例5卷积的微积分性质
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卷积微分证明
卷积微分证明卷积微分是指在函数的卷积运算过程中，对其中一个函数进行微分的操作。
设有函数 f(x) 和 g(x) 的卷积为 h(x)，即 h(x) = f(x) * g(x)。
我们要证明卷积微分的性质：(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) = f(x) *g'(x)。
首先，我们将卷积的定义写成积分形式：h(x) = ∫[a,b] f(t)g(x-t) dt对卷积函数 h(x) 进行微分，我们可以利用导数的定义：h'(x) = lim┬[Δx→0] [h(x+Δx) - h(x)] / Δx将 h(x) 的表达式代入到 h'(x) 的定义中：h'(x) = lim┬[Δx→0] [∫[a,b] f(t)g(x+Δx-t) dt - ∫[a,b] f(t)g(x-t) dt] / Δx我们可以交换积分符号和极限符号的顺序，然后对每一项应用微分的定义：h'(x) = ∫[a,b] lim┬[Δx→0] [f(t)g(x+Δx-t) - f(t)g(x-t)] / Δx dt我们可以将极限符号移到 f(t) 和g(x+Δx-t) 的乘积处：h'(x) = ∫[a,b] f(t) lim┬[Δx→0] [g(x+Δx-t) - g(x-t)] / Δx dt注意到由于每一项中都有Δx，我们可以将其移到极限符号和g(x+Δx-t) 的乘积处：h'(x) = ∫[a,b] f(t) g'(x-t) dt这里，我们使用了极限的性质lim┬[Δx→0] [f(x+Δx)-f(x)]/Δx = f'(x)。
因此，我们得到 (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) = f(x) * g'(x)，从而证明了卷积微分的性质。
§2.4 卷积积分的性质
▲ ■ 第 4页
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
2.4 卷积积分的性质
1. f t t t f t f t
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
卷积的性质
f (t) h2 (t ) f (t ) ∗ h2 (t )
f (t) h(t )
g(t) h(t ) = h1 (t ) + h2 (t )
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系
统冲激响应之和。
BUPT 尹霄丽
第
3. 卷积的结合律与系统串联
4页
f (t ) ∗ h1(t ) ∗ h2 (t ) = f (t ) ∗[h1(t ) ∗ h2 (t )] = f (t ) ∗ h(t) 系统级联，框图表示：
微分器
∫ f (t) ∗ u(t) = t f (λ )d λ −∞ f (t)∗δ (k)(t) = f (k)(t) f (t)∗δ (k)(t − t0) = f (k)(t − t0)
积分器
k个微分器
微分和时移
BUPT 尹霄丽
三．微分积分性质
设 g(t) = f (t) ∗ h(t)
则 g′(t) = f (t) ∗ h′(t) = f ′(t) ∗ h(t)
§2.8 卷积的性质
•卷积的性质 •代数性质 •与冲激函数或阶跃函数的卷积 •微分积分性质
北京邮电大学电子工程学院 尹霄丽
第
一．代数性质
2页
1．交换律 f1(t ) ∗ f2 (t ) = f2 (t ) ∗ f1(t )
∫ 证明：
f1(t )∗ f2 (t ) =
∞ −∞
f1(τ ) ⋅
f2(t
f (t)∗δ (t) =
∞
∫−∞
f (τ )δ (t
−τ )dτ
=
∞
∫−∞
f (t −τ )δ (τ )dτ
=
f (t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
信号与系统 卷积积分的性质
P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
卷积的性质
第 17 页
阶跃响应的定义
(t )
初始状态为0 LTI
阶跃响应g(t)
第 18 页
冲激与阶跃响应之间的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
第 19 页
冲激响应举例
LTI系统分析概述
系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响 应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
输入输出法（外部法） 系统的分析方法：
状态变量法（内部法）（chp.8)
时域分析（chp.2,chp.3) 外部法 变换域法 离散系统—频域法(4)和z域法(6) 系统特性：系统函数（chp.7)
设
h ' ( 0 ) h ' ( 0 ) a 1
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t ) (e e ) (t )
2t 3t
第 21 页
四、卷积积分
1
2 3
卷积概念
卷积图解法 Matlab求卷积
第 22 页
1.卷积概念
卷积概念视频
第 23 页
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
第 1页
连续系统—频域法(4)和复频域法(5)
求解的基本思路：
把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本 信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
采用的数学工具： • 时 域： 卷积积分与卷积和 • 频 域： 傅里叶变换 • 复频域：拉普拉斯变换与Z变换
卷积积分(Convolution)的定义(精)
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
2
1
0 0 1
t0
0 t 1
f (t ) 0
f (t ) 2e ( t )d 2 2e t
0 1 0 t
t t
t
t 1
1
f (t ) 2e ( t )d 2e ( t 1) 2e t
2
1 -1 0 0
e-
t0
0 t 1 t 1
e(k ) ph (t k )
e( t )
t k : 脉冲作用时刻 2 r( t ) k (k+1) t t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
e(0)
o
t
t ：观察响应时刻
0
2
N
k (k+1)
t
激励 e( t )
f (t ) 0
f (t ) 2e d 2 2e t
0 t t 1 t
t-1
t
1
t t
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC
已知：R=500 k , C=10 F , uC(0)=0
iS 2e t (t ) mA
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
2
1
0 0 1
t0
0 t 1
f (t ) 0
f (t ) 2e ( t )d 2 2e t
0 1 0 t
t t
t
t 1
1
f (t ) 2e ( t )d 2e ( t 1) 2e t
2
1 -1 0 0
e-
t0
0 t 1 t 1
e(k ) ph (t k )
e( t )
t k : 脉冲作用时刻 2 r( t ) k (k+1) t t 时刻观察到的响应 应为 0 ~ t 时间内所有 激励产生的响应的和
e(0)
o
t
t ：观察响应时刻
0
2
N
k (k+1)
t
激励 e( t )
f (t ) 0
f (t ) 2e d 2 2e t
0 t t 1 t
t-1
t
1
t t
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
积分变量（激励作用时刻）
例1. iS R iC C + uC
已知：R=500 k , C=10 F , uC(0)=0
iS 2e t (t ) mA
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
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−1 +∞ −(τ +1)
dτ +δ (t −1) ∗ ∫ e−(τ +1) dτ
t
= 1+ ∫ e−(τ +1) dτ = 1+ 1− e−t u(t)
t −1 −1
(
−1
)
2
1
f1(t) ∗ f2 (t )
o
t
注意： 1 注意：∗e−(t+1) u(t +1) ≠ e−(t+1) u(t +1)
f1(t) = 1+ u(t −1) f2(t) = e−(t+1) u(t +1)
X
s(t) = f1(t) ∗ f2(t)
= [1+ u(t −1)] ∗e−(t+1) u(t +1)
= 1∗e−(t+1) u(t +1) + u(t −1) ∗e−(t+1) u(t +1) +∞ du(t −1) t −(τ +1) −(τ +1) u(τ +1) dτ + u(τ +1) dτ =∫ e ∗∫ e −∞ −∞ dt =∫ e
此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出 此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算， 错误的结果。 错误的结果。 f t 时不等于零； 其原因在于1 (t )在 = −∞ 时不等于零； 从图形上看， f t δ 从图形上看，1′(t )只在 = 1点有一个冲激信号 (t −1)
X
第 2 页
从原理上看， 从原理上看，如果 则应有
第
例2-1
计 卷 f1
f1 (t ) f2 (t )
1 页
2 1
o 1 t −1 o
1
e − (t +1 ) u(t + 1)
t
然而， 分并不能恢复原信号f1(t )，即 然而，对此微分信号积 t df ( ) t 1τ ∫−∞ dτ dτ = ∫−∞δ (τ −1)dτ = u(t −1) ≠ f1(t)
X
d f1(t) t d f1(τ ) f1(t) ∗ f2(t) = dτ ∗∫ −∞ dτ dt
t
d f1(τ ) f1(t ) = ∫ dτ −∞ dτ 很容易证明， 很容易证明，上式成立的充要条件是 tlim f1(t ) = 0 →−∞
显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号， 显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可 以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。 以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。 此题若将f 看成两个信号的叠加 看成两个信号的叠加， 此题若将 1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性 质计算： 质计算：
dτ +δ (t −1) ∗ ∫ e−(τ +1) dτ
t
= 1+ ∫ e−(τ +1) dτ = 1+ 1− e−t u(t)
t −1 −1
(
−1
)
2
1
f1(t) ∗ f2 (t )
o
t
注意： 1 注意：∗e−(t+1) u(t +1) ≠ e−(t+1) u(t +1)
f1(t) = 1+ u(t −1) f2(t) = e−(t+1) u(t +1)
X
s(t) = f1(t) ∗ f2(t)
= [1+ u(t −1)] ∗e−(t+1) u(t +1)
= 1∗e−(t+1) u(t +1) + u(t −1) ∗e−(t+1) u(t +1) +∞ du(t −1) t −(τ +1) −(τ +1) u(τ +1) dτ + u(τ +1) dτ =∫ e ∗∫ e −∞ −∞ dt =∫ e
此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出 此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算， 错误的结果。 错误的结果。 f t 时不等于零； 其原因在于1 (t )在 = −∞ 时不等于零； 从图形上看， f t δ 从图形上看，1′(t )只在 = 1点有一个冲激信号 (t −1)
X
第 2 页
从原理上看， 从原理上看，如果 则应有
第
例2-1
计 卷 f1
f1 (t ) f2 (t )
1 页
2 1
o 1 t −1 o
1
e − (t +1 ) u(t + 1)
t
然而， 分并不能恢复原信号f1(t )，即 然而，对此微分信号积 t df ( ) t 1τ ∫−∞ dτ dτ = ∫−∞δ (τ −1)dτ = u(t −1) ≠ f1(t)
X
d f1(t) t d f1(τ ) f1(t) ∗ f2(t) = dτ ∗∫ −∞ dτ dt
t
d f1(τ ) f1(t ) = ∫ dτ −∞ dτ 很容易证明， 很容易证明，上式成立的充要条件是 tlim f1(t ) = 0 →−∞
显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号， 显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可 以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。 以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。 此题若将f 看成两个信号的叠加 看成两个信号的叠加， 此题若将 1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性 质计算： 质计算：