概率论与数理统计习题及答案第二章

习题2-2

1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0

1,,

0,A X A =⎧⎨

⎩发生不发生.

写出随机变量X 的分布律.

解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者

2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为

c

c c c 167

,

85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠

13571,24816c c c c

+++= 所以3716

c

=

. 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121

}0{}1{=

++=≠-=c

c c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9

=

, 求{P Y ≥1}.

解 注意p{x=k}=k

k n k n C p q -,由题设5

{9

P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-

故213

q

p =-=

. 从而

{P Y ≥3219

1}1{0}1().327

P Y =-==-=

4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为

1927

, 求每次试验成功的概率.

解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是

27

19

，那么一次都

没有成功的概率是

278. 即278)1(3

=-p , 故 p =3

1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.

解 由泊松分布的分布律可知6=λ.

6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.

解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有103

5

=C 种取法.

{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =10

1

;

{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=10

3

3523=C C ;

{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=5

3

3524=C C .

X 的分布律是

1. 设求分布函数解 (1) F (x )=0,

1,0.15,10,0.35,01,1,

1.

x x x x <-⎧⎪-<⎪

⎨

<⎪⎪⎩≤≤≥

(2) P {X <0}=P {X =-1}=;

(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=. 2. 设随机变量X 的分布函数为

F (x ) = A +B arctan x -∞

试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知

()0112

,.2()1

2A B A B A B πππ⎧

+-=⎪⎪⇒==⎨

⎪+=⎪⎩ 于是 11

()arctan ,.2F x x x π

=+-∞<<+∞

(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤

1111

(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-

11111().24242

ππππ=+⋅---=

3. 设随机变量X 的分布函数为

F (x )=0, 0,

01,21,1,

,x x

x x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥

求P {X ≤-1}, P {

解 P {X 1}(1)0F -=

-=≤,

P {

P {0

5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11

{1},{1}84

P X

P X =-===; 在事件

{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度

成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .

解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时, 1(1)8

F -=

;

当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以 115

{11}(1)(1){1}1.848

P X F F P X -<

<=---==--=

易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为

{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,