重庆大学数学模型数学实验作业四讲解--实用.doc

立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟
悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
实验内容
1．微分方程及方程组的解析求解法；
2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；
3．直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；
gridon
得到的图形为：
当a=0.2，积分区间改为[0,100]时：
当当a=0.6，积分区间改为[0,50]时：
由此一系列图可知此空间图线是混沌的。
4.编写函数m文件apollo.m:
functionep=apollo(t,y)
symsy1y2y3y4
u=1/82.45;u1=1-u;
r1=((y(1)+u)^2+y(3)^2)^(1/2);
, 'x'
)
运行得到
y =(2*x + 1)^(1/2)
，这是解析解。图像如下：
此题中向前欧拉公式更逼近解析解，其实，提高精度，即
n的取值，两种方式都可以无限逼近解析解。
3.首先编辑函数
m文件
rossler.m
：
function
global
eq=rossler(t,x)
a b c
b=2;c=4;
eq=[0 -1 -1;1 a 0;x(3) 0 -c]*x+[0;0;b];
二、问题分析
由题意可以知道，此题中容器内的盐含量以及浓度随着时间在不停变化的，在流入到流出的过程
中，由于混合在水中的盐含量是不同的，所以溶解于水中的盐的量每一时刻都是不同的，流出的量随时间
也是不断变化的。可以选取一个无限小的时间微元进行讨论。
三、数学模型的建立与求解
假设在t时刻到t+△t（△t足够小） 时刻时， 由于时间变化非常微小，可以认为这个△t时间内，
[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；
[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；
通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），
对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建
r2=((y(1)-u1)^2+y(3)^2)^(1/2);
ep(1)=y(2);
ep(2)=2*y(4)+y(1)-u1*(y(1)+u)/r1^3-u*(y(1)-u1)/r2^3;
ep(3)=y(4);
ep(4)=-2*y(2)+y(3)-u1*y(3)/r1^3-u*y(3)/r2^3;
ep=[ep(1);ep(2);ep(3);ep(4)];
forn=1:10
x(n+1)=x(n)+0.1;
y1(n+1)=1.1*y1(n)-0.2*x(n)/y1(n);
k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n);
k2=y2(n)+0.1*k1-2*x(n)/(y2(n)+0.1*k1);
y2(n+1)=y2(n)+0.05*(k1+k2);
end
plot(x,y1,'k:',x,y2,'k-.')
然后在命令行窗口输入全局变量，并对
a赋值，当
a=0.1
时：
global
a b c
a=0.1;
x0=[0;0;0];
[t,x]=ode45('rossler',[0,1000],x0);
plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'k',t,x(:,3),'g')
pause
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
x 2 y x
1(x
)
(x
1),
r13
r23
y
2 x
y
1y
y
,
3
3
r1
r2
1/ 82.45,
11
,
r1
(x
)2
y2, r2
( x
1)2
y2
x(0)
1.2, x(0)
0, y(0)
0, y(0)
1.04935751
二、实验过程
1．编辑程序代码Untitle1:
s=dsolve(
'Dy=y+2*x'
, 'y(0)=1'
解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？
3．Rossler微分方程组：
x'
yz
y'
xay
z'
b
z(x
c)
当固定参数
b=2, c=4
时，试讨论随参数
a由小到大变化（如
a∈(0,0.65))
而方程解的变化情况，
并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？
4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制
运行程序代码Untitle4：
[t,y]=ode45('apollo',[0,20],[1.2 0 0 -1.04935751]);
y1=y(:,1);
y2=y(:,2);
y3=y(:,3);
y4=y(:,4);
plot(t,y1,t,y3)
gridon
pause
plot(y1,y3)
gridon
得到y1-t,y3-t的图像
, 'x'
)
ezplot(s,[0,1])
运行结果如下：
s =3*exp(x) - 2*x
–
2
图形为：
2．编写Fra Baidu bibliotek序代码
Untitle2
：
clc
y=dsolve('Dy=y-2*x/y', 'y(0)=1'
ezplot(y,[0,1])
holdon
x=[];x(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;
开课学院、实验室：数统学院
实验时间：2015年10月28日
课程
数学实验
实验项目
种群数量的状态转移——
实验项目类型
名称
名
称
验证
演示 综合 设计
其他
微分方程
指导
肖剑
成
绩
教师
实验目的
[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；
[2]掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；
容器内溶液浓度没有发生变化浓度c(t)=c(t+△t)=m(t)/V(t),则这个过程中盐减少的质量为△m=m(t+△
4．利用图形对解的特征作定性分析；
5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。
基础实验
一、问题重述
1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，
y’= y + 2x, y(0) = 1, 0<x<1;
2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’= y - 2x/y, y(0) = 1 (0≤x≤1,h = 0.1)的数值
y1-y3（Apollo卫星的运动轨迹）的图像：
应用实验（或综合实验）
一、问题重述
盐水的混合问题
一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流
入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千
克。求经过时间t后容器内盐的含量。