计算机科学与技术本科-入学测试高等数学测试题(第1套)

山西广播电视大学开放教育新生 入学测试高等数学测试题（第1套）

一、单项选择题 1．设函数)1(log )(2

++

=x

x x f a ，)1,0(≠>a a ，则该函数是（ ）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

2．当0→x 时，下列变量中，无穷小量是 ( )． A ．

x

x sin

B ．)1ln(2

x + C ．x 1

e D ．x

1sin

3. 设x

x f e

)(=，则x

f x f x ∆-∆+→∆)

1()1(lim

=（ ）．

A . 2e

B . e

C . e 4

1 D .

e 2

1

二、填空题

1．若函数x

x x f 2

11)(++

=

，则=)1

(x

f

．

2．若函数)1ln()(x x f +=，则='')0(f

．

3．已知函数x x a x f 3sin 3

1sin )(+

=的驻点是3

π

=x ，则=a ．

得分 评卷人 三、计算题

1．)cos 1(

lim 2

x x

x -→ 2．1sin 1(

lim 0

x

x

x -

→

3．设23ln sin 2

+-+=x x x x y ，求y d ．

4．已知11ln

)sin(=+-y

x xy ，求

d d =x x

y ．

5．⎰

+dx e

e

x

x 1

6．x x x d sin

2

⎰π

7．求幂级数∑

∞

=1

2

5

n n

n n x

的收敛半径．

四、应用题

要建造一个体积为125立方米的无盖圆柱形仓库，问其高和底半径为多少时用料最省？

五、证明题

试证：当1>x 时，有 e e

x x

>成立．

高等数学入学测试题（第一套）答案

（供参考） 一、 单项选择题 1．A 2. B 3. D 二、填空题 1. 12

++

x

x 2. -1 3. 2

三、计算题

1．解： )cos 1(

lim 2

x

x

x -→=2

2

2

sin

2lim

x

x x →

=

2

1]

2

2sin

[2

1)

2

(2

sin lim

2

12

22

2

lim

=

=

→→x x x

x x x

2．解：)1sin 1(

lim 0

x

x

x -

→=)sin sin (

lim 0

x

x x x x -→

=x

x x x x cos sin cos 1lim

+-→ =x

x x x

x sin cos 2sin lim

0-→= 0

3．解：因为31ln cos 22

-++='x x x y

2ln cos 22

-+=x x x 所以 x x x x y d )2ln cos 2(d 2

-+=

4．解： 当0=x 时，由已知11ln )sin(=+-y

x xy ，得e =y

因为在方程等号两边分别对x 求导，得 01

1])[cos(='+

+-

'+y

y x y x y xy

将e ,0==y x 代入，得 0e

1

01]0e )[e 0cos(='+

+-

'⋅+⨯y y

所以 2

e e d d -==x x

y

5．解：⎰⎰

++

=

+)1(111x

x

x

x e d e

dx e

e

⎰

=+du u

e x

11

C u +=ln

C e x

++=)1l n (

6．解

x x x d sin

2

⎰

π

=x x

x

d 2

2cos 10

⎰

-π

=x x x x x d 2cos d [2

1

⎰

⎰-

π

π

=⎰

-

-

π

π

π

2

]2sin 2sin (2

12

1[21xdx x

x x

=

π

π

2

)

2cos 2

1(4

14

x -

+

=

4

2

π

7．解：因为 n

n n a a 1lim

+∞

→=n

n n n

n 5

15

)1(1

lim

2

1

2⋅⋅++∞

→

=5

15

)1(lim

2

2=

⋅+∞

→n n

n

所以原幂级数的收敛半径为：5 （6分） 四、应用题（本题12分）

解：当表面积S 最小时用料最省。设高为h 米， 底半径为r 米，则 S=rh r ππ22

+ 因为体积V=125,所以有：2

2h

V

h V h r ππ=

⇒=

r V r S 22

+

=∴π

0222

=-=∴r

V

r dr

dS π

得3

π

V

r =

就是最小点，相应的3

3

2

22

π

π

π

πV

V

V

r

V

h =

==

,5

125

3

3

π

π

=

=

∴r ,5

125

3

3

π

π

=

=

∴h 时用料最省。

五、证明题

证：设e e )(x x f x

-=

因为 e e )(-='x

x f

当1>x 时，0)(>'x f ，即)(x f 单调增加. 有