第七章 图与网络优化练习题答案

第八章 图与网络优化练习题答案
一、判断下列说法是否正确
1.在任一图G 中，当点集V 确定后，树图是G 中边数最少的连通图。

( )
2.若图中某点v i 有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为v j ，则边[v i ，v j ]必不包含在最小支撑树内。

( )
3.若图中从v 1至各点均有惟一的最短路，则连接v 1至其他各点的最短路在去掉重复部分后，恰好构成该图的最小支撑树。

( )
4.求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。

( )
二、有一项工程，要埋设电缆将中央控制室与15个控制点连通。

下图中标出了允许挖电缆沟的地点和距离（单位：hm ）。

若电缆线100元/m ，挖电缆沟（深1m ，宽0.6m ）土方30元/m 3，其它材料和施工费用50元/m ，请作出该项工程预算的最少费用。

中央控制室
1 2 4
3
6 5 8
7 9
10 11
15
12 13
14 7
2
4 6 6 12
4 3 11 9
5 8 5
9
8
8 12 10 5 5
2
5
4
10
5 4
6 9 6
8
4
6
7 3
答案：
求出其最小支撑树为：
中央控制室
1 2 4
3 6
5
8
7
9
10 11
15 12 13
14 7
2
4 4 3 5
5
5
5
2
4 5
4 4
3
埋设电缆的最优方案为总长6200m
所以最少工程预算费为6200×(100+0.6×30+50)=1041600元
三、用Dijkstra 标号法求出下图中v 1到各点的最短距离与最短路径。

v 1
v 3 v 6 v 9
v 11
v 2 v 5
v 8 v 4
v 10
v 7
2 8
1
6 1
2 9 1
1
6 7 3
4 7 1
2
9 6
1
5 3 2
答案：
图中的粗线即为v 1到各点的最短路径；v 1到各点的最短距离为图中带
的数字。

四、所给网络中弧旁数字为该弧容量，求网络最大流与最小截集。

v s
v 1 v 2 v 3
v 4
v t
13 2
6
6
3
3
4 4 7
15
答案：
第一次迭代：
得增广链：(v s , v 1, v t )；按θ=7调整，如上图。

第二次迭代：
v s
v 1
v 2
v 3 v 4 v t
(13,7)
2 6
6
3 3
4
4 (7,7)
15
(0,+∞)
(v s ,13) (v s ,6)
(v s ,2)
(v 1,4)
(v 1,7)
得增广链：(v s , v 1, v 4, v t )；按θ=4调整，如上图。

第三次迭代：
得增广链：(v s , v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。

第四次迭代：
得增广链：(v s , v 1, v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。

第五次迭代：
得增广链：(v s , v 3, v 4, v t )；按θ=4调整，如上图。

第六次迭代：
v s
v 1
v 2
v 3 v 4 v t
(13,13)
(2,2)
(6,4)
(6,4)
(3,2)
3 (4,4)
(4,4)
(7,7)
(15,12)
(0,+∞)
(v s ,6)
(-v 4,4)
(v 3,4)
(v 4,4) v s
v 1
v 2
v 3 v 4 v t
(13,13)
(2,2)
6
(6,4)
(3,2)
3
4
(4,4)
(7,7)
(15,8)
(0,+∞)
(v s ,2) (v s ,6)
(v 1,2)
(v 2,2)
(v 4,2) v s
v 1
v 2
v 3 v 4 v t
(13,11)
(2,2)
6
(6,2)
3 3 4
(4,4)
(7,7)
(15,6)
(0,+∞)
(v s ,2) (v s ,6)
(v s ,2)
(v 2,2)
(v 4,2) v s
v 2
v 3 v 4 v t
(13,11)
2 6
6
3 3
4
(4,4)
(15,4)
(0,+∞)
(v s ,6)
(v s ,2)
(v 1,4)
得增广链：(v s , v 3, v 2, v 4, v t )；按θ=2调整，如上图。

第七次迭代：
所有f sj =c sj （均为饱和弧）标号无法继续，解题结束。

图中可行流即为所求最大流，最大流量为：()*s1s2s31t 4t V f f f f f f 21=++=+= 同时得到最小截集()11V ,V ：其中，{}{}1s 11234t V v ,V v ,v ,v ,v ,v == 即()()()(){}11s 1s 2s 3V ,V v ,v ,v ,v ,v ,v =，其容量也为21。

t
v s
v 2
v 3 v 4 v t
(13,13)
(2,2)
(6,6)
(6,6)
(3,2)
(3,2) (4,4)
(4,4)
(15,14)
(0,+∞)
(v s ,2)
(v 3,2)
(v 2,2)。