大学物理-静电场练习题及答案

练习题

7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?

解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为

()2

41r q

q Q F -=πε

由极值条件0d d =q F

，得

Q q 2

1= 又因为

2

02221

d d r q F πε-=<0

这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。

7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2θ很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：

3

1022⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=mg l q x πε

式中x 为两球平衡时的距离。

(2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少?

(3)如果每个球以-19s C 1001⋅⨯-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有

F

T =θsin

mg T =θcos

由此二式可得

mg

F =

θtan

因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到

2

024x q F πε=

可解得

3

1

022⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=mg l q x πε

（2）由上式解出

C 10382282

13

0-⨯±=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛±=.l mgx q πε （3） 由于

t

q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313

10=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-πευ 带入数据解得

-13s m 10401⋅⨯=-.υ

合力的大小为

2

22

220

1222412cos 2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⋅

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+⋅

⋅

===d x x d x e F F F x πεθ

(

)

2

322

2043241

d

x x

e +=

πε

令0d d =x F ，即有

()()0482341825222

232202=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为

2

2d x ±

=

7-4 由相距较近的等量异号电荷

组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电

偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的

电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q 和l 均为已知，

对图7-44中的P 点(OP 平行于正方形的一边)，证明当x » l 时

4

043

x pl

E p πε≈

其中，p=ql 称电偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P 点产生的场强分别为E 左和E 右，由教材例题7-3可知

()

()302 4l p E x πε=+

左方向向下 ()

()302

4l p E x πε=

-

右方向向上

其中，p =ql 。

P 点处的合场强为

()

()

()()3

22

333220002

2

232444l

l l l x l p p p E E E x x x πεπεπε+=-=

-

=

-

+

⎡⎤-⎣⎦

左右

由于

x » l

上式可简化为

()403 4pl

E x

πε=方向向上 证毕。

7-5 如图7-46所示，长为l 的细直线OA 带电线密度为λ，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O 点为b 的P 点的电场强度： (1)λ为常量，且λ>0；(2) λ=kx ，k 为大于零的常量，(0≤x ≤1)。

解：(1)将带电直线分割成无数个长度元d x ，d x 的坐标是x 。它所带的电

荷元d q =λd x ，d q 在P 点产生的电场强度的大小为

()

2

d 41d b x x

E +⋅

=

λπε

因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。于是带电直线在P 点产生的电场强度为 ()⎰

+⋅

=l

b x x

E 0

2

d 41λπε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

l b b 1140πελ()

l b b l

+=04πελ 方向沿x 轴的负方向。

(2) 同样取电荷微元d q =λd x =kx d x ()2

d 41d b x x

kx E +⋅

=πε

同理

()⎰

+⋅

=l

b x x

kx E 0

2

d 41πε⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=

b l l b l b k ln 40πε 方向沿x 轴的负方向。