，则2α、3

α

分别是第几象限的角？

【例2】如图，分别写出适合下列条件的角的集合： （1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上； （3）终边落在阴影区域内(含边界)。

知识点3：角度与弧度的转换

【例1】下列转化结果错误的是【 】

A ．60°化成弧度是π3

B ．－10

3π化成度是－600°

C ．－150°化成弧度是－76π D.π

12化成度是15°

【例2】（1）、0

570- =______弧度，是第____象限的角；

（2）、=π5

3

________度，与它有相同终边的角的集合为___________，在[－2π，0]上的角是_______。

【随堂练习】