新人教版高中数学—选修1-2教案
高中数学选修1 2教案
高中数学选修1 2教案教案标题：高中数学选修1&2教案教学目标：1. 熟练掌握高中数学选修1&2的基本概念和方法；2. 培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 培养学生的数学兴趣和学习动力；4. 培养学生的合作学习和团队合作能力。
教学重点：1. 理解和掌握高中数学选修1&2的基本概念；2. 掌握基本的数学计算和解题方法；3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学难点：1. 培养学生的数学思维和解决问题的能力；2. 提高学生的数学学习兴趣和学习动力。
教学准备：1. 教学课件和教学素材；2. 教学实验器材和实验材料；3. 学生教材和参考书籍；4. 教学工具和辅助教学设备。
教学过程：第一课时：函数与方程1. 自我介绍和课程介绍（5分钟）；2. 引导学生回顾函数与方程的基本概念（10分钟）；3. 通过实例引导学生理解函数与方程的关系（15分钟）；4. 组织学生进行小组讨论，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
第二课时：数列与数列的运算1. 复习上节课的内容（5分钟）；2. 引导学生理解数列的概念和性质（10分钟）；3. 通过实例引导学生掌握数列的运算方法（15分钟）；4. 组织学生进行小组合作，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
第三课时：概率与统计1. 复习上节课的内容（5分钟）；2. 引导学生理解概率与统计的基本概念（10分钟）；3. 通过实例引导学生掌握概率与统计的计算方法（15分钟）；4. 组织学生进行小组合作，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
第四课时：平面向量与空间向量1. 复习上节课的内容（5分钟）；2. 引导学生理解平面向量与空间向量的基本概念（10分钟）；3. 通过实例引导学生掌握平面向量与空间向量的运算方法（15分钟）；4. 组织学生进行小组合作，解决相关问题（15分钟）；5. 总结本节课的内容，并布置相关作业（5分钟）。
人教A版高中数学选修1-2《四章 框图 4.2 结构图 结构图》优质课教案_0
4．2结构图教学目标：1.通过具体实例，了解结构图． 2.会画简单问题的结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用．3．能够解读结构图，并灵活运用结构图．1．结构图结构图是一种描述系统结构的图示，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．连线(或方向箭头)表示要素的从属关系或逻辑的先后关系．2．常见的结构图1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)结构图中连线都是线段．()(2)结构图和流程图刻画的都是一个动态过程．()(3)结构图和流程图中各元素之间的关系相似．()答案：(1)×(2)×(3)×2．下面结构图是某班班委会的()A．知识结构图B．组织结构图C．体系结构图D．关系结构图答案：B3．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是__________．答案：从属关系知识结构图请根据《数学选修1-1》第三章中“导数及其应用”的内容，画出知识结构图．【解】知识结构图如图所示．画知识结构图与画流程图一样，首先应确定组成该结构图的基本要素，然后分析出这些要素间是知识上的从属关系，还是知识上的逻辑关系，最后通过连线把这些要素由上到下或由左到右顺次连接起来即可．1.如图：则等腰三角形可排在构成要素________之后．()A．①B．②C．③D．以上都不对解析：选D．锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都含有等腰三角形．2．画出在平面几何中，四边形的分类关系的知识结构图．解：平面几何中，四边形的分类关系可以用如图所示的结构图进行描述．组织结构图某校学生会由学生会主席管理下属两个副主席，而两个副主席又分别管理生活、学习、宣传和体育、文艺、纪检部门，各部门又由部长管理本部门，试画出该学生会的组织结构图．【解】组织结构图如图．绘制组织结构图要将上一级部门的每一个部门一一列举出来，再把它们对应的下属部门一一列出，这样的组织结构图是“树”形结构，组织结构图一般自上而下、从左向右逐级画出，其中的连接线不需加箭头．1.下面是一个商场某一段时间制定销售计划时的局部结构图：从图中可以看出“计划”的制定主要受影响的因素个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C．“计划”主要受“政府行为”“策划部”和“市场需求”三个要素的影响．2．某地行政服务中心办公分布结构如下：(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心，这三个部门在一楼，其余局、委办理窗口分布在其他楼层；(2)二楼：公安局、民政局、财政局；(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；(4)四楼：城建局、人防办、计生办、规划局；(5)五楼：其余部门办理窗口．试绘制该中心组织结构图．解：1．绘制结构图的具体步骤(1)确定组成系统的基本要素，以及它们之间的关系；(2)将系统的主体要素及它们之间的关系表示出来；(3)确定主体要素的“下位”要素；(4)逐步细化各层要素，直到把整个系统表示出来为止．2．(易误防范)在画结构图和利用结构图解决实际问题时，要理解结构图中各要素之间的关系，这就必须理解“从属关系”和“逻辑的先后关系”的含义．有时容易因为弄不清“上位”要素与“下位”要素之间是从属关系还是逻辑关系而导致错误．1．如图是学校学生会的组成机构，那么它属于()A．流程图B．程序框图C．结构图D．A，B，C都不对解析：选C．结构图一般按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按箭头所指方向)表示各要素的从属关系或逻辑的先后顺序．2．下列结构图中要素之间表示从属关系的是()A．频率→概率→应用B．平面向量→空间向量C．D．解析：选D．根据所学知识间的关系，可以得到A，B，C都是逻辑关系，只有D是从属关系．3．如图为有关函数的结构图，由图我们可知基本初等函数包括________．解析：理解函数的知识结构即可得出答案．答案：指数函数、对数函数、幂函数4．下图是某公司的组织结构图试分析该公司总经理的权限．解：由公司的组织结构图可知，总经理位居最高的领导位置，总工程师和专家办公室为总经理提供参谋意见，总经理直接管理下属7个部门，同时这7个部门均属于平行关系．。
高中数学选修1-2《流程图》教案
高中数学选修1-2《流程图》教案
一、教学目标：
1.了解流程图的概念、分类和符号；
2.能够用流程图描述简单的算法流程。
二、教学重点：
1.了解流程图的概念和符号；
2.能够用流程图描述简单的算法流程。
三、教学难点：
1.能够将算法流程转化为流程图。
四、教学内容：
1.流程图的概念和分类。
2.流程图中的符号。
3.用流程图描述算法流程。
五、教学方法：
1.讲解法。
2.案例演示。
3.练习与实践。
六、教学准备：
1.课件、投影仪。
2.计算机。
3.流程图的教学材料。
四、教学步骤：
1.引入新课。
（1）提问：“在我们平时的学习或生活中，你们看到过什么是流程图吗？”
（2）教师引导学生进行讨论，介绍流程图的作用和应用。
2.讲解流程图的概念和分类。
（1）使用课件和投影仪，展示流程图的概念和分类。
（2）讲解流程图的基本概念和分类。
3.讲解流程图的符号。
（1）使用课件和投影仪，展示流程图的符号。
（2）讲解符号的含义及使用方法。
4.练习。
（1）让学生根据教师给出的算法流程，画出相应的流程图。
（2）分组让学生设计实际的流程图。
5.巩固与拓展。
（1）学生修改他人设定的流程图设计中的错误。
（2）学生在实际生活中使用流程图解决问题。
7.作业布置。
设计一个流程图，描述如何制作自己喜欢的食品，按照对流程图符号的认识，使流程图设计规范、准确。
人教课标版高中数学选修1-2：《归纳推理》教案-新版
第二章推理与证明2.1.1 归纳推理一、教学目标1.核心素养通过对归纳推理的学习，使学生能够进行简单的归纳推理，培养学生的逻辑思维能力.2.学习目标(1)通过生活与数学实例使学生初步理解什么是归纳推理.(2)通过例题的讲解与练习的训练，使学生初步掌握归纳推理的方法与技巧，加强学生对归纳推理的理性认识.(3)通过本节课的学习，使学生能在今后的学习及日常生活中有意识地使用它们，以培养言之有理，论证有据的习惯.3.学习重点了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.4.学习难点用归纳进行推理并作出猜想.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1预习教材P22—P29思考：什么是推理？任务2什么是归纳推理？归纳推理有何特点？以前遇到过这类推理吗？2.预习自测1.下列关于归纳推理的说法中错误的是（）A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解：A2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是（）○○○●●○○○●●○○○●●○○……A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大解：A3.由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是（）A.10nB.10n－1C.10n＋1D.11n解：B4.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）解：A观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形.答案为A.5.在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为（）A.xa＋yb＋zc＝1B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1D.ax＋by＋cz＝1 答案：A解析：从方程xa＋yb＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是xa＋yb＋zc＝1.答案为A （二）课堂设计 1.知识回顾(1) 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.(2) 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.(3) 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 2.问题探究问题探究一 什么是推理？推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.（1）由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ 所有的金属都能导电.（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ 所有的三角形内角和180度.（3）观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ 问题探究二 归纳推理的含义 ●活动一 什么是归纳推理？由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概栝出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10●活动二 归纳推理的特点 由部分到整体，由特殊到一般 ●活动三 归纳推理的作用①发现新事实,获得新结论;②提供解决问题的思路和方向. ●活动四 如何进行归纳推理一般步骤：首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；最后，对所得出的一般性的命题进行检验.问题探究三 利用归纳推理可以解决哪些问题？ ● 活动一 运用归纳推理解决数列的问题例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝23 ，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 详解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.点拔：归纳推理的一般步骤：归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). ●活动二 运用归纳推理解决图表的问题例2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n 行(n ≥3)从左向右数第3个数.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 详解：前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 例3.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A.26B.31C.32D.36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明】 详解： (1)选B 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案为：(1)B (2)28点拔：解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.●活动二 运用归纳推理解决函数与数列相结合的问题 例4 设2()41,f n n n n N +=++∈，(1),(2),(3),(4),...,(10)f f f f f 计算的值，同时作出归纳推理，并用n =40验证猜想是否正确.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明】 详解：2(1)114143,f =++= 2(2)224147,f =++= 2(3)334153,f =++= 2(4)414161,f =++= 2(5)554171,f =++= 2(6)664183,f =++= 2(7)774197,f =++= 2(8)8841113,f =++= 2(9)9941131,f =++= 2(10)101041151,f =++= 43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数. 当n 取任何正整数时，2()41f n n n =++的值都是质数.因为当n =40时，2(40)4040414141,f =++=⨯所以f (40)是合数.因此，上面由归纳推理的得到的猜想不正确.点拔：1.①统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ ②归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） ③归纳推理的结果是否正确？（不一定）2.所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理.3.课堂总结 【知识梳理】归纳法是对观察、实验和调查所得的个别事实，概括出一般原理的一种思维方式和推理形式，其主要环节是归纳推理.归纳推理可以分为三种方式：完全归纳法，简单枚举法，判明因果联系的归纳法. 【难点突破】归纳法的主要作用在于：1、科学试验的指导方法：为了寻找因果关系而利用归纳法安排可重复性的试验.2、整理经验材料的方法：归纳法从材料中找出普遍性或共性，从而总结出定律和公式.归纳法的优点在于判明因果联系，然后以因果规律作为逻辑推理的客观依据，并且以观察、试验和调查为手段，所以结论一般是可靠的.归纳法也有其局限性，它只涉及线性的，简单的和确定性的因果联系，而对非线性因果联系，双向因果联系以及随机性因果联系等复杂的问题，归纳法就显得无能为力了.归纳法是一种或然性推理方法，不可能做到完全归纳，总有许多对象没有包含在内，因此，结论不一定可靠.4.随堂检测1.n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是（）A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓【知识点：归纳推理，猜想与证明】解:C观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11到1012可知从2010到2012为↑→.故答案为C.2.已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为（）A.n2－1B.n2－2n＋2C.2n－1D.2n－1＋1【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：C∵a1＝1，a n＝2a n－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n＝2n－1，即答案为C.3.观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ） 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 A.n n －4＋8－n (8－n)－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2解：A 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合.答案为A4.顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4项的值，由此猜测：n a ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________. 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：2n a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…………………………………………………………， 由此可以猜想a n ＝n 2. 答案：n 25.由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n ≥3) （三）课后作业 基础型 自主突破 1.观察下列等式：231111222⨯=-⨯； 2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯； 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯；……………………………………………由以上等式推测到一个一般结论为________________________________. 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：233141512111122232342(1)242n nn n n +⨯+⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯⨯⨯+⨯ 2.观察①223sin 6cos 36sin 6cos364︒+︒+︒︒=； ②223sin 10cos 40sin10cos 404︒+︒+︒︒=；③223sin 43cos 73sin 43cos 734︒+︒+︒︒=；以上等式的结构特点可提出一个猜想的等式为_________________________. 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：223sin cos (30)sin cos(30)4αααα+︒++︒+=3.观察下列等式：1a b +=；223a b +=；334a b +=；447a b +=；5511a b +=；…；则88a b += .【知识点：归纳推理】解：47 1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=474.图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，请猜想着色三角形的个数的通项公式_______.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：13n - 前4个数依次为01233,3,3,3，猜想即可 能力型 师生共研 5. 观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；………………………………………………… 照此规律：2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++ . 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：4(1)3n n +6.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种“多边形数”.如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥.以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数：()211,322N n n n =+； 正方形数：()2,4N n n =； 五边形数：()231,522N n n n =-； 六边形数：()2,62N n n n =-； ……………………………………可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N =_________.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：1000()22113243,32222N n n n n n --=+=+， ()224244,422N n n n n --==+，()22315245,52222N n n n n n --=-=+()226246,6222N n n n n n --=-=+由此归纳推理可得()224,22k kN n k n n --=+()224242410,241010100022N --=⨯+⨯= 7.埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都可以写成若干个单分数和的形式.例如2115315=+，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12不够，每人13，余13，再将这分成5份，每人得115，这样每人分得11315+.形如2(5,7,9,11n n =⋯）的分数的分解：2115315=+，2117428=+，. 2119545=+，… 按此规律，211= ； 2n= (5,7,9,11n =⋯） . 【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：()11111166622n n n ++++；（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人15不够，每人16，则余16，再将这16分成11份，每人得166，这样每人分得11666+，故21111666=+；（2）假定有两个面包，要平均分给n 个人，每人112n -不够，每人分112n +，则余112n +，再将这112n +分成n 份，则每人得1(1)2n n +，这样每人分得()111122n n n +++，因此本题的答案是：()11111166622n n n ++++；8.如图：点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则 A.{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：An S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值.故选A.9.平面内两条直线最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，…，n 条直线两两相交最多有_________个交点.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：(1)2n n + 两条直线最多有1212⨯=个交点，3条直线两两相交最多有2332⨯=个交点，4条直线两两相交最多有3462⨯=个交点，…，n 条直线两两相交最多有(1)2n n +个交点 10.设数列{}n a 的前项n 和是n S ,数列{}n S 的前n 项之积是n T ,且1n n S T +=,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最接近2019的项是（ ）【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 A.第43项 B.第44项 C.第45项D.第46项解：B 当1n =时，111S T +=，即112S =；当2n =时，222121S T S S S +=+=，即223S =；当3n =时，3331231S T S S S S +=+=，即334S =；…………………………猜想1n nS n =+.所以1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，1(1)nn n a =+，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最接近2019的项是 44144451980a =⨯= 探究型 多维突破11.设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ≥1，n ∈N )，试归纳出这个数列的一个通项公式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法；数学思想：推理论证】解：当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n .12.已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明. 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos(2α＋120°)2＋1－cos(2α＋240°)2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°) ＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α＝32＝右边，所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立.13.已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n (n ＝1，2，…). （四）自助餐1.数列23716，，，，57x ⋯，，中的x 等于( ) A.28 B.27 C.33 D.32【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：D 2223211,7342,16793-==-==-==，∴2164x -=，32x =2.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（ ）块.A.21B.21C.22D.23【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：C 白色地面砖的数量依次为6，10，14，18，223.已知21111()12f n n n n n=+++⋯+++则( ) A.()f n 中共有n 项，当2n =时，11(2)23f =+B.()f n 中共有1n +项，当2n =时，111(2)234f =++C.()f n 中共有2n n -项，当2n =时，11(2)23f =+D.()f n 中共有21n n -+项，当2n =时，111(2)234f =++【知识点：归纳推理，数列的通项公式，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：D4.观察下列几个三角恒等式：①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101︒︒+︒︒+︒︒=； ②()()tan5tan100tan100tan 15tan 15tan51︒︒+︒-︒+-︒︒=； ③tan13tan 35tan 35tan 42tan 42tan131︒︒+︒︒+︒︒=一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为____________________________________ .【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：90tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=︒++=当时，5.已知数列：12132143211121231234⋯，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律推出这个数列的第2019项是________. 解：623根据前10 项的规律可以知道，分子按1；2，1；3，2，1；4，3，2，1，…，的规律排列.分母按1；1，2；1，2，3；1，2，3，4；…，的规律排列，出这个数列的第2019项出现在第64组中第3个数，即为623. 【知识点：归纳推理，猜想与证明】6.若凸k 边形的内角和为()f k ，则凸1k +边形的内角和(1)f k +*(3,)k k N ≥∈等于( )A.()2f k π+B.()f k π+C.3()2f k π+D.()2f k π+【知识点：归纳推理，递推数列，数列的函数概念及表示法，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：B 凸1k +边形的内角和比凸k 边形的内角和多出一个三角形的内角和，又三角形的内角和为π，故(1)()f k f k π+=+.7.已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________. 解：n 2 计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案为n 2 8. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为（ ） A.6n －2 B.8n －2 C.6n ＋2 D.8n ＋2【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：C 从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.答案为C9.观察下列各式：1＝12 ，2＋3＋4＝32,，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论 ( )A.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2B.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2C.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2D.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2【知识点：归纳推理，数列的通项公式；数学思想：特殊到一般】解：B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2， 即n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案为B10.在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形中不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形中1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式：________成立. 【知识点：归纳推理，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】解：1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π 不等式的左边是n 个内角倒数的和，右边分子是n 2，分母是(n －2)π，故在n 边形A 1A 2…A n 中有不等式1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π成立.答案为1A 1＋1A2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π11.在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·B C.拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________. 【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DB C .答案为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC12.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是（ ）A.27B.28C.29D.30【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：B 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，…，故第七个三角形数为21＋7＝28.答案：B13.(2015·陕西文)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 …………………………………… 据此规律，第n 个等式可为________.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得. 答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1、S 2、S 3、S 4，并猜想S n 的表达式.【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明；数学思想：特殊到一般】 解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53；∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N *).15.若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.【知识点：归纳推理，猜想与证明】解：本例可以从a 1、a 2的个数以及指数上进行推广.第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…，a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3，a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4，…，a n1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…，a m 1＋a m 2＋……＋a mnn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.16.(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？顶点数边数 区域数 a b c d(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？【知识点：归纳推理，数列的通项公式，猜想与证明】 解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：顶点数 边数 区域数 a 3 3 2 b 8 12 6 c 6 9 5 d10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝1006，F＝1006，代入(2)中关系式，得E＝2010.故这个平面图形有2010条边.。
高中数学选修1-2学生学案教师 版
第一章 统计案例回归分析的基本思想及其初步应用线性回归方程1．回归分析(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．2．线性回归模型(1)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和 b 是模型的未知参数，e 称为随机误差．自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．(2)在回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中， b ^=__________________ ，a ^＝y －b ^x .其中x ＝_______，y ＝__________i, (x ，y )称为样本点的中心．线性回归方程中系数b ^的含义 (1)b ^是回归直线的斜率的估计值，表示x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b ^＞0时，变量y 与x 具有正的线性相关关系；当b ^＜0 线性回归分析1．残差分析(1)残差：样本点(x n ，y n )的随机误差e i ＝y i －bx i －a ，其估计值为e ^i＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差(residual)．(以上i ＝1,2，…，n )(2)残差图：作图时，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或x i 数据，或y i 数据，这样作出的图形称为残差图．(3)残差分析：残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果，其步骤为：计算残差——画残差图——在残差图中分析残差特性．残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．2．相关指数我们可以用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝__________________________.R 2越大，残差平方和_________越小，即模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R 2的取值范围为[0,1]，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，1－R 2表示随机误差对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好．残差分析的注意点在残差图中，可疑数据的特征表现为：(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误，如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．[例1] 某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (x 2 4 5 6 8 y3040605070(1)试根据数据预报广告费支出1 000万元的销售额； (2)若广告费支出1 000万元的实际销售额为8 500万元，求误差．解：(1)从画出的散点图(图略)可看出，这些点在一条直线附近，可以建立销售额y 对广告费支出x 的线性回归方程．由题中数据计算可得x －＝5，y －＝50，由公式计算得b ^＝，a ^＝，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝＋.因此，对于广告费支出为1 000万元(即10百万元)，由线性回归方程可以预报销售额为y ^＝×10＋＝(百万元)．(2)8 500万元即85百万元，实际数据与预报值的误差为85－＝(百万元)．求线性回归方程的步骤(1)列表表示x i ，y i ，x i y i ；(2)计算x － y －，(3)代入公式计算a ^，b ^的值； (4)写出回归直线方程．[例2] 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 零件数x /个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y /分626875818995102108115122(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差；(2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗[解] (1)根据表中数据画出散点图，如图所示．由图可看出，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来拟合数据．计算得加工时间对零件数的线性回归方程为y ^＝＋.残差数据如下表： 编号12 34 5 残差e ^－－编号6 78 9 10 残差e ^ －－－(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标画出残差图如图所示．由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．[类题通法]残差分析应注意的问题利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R 2来刻画模型拟合的效果．[活学活用]已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有x 14 16 18 20 22 y1210753求y 关于x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解：x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×1 660－5×182＝－， a ^＝＋×18＝，^y i －y ^i 0 － －y i －y－ － －所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝，∑i ＝15(y i －y －)2＝，R 2＝1－∑i ＝15y i －y ^i2∑i ＝15y i －y－2≈，所以回归模型的拟合效果很好.[例3] 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的回归方程．[解] 作出变量y 与x 之间的散点图如图所示．由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系．设y ＝k x ，令t ＝1x，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：t 4 2 1y1612521作出y 与t 的散点图如图所示．由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系．又t ＝，y ＝，∑i ＝15t i y i ＝，∑i ＝15t 2i ＝ 5，b ^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t2＝错误!≈ 4，a ^＝y －b ^t ＝－ 4×≈， ∴y ^＝ 4t ＋.所以y 与x 的回归方程是y ^＝错误!＋. [类题通法]非线性回归分析的步骤非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：[活学活用]某电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt(b ＜t /s0 1 2 3 4 5 6 7 89 10U /V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 55试求：电压U 对时间t 的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解：对U ＝A e bt两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，x 012345678910y根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较好的线性相关关系，由表中数据求得x ＝5，y≈，由公式计算得b ^≈－，a ^＝y －b ^x －＝，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－＋.所以ln U ^＝－＋，即U ^＝e －＋＝e －·，因此电压U 对时间t的回归方程为U ^＝e －·.[典例] 下列现象的线性相关程度最高的是( )A ．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为B ．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－C ．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为D ．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为 [解析] |r |越接近于1，相关程度越高． [答案] B[易错防范]1．本题易错误地认为r 越接近于1，相关程度越高，从而误选A.2．变量之间线性相关系数r 具有如下性质：(1)r 2≤1，故变量之间线性相关系数r 的取值范围为[－1,1]．(2)|r |越大，变量之间的线性相关程度越高；|r |越接近0，变量之间的线性相关程度越低．(3)当r ＞0时，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关；当r ＜0时，一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，称两个变量负相关；当r ＝0时，称两个变量线性不相关．[成功破障]变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，,2)，,3)，,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，,4)，,3)，,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1解析：选C 对于变量X 与Y 而言，Y 随X 的增大而增大，故变量Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量U 与V 而言，V 随U 的增大而减小，故变量V 与U 负相关，即r 2＜0.故r 2＜0＜r 1.[随堂即时演练]1．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝－；②y 与x 负相关且y ^＝－＋；③y 与x 正相关且y ^＝＋；④y 与x 正相关且y ^＝－－.其中一定不正确的结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选D ①中y 与x 负相关而斜率为正，不正确；④中y 与x 正相关而斜率为负，不正确．2．关于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的也可以是负的C ．在回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1)解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r ≤1. 3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．解析：由相关指数R 2的意义可知，R 2≈表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.答案：85% 15%4．若施肥量x (kg)与小麦产量y (kg)之间的回归直线方程为y ^＝250＋4x ，当施肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．解析：把x ＝50代入y ^＝250＋4x ，可求得y ^＝450. 答案：450 kg5．某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该单价x (元)89销量y (件)90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元(利润＝销售收入－成本)解：(1)x －＝16(8＋＋＋＋＋9)＝，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ^＝y －＋20x －＝80＋20×＝250，故y ^＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x－1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋，所以当x ＝334＝时，z max ＝(元)．即当该产品的单价定为元时，工厂获得最大利润．1．2独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验的有关概念[导入新知]1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，yy 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计 a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d3．等高条形图将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．4．K2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．5．独立性检验利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．[化解疑难]反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率.独立性检验的步骤独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查下表确定临界值k0.P(K2≥k0)k0P(K2≥k0)k0(2)利用公式K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，计算随机变量K2的观测值k.(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．[化解疑难]详析独立性检验(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．列联表和等高条形图的应用[例1] 某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．[解] 作列联表如下：性格内向性格外向总计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475总计426594 1 020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．[类题通法]细解等高条形图(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显⎝⎛⎭⎪⎫即aa＋b和cc＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．[活学活用]为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：父母吸烟 父母不吸烟总计 子女吸烟 237 83 320 子女不吸烟 678 522 1 200 总计9156051 520利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响 解：等高条形图如下：由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.独立性检验的原理[例2] 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：患心脏病 未患心脏病总计 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 总计 541 5791 633根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为每晚都打鼾与患心脏病有关系[解] 由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝1 633×30×1 355－224×242254×1 379×54×1 579≈＞.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为每晚都打鼾与患心脏病有关系．[类题通法]解决独立性检验问题的思路解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值，然后代入随机变量K 2的计算公式求出观测值k ，将k 与临界值k 0进行对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．[活学活用]某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系合格品 次品 总计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场493 17 510 总计1 475251 500由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝1 500×982×17－8×4932990×510×1 475×25≈＞.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．1.独立性检验与统计的综合应用[典例] (12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样的方法(按A 类、B 类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．生产能力分组 [110,120)[120,130)[130,140) [140,150)人数8x32生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140) [140,150)人数6y2718(1)确定x ，y 的值；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不 生产能力分组工人类别 [110,130)[130,150)总计A 类工人B 类工人 总计附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，P(K2≥k0)k0[解题流程](2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：生产能力分组工人类别[110,130)[130,150)总计A类工人20525B类工人304575总计50501006分由列联表中的数据，得K2的观测值为[活学活用]电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关非体育迷体育迷总计男女总计附：P(K2≥k0)k0解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100由2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝100×30×10－15×45245×55×75×25≈.因为＜，所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关．[随堂即时演练]1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )解析：选D 在四幅图中，D 图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.2．下面是一个2×2列联表：y 1 y 2总计 x 1 a21 73 x 2225 27 总计b46则表中a ，b 处的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50C ．52,54D ．54,52解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54. 3．独立性检验所采用的思路是：要研究A ，B 两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K 2，如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．答案：无关 不成立4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法： ①若K 2的观测值k >，则在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．解析：K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过的前提下推断：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机解：由已知条件得出下列2×2列联表：晕机 不晕机 总计 男乘客 24 31 55 女乘客 8 26 34 总计325789由公式可得K 2的观测值k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝8924×26－31×8255×34×32×57≈>.故在犯错误的概率不超过的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．第二章 推理与证明2． 合情推理归纳推理如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n 的长度构成数列{a n }，问题1：试计算a 1，a 2，a 3，a 4的值． 提示：由图知：a 1＝OA 1＝1， a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2， a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3， a 4＝OA 4＝OA 23＋A 3A 24＝32＋12＝4＝2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{a n }的通项公式a n 吗提示：能猜想出a n ＝n(n ∈N *)．问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论提示：所有三角形的内角和都是180°.问题4：以上两个推理有什么共同特点 提示：都是由个别事实推出一般结论．[导入新知] 1．归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． [化解疑难]归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理[提出问题]问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：以上两个推理有什么共同特点提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．问题4：以上两个推理是归纳推理吗提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．[导入新知] 1．类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理． [化解疑难]对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现．数、式中的归纳推理[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－3，且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． [解] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.[类题通法]归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．[活学活用]将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…按照以上排列的规律，求第n 行(n ≥3)从左向右数第3个数．解：前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.图形中的归纳推理[例2] (1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A．26 B．31C．32 D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[解析] (1)选 B 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答案] (1)B (2)28[类题通法]解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．[活学活用]如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为( )A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解析：选B 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)类比推理[例3] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，________，________，T16T12成等比数列．[解析] 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，则T4＝b41q6，T8＝b81q1＋2＋…＋7＝b81q28，T12＝b121q1＋2＋…＋11＝b121q66，T16＝b161q1＋2＋…＋15＝b161q120，∴T8T4＝b41q22，T12T8＝b41q38，T16T12＝b41q54，即⎝⎛⎭⎪⎫T8T42＝T12T8·T4，⎝⎛⎭⎪⎫T12T82＝T8T4·T16T12，故T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．[答案]T8T4T12T8[类题通法]类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．[活学活用]已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质为：已知M，N是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN，那么k PM与k PN。
高中数学教案新人教版选修
高中数学全套教案新人教版选修一、第一章：导数及其应用1.1 导数的定义与计算学习目标：理解导数的定义，掌握基本的导数计算方法。
教学内容：引入导数的定义，讲解导数的计算规则，举例说明。
教学活动：讲解导数的定义，通过数学软件或板书演示导数的计算过程，学生跟随练习。
1.2 导数在函数中的应用学习目标：理解导数在函数中的应用，学会求函数的极值和单调性。
教学内容：讲解导数与函数的极值、单调性的关系，举例分析。
教学活动：通过例题讲解导数在函数中的应用，学生跟随练习，讨论解题方法。
二、第二章：积分及其应用2.1 积分的定义与计算学习目标：理解积分的定义，掌握基本的积分计算方法。
教学内容：引入积分的定义，讲解基本的积分计算规则，举例说明。
教学活动：讲解积分的定义，通过数学软件或板书演示积分的计算过程，学生跟随练习。
2.2 积分在几何中的应用学习目标：理解积分在几何中的应用，学会计算几何图形的面积和体积。
教学内容：讲解积分在几何中的应用，举例说明计算面积和体积的方法。
教学活动：通过例题讲解积分在几何中的应用，学生跟随练习，讨论解题方法。
三、第三章：概率与统计学习目标：理解概率的基本概念，学会计算事件的概率。
教学内容：讲解概率的基本定义，举例说明如何计算事件的概率。
教学活动：通过实例讲解概率的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。
3.2 统计的基本概念学习目标：理解统计的基本概念，学会计算数据的均值、方差等统计量。
教学内容：讲解统计的基本定义，举例说明如何计算均值、方差等统计量。
教学活动：通过实例讲解统计的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。
四、第四章：数列与级数4.1 数列的基本概念学习目标：理解数列的基本概念，学会计算数列的通项公式和求和公式。
教学内容：讲解数列的定义，举例说明如何求解数列的通项公式和求和公式。
教学活动：通过实例讲解数列的基本概念，学生跟随练习，讨论解题方法。
4.2 级数的基本概念学习目标：理解级数的基本概念，学会判断级数的收敛性。
人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案
§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。
（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。
（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0； 充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； 必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1； 充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。
高中数学选修1-2复习教案
第4周教学反思：在上一周的教学中，主要学习框图的部分内容，知识点不难，学会绘制简单实际问题的流程图和结构，学生学习也轻松简单，高考对这部分的内容要求不高，主要让学生多动手自己算就能够掌握，重点是一定要做好本周的复习工作。
选修1-2复习-第5周第一章统计案例 小结与复习一、教学目标设计了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。
(1)独立性检验：了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用；(2) 回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
二、教学重点及难点重点： 理解回归分析的基本思想及实施步骤；理解独立性检验的基本思想及实施步骤． 难点：了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用，以及了解独立性检验（只要求２×２列联表）的基本思想、方法及其初步应用 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 一．知识归纳1．正相关：如果点散布在从左下角到右上角的区域，则称这两个变量的关系为正相关。
2．负相关：如果点散布在从左上角到右下角的区域，则称这两个变量的关系为负相关。
3．回归直线方程的斜率和截距公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n yx x x y y x xb ni i ni ii ni i i ni i1221121)()()(（此公式不要求记忆）。
4．最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。
5.随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。
随机误差a bx y e i i i --=6.残差eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。
高中数学选修1-2《流程图》教案
流程图的认识和应用
教学重难点
重点图来表述简单的实际问题
教学手段运用
教学资源选择
PPT
教学过程
一、复习导入
1、什么是算法？
2、常见的算法框图由那些，分别代表什么含义？
二、自主学习
学生自主阅读课本第37页到第39页的内容，思考下列问题：
1、流程图有那些分类？
科目：高二数学授课时间：第2周星期二
单元（章节）课题
第二章《框图》
本节课题
流程图
三维目标
知识与技能：认识流程图，会用流程图来表述简单的实际问题；
过程与方法：通过多数学流程图的学习，了解初步把握运用流程图来表述实际问题的方法；
情感,态度与价值观：通过学习，进一步体会数学图形语言的优越性，培养学生的逻辑思维能力，以及用框图清晰地表达和交流的能力。
预习内容布置
预习《结构图》
2、如何用流程图来表述简单的实际问题？具体步骤是什么？
（自主学习5分钟+小组讨论5分钟）
三、点拨精讲
师生共同讨论并完成上述问题。
四、典例精讲
例1、见课本中第37页例1，
例2、见课本中第38页例2.
五、课堂小结
本节课我们收获了什么？(学生总结，老师补充)
课堂检测内容
课本第38页练习1
课后作业布置
第42页习题2-1 1,3
人教版高中数学《选修1-2》单元教材教学分析
第一课时：函数的导函数的概念
第二课时：函数的单调性
第三课时：函数在区间上的极值
第四课时：函数在区间上的最值
……
说明
函数的最大值、最小值问题在必修模块中已经有所涉及，主要是在函数和不等式等章节中体现。以前学习最值时要求比较低，学生掌握的方法比较局限。本节内容在学生掌握了用导数求函数的单调性和极值的基础上，用导数的方法来处理最值的问题，进一步处理一些实际生活中的最优化问题。从学生的知识准备上来讲，明确函数在区间上存在最值，且最值是函数在此区间上的极值或者端点处的函数值。明确极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，由局部到整体，由旧的知识生发新的知识，从极值的概念自然过渡到最值的概念，并总结出函数在区间上最值的求解步骤。基于学生的情况教师可以通过具体的问题让学生观察、归纳，进而发现结果。在用导数的方法求最值时，解方程、不等式也是本节的一个重要内容，应该引导学生养成良好的解题习惯。
人教版高中数学《选修1-2》单元教材教学分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人教版
单元名称
《选修1-2》
单元教材主题内容与价值作用
本节在学习了用导数处理函数的单调性与极值的基础上，利用导数的方法来解决函数的最值问题，并利用导数的方法解决实际生活中的一些最优化问题。在讲授本课内容时，要让学生体会导数在处理最值问题中的特点。培养学生数形结合的数学思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想。
教学方法和手段的设计
教学方法启发式教学
学法指导
通过一系列的问题，让学生从已有的函数在区间的极值（局部性质）过渡到函数在区间的最值（整体性质）；同时让学生发现极值与最值的联系与区别，得出求函数在闭区间上的最值的方法。最后通过具体的问题巩固知识，应用知识。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 本章小结》2
堂
小
结
布
置
作
业
课课清卷：复数专题前10名做A、B其余做A
3．若－2＋i和3－i互为共轭复数，则实数与的值是
A．＝3， ＝3B． ＝5，＝1
C．＝－1，＝－1D． ＝－1，＝1
专题一：复数的概念
例1实数为何值时，复数1＋i2－3＋5i－22＋3i满足下列条件？
1是实数；2是虚数；3是纯虚数．
跟踪训练1
1.如果复数（m2i）1mi是实数，则实数m=
2若复数 为纯虚数则实数m=
主备： 王红伟 副备：单玉红 审核：单玉红 第 页
学习人
班级
高二、二
日期
．15
课 题
数系的扩充与复数的引入
学习目标
1掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件
2理解复数的几何意义
3会进行复数代数形式的四则运算
学习方法
学生自学、小组讨论、教师点拨，归纳提升
学习过程
课前活动
1学生做学案记知识点2画本单元知识网络图
（２）复数的乘法（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝
3复数的除法法则:设1＝a＋bi，2＝c＋dic＋di≠0，
__________________________
（４）两个复数代数形式的除法运算步骤：
的周期性：
i4n＝1n∈N＋．i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i
７常用公式
11i2=2i 2 1-i2=-2i
为纯虚数， 复数为实数则=
专题二：复数的几何意义
例２：已知是复数，＋2i， 均为实数i为虚数单位，且复数＋ai2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
跟踪训练２
1若复数（1-i）ai在复平面内的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 本章小结》04
《统计案例小结复习》教学设计一、学情分析：高二的学生已经在必修三的第二章：统计中学习了两个变量的相关性的概念，对两个变量的相关性，最小二乘法也有一些了解，所以这部分内容相对其他章节较简单，但由于本校学生基础薄弱、学习习惯差，所以在教学中采用提问和小组合作探究相结合的方式，让大部分学生都能参与到其中，并且熟练掌握这部分内容，进而利用掌握的知识进行解题。
二、教学目标:×2列联表的独立性检验，线性回归方程及应用2能够运用所学知识解答相关习题。
三、教学重点和难点：1重点：公式的应用122求线性回归直线方程及应用3学习用专业术语来规范答题2难点：线性回归直线方程及应用四、教法、学法及媒体选择：1.教法及媒体选择:根据新课程理念，针对本节内容，我主要采取探究式教学与多媒体辅助教学相结合的方法。
由于高考时这部分内容主、客观题的形式都出现过，所以在教学中侧重于在答题时使用专业术语，争取在考试中能得到更多的分数。
在教学过程中，通过典型习题的反复训练，使学生规范答题，教学中通过教师纠正、有意识地正确引导来反复强化，从而达到突出教学重点，突破教学难点的目的。
2学法:学生通过阅读教材、分析、讨论、比较推理法进行探究式学习，争取收获更多的知识。
五、教学过程：六、板书设计：统计案例复习公式的应用122求线性回归直线方程七、教学反思：本节课内容较简单，大部分学生对复习的知识点掌握得不错，教学环节基本上完成了，教学效果一般，还没有达到我的预期目标，分析原因如下：1.由于准备时间不够充分，对复习题的选择不够精细，不能由浅入深，导致有的学生做起题来较吃力。
2.由于教学时间有限，不能提问到所有学生，学生对课堂活动的参与度没能大幅度提高。
希望以后在选择习题上加大工作量和力度，争取选取更精、更典型的习题，在课堂上尽量提问到所有学生，充分调动学生的积极性，达到提高教学效果的目的。
数学选修1 2教案
数学选修1 2教案教案标题：数学选修1&2 教案教案概述：本教案旨在为数学选修1和2的教学提供指导和建议。
数学选修1和2是高中数学课程的重要组成部分，涵盖了数学的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
本教案将根据教育阶段的要求，提供针对性的教学目标、教学内容、教学方法和评估方法，以帮助教师有效地进行教学。
教学目标：1. 了解数学选修1和2的教学大纲和教育要求。
2. 掌握数学选修1和2的核心概念和基本技能。
3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
4. 培养学生的数学兴趣和学习动力。
教学内容：1. 数学选修1和2的课程内容概述。
2. 代数：包括方程与不等式、函数与图像、数列与数学归纳法等。
3. 几何：包括平面几何、立体几何、向量与坐标几何等。
4. 概率与统计：包括概率的基本概念、统计的基本方法、数据分析与解读等。
教学方法：1. 讲授法：通过讲解理论知识和解题技巧，引导学生理解和掌握数学概念和方法。
2. 实践法：通过实际问题的解决和数学模型的建立，培养学生的解决问题的能力。
3. 合作学习法：通过小组合作学习和讨论，促进学生之间的合作和交流，提高学习效果。
4. 演示法：通过实际操作和示范，帮助学生理解和应用数学概念和方法。
评估方法：1. 课堂作业：布置针对性的练习题，检验学生对教学内容的理解和掌握程度。
2. 小组项目：组织学生进行小组项目，评估学生的合作能力和问题解决能力。
3. 个人报告：要求学生撰写个人报告，展示他们对数学选修1和2的理解和应用能力。
4. 期末考试：设计综合性的考试，考察学生对整个学期教学内容的综合运用能力。
教学步骤：1. 熟悉教育阶段的要求和教学大纲，明确教学目标。
2. 分析教学内容，制定详细的教学计划和教学进度表。
3. 选择合适的教学方法和教学资源，准备相关教材和教具。
4. 开展教学活动，根据教学计划进行教学讲解、实践操作和合作学习。
5. 定期进行课堂作业和小组项目的评估，及时调整教学策略。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 4.2 结构图教案 新人教A版选修1-2
〖4.2结构图〗之小船创作(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过已学过的教学实例与生活实例，了解结构图的含义；会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．2．过程与方法通过模仿、操作、探索，经历运用知识结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息的过程，掌握结构图的画法，能画出常见的简单结构图．3．情感、态度与价值观结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用，培养学生的合作意识和团队精神．●重点难点重点：(1)引导学生树立把知识归类的意识，从而使其认知结构不断的得以优化．(2)用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息．难点：结构图的应用．运用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息．(教师用书独具)●教学建议建议本节教学采取自学指导法教学，让学生在自学教材的基础上，通过小组研讨认识总结结构图的特征、作用，学会用结构图梳理已经学过的知识、整理收集到的资料信息的方法．教师应引导学生体会结构图中含从属关系时的外在特征，总结结构图的种类、形状及应用方法．让学生注意区分结构图与流程图的区别与联系．抓住本节课的教学时机，让学生把前面学过的重要知识，利用结构图进行知识梳理，形成所学知识的整体观念，在脑海中建立起科学合理的知识网络结构图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生了解结构图的作用、画法、类型及如何应用结构图解梳理知识、整理信息．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉结构图的有关概念．引导学生分析例题1中各构成要素间的从属关系，探讨选择何种图形方式画出结构图．学生自主探究，教师指导完善．让学生回顾复习《必修3》第一章的内容，自己选择图形方式画出知识结构图，同学之间进行交流，然后修改完善．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和画图方法．学生自主完成例题2变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析总结画图时易出现的错误及防范措施．由学生分组探究例题2中组织结构图的画法，引导学生去总结画组织结构图的步骤，及其应用方法．课标解读1.读画结构图．(重、难点)2．结构图中各元素间的关系．(难点)3．结构图与流程图的区别．(易混点) 结构图的概念【问题导思】在高中数学教材中，每一章最后“小结”部分都有一个“本章知识结构图”．这种图是流程图吗？【提示】不是．结构图是一种描述系统结构的图示，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，各要素之间是从属关系或逻辑先后关系．结构图分类除了常见的知识结构图，还有哪些常见结构图？【提示】还有学校各部门的组织结构图等．(1)按功能分类结构图知识结构图描述知识各部分间的关系组织结构图表示一个组织或部门的构成(2)按结构图形状分类，可分为“环”形结构图和“树”形结构图.知识结构图在生物体中，细胞由细胞膜、细胞核、细胞质构成，而细胞核由核膜、染色质、核仁、核孔四部分构成．试画出细胞的结构图．【思路探究】确定构成要素间的从属关系→选择“树”形图或“环”形图表达该关系【自主解答】细胞细胞膜细胞质细胞核核仁核孔染色质核膜1．绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，具体如下：2．在结构图中会出现“树”形结构，也会出现一些“环”形结构．一般来说，包含从属关系的结构图呈“树”形结构，包含逻辑先后关系的结构图则可能呈“环”形结构．试画出《数学必修3》“算法初步”一章的知识结构图．【解】知识结构图如图所示．算法程序框图算法语句算法案例辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法组织结构图某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．【思路探究】理清各部门的关系，按从上到下、从左到右的顺序画出组织结构图即可．【自主解答】该校的行政组织结构图如图所示．校长副校长教务处教科室副校长政教处保卫科总务处校长办公室各班级绘制组织结构图要将上一组部门的每一个部门一一列举出来，再把它们对应的下属部门一一列出，这样的组织结构图是“树”形结构．如图4－2－1为某集团组织结构图，请根据该图分析财务部和人力资源部的隶属关系．图4－2－1【解】由组织结构图可分析得：财务部直属总裁管理，而总裁又由董事长管理，董事长服从董事会管理；人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理由董事长管理，董事长又服从董事会管理，董事会是最高的管理部门.识图不清致误某期货商会组织结构图如图4－2－2所示．图4－2－2其中理事会的上一级是________．【错解】会长办公会【错因分析】本题中会员代表大会是期货商会最高权力机构，其余机构应从属于该机构，而理事会是被会员代表大会与会长办公会共同领导，这一点易被混淆．【防范措施】解读结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析：下位要素与上位要素间，同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．【正解】会长办公会和会员代表大会1．结构图可以表达系统各要素之间的关系．2．知识结构图可以直观显示各知识点间的逻辑先后关系或从属关系；组织结构图表示各部门的从属或平行关系．绘制结构图的关键是“分清各要素之间的关系，逐步细化，画出图形．”1．用来刻画系统结构的框图是( )A．流程图B．结构图C．网络图D．程序框图【解析】结合结构图的定义可知，B正确．【答案】B2．根据下边的结构图，总经理的直接下属是( )总经理总工程师咨询部监理部信息部专家办公室财务部后勤部编辑部开发部图4－2－3A．总工程师和专家办公室B．开发部C．总工程师、专家办公室和开发部D．总工程师、专家办公室和所有七个部【解析】结合组织结构图间的从属关系可知，总经理的直接下属是总工程师、专家办公室及开发部．【答案】C3．用结构图描述四种命题的关系，如图4－2－4所示，图4－2－4其中表示互逆关系的是__________，表示互否关系的是________．【解析】根据四种命题的关系可知，互逆关系的是①③，互否关系的是②④.【答案】①③②④4．画出我们已学过的数系结构图．【解】结构图如下图所示．复数实数有理数整数自然数负整数分数无理数正无理数负无理数虚数纯虚数非纯虚数一、选择题1．在结构图中，常在表示逻辑先后关系时出现的结构是( )A．“树”形结构B．“环”形结构C．“网”形结构D．“菱”形结构【解析】结合结构图的分类可知，“环”形结构可表示逻辑先后关系．【答案】B2．下列框图中不是结构图的是( )A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B．随机事件→频率→概率C．买票→候车→检票→上车D．对数函数定义图象与性质【解析】C不是结构图，因其是动态的有时间先后之分．【答案】C3．如图4－2－5是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是( )推理与证明推理合情推理归纳推理类比推理演绎推理证明直接证明综合法分析法间接证明反证法图4－2－5A．类比B．综合法C．反证法D．分析法【解析】据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A.【答案】A4．如图4－2－6所示是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应放在( )集合集合的表示集合的概念集合的运算基本关系基本运算图4－2－6A．“集合的概念”的“下位”B．“集合的表示”的“下位”C．“基本关系”的“下位”D．“基本运算”的“下位”【解析】因为子集是集合的基本关系之一，故应把子集放在基本关系的“下位”．【答案】C5．(2013·烟台高二检测)把平面内两条直线的位置关系填入结构图4－2－7中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是( )两直线位置关系MNEF图4－2－7①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①③④【解析】平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.【答案】C二、填空题6．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：图4－2－8则在①中应填入________；在②中应填入________．【解析】结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．【答案】菱形等腰梯形7．如图4－2－9所示：图4－2－9则“函数的应用”包括的主要内容有：________.【解析】由结构图的从属关系可知函数的应用包括函数与方程和函数模型及其应用．【答案】函数与方程、函数模型及其应用8．某公司的组织结构是：总经理之下设计行经理、人事经理和财务经理，执行经理领导生产经理、物料经理、品质管理经理和工程经理，生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．如图4－2－10所示是这家公司的组织结构图，则a，b，c，d处应该填入的分别是________．总经理执行经理b工程师技术员a线长cd计划员仓库管理员人事经理财务经理图4－2－10【答案】生产经理，工程经理，品质管理经理，物料经理三、解答题9．为了进一步加强温州商人的凝聚力和核心价值观，温州商人组建了温州期货商会组织．温州期货商会组织结构如下：①会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会；②会长办公会下设会长，会长管理秘书长；③秘书长分管秘书处、自律委员会、推广委员会．根据以上信息绘制出其组织结构图．【解】会员代表大会监事会会长办公会会长秘书长秘书处自律委员会推广委员会理事会10．某大学的学校组织结构图如图4－2－11所示，由图回答下列问题：图4－2－11(1)学生工作处的“下位”要素是什么？(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？【解】(1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．11．如图4－2－12是某生态农场物质循环利用的结构图，请用语言描述此框图所包含的内容．图4－2－12【解】该农场的猪场、鸡场、鸭场的猪粪、鸡粪、鸭粪以及果园中的植物残体均作为沼气池原料投入沼气池，其产生的能源可作生活能源、鸭场育雏能源和鸡场增温能源；产生的沼液进入鱼塘；沼渣作果园底肥，还用于蚯蚓养殖；沼渣沼液亦可用来种植蘑菇、饲养生猪．另外，猪场的粪便、鸡场的鸡粪、蘑菇房的菌床废物可用来养殖蚯蚓，果园可提供蚯蚓养殖的空间．同时，蚯蚓养殖给果园增加了土壤肥力，给鸡场提供了饲料．鸭场的粪便被鱼塘再度利用，同时鱼塘又给鸭饲养提供空间，鱼塘又可灌溉果园．鸡场鸡粪既可作蘑菇房原料，又可被猪场再利用.(教师用书独具)阅读下面文字，然后按所获信息画出树形结构图．1890年，英国物理学家J.J.汤姆生对阴极射线进行了一系列实验研究．直到1897年，他根据阴极射线在电场和磁场中偏转断定它的本质是带负电的粒子流，这种粒子流的组成成分就是后来我们所知道的电子．随着对电子的认识，他提出了一种正负电荷在原子内的存在模型——枣糕模型．但在1909年，英籍物理学家卢瑟福用α粒子散射实验，推翻了汤姆生最初的“枣糕模型”，从而确定了卢瑟福的核式结构模型．随着科技的发展，人们又知道质子与中子组成了原子核，原子核间的作用力可以放出巨大的能量，这就是我们所熟悉的核能．随着我们所学知识的增长，微观世界的更多奥秘正等待我们去探索，去发现．【思路探究】这是一道信息题，我们在阅读时应注意文中的相关知识点与相关人物．按事件的发展过程来确定结构图的层次关系，把握好了这条线，题目就简单了．【自主解答】结构图如图所示：汤姆生发现电子汤姆生枣糕模型原子模型卢瑟福核式结构模型α粒子散射实验电子原子核质子核力核能中子当人们需要对收集到的资料进行整理时，也可以画出结构图表示整理的结果．与已学过的知识不同，收集到的资料可能是我们不熟悉的内容，或者资料本身不具有明确的体系结构(例如其中包含哪些相互关联的要素，彼此之间是什么关系，等等)．因此，往往需要先对资料进行分析归纳等，才能画出合理的结构图．这种结构图是人们有条理地思考和交流思想的工具．根据图中所示动物的分类结构图，理解图中各元素的从属关系，并设计一个结构图表示这些关系．属科目纲门界对应下面六类错误!脊索动物门……动物界【解】如图所示：框图流程图工序流程图其他流程图程序框图结构图组织结构图其他结构图知识结构图。
2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。
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新人教版高中数学选修1-2 教案全套第一章统计案例第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：①例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.10203040506070150155160165170175180身高/cm体重/k g3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程： 一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据： x 2 4 5 6 8 y3040605070为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()ii i ii yy yy ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.第三课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备：1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.温度/x C 21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个711212466115325（学生描述步骤，教师演示）2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程的确定：① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，5010015020025030035010203040温度产卵数67则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系如下： X 21 23 25 27 29 32 35 z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784观察z 与x 的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习：为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y /个612254995190（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.）第四课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y 和温度x 间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？2. 讨论：能用二次函数模型234y c x c =+来拟合上述两个变量间的关系吗？（令2t x =，则34y c t c =+，此时y 与t 间的关系如下：观察y 与t 的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线234y c x c =+来拟合y 与x 之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课： 1. 教学残差分析：t 441529 625 729 841 1024 1225 y 7112124661153250100200300400050010001500ty① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即i i i e y y =-.② 残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. 2. 例3中的残差分析： 计算两种模型下的残差一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果） 3. 小结：残差分析的步骤、作用 三、巩固练习：练习：教材P13 第1题第一课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2K 的含义. 教学过程： 一、复习准备：回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤. 二、讲授新课：1. 教学与列联表相关的概念：① 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”. ② 列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22 . 如吸烟与患肺癌的列联表： 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念：由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL 软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论） 3. 独立性检验的基本思想：① 独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸 烟 2099 49 2148 总 计9874919965程度上适用于总体.②独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：反证法假设检验要证明结论A 备择假设H1在A不成立的前提下进行推理在H1不成立的条件下，即H成立的条件下进行推理推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过α的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－α））很大没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设③上例的解决步骤第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有关系↔H1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标22()K()()()()n ad bca b c d a c b d-=++++（它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.第三步：查表得出结论P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83第二课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.K的含义.教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2教学过程：一、复习准备：独立性检验的基本步骤、思想二、讲授新课：1. 教学例1：例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？①第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；K的值；第三步：由学生计算出2第四步：解释结果的含义.②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.2. 教学例2：例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表： 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总 计 男 37 85 122 女 35 143 178 总 计72228300由表中数据计算得到2K 的观察值 4.513k ≈. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？ （学生自练，教师总结）强调：①使得2( 3.841)0.05P K ≥≈成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算2K 的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习：某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？不健康 健 康 总计 不优秀 41 626 667 优 秀37296333第二章 推理与证明第一课时 2.1.1 合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入：1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果总 计78 922 1000都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想. 3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.② 归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题：① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1nn na a n a +==+，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列） ② 思考：证得某命题在n ＝n 0时成立；又假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）③ 练习：已知(1)0,()(1)1,f af n bf n ==-= 2,0,0n a b ≥>>，推测()f n 的表达式.3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 1、2题.2. 作业：教材P 44 习题A 组 1、2、3题.第二课时 2.1.1 合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备：1. 练习：已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习：(i )圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？ (ii )平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii )由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面.③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题：① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 若,,a b R ∈则a b R +∈ 若,,a b R ∈则ab R ∈运算律()()a b b aa b c a b c +=+++=++ ()()ab ba ab c a bc ==逆运算加法的逆运算是减法，使得方程0a x +=有唯一解x a =-乘法的逆运算是除法，使得方程1ax =有唯一解1x a=单位元0a a += 11a ⋅=② 出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比.3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 3题. 2. 探究：教材P 35 例5 3.作业：P 44 5、6题.第三课时 2.1.2 演绎推理教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。