例5卷积的微积分性质

此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算，则将得出 此题如果直接利用卷积微分与积分性质计算， 错误的结果。 错误的结果。 f t 时不等于零； 其原因在于1 (t )在 = −∞ 时不等于零； 从图形上看， f t δ 从图形上看，1′(t )只在 = 1点有一个冲激信号 (t −1)
X
第 2 页
从原理上看， 从原理上看，如果 则应有
−1 +∞ −(τ +1)
dτ +δ (t −1) ∗ ∫ e−(τ +1) dτ
t
= 1+ ∫ e−(τ +1) dτ = 1+ 1− e−t u(t)
t −1 −1
(
−1
)
2
1
f1(t) ∗ f2 (t )
o
t
注意： 1 注意：∗e−(t+1) u(t +1) ≠ e−(t+1) u(t +1)
X
第
例2-1
计 卷 f1(t) ∗ f2(t)， 画 波 。 算 积 并 出 形
f1 (t ) f2 (t )
1 页
2 1
o 1 t −1 o
1
e − (t +1 ) u(t + 1)
t
Fra Baidu bibliotek
然而， 分并不能恢复原信号f1(t )，即 然而，对此微分信号积 t df ( ) t 1τ ∫−∞ dτ dτ = ∫−∞δ (τ −1)dτ = u(t −1) ≠ f1(t)
f1(t) = 1+ u(t −1) f2(t) = e−(t+1) u(t +1)
X
s(t) = f1(t) ∗ f2(t)
= [1+ u(t −1)] ∗e−(t+1) u(t +1)
= 1∗e−(t+1) u(t +1) + u(t −1) ∗e−(t+1) u(t +1) +∞ du(t −1) t −(τ +1) −(τ +1) u(τ +1) dτ + u(τ +1) dτ =∫ e ∗∫ e −∞ −∞ dt =∫ e
d f1(t) t d f1(τ ) f1(t) ∗ f2(t) = dτ ∗∫ −∞ dτ dt
t
d f1(τ ) f1(t ) = ∫ dτ −∞ dτ 很容易证明， 很容易证明，上式成立的充要条件是 tlim f1(t ) = 0 →−∞
显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号， 显然，所有的时限信号都满足上式。对于时限信号，可 以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。 以放心地利用卷积的微分与积分性质进行卷积计算。 此题若将f 看成两个信号的叠加 看成两个信号的叠加， 此题若将 1(t)看成两个信号的叠加，则也可以利用该性 质计算： 质计算：