第七章 图与网络优化练习题答案

第八章 图与网络优化练习题答案

一、判断下列说法是否正确

1.在任一图G 中，当点集V 确定后，树图是G 中边数最少的连通图。( )

2.若图中某点v i 有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为v j ，则边[v i ，v j ]必不包含在最小支撑树内。( )

3.若图中从v 1至各点均有惟一的最短路，则连接v 1至其他各点的最短路在去掉重复部分后，恰好构成该图的最小支撑树。( )

4.求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。( )

二、有一项工程，要埋设电缆将中央控制室与15个控制点连通。下图中标出了允许挖电缆沟的地点和距离（单位：hm ）。若电缆线100元/m ，挖电缆沟（深1m ，宽0.6m ）土方30元/m 3，其它材料和施工费用50元/m ，请作出该项工程预算的最少费用。

中央控制室

1 2 4

3

6 5 8

7 9

10 11

15

12 13

14 7

2

4 6 6 12

4 3 11 9

5 8 5

9

8

8 12 10 5 5

2

5

4

10

5 4

6 9 6

8

4

6

7 3

答案：

求出其最小支撑树为：

中央控制室

1 2 4

3 6

5

8

7

9

10 11

15 12 13

14 7

2

4 4 3 5

5

5

5

2

4 5

4 4

3

埋设电缆的最优方案为总长6200m

所以最少工程预算费为6200×(100+0.6×30+50)=1041600元

三、用Dijkstra 标号法求出下图中v 1到各点的最短距离与最短路径。

v 1

v 3 v 6 v 9

v 11

v 2 v 5

v 8 v 4

v 10

v 7

2 8

1

6 1

2 9 1

1

6 7 3

4 7 1

2

9 6

1

5 3 2

答案：

图中的粗线即为v 1到各点的最短路径；v 1到各点的最短距离为图中带

的数字。

四、所给网络中弧旁数字为该弧容量，求网络最大流与最小截集。

v s

v 1 v 2 v 3

v 4

v t

13 2

6

6

3

3

4 4 7

15

答案：

第一次迭代：

得增广链：(v s , v 1, v t )；按θ=7调整，如上图。 第二次迭代：

v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,7)

2 6

6

3 3

4

4 (7,7)

15

(0,+∞)

(v s ,13) (v s ,6)

(v s ,2)

(v 1,4)

(v 1,7)

得增广链：(v s , v 1, v 4, v t )；按θ=4调整，如上图。 第三次迭代：

得增广链：(v s , v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。 第四次迭代：

得增广链：(v s , v 1, v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。 第五次迭代：

得增广链：(v s , v 3, v 4, v t )；按θ=4调整，如上图。 第六次迭代：

v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,13)

(2,2)

(6,4)

(6,4)

(3,2)

3 (4,4)

(4,4)

(7,7)

(15,12)

(0,+∞)

(v s ,6)

(-v 4,4)

(v 3,4)

(v 4,4) v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,13)

(2,2)

6

(6,4)

(3,2)

3

4

(4,4)

(7,7)

(15,8)

(0,+∞)

(v s ,2) (v s ,6)

(v 1,2)

(v 2,2)

(v 4,2) v s

v 1

v 2

v 3 v 4 v t

(13,11)

(2,2)

6

(6,2)

3 3 4

(4,4)

(7,7)

(15,6)

(0,+∞)

(v s ,2) (v s ,6)

(v s ,2)

(v 2,2)

(v 4,2) v s

v 2

v 3 v 4 v t

(13,11)

2 6

6

3 3

4

(4,4)

(15,4)

(0,+∞)

(v s ,6)

(v s ,2)

(v 1,4)