数列的求和导学案解析

数列的求和

高一（ ）班 姓名 ____________ 学号 _____________ 一、学习目标：

（1）. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

(2). 能运用错位相减、裂项相消、倒序相加等重要的数学方法进行求和运算；（重点） （3）熟记一些常用的数列的和的公式． 二、学习过程

数列求和的方法： 1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.

①等差数列求和公式：()()

11122n n n a a n n S na d +-=

=+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ⎧=⎪

=-⎨-=≠⎪

--⎩

常见的数列的前n 项和：123+++……+n=__________

， 1+3+5+……+(2n-1)=_______

2222123+++……+n =

(1)(21)

6

n n n ++等.

2、错位相减法：

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

若n n n c b a =•，其中{}n b 是等差数列，{}n a 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b a b a b a b a --=++

++

则n qS = 122311n n n n b a b a b a b a -+++

++

两式相减并整理即得 例1、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）

已知 1

2n n a n -=•，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个

等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和.

针对训练1、求和：()23230,1n n

S x x x nx x x =+++

+≠≠

3、裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用

于类似1n n c a a +⎧

⎫

⎨

⎬⎩⎭

（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列 例2、数列{}n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =+，求它的前n 项和n S

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1________n n k =+，特别地当1k =时，()

1

__________1n n =+

（2

___________=，特别地当1k =

_________=

针对训练2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

4、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例3、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯+

+-⨯

针对训练3、求和：()()()()23123n n S a a a a n =-+-+-++-

5、倒序相加法：

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

例4、已知函数()

x f x =

（1）证明：()()11f x f x +-=；

（2）求128910101010f f f f ⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫

++++

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的值.

小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和. 针对训练4、求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++⋅⋅⋅+++的值

（二）练习巩固

1.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝_______________________.

2.1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ .

3.

1111

...243546(1)(3)

n n ++++•••++=__________ 4. 数列2211,(12),(122),

,(1222),

n -+++++++的通项公式n a = ，

前n 项和n S =

5

;,2

1

2,,25,23,2132 n n -的前n 项和为_________ 6.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，

数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.

（1）求,n n a b ；（2）求证12

11134

n S S S +++

<.

（四） 课堂小结和课外作业 请同学们总结本节课学习的内容

数列求和的方法及其特征：___________________

三、课外作业：

1. 作业本：课本61页习题

2.5组 第4题 2. 《学习与评价》p 达标训练（1）--（12）； p 拓展训练