高三数学试题
高三数学考试试题
高三数学考试试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像是开口向上的抛物线，那么a 的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|-2≤x≤1}，则A∪B的结果是：A. {x|-2≤x≤2}B. {x|-1≤x≤1}C. {x|-1≤x≤2}D. {x|-2≤x≤1}3. 若sin(α+β)sin(α-β) = m，那么cos^2α - sin^2β的值是：A. mB. -mC. 1-mD. 1+m4. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = an + 3n，那么a5的值是：A. 23B. 28C. 33D. 385. 函数y = ln(x)的导数是：A. 1/xB. x/ln(x)C. ln(x)/xD. ln^2(x)6. 已知直线l1: x + y - 3 = 0 与直线l2: 2x - y + 6 = 0，它们的交点坐标是：A. (1, 2)B. (-1, 4)C. (3, 0)D. (0, 3)7. 已知圆心在原点，半径为2的圆的方程是：A. x^2 + y^2 = 4B. x^2 + y^2 = 2C. x^2 + y^2 > 4D. x^2 + y^2 < 48. 若z = x + yi，其中x和y为实数，i为虚数单位，那么|z|的值是：A. √(x^2 + y^2)B. √(x^2 - y^2)C. x - yiD. x + yi9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f'(1)的值：A. -1B. 0C. 1D. 210. 若方程x^2 - 4x + 3 = 0有实数根，则实数根的和是：A. 1B. 2C. 4D. 0二、填空题（每题3分，共15分）11. 若sin(θ) = √3/2，且θ为锐角，则cos(θ) = _______。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;(2)BC ⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析 （2） 【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.在矩形AA 1B 1B 中,AB=,AA 1=2,得BH=.在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得sin ∠BC 1H==.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.【答案】（1）见解析 （2）【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,所以G 与G′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE =,而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED =.所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=,所以=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.·PD,(3)==S△DBC=6,PD=4,又S△DBC所以=8.4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF,同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=B′C′=1,故====.8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥平面A′DE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE中,可得CE= a.在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,则cos∠FMN=,所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P AC D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P AC D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE;(2)求证:AM⊥平面ADF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD交于点Q.在△ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,∴PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,∵Q、G分别为BD、BA的中点,∴QG∥AD.又∵AD∥BC,∴QG∥BC,∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴QG∥平面BCE.同理可证,PG∥平面BCE.又PG∩QG=G,∴平面PQG∥平面BCE,∴PQ∥平面BCE.(2)∵M为EF中点,∴EM=MF=EF=AB=2,又AB∥EF,∴四边形ABEM是平行四边形,∴AM=BE=2.在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,∴AM⊥AF.又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,∴DA⊥AM.∵DA∩AF=A,∴AM⊥平面ADF.14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB⊥ED;(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,∵EA=EB,∴EO⊥AB,∵AB∥CD,AB=2CD,∴BO CD.又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FG AB,因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.又DN∩FD=D,∴AC ⊥平面FDN,又GN ⊂平面FDN,∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GHCD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.【答案】（1）见解析 （2）当x=3时,有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,连接QE 、QP,则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.故=··2·(6-x)·x=(6x-x 2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3,∴当x=3时,有最大值,最大值为3.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,因为AM=MB,所以MN ∥BC 1.又BC 1⊂平面BCC 1B 1,MN ⊄平面BCC 1B 1,所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,∴EH ∥PB.又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,∴PB ∥平面EFH.(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,∴AB ⊥底面PAD.又∵PD ⊂平面PAD,∴AB ⊥PD.Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,∴PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.【答案】（1）见解析（2）60°（3）【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,∴BD=2,BC=4,∴DC=2,则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,∴tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB,∴EF∥AB,如图所示,∵AD=1,BC=4,BF=1,∴==,∴=,即λ=.。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“如果x⊥y，y∥z，则x⊥z”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是() A．全是直线B．全是平面C．x，z是直线，y是平面D．x，y是平面，z是直线2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直二、填空题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．2.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .2.如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .3.如图，点C 是以AB 为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝BC .(1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是( )A ．全是直线B ．全是平面C ．x ，z 是直线，y 是平面D ．x ，y 是平面，z 是直线【答案】D【解析】当x 、y 、z 是A 、B 、C 中的几何图形时，命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是真命题，故选D.2.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l与β斜交．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．故选D.6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.二、填空题1.已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．【答案】充分不必要【解析】E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．2.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．【答案】②④【解析】①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)【答案】①③【解析】过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，得AA 1⊥MN ，①正确；过M ，N 分别作MR ⊥A 1B 1，NS ⊥B 1C 1于点R ，S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，所以A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，∴EC ∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面BEC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面BEC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面BEC ，∴BE ∥平面PDA .(2)连接AC ，交BD 于点F ，连接NF ，∵F 为BD 的中点，∴NF∥PD且NF＝PD，又EC∥PD且EC＝PD，∴NF∥EC且NF＝EC.∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.2.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.3.如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC.(1)证明：EO∥平面ACD；(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)如图，取BC的中点M，连结OM、ME.在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，∴OM∥AC，在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝BC＝CM，∴四边形MCDE为平行四边形，∴EM∥DC，∴面EMO∥面ACD，又∵EO⊂面EMO，∴EO∥面ACD.(2)∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，又∵面BCDE⊥面ABC，面BCDE∩面ABC＝BC，∴AC⊥面BCDE，又∵AC⊂面ACD，∴面ACD⊥面BCDE.。
高三数学考试题目及答案大全
高三数学考试题目及答案大全第一节选择题1.若a＋b＝0，则下列说法错误的是（） A. a＝－b B. b＝－a C. a·b＝0 D. a＝b2.若函数y＝ax＋b在点（1，－3）处的斜率为－2，则a，b的值分别为（） A. 2，－1 B. －2，1 C. －1，2 D. 1，－23.若直线2x＋y＋1＝0与x轴交于点（－1, 0），求直线的斜率k为（） A. k＝0 B. k＝1 C. k＝－1 D. k＝1/2第二节填空题1.已知平方根2的近似值为1.414，则2的近似值为_________。
2.已知函数y＝x^2＋4x＋6，当x＝－2时，y的值为_________。
第三节计算题1.求函数y＝3x^2－4x＋5的极小值。
2.解方程组： \[ \begin{cases} 2x+y=3 \\ x-3y=-2 \end{cases} \]3.计算极限： \[ \lim_{{x\to 1}}\frac{x^2-1}{x-1} \]第四节证明题证明：直线y＝3x+1与直线y＝3x+2平行。
答案参考第一节选择题1. D. a=b2. D. 1，－23. B. k=1第二节填空题1.2的近似值为1.414 x 2 =2.8282.当x＝－2时，y＝（－2）^2 + 4 × （－2）+ 6 = 2第三节计算题1.函数y＝3x^2－4x＋5的极小值为（4, 9）2.解得x=5，y=-73.解得极限值为2第四节证明题设直线y＝3x+1过点（0, 1），直线y＝3x+2过点（0,2），斜率均为3，两直线平行。
证毕。
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全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．45.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．3.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题1.如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(3)当四棱锥P-ABCD 的体积等于时，求PB 的长．3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】A【解析】过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β【答案】B【解析】根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.5.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确．二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．【答案】①②【解析】由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．【答案】①③【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.3.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．【答案】【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，t＝AK＝＝1；当F运动到C点时，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，则，又AB＝2，AK＝t，则t＝.∴t的取值范围是.三、解答题1.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.【答案】见解析【解析】(1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．【答案】【解析】(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴S＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.菱形ABCD∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA ⊥AB .在Rt △PAB 中，PB ＝ ＝＝.3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】(1)法一因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2.所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .法二因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图1，取AB 的中点G ，连接DG .图1在△ABD 中，由AB ＝2AD ，得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .(2)如图2，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD 于点E ，图2连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .。
高三数学试题及解析答案
高三数学试题及解析答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)的性质。
选项A是偶函数，选项B是偶函数，选项D是偶函数，只有选项C满足奇函数的定义。
因此，正确答案是C。
2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5的值。
解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
将已知条件代入公式，得到a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14。
3. 计算下列积分：∫(3x^2 - 2x + 1)dx解析：根据积分的基本公式，我们可以计算出：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C4. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标和半径。
解析：圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
根据题目给出的方程，圆心坐标为(3, 4)，半径为5。
二、填空题（每题4分，共12分）1. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cosθ的值。
答案：根据勾股定理，cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 -(3/5)²) = 4/5。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。
答案：将x=2代入函数f(x)，得到f(2) = 2³ - 2×2² + 3×2- 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2。
3. 求方程2x + 5 = 7x - 3的解。
答案：将方程化简，得到5x = 8，解得x = 8/5。
三、解答题（每题18分，共54分）1. 解不等式：|x - 3| < 2。
高三超难数学试题及答案
高三超难数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：B2. 若复数z满足|z-1|=2，则z在复平面上对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A3. 若函数f(x)=2sin(2x+π/4)的图像向右平移π/8个单位，所得图像对应的函数解析式为：A. f(x)=2sin(2x+3π/4)B. f(x)=2sin(2x-π/4)C. f(x)=2sin(2x+π/8)D. f(x)=2sin(2x-3π/8)答案：B4. 对于双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若其焦点在x轴上，且离心率为2，则a与b的关系为：A. b=aB. b=2aC. b=√3aD. b=√2a答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，则该数列的前5项和S5为：______。
答案：316. 若直线l的方程为x-y+1=0，且直线l与圆x^2+y^2=1相切，则直线l与圆的切点坐标为：（______，______）。
答案：(0,1)或(-2,-1)7. 设函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0的根为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的值为：______。
答案：08. 若椭圆E的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a>b>0，且椭圆E 与直线y=x相切于点(1,1)，则a^2+b^2的值为：______。
答案：5三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：对于任意x∈R，都有f(x)≥-1。
证明：首先求导f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。
令f'(x)=0，得到x=0或x=2。
当x<0或x>2时，f'(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，函数单调递减。
高三数学试题及详细答案
高三数学试题及详细答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是：A. m≤-2B. m≥-2C. m≤2D. m≥2答案：B2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），则a5的值为：A. 31B. 63C. 127D. 255答案：C3. 若直线l：y=kx+1与椭圆C：x^2/4+y^2/2=1有公共点，则k的取值范围是：A. -√2/2≤k≤√2/2B. -1≤k≤1C. -√3/2≤k≤√3/2D. -√2≤k≤√2答案：A4. 已知函数f(x)=x^3-3x，若f(x1)=f(x2)（x1≠x2），则x1+x2的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D5. 已知向量a=(1,-2)，b=(2,1)，则|2a+b|的值为：A. √5B. √10C. √17D. √21答案：C6. 若不等式x^2-2ax+4>0的解集为R，则a的取值范围是：A. a<-2或a>2B. a<-1或a>1C. a<-2√2或a>2√2D. a<-√2或a>√2答案：C7. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A+C=2B，且sinA+sinC=sin2B，则三角形ABC的形状是：A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形答案：C8. 已知函数f(x)=x^2-4x+m，若f(x)在区间[1,3]上的最大值为5，则m的值为：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：C9. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线C的离心率为：A. √3B. √2C. 2D. 3答案：A10. 已知函数f(x)=x^3-3x，若方程f(x)=0有三个不同的实根，则f'(x)=0的根的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S3=7，则公比q的值为______。
数学高三试卷(带答案)
数学高三试卷(带答案)数学高三试卷(带答案)第一部分：选择题1. 设集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5, 6}，则A ∩ B =A) {1, 2, 3, 4} B) {3, 4} C) {5, 6} D) 空集2. 已知函数f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(2)) =A) 3 B) 5 C) 7 D) 93. 解方程组：2x - y = -13x + y = 7得到的解为A) (x, y) = (1, 2) B) (x, y) = (2, 1) C) (x, y) = (-1, -2) D) (x, y) = (-2, -1)4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，则f(g(x)) = 0的解为A) x = -1, x = 2 B) x = -2, x = 1 C) x = 1, x = 2 D) x = -1, x = 15. 计算正弦函数si n(π/6)的值，结果等于A) 1/2 B) √3/2 C) √2/2 D) 1第二部分：填空题6. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 3)，则a + b + c =______.7. 已知复数z = 3 + 4i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为______.8. 若a + b = 3，a^2 + b^2 = 7，则ab的值为 ______.9. 在等差数列-2, 1, 4, 7, ...中，求第10项的值 ______.10. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(2, -1)，则a + b + c 的值为 ______.第三部分：解答题11. 一个等差数列的首项为2，公差为3，前n项和为S。
当n = 5时，S = 35。
求此等差数列的第7项。
12. 设函数f(x)为一次函数，满足f(2) = 5，f(3) = 7。
高三超难数学试卷加答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a > 1 或 a < -1D. a > -1 或 a < 12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则sinC的值为（）。
A. 1/2B. √3/2C. 2/√3D. 3/24. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = (-1)^n n，则Sn的值为（）。
A. nB. -nC. n/2D. -n/25. 设向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）。
B. 2/5C. 3/5D. 4/5二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且f(1) = 0，f(2) = 0，则a = _______。
7. 设复数z = 1 + i，则|z - 2i|^2 = _______。
8. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 +a6 = 18，则a1 = _______。
9. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，若f(x) = 0有三个不同的实数根，则f'(x) = 0的根为 _______。
10. 若向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，则向量a与向量b的叉积为 _______。
三、解答题（每题20分，共80分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像关于x轴对称，且f(1) = 0，f(-1) = 0，求a、b、c的值。
高中数学高三试题及答案
高中数学高三试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 5D. -5答案：B2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A3. 函数y = x^2 - 6x + 8的对称轴方程为：A. x = 3B. x = -3C. x = 2D. x = -2答案：A4. 已知等差数列{a_n}的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为：A. 3B. 2C. 1D. 4答案：A5. 函数y = |x - 2| + |x + 2|的最小值为：A. 2B. 4C. 0D. 6答案：B二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足______。
答案：θ =135°7. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，求圆心坐标。
答案：(3, -4)8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5，求f'(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 49. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为2，4，8，则该数列的公比为______。
答案：2三、解答题（每题10分，共60分）10. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
答案：x = 2 或 x = 311. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，求f(x)的极值点。
答案：x = 1/2（极大值点），x = 2（极小值点）12. 已知直线l：y = 2x + 3，求与l平行且与x轴交于点(2, 0)的直线方程。
答案：y = 2x - 413. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 5，b = 7，c = 8，求三角形ABC的面积。
全国高三数学试题及答案
全国高三数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值为m，则m的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a = (3, -1)，b = (1, 2)，则向量a与b的数量积为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, √2]4. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求数列的前n项和Sn：A. n^2B. n(n+1)C. n^2 - nD. n^2 + n5. 直线l：2x - y + 3 = 0与直线m：x + 2y - 5 = 0的交点坐标为：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (-1, 2)D. (2, -1)6. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，若双曲线的一条渐近线方程为y = 2x，则a与b的关系为：A. a = 2bB. a = b/2C. b = 2aD. b = a/27. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，若三角形ABC的面积为3√3，则c的值为：A. 2√3B. 3√3C. 6D. 6√38. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)：A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x + 3C. 3x^2 - 6x + 1D. 3x^2 - 6x + 49. 已知抛物线方程为y^2 = 4x，求抛物线的焦点坐标：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)10. 已知椭圆方程为x^2/16 + y^2/9 = 1，求椭圆的离心率e：A. 1/4B. √5/4C. √3/2D. 3/4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求该数列的第10项a10的值为______。
高三数学试题及答案一轮
高三数学试题及答案一轮一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 在等差数列{a_n}中，若a_1 + a_3 + a_5 = 9，a_2 + a_4 + a_6 = 15，则a_7的值为：A. 7B. 9C. 11D. 133. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），若双曲线C的一条渐近线方程为y = √2x，则双曲线C的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 34. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, 2]D. [1, √2]5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a与向量b的数量积为：A. -1B. 0C. 1D. 36. 若直线l的方程为y = kx + 1，且直线l与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k的值为：A. 1B. -1C. √3D. -√37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f'(x) = 0的根为x = 1或x = 2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = 2C. x = 1和x = 2D. 无极值点8. 已知抛物线C的方程为y^2 = 4x，若抛物线C上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为：A. 4B. 5C. 6D. 79. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，且a = 3，b = 4，则三角形ABC的面积为：A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且f(1) = 0，f(2) = 0，则a + b + c的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{a_n}的首项为2，公比为3，其前n项和为S_n，则S_5 = ________。
高三数学试题大全及答案
高三数学试题大全及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=2x^2-3x+1的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. 3/2B. 2C. 0D. -12. 已知向量a=(3,-2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的数量积为：A. 2B. -2C. 4D. -43. 函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，若其渐近线方程为y=±(√2)x，则a与b的关系为：A. a=bB. a=√2bC. b=√2aD. b=2a5. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，若前n项和Sn=20，则n的值为：A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知三角形ABC的内角A、B、C满足A+B=2C，且sinA+sinB=sinC，则三角形ABC的形状为：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 不等边三角形7. 已知函数f(x)=x^2-4x+m，若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则m的取值范围为：A. m≤-2B. m≤0C. m≤1D. m≤38. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)，若其离心率为√3/2，则a与b的关系为：A. a=2bB. a=√3bC. b=√3aD. b=2a9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值点为：A. 最小值点B. 最大值点C. 非极值点D. 不确定10. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为1/2，若前n项积Tn=1/64，则n的值为：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0的两个根为x1和x2，则x1+x2=______。
高三高考数学试题及答案
高三高考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项是正确的。
）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c的图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是（）。
A. c > 4B. c < 4C. c ≥ 4D. c ≤ 4答案：D2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=50，S_10=100，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10的值为（）。
A. 30B. 50C. 100D. 150答案：A3. 设函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1，若f(a)=0，则a的值不可能是（）。
A. -3B. 1C. 2D. 0答案：C4. 已知向量a=(2, -3)，b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ满足（）。
A. 0 < θ < π/2B. π/2 < θ < πC. θ = π/2D. θ = π答案：A5. 已知圆C：(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆D：(x-4)^2+(y+5)^2=25，两圆的公共弦所在的直线方程是（）。
A. x-y-3=0B. x+y-1=0C. x-y+1=0D. x+y+7=0答案：A6. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4，若f(a)=f(b)=0，则a+b的值为（）。
A. 3B. -3C. 1D. -1答案：A7. 已知复数z=1+i，则|z|的值为（）。
A. √2B. 2C. 1D. 0答案：A8. 设函数f(x)=x^2-2x+1，若f(x)=0，则x的值为（）。
A. 1B. -1C. 2D. 0答案：A9. 已知等比数列{a_n}的公比q=2，且a_1a_2a_3=8，则a_1的值为（）。
A. 1B. 2C. 4D. 8答案：A10. 设函数f(x)=x^2-6x+8，若f(a)=f(2a)，则a的值为（）。
A. 2B. 4C. 1D. 0答案：C二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分。
高三的数学高考试卷真题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）。
A. (0, 0)B. (1, 0)C. (2, 0)D. (3, 0)2. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10等于（）。
A. 17B. 19C. 21D. 233. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面内的轨迹是（）。
A. 一条直线B. 一个圆C. 一个点D. 一条射线4. 已知函数y = 2x^2 - 4x + 1，则该函数的顶点坐标是（）。
A. (1, 1)B. (2, -1)C. (1, -1)D. (2, 1)5. 在直角坐标系中，直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k^2 + b^2的取值范围是（）。
A. [0, 1]B. (0, 1]C. [0, 1)D. (0, 1)6. 若等比数列{an}的公比q ≠ 1，且a1 + a2 + a3 = 9，a1 + a2 + a3 + a4 = 27，则数列{an}的通项公式是（）。
A. an = 3^nB. an = 3^n - 1C. an = 3^n + 1D. an = 3^n - 27. 若向量a = (2, -3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值是（）。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/58. 已知函数y = sin(2x + π/6)，则函数的周期是（）。
A. π/2B. πC. 2πD. 4π9. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的余弦值是（）。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/510. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d = 2，且S5 = 30，则数列{an}的首项a1等于（）。
高三数学试卷可打印
考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则下列说法正确的是：A. a > 0, b < 0, c > 0B. a > 0, b > 0, c > 0C. a < 0, b < 0, c < 0D. a < 0, b > 0, c < 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 100，则数列的公差d 为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部a等于：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定4. 下列不等式中，恒成立的是：A. x^2 + 1 > 0B. x^3 + 1 > 0C. x^4 + 1 > 0D. x^5 + 1 > 05. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°6. 若log2(x + 3) - log2(x - 1) = 1，则x的值为：A. 2B. 4C. 8D. 167. 已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1的左支上的一点P的坐标为(-2, 3/2)，则点P 到右准线的距离为：A. 4B. 5C. 6D. 78. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. f(x) = 2x + 1B. f(x) = 2x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^39. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)的斜率为：A. 1B. 2C. -1D. -210. 若sinα + cosα = √2/2，则sin2α的值为：A. 1B. √2/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号)5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 8.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．9.设函数f(x)＝ (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．13.对于实数a 和b ，定义运算“”：ab ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．4.已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．5.定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________． 【答案】(2－log 32，11)【解析】由33－x <6，知3－x<log 36，即x>3－log 36， 所以A ＝(2－log 32，＋∞)．由lg(x －1)<1，知0<x －1<10，即1<x<11， 所以B ＝(1，11)，所以A∩B ＝(2－log 32，11)．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________． 【答案】－【解析】因为a 、b 为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋＝－.3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①②④【解析】令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________． 【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x －1|－1|＝方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(－2)2－4，则t ＝(－2)2－4，易得－3<t<0.6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 【答案】①③④ 【解析】由f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg＝f，知②错误；由＝|x|＋≥2，知f(x)＝lg≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －，由h′(x)＝0，得x ＝.易知当x ＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h <0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln28.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1，【解析】设P ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋＝x 2＋－2a＋2a 2＝－2a＋2a 2－2.令t ＝x ＋，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2. 由PA 取得最小值，得或解得a ＝－1或a ＝.9.设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 【答案】[1，e]【解析】若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立， 则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上． 又f(x)＝在[0，1]上单调递增， 所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0， 所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即＝x 在[0，1]上有解， 所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]， 令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]， 则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增． 又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．【答案】【解析】在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝＞3，g(t)的最小值为g ＝－，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<k 2<，而k 2＝时，直线与半圆相切，由得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝，得x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝t 2－6t ＋7＜－111.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 【答案】1【解析】由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ， 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x ，∴g(x)＝(2x ＋2－x )，∴g(x)≥1.12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________． 【答案】－4【解析】|x 1－x 2|＝f max (x)，＝，|a|＝2，∴a ＝－413.对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________． 【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×＝1，∴x 2x 3<.令解得x ＝或x ＝ (舍去)，∴<x 1<0，∴<x 1x 2x 3<0.二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0] 【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2， 设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]， 设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，<， 所以lgt 1＋(－1)<lgt 2＋(－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a＋2a －－1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f ＝2a －－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝(3)当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋－1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝ ＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>，由1<x 1x 2<4，得≤1，解得0＜a≤1. 当a<0时，x 1x 2<，由1<x 1x 2<4，得≥4，解得－≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2； 当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－或a ＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为4.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．＝（2）a≤4（3）见解析【答案】（1）f(x)min【解析】(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)＝f＝－；min③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)＝f(t)＝tlnt，min所以f(x)＝.min(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即[h(x)]＝h(1)＝4，所以a≤4.min(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]＝m(1)＝－，max当且仅当x＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立5.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是有界函数（2）[－5，1]【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，设2x ＝t ，h(t)＝－4t －，p(t)＝2t －，由x ∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝>0，p(t 1)－p(t 2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）t ＝2（3）∪[e ，＋∞)【解析】审题引导：本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负． 规范解答：(1)证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2)解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0，＋∞)f′(x)－＋f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3)解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－＝a －－2lna ，记g(t)＝t －－2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋－＝≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －－2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0， 所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna≥e －1a≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1＋lna≥e －10＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为∪[e ，＋∞)．(16分)7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.【答案】（1）在上单调递增，在上是减函数（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝－2ax ＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝，且当x ∈时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数.(2)解：设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ， g′(x)＝－2a ＝.当0<x<时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<时，f>f.(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点， 故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<<x 2.由(2)得f ＝f >f(x 1)＝0. 从而x 2>－x 1，于是x 0＝>.由(1)知，f′(x 0)<0。