北航数值分析大作业第二题(fortran)
北航 数值分析第二次大作业(带双步位移的QR方法)
一、算法设计方案：按题目要求，本程序运用带双步位移的QR方法求解给定矩阵的特征值，并对每一实特征值，求解其相应的特征向量。
总体思路：1）初始化矩阵首先需要将需要求解的矩阵输入程序。
为了防止矩阵在后面的计算中被破坏保存A[][]。
2）对给定的矩阵进行拟上三角化为了尽量减少计算量，提高程序的运行效率，在对矩阵进行QR分解之前，先进行拟上三角化。
由于矩阵的QR 分解不改变矩阵的结构，所以具有拟上三角形状的矩阵的QR分解可以减少大量的计算量。
这里用函数void QuasiTriangularization()来实现，函数形参为double型N维方阵double a[][N]。
3）对拟上三角化后的矩阵进行QR分解对拟上三角化的矩阵进行QR分解会大大减小计算量。
用子程序void QR_decomposition()来实现，将Q、R设为形参，然后将计算出来的结果传入Q和R，然后求出RQ乘积。
4）对拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解为了加速收敛，对QR分解引入双步位移，适当选取位移量，可以避免进行复数运算。
为了进一步减少计算量，在每次进行QR分解之前，先判断是否可以直接得到矩阵的一个特征值或者通过简单的运算得到矩阵的一对特征值。
若可以，则得到特征值，同时对矩阵进行降阶处理；若不可以，则进行QR分解。
这里用函数intTwoStepDisplacement_QR()来实现。
这是用来存储计算得到的特征值的二维数组。
考虑到特征值可能为复数，因此将所有特征值均当成复数处理。
此函数中，QR分解部分用子函数void QR_decompositionMk()实现。
这里形参有三个，分别用来传递引入双步位移后的Mk阵，A矩阵，以及当前目标矩阵的维数m。
5）计算特征向量得到特征值后，计算实特征值相应的特征向量。
这里判断所得特征值的虚数部分是否为零。
求实特征值的特征向量采用求解相应的方程组((A-λI)x=0)的方法。
因此先初始化矩阵Array，计算(A-λI)，再求解方程组。
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
北航数值分析大作业二(纯原创,高分版)
(R_5 ,I_5 )=(-1.493147080915e+000, 0.000000000000e+000)
(R_6 ,I_6 )=(-9.891143464723e-001, 1.084758631502e-001)
-0.8945216982
-0.0993313649
-1.0998317589
0.9132565113
-0.6407977009
0.1946733679
-2.3478783624
2.3720579216
1.8279985523
-1.2630152661
0.6790694668
-0.4672150886
6.220134985374e-001
-1.119962139645e-001
-2.521344456568e+000
-1.306189420531e+000
-3.809101150714e+000
8.132800093357e+000
-1.230295627285e+000
-6.753086301215e-001
而其本质就是
1.令 以及最大迭代步数L；
2.若m≤0，则结束计算，已求出A的全部特征值，判断 或 或m≤2是否成立，成立则转3，否则转4；
3.若 ，则得一个特征值 ，m=m-1，降阶；若 ，则计算矩阵：
的特征值得矩阵A的两个特征值，m=m-2，降阶，转2.；
4.若k≤L，成立则令
k=k+1，转2，否则结束计算，为计算出矩阵A的全部特征值；
fortran考试题及答案
fortran考试题及答案1. 以下哪个选项是Fortran语言中合法的变量名？A. 2variableB. variable2C. _variable2D. variable-2答案：C. _variable22. Fortran程序中，以下哪个语句用于定义一个整型数组？A. INTEGER :: array(10)B. REAL :: array(10)C. INTEGER :: array[10]D. REAL :: array[10]答案：A. INTEGER :: array(10)3. 在Fortran中，以下哪个是正确的循环结构？A. DO i = 1, 10B. FOR i = 1 TO 10C. DO i = 1 TO 10D. FOR i = 1, 10答案：A. DO i = 1, 104. Fortran中，以下哪个函数用于计算数组的平均值？A. SUMB. AVERAGEC. MEAND. AVG答案：C. MEAN5. 在Fortran程序中，以下哪个语句用于打开一个文件？A. OPEN(unit=1, file='example.txt')B. CREATE(unit=1, file='example.txt')C. READ(unit=1, file='example.txt')D. WRITE(unit=1, file='example.txt')答案：A. OPEN(unit=1, file='example.txt')6. Fortran中，以下哪个语句用于声明一个双精度实数变量？A. REAL :: xB. DOUBLE PRECISION :: xC. INTEGER :: xD. LOGICAL :: x答案：B. DOUBLE PRECISION :: x7. 在Fortran中，以下哪个是正确的条件语句？A. IF x > 0 THENB. IF (x > 0) THENC. IF x > 0 THEND. IF x > 0 THEN答案：B. IF (x > 0) THEN8. Fortran程序中，以下哪个是正确的子程序声明？A. SUBROUTINE mySubroutineB. FUNCTION myFunctionC. MODULE myModuleD. PROGRAM myProgram答案：A. SUBROUTINE mySubroutine9. 在Fortran中，以下哪个语句用于读取一个整数？A. READ(*,*) iB. PRINT(*,*) iC. WRITE(*,*) iD. FORMAT(*,*) i答案：A. READ(*,*) i10. Fortran中，以下哪个是正确的模块声明？A. MODULE myModuleB. SUBROUTINE myModuleC. FUNCTION myModuleD. PROGRAM myModule答案：A. MODULE myModule。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
北航数值分析第二次大作业--QR分解
《数值分析A》计算实习题目二姓名学号联系方式班级指导教师2012年10月一、算法设计方案整个程序主要分为四个函数，主函数，拟上三角化函数，QR分解函数以及使用双步位移求解矩阵特征值、特征向量的函数。
因为在最后一个函数中也存在QR分解，所以我没有采用参考书上把矩阵M进行的QR分解与矩阵Ak的迭代合并的方法，而是在该函数中调用了QR分解函数，这样增强了代码的复用性，减少了程序长度；但由于时间关系，对阵中方法的运算速度没有进行深入研究。
1.为了减少QR分解法应用时的迭代次数，首先对给定矩阵进行拟上三角化处理。
2.对经过拟上三角化处理的矩阵进行QR分解。
3.注意到计算特征值与特征向量的过程首先要应用前面两个函数，于是在拟上三角化矩阵的基础上对QR分解函数进行了调用。
计算过程中，没有采用goto语句，而是根据流程图采用其他循环方式完成了设计，通过对迭代过程的合并，简化了程序的循环次数，最后在计算特征向量的时候采用了列主元高斯消去法。
二、源程序代码#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>int i,j,k,l,m; //定义外部变量double d,h,b,c,t,s;double A[10][10],AA[10][10],R[10][10],Q[10][10],RQ[10][10]; double X[10][10],Y[10][10],Qt[10][10],M[10][10];double U[10],P[10],T[10],W[10],Re[10]={0},Im[10]={0}; double epsilon=1e-12;void main(){void Quasiuppertriangular(double A[][10]);void QRdecomposition(double A[][10]);void DoublestepsQR(double A[][10]);int i,j;for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){A[i][j]=sin(0.5*(i+1)+0.2*(j+1));Q[i][j]=0;AA[i][j]=A[i][j];}A[i][i]=1.5*cos(2.2*(i+1));AA[i][i]=A[i][i];}Quasiuppertriangular(A); //调用拟上三角化函数printf( "\n A经过拟上三角化矩阵为：\n\n");for(i=0;i<10;i++) //输出拟上三角化矩阵{for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",A[i][j]); //输出拟上三角化矩阵}printf( "\n\n");}QRdecomposition(A); //调用QR分解函数printf( " 进行QR分解后，R矩阵为：\n\n"); //输出R矩阵for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",R[i][j]);}printf( "\n\n");}printf( " Q矩阵为:\n\n"); //输出Q矩阵for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",Q[i][j]);}printf( "\n\n");}printf( " RQ矩阵为：\n\n"); //输出RQ矩阵for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",RQ[i][j]);}printf( "\n\n");}DoublestepsQR(A); //调用双步位移函数printf( "\n\n 特征值实部依次为：\n\n"); //输出特征值实部for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",Re[j]);}printf("\n\n 特征值虚部依次为：\n\n "); //输出特征值虚部for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",Im[j]);}//按行输出特征向量printf( "\n\n 按行输出实特征根相应特征向量为：\n\n");for(i=0;i<10;i++){if(i==1||i==2||i==5||i==6){continue;}for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",X[i][j]);}printf( "\n\n");}getchar();}//拟上三角化函数void Quasiuppertriangular(double A[][10]) {for(j=0;j<8;j++){for(i=0;i<10;i++){U[i]=0;P[i]=0;T[i]=0;W[i]=0;}m=0;for(i=j+2;i<10;i++){if(A[i][j]!=0){m=m+1;}}if(m==0){continue;}d=0;for(i=j+1;i<10;i++){d=d+pow(A[i][j],2);}d=sqrt(d);c=-d;if(A[j+1][j]<=0){c=d;}h=c*(c-A[j+1][j]);U[j+1]=A[j+1][j]-c;for(i=j+2;i<10;i++){U[i]=A[i][j];}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){P[i]=P[i]+U[k]*A[k][i];}P[i]=P[i]/h;}t=0;for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){T[i]=T[i]+U[k]*A[i][k];}T[i]=T[i]/h;t=t+P[i]*U[i];}t=t/h;for(i=0;i<10;i++){W[i]=T[i]-t*U[i];for(k=0;k<10;k++){A[i][k]=A[i][k]-W[i]*U[k]-U[i]*P[k];if(abs(A[i][k])<1e-12){A[i][k]=0;}}}}}//QR分解函数void QRdecomposition(double A[][10]) {for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){RQ[i][j]=0;Q[i][j]=0;R[i][j]=A[i][j];}Q[i][i]=1;}for(j=0;j<9;j++){for(i=0;i<10;i++){U[i]=0;P[i]=0;W[i]=0;}m=0;for(i=j+1;i<10;i++){if(R[i][j]!=0){m=m+1;}}if(m==0){continue;}d=0;for(i=j;i<10;i++){d=d+pow(R[i][j],2);}d=sqrt(d);c=-d;if(R[j][j]<=0){c=d;}h=c*(c-R[j][j]);U[j]=R[j][j]-c;for(i=j+1;i<10;i++){U[i]=R[i][j];}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){W[i]=W[i]+U[k]*Q[i][k];}}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){Q[i][k]=Q[i][k]-((W[i]*U[k])/h);}}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){P[i]=P[i]+U[k]*R[k][i];}P[i]=P[i]/h;}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){R[i][k]=R[i][k]-U[i]*P[k];if(abs(R[i][k])<epsilon){R[i][k]=0;}}}}for(i=0;i<10;i++) //计算A(n+1)=RQ {for(j=0;j<10;j++){for(k=0;k<10;k++){RQ[i][j]=RQ[i][j]+R[i][k]*Q[k][j];}}}}//双步位移法计算特征值特征向量函数void DoublestepsQR(double A[][10]){int L=1000,m=9; //定义最大循环次数for(i=0;i<L;i++){for(;m>-1;){if(abs(A[m][m-1])<=epsilon){Re[m]=A[m][m];m=m-1; //降阶if(m==0) //4{Re[0]=A[0][0];break;}if(m==-1){break;}if(m>1){continue;}}b=-A[m][m]-A[m-1][m-1]; //5c=A[m][m]*A[m-1][m-1]-A[m][m-1]*A[m-1][m];if(m==1) //6{if((b*b-4*c)>=0){Re[m]=(-b+sqrt(b*b-4*c))/2;Re[m-1]=(-b-sqrt(b*b-4*c))/2;}if((b*b-4*c)<0){Re[m]=-b/2; Im[m]=sqrt(4*c-b*b)/2;Re[m-1]=-b/2; Im[m-1]=-sqrt(4*c-b*b)/2;}m=m-1; //循环出口条件break;}if((m>1)&&(abs(A[m-1][m-2])>epsilon)) //8{if(i==L-1){printf("No results! \n");m=0; //循环出口条件break;}break;}if((m>1)&&(abs(A[m-1][m-2])<=epsilon)) //7 {if((b*b-4*c)>0){Re[m]=(-b+sqrt(b*b-4*c))/2;Re[m-1]=(-b-sqrt(b*b-4*c))/2;}if((b*b-4*c)<0){Re[m]=-b/2; Im[m]=sqrt(4*c-b*b)/2;Re[m-1]=-b/2; Im[m-1]=-sqrt(4*c-b*b)/2;}m=m-2; //降阶if(m>0){continue;}if(m==0){Re[0]=A[0][0];break;}}}if(m<=0){break;}s=A[m-1][m-1]+A[m][m]; //9t=A[m][m]*A[m-1][m-1]-A[m][m-1]*A[m-1][m];for(j=0;j<10;j++){for(k=0;k<10;k++){Qt[j][k]=0;Q[j][k]=0;M[j][k]=0;X[j][k]=0;Y[j][k]=0;}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){for(l=0;l<m+1;l++){M[j][k]=M[j][k]+A[j][l]*A[l][k];}}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){M[j][k]=M[j][k]-s*A[j][k];}M[j][j]=M[j][j]+t;}//调用QR分解函数对M矩阵进行分解并传递参数矩阵QQRdecomposition(M);for(j=0;j<10;j++){for(k=0;k<10;k++){Qt[j][k]=Q[k][j];}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){for(l=0;l<m+1;l++){X[j][k]=X[j][k]+Qt[j][l]*A[l][k];}}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){for(l=0;l<m+1;l++){Y[j][k]=Y[j][k]+X[j][l]*Q[l][k];}}}for(j=0;j<10;j++){{A[j][k]=Y[j][k];}}}//应用列主元高斯消元法计算实部特征向量for(l=0;l<10;l++){if(l==1||l==2||l==5||l==6){continue;}for(k=0;k<10;k++){for(m=0;m<10;m++){A[k][m]=AA[k][m];}A[k][k]=A[k][k]-Re[l];}for(j=0;j<9;j++){m=j;for(i=j+1;i<10;i++){if(abs(A[i][j])>abs(A[m][j])){m=i;}}{Y[j][k]=A[j][k];A[j][k]=A[m][k];A[m][k]=Y[j][k];}for(k=j+1;k<10;k++){b=A[k][j]/A[j][j];for(i=j;i<10;i++){A[k][i]=A[k][i]-A[j][i]*b;}}}X[l][9]=1;for(i=8;i>=0;i--){c=0;for(j=i+1;j<10;j++){c=c+A[i][j]*X[l][j];}X[l][i]=-c/A[i][i];}}}三、程序输出结果1819。
北航数值分析全部三次大作业
北航数值分析全部三次大作业第一次大作业是关于解线性方程组的数值方法。
我们被要求实现各种常用的线性方程组求解算法，例如高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
我首先学习了这些算法的原理和实现方法，并借助Python编程语言编写了这些算法的代码。
在实验中，我们使用了不同规模和条件的线性方程组进行测试，并比较了不同算法的性能和精度。
通过这个作业，我深入了解了线性方程组求解的原理和方法，提高了我的编程和数值计算能力。
第二次大作业是关于数值积分的方法。
数值积分是数值分析中的重要内容，它可以用于计算曲线的长度、函数的面积以及求解微分方程等问题。
在这个作业中，我们需要实现不同的数值积分算法，例如矩形法、梯形法和辛普森法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。
在实验中，我们计算了不同函数的积分值，并对比了不同算法的精度和效率。
通过这个作业，我深入了解了数值积分的原理和方法，提高了我的编程和数学建模能力。
第三次大作业是关于常微分方程的数值解法。
常微分方程是数值分析中的核心内容之一，它可以用于描述众多物理、化学和生物现象。
在这个作业中，我们需要实现不同的常微分方程求解算法，例如欧拉法、龙格-库塔法和Adams法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法，并使用Python编写了它们的代码。
在实验中，我们解决了一些具体的常微分方程问题，并比较了不同算法的精度和效率。
通过这个作业，我深入了解了常微分方程的原理和方法，提高了我的编程和问题求解能力。
总的来说，北航数值分析课程的三次大作业非常有挑战性，但也非常有意义。
通过这些作业，我在数值计算和编程方面得到了很大的提升，也更加深入地了解了数值分析的理论和方法。
虽然这些作业需要大量的时间和精力，但我相信这些努力将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。
fortran课后习题答案
fortran课后习题答案Fortran课后习题答案Fortran是一种编程语言，广泛应用于科学计算和工程领域。
学习Fortran的过程中，课后习题是非常重要的一部分，通过解答这些习题，可以巩固所学的知识，并且提升自己的编程能力。
在本文中，我将为大家提供一些Fortran课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 编写一个Fortran程序，计算并输出1到100之间所有偶数的和。
```fortranprogram sum_even_numbersimplicit noneinteger :: i, sumsum = 0do i = 1, 100if (mod(i, 2) == 0) thensum = sum + iend ifend doprint *, "The sum of even numbers from 1 to 100 is", sumend program sum_even_numbers```2. 编写一个Fortran程序，计算并输出用户输入的两个数的乘积。
```fortranprogram multiply_numbersimplicit nonereal :: num1, num2, productprint *, "Enter the first number:"read *, num1print *, "Enter the second number:"read *, num2product = num1 * num2print *, "The product of", num1, "and", num2, "is", productend program multiply_numbers```3. 编写一个Fortran程序，计算并输出用户输入的一个数的平方根。
北航数值分析报告大作业第三题(fortran)
北航数值分析报告大作业第三题(fortran)“数值分析“计算实习大作业第三题——SY1415215孔维鹏一、计算说明1、将x i=0.08i，y j=0.5+0.05j分别代入方程组（A.3）得到关于t，u，v，w的的方程组，调用离散牛顿迭代子函数求出与x i，y j对应的t i，u j。
2、调用分片二次代数插值子函数在点(t i,u j)处插值得到z(x i,y j)=f(x i,y j)，得到数表(x i,y j,f(x i,y j))。
3、对于k=1,2,3,4?，分别调用最小二乘拟合子函数计算系数矩阵c rs 及误差σ，直到满足精度，即求得最小的k值及系数矩阵c rs。
4、将x i?=0.1i，y j?=0.5+0.2j分别代入方程组（A.3）得到关于t?，u?，v?，w?的的方程组，调用离散牛顿迭代子函数求出与x i?，y j?对应的t i?，u j?，调用分片二次代数插值子函数在点(t i?,u j?)处插值得到z?(x i?,y j?)=f(x i?,y j?)；调用步骤3中求得的系数矩阵c rs求得p(x i?,y j?)，打印数表(x i?,y j?,f(x i?,y j?),p(x i?,y j?))。
二、源程序（FORTRAN）PROGRAM SY1415215DIMENSIONX(11),Y(21),T(6),U(6),Z(6,6),UX(11,21),TY(11,21),FXY(11,21), C(6,6) DIMENSIONX1(8),Y1(5),FXY1(8,5),PXY1(8,5),UX1(8,5),TY1(8,5)REAL(8) X,Y,T,U,Z,FXY,UX,TY,C,E,X1,Y1,FXY1,PXY1,UX1,TY1OPEN (1,FILE='第三题计算结果.TXT')DO I=1,11X(I)=0.08*(I-1)ENDDODO I=1,21Y(I)=0.5+0.05*(I-1)ENDDO!*****求解非线性方程组，得到z=f（t，u）的函数*******DO I=1,11DO J=1,21CALL DISNEWTON_NONLINEAR(X(I),Y(J),UX(I,J),TY(I,J)) ENDDO ENDDO!*************分片二次插值得到z=f（x，y）***********DO I=1,11DO J=1,21CALL INTERPOLATION(UX(I,J),TY(I,J),FXY(I,J))ENDDO ENDDOWRITE (1,"('数表(x,y,f(x,y)):')")WRITE (1,"(3X,'X',7X,'Y',10X,'F(X,Y)')")DO I=1,11DO J=1,21WRITE(1,'(1X,F5.2,2X,F5.3,2X,E20.13)') X(I),Y(J),FXY(I,J) ENDDOWRITE (1,"('')")ENDDO!***********最小二乘拟合得到P（x，y）**************N=11M=21WRITE (1,'(" ","K和σ分别为：")')DO K=1,20CALL LSFITTING(X,Y,FXY,C,N,M,K,K,E) WRITE (1,'(I3,2X,E20.13)') K-1,EIF(ETA).OR.(A(L,K)==TA)) THENTA=A(L,K)TL=LDO J=K,NT(K,J)=A(K,J)A(K,J)=A(TL,J)A(TL,J)=T(K,J)ENDDOTB(K)=B(K)B(K)=B(TL)B(TL)=TB(K)ENDIF ENDDODO I=K+1,NM(I,K)=A(I,K)/A(K,K)A(I,K)=0DO J=K+1,NA(I,J)=A(I,J)-M(I,K)*A(K,J) ENDDOB(I)=B(I)-M(I,K)*B(K)ENDDOENDDO!回代过程X(N)=B(N)/A(N,N)DO K=N-1,1,-1S=0.0DO J=K+1,NS=S+A(K,J)*X(J)ENDDOX(K)=(B(K)-S)/A(K,K)ENDDORETURNEND!***********求向量的无穷数************ SUBROUTINE NORM(X,N,A) DIMENSION X(N)REAL(8) X,AA=ABS(X(1))DO I=2,NIF(ABS(X(I))>ABS(X(I-1))) THENA=ABS(X(I)) ENDIFENDDORETURNEND!**************分片二次代数插值************** SUBROUTINE INTERPOLATION(U,V,W) PARAMETER (N=6,M=6)DIMENSION X(N),Y(M),Z(M,N),LK(3),LR(3)REAL(8) X,Y,Z,H,TREAL(8) U,V,W,LK,LR !U,V分别为插值点处的坐标，W为插值结果INTEGER R!**********************数据赋值********************** DATA Y/0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0/DATA X/0.0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.0/DATA Z/-0.5,-0.42,-0.18,0.22,0.78,1.5,&&-0.34,-0.5,-0.5,-0.34,-0.02,0.46,&&0.14,-0.26,-0.5,-0.58,-0.5,-0.26,&&0.94,0.3,-0.18,-0.5,-0.66,-0.66,&&2.06,1.18,0.46,-0.1,-0.5,-0.74,&&3.5,2.38,1.42,0.62,-0.02,-0.5/H=0.4T=0.2!******************计算K,R************************* IF(UX(N-1)-H/2) THENK=N-1ELSEDO I=3,N-2IF((U>X(I)-H/2).AND.(UY(M-1)-T/2) THENR=M-1 ELSEDO J=3,M-2IF((V>Y(J)-T/2).AND.(VN) P=N IF(P>20) P=20IF(Q>M) Q=MIF(Q>20) Q=20XX=0YY=0D1=NAPX(1)=0.0DO I=1,NAPX(1)=APX(1)+X(I)ENDDOAPX(1)=APX(1)/D1DO J=1,MV(1,J)=0.0DO I=1,NV(1,J)=V(1,J)+Z(I,J)ENDDOV(1,J)=V(1,J)/D1ENDDOIF(P>1) THEND2=0.0APX(2)=0.0DO I=1,NG=X(I)-APX(1)D2=D2+G*GAPX(2)=APX(2)+(X(I)-XX)*G*G ENDDO APX(2)=APX(2)/D2BX(2)=D2/D1DO J=1,MV(2,J)=0.0DO I=1,NG=X(I)-APX(1)V(2,J)=V(2,J)+Z(I,J)*G ENDDOV(2,J)=V(2,J)/D2ENDDOD1=D2ENDIFDO K=3,PD2=0.0APX(K)=0.0DO J=1,MV(K,J)=0.0ENDDODO I=1,NG1=1.0G2=X(I)-APX(1)DO J=3,KG=(X(I)-APX(J-1))*G2-BX(J-1)*G1 G1=G2 G2=GENDDOD2=D2+G*GAPX(K)=APX(K)+X(I)*G*GDO J=1,M V(K,J)=V(K,J)+Z(I,J)*G ENDDOENDDODO J=1,MV(K,J)=V(K,J)/D2ENDDOAPX(K)=APX(K)/D2BX(K)=D2/D1D1=D2ENDDOD1=MAPY(1)=0.0DO I=1,MAPY(1)=APY(1)+Y(I)ENDDOAPY(1)=APY(1)/D1DO J=1,PU(J,1)=0.0DO I=1,MU(J,1)=U(J,1)+V(J,I) ENDDO U(J,1)=U(J,1)/D1ENDDOIF(Q>1)THEND2=0.0APY(2)=0.0DO I=1,MG=Y(I)-APY(1)D2=D2+G*G APY(2)=APY(2)+(Y(I))*G*G ENDDO APY(2)=APY(2)/D2BY(2)=D2/D1DO J=1,PU(J,2)=0.0DO I=1,MG=Y(I)-APY(1)U(J,2)=U(J,2)+V(J,I)*GENDDOU(J,2)=U(J,2)/D2ENDDOD1=D2ENDIFDO K=3,QD2=0.0APY(K)=0.0DO J=1,PU(J,K)=0.0ENDDODO I=1,MG1=1.0G2=Y(I)-APY(1)DO J=3,KG=(Y(I)-APY(J-1))*G2-BY(J-1)*G1 G1=G2 G2=GENDDOD2=D2+G*GAPY(K)=APY(K)+Y(I)*G*G DO J=1,PU(J,K)=U(J,K)+V(J,I)*G ENDDOENDDODO J=1,PU(J,K)=U(J,K)/D2ENDDOAPY(K)=APY(K)/D2BY(K)=D2/D1D1=D2ENDDOV(1,1)=1.0V(2,1)=-APY(1)V(2,2)=1.0DO I=1,PDO J=1,QA(I,J)=0.0ENDDOENDDODO I=3,QV(I,I)=V(I-1,I-1)V(I,I-1)=-APY(I-1)*V(I-1,I-1)+V(I-1,I-2)IF(I>=4) THENDO K=I-2,2,-1V(I,K)=-APY(I-1)*V(I-1,K)+V(I-1,K-1)-BY(I-1)*V(I-2,K) ENDDO ENDIFV(I,1)=-APY(I-1)*V(I-1,1)-BY(I-1)*V(I-2,1)ENDDO DO I=1,PIF(I==1) THENT(1)=1.0T1(1)=1.0ELSEIF(I==2) THENT(1)=-APX(1)T(2)=1.0T2(1)=T(1)T2(2)=T(2)ELSET(I)=T2(I-1)T(I-1)=-APX(I-1)*T2(I-1)+T2(I-2) IF(I>=4) THENDO K=I-2,2,-1T(K)=-APX(I-1)*T2(K)+T2(K-1)-BX(I-1)*T1(K) ENDDOENDIFT(1)=-APX(I-1)*T2(1)-BX(I-1)*T1(1)T2(I)=T(I)DO K=I-1,1,-1T1(K)=T2(K)T2(K)=T(K)ENDDOENDIFDO J=1,QDO K=I,1,-1DO L=J,1,-1A(K,L)=A(K,L)+U(I,J)*T(K)*V(J,L) ENDDOENDDOENDDOENDDODT1=0.0DO I=1,NX1=X(I)DO J=1,MY1=Y(J)X2=1.0DD=0.0DO K=1,PG=A(K,Q)DO KK=Q-1,1,-1G=G*Y1+A(K,KK)ENDDOG=G*X2DD=DD+GX2=X2*X1ENDDODT=DD-Z(I,J)DT1=DT1+DT*DTENDDOENDDORETURNEND三、计算结果数表(x,y,f(x,y)): X Y UX TY F(X,Y) 0.00 0.500 1.345 0.243 0.17E+000.00 0.550 1.322 0.269 0.66E+000.00 0.600 1.299 0.295 0.35E+000.00 0.650 1.277 0.322 0.94E+000.00 0.700 1.255 0.350 0.30E-020.00 0.750 1.235 0.377 -0.87E-010.00 0.800 1.215 0.406 -0.58E+000.00 0.850 1.196 0.434 -0.72E+000.00 0.900 1.177 0.463 -0.54E+000.00 0.950 1.159 0.492 -0.86E+000.00 1.050 1.125 0.550 -0.74E+00 0.00 1.100 1.109 0.580 -0.06E+00 0.00 1.150 1.093 0.609 -0.00E+00 0.00 1.200 1.0790.639 -0.18E+00 0.00 1.250 1.064 0.669 -0.52E+00 0.00 1.3001.050 0.699 -0.19E+00 0.00 1.350 1.037 0.729 -0.48E+00 0.001.400 1.024 0.759 -0.68E+00 0.00 1.450 1.011 0.790 -0.52E+00 0.00 1.500 1.000 0.820 -0.29E+000.08 0.500 1.415 0.228 0.67E+00 0.08 0.550 1.391 0.253 0.08E+00 0.08 0.600 1.368 0.279 0.02E+00 0.08 0.650 1.346 0.306 0.47E+00 0.08 0.700 1.325 0.333 0.57E+00 0.08 0.750 1.304 0.360 0.48E-01 0.08 0.800 1.284 0.388 -0.73E-01 0.08 0.850 1.265 0.416 -0.16E+00 0.08 0.900 1.246 0.444 -0.29E+00 0.08 0.950 1.229 0.473 -0.36E+00 0.08 1.000 1.211 0.502 -0.08E+00 0.08 1.050 1.194 0.531 -0.29E+00 0.08 1.100 1.178 0.560 -0.78E+00 0.08 1.150 1.163 0.589 -0.93E+00 0.08 1.200 1.148 0.619 -0.44E+00 0.08 1.250 1.133 0.649 -0.92E+00 0.08 1.300 1.119 0.679 -0.71E+000.08 1.400 1.093 0.739 -0.37E+00 0.08 1.450 1.080 0.769-0.83E+00 0.08 1.500 1.068 0.799 -0.92E+000.16 0.500 1.483 0.214 0.31E+00 0.16 0.550 1.460 0.239 0.64E+00 0.16 0.600 1.437 0.264 0.91E+00 0.16 0.650 1.414 0.290 0.06E+00 0.16 0.700 1.393 0.316 0.70E+00 0.16 0.750 1.372 0.343 0.59E+00 0.16 0.800 1.352 0.370 0.12E+00 0.16 0.850 1.333 0.398 0.77E-02 0.16 0.900 1.315 0.426 -0.83E-01 0.16 0.950 1.297 0.454-0.58E+00 0.16 1.000 1.279 0.483 -0.20E+00 0.16 1.050 1.2620.512 -0.11E+00 0.16 1.100 1.246 0.541 -0.74E+00 0.16 1.1501.231 0.570 -0.09E+00 0.16 1.200 1.216 0.600 -0.59E+00 0.16 1.250 1.201 0.629 -0.66E+00 0.16 1.300 1.187 0.659 -0.71E+00 0.16 1.350 1.174 0.689 -0.32E+00 0.16 1.400 1.161 0.718-0.56E+00 0.16 1.450 1.148 0.748 -0.31E+00 0.16 1.500 1.136 0.778 -0.75E+000.24 0.500 1.551 0.201 0.66E+01 0.24 0.550 1.527 0.2250.03E+000.24 0.650 1.482 0.275 0.64E+00 0.24 0.700 1.460 0.3010.47E+00 0.24 0.750 1.439 0.327 0.34E+00 0.24 0.800 1.419 0.354 0.24E+00 0.24 0.850 1.400 0.381 0.69E+00 0.24 0.900 1.381 0.409 0.04E-01 0.24 0.950 1.363 0.437 -0.42E-01 0.24 1.000 1.346 0.465 -0.06E+00 0.24 1.050 1.329 0.494 -0.59E+00 0.24 1.100 1.313 0.523 -0.83E+00 0.24 1.150 1.297 0.552 -0.15E+00 0.24 1.200 1.282 0.581 -0.19E+00 0.24 1.250 1.267 0.610 -0.84E+00 0.24 1.300 1.253 0.640 -0.66E+00 0.24 1.350 1.240 0.669 -0.30E+00 0.24 1.400 1.227 0.699 -0.86E+00 0.24 1.450 1.214 0.729 -0.84E+00 0.24 1.500 1.202 0.759 -0.77E+000.32 0.500 1.617 0.188 0.28E+01 0.32 0.550 1.593 0.212 0.49E+01 0.32 0.600 1.570 0.236 0.68E+00 0.32 0.650 1.547 0.261 0.75E+00 0.32 0.700 1.526 0.286 0.60E+00 0.32 0.750 1.505 0.312 0.77E+00 0.32 0.800 1.485 0.339 0.05E+00 0.32 0.850 1.466 0.365 0.99E+00 0.32 0.900 1.447 0.393 0.27E+00 0.32 1.000 1.411 0.448 -0.01E-02 0.32 1.050 1.395 0.477-0.41E-01 0.32 1.100 1.378 0.505 -0.18E+00 0.32 1.150 1.3630.534 -0.25E+00 0.32 1.200 1.347 0.563 -0.29E+00 0.32 1.2501.333 0.592 -0.90E+00 0.32 1.300 1.319 0.621 -0.00E+00 0.32 1.350 1.305 0.650 -0.40E+00 0.32 1.400 1.292 0.680 -0.54E+00 0.32 1.450 1.279 0.710 -0.79E+00 0.32 1.500 1.267 0.739-0.91E+000.40 0.500 1.681 0.177 0.91E+01 0.40 0.550 1.658 0.1990.00E+01 0.40 0.600 1.634 0.223 0.83E+01 0.40 0.650 1.612 0.247 0.02E+01 0.40 0.700 1.591 0.272 0.94E+00 0.40 0.750 1.570 0.298 0.49E+00 0.40 0.800 1.550 0.324 0.94E+00 0.40 0.850 1.530 0.350 0.40E+00 0.40 0.900 1.512 0.377 0.33E+00 0.40 0.950 1.493 0.405 0.99E+00 0.40 1.000 1.476 0.432 0.68E+00 0.40 1.050 1.459 0.460 0.08E-01 0.40 1.100 1.443 0.488 -0.84E-01 0.40 1.150 1.427 0.517-0.98E+00 0.40 1.200 1.412 0.545 -0.27E+00 0.40 1.250 1.397 0.574 -0.06E+000.40 1.350 1.369 0.632 -0.66E+00 0.40 1.400 1.356 0.662-0.37E+00 0.40 1.450 1.343 0.691 -0.43E+00 0.40 1.500 1.331 0.721 -0.12E+000.48 0.500 1.745 0.166 0.69E+01 0.48 0.550 1.721 0.188 0.02E+01 0.48 0.600 1.698 0.211 0.74E+01 0.48 0.650 1.676 0.235 0.40E+01 0.48 0.700 1.654 0.259 0.23E+01 0.48 0.750 1.634 0.284 0.56E+00 0.48 0.800 1.613 0.310 0.28E+00 0.48 0.850 1.594 0.336 0.49E+00 0.48 0.900 1.575 0.363 0.31E+00 0.48 0.950 1.557 0.390 0.66E+00 0.48 1.000 1.539 0.417 0.30E+00 0.48 1.050 1.522 0.444 0.34E+00 0.48 1.100 1.506 0.472 0.07E-01 0.48 1.150 1.490 0.500 -0.62E-01 0.48 1.200 1.475 0.529 -0.45E+00 0.48 1.250 1.460 0.557 -0.86E+00 0.48 1.300 1.446 0.586 -0.39E+00 0.48 1.350 1.432 0.615 -0.22E+00 0.48 1.400 1.419 0.644 -0.67E+00 0.48 1.450 1.406 0.674-0.55E+00 0.48 1.500 1.394 0.703 -0.14E+000.56 0.500 1.808 0.156 0.48E+010.56 0.600 1.761 0.200 0.10E+01 0.56 0.650 1.739 0.2230.68E+01 0.56 0.700 1.717 0.247 0.94E+01 0.56 0.750 1.696 0.272 0.33E+01 0.56 0.800 1.676 0.297 0.11E+00 0.56 0.850 1.657 0.323 0.63E+00 0.56 0.900 1.638 0.349 0.97E+00 0.56 0.950 1.620 0.375 0.52E+00 0.56 1.000 1.602 0.402 0.56E+00 0.56 1.050 1.585 0.429 0.47E+00 0.56 1.100 1.568 0.457 0.20E+00 0.56 1.150 1.552 0.485 0.13E+00 0.56 1.200 1.537 0.513 0.09E-01 0.56 1.250 1.522 0.541 -0.47E-01 0.56 1.300 1.508 0.570 -0.99E+00 0.56 1.350 1.4940.599 -0.82E+00 0.56 1.400 1.481 0.627 -0.26E+00 0.56 1.4501.468 0.657 -0.71E+00 0.56 1.500 1.455 0.686 -0.98E+000.64 0.500 1.870 0.147 0.74E+01 0.64 0.550 1.846 0.1680.10E+01 0.64 0.600 1.823 0.190 0.54E+01 0.64 0.650 1.801 0.213 0.42E+01 0.64 0.700 1.779 0.236 0.56E+01 0.64 0.750 1.758 0.260 0.03E+01 0.64 0.800 1.738 0.285 0.42E+01 0.64 0.850 1.718 0.310 0.41E+010.64 0.950 1.681 0.362 0.36E+00 0.64 1.000 1.664 0.388 0.18E+00 0.64 1.050 1.646 0.415 0.28E+00 0.64 1.100 1.630 0.443 0.07E+00 0.64 1.150 1.614 0.470 0.66E+00 0.64 1.200 1.598 0.498 0.09E+00 0.64 1.250 1.584 0.526 0.50E-01 0.64 1.300 1.569 0.554 -0.88E-01 0.64 1.350 1.555 0.583 -0.76E+00 0.64 1.400 1.542 0.611 -0.66E+00 0.64 1.450 1.529 0.640 -0.33E+00 0.64 1.500 1.516 0.669 -0.56E+00 0.72 0.500 1.931 0.139 0.94E+01 0.72 0.550 1.907 0.159 0.84E+01 0.72 0.600 1.884 0.181 0.36E+01 0.72 0.650 1.862 0.203 0.40E+01 0.72 0.700 1.840 0.226 0.47E+01 0.72 0.750 1.819 0.249 0.56E+01 0.72 0.800 1.799 0.273 0.19E+01 0.72 0.850 1.779 0.298 0.37E+01 0.72 0.900 1.760 0.323 0.86E+01 0.72 0.950 1.742 0.349 0.76E+00 0.72 1.000 1.724 0.375 0.24E+00 0.72 1.050 1.707 0.402 0.55E+00 0.72 1.100 1.691 0.429 0.97E+00 0.72 1.150 1.675 0.456 0.27E+00 0.72 1.200 1.659 0.484 0.31E+000.72 1.300 1.630 0.539 0.49E+00 0.72 1.350 1.616 0.5680.72E-02 0.72 1.400 1.602 0.596 -0.69E-01 0.72 1.450 1.589 0.625 -0.67E+00 0.72 1.500 1.576 0.653 -0.20E+000.80 0.500 1.992 0.131 0.31E+01 0.80 0.550 1.968 0.1510.44E+01 0.80 0.600 1.945 0.172 0.41E+01 0.80 0.650 1.922 0.193 0.45E+01 0.80 0.700 1.900 0.216 0.00E+01 0.80 0.750 1.879 0.239 0.10E+01 0.80 0.800 1.859 0.263 0.16E+01 0.80 0.850 1.840 0.287 0.52E+01 0.80 0.900 1.821 0.312 0.02E+01 0.80 0.950 1.802 0.337 0.38E+01 0.80 1.000 1.784 0.363 0.89E+01 0.80 1.050 1.767 0.389 0.28E+00 0.80 1.100 1.751 0.416 0.09E+00 0.80 1.150 1.734 0.4430.23E+00 0.80 1.200 1.719 0.470 0.93E+00 0.80 1.250 1.704 0.498 0.15E+00 0.80 1.300 1.689 0.525 0.86E+00 0.80 1.350 1.675 0.553 0.64E+00 0.80 1.400 1.662 0.582 0.74E-01 0.80 1.450 1.649 0.610 -0.37E-01 0.80 1.500 1.636 0.638 -0.81E+00K和σ分别为：0 0.93E+031 0.61E+012 0.92E-023 0.53E-034 0.16E-055 0.77E-07系数矩阵Crs（按行）为：0.00E+01 -0.83E+01 0.56E+00 0.97E+00 -0.03E+00 0.70E-010.91E+01 -0.99E+00 -0.96E+01 0.17E+01 -0.66E+00 0.10E-01 0.77E+00 0.42E+01 -0.10E+00 -0.81E+00 0.81E+00 -0.62E-01-0.25E+00 -0.21E+00 0.97E+00 -0.18E+00 0.49E+00 -0.63E-010.34E+00 -0.56E+00 0.69E-01 0.51E+00 -0.77E-01 0.27E-01-0.94E-01 0.94E+00 -0.58E+00 0.69E-01 -0.50E-01 0.53E-02 数表（x,y,f(x,y),p(x,y)):X Y F(X,Y) P(X,Y)0.100 0.700 0.58E+00 0.05E+000.100 1.100 -0.66E+00 -0.26E+00 0.100 1.300 -0.68E+00-0.31E+00 0.100 1.500 -0.52E+00 -0.49E+000.200 0.700 0.54E+00 0.19E+00 0.200 0.900 -0.63E-01 -0.65E-01 0.200 1.100 -0.90E+00 -0.90E+00 0.200 1.300 -0.84E+00 -0.90E+00 0.200 1.500 -0.03E+00 -0.04E+000.300 0.700 0.82E+00 0.09E+00 0.300 0.900 0.48E+00 0.11E+00 0.300 1.100 -0.63E+00 -0.88E+00 0.300 1.300 -0.72E+00 -0.96E+00 0.300 1.500 -0.34E+00 -0.84E+000.400 0.700 0.79E+00 0.89E+00 0.400 0.900 0.56E+00 0.63E+00 0.400 1.100 -0.83E-01 -0.04E-01 0.400 1.300 -0.72E+00 -0.71E+00 0.400 1.500 -0.85E+00 -0.07E+000.500 0.700 0.56E+01 0.92E+01 0.500 0.900 0.51E+00 0.23E+00 0.500 1.100 0.59E+00 0.27E+00 0.500 1.300 -0.53E+00 -0.11E+00 0.500 1.500 -0.67E+00 -0.33E+000.600 0.900 0.14E+00 0.75E+00 0.600 1.100 0.19E+00 0.32E+00 0.600 1.300 -0.70E-01 -0.82E-01 0.600 1.500 -0.08E+00 -0.75E+00 0.700 0.700 0.89E+01 0.29E+01 0.700 0.900 0.91E+01 0.11E+010.700 1.100 0.60E+00 0.97E+00 0.700 1.300 0.22E-01 0.06E-01 0.7001.500 -0.53E+00 -0.80E+00 0.800 0.700 0.09E+01 0.06E+01 0.800 0.900 0.32E+01 0.50E+01 0.800 1.100 0.03E+00 0.79E+00 0.800 1.300 0.25E+00 0.50E+00 0.800 1.500 -0.14E+00 -0.28E+00。
数值分析大作业之2
数值分析大作业二一、算法设计方案(一)算法流程1.将要求解的矩阵进行Householder变换，进行拟上三角化，并输出拟上三角化的结果；2.将拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解(最大迭代次数1000次)，逐个求出特征值，输出QR法结束后得到的Q、R、RQ阵，输出求出的特征值（用实部和虚部表示）3.对于求出来的实特征值，使用带原点平移的反幂法求出对应的特征向量，输出这些特征向量。
（二）程序设计流程1. 定义精度和最大迭代次数；2. 使用容器vector进行编程（方便增减元素），使用传引用调用（提高执行效率）；3. 将各个步骤用到的数学算法封装成函数，方便调用。
具体需要的函数如下：double VectMod(vector< double > &p)：求向量的模vector< double > NumbMultiVect(vector< double > &vect, double a)：数乘向量double VectMultiVect(vector< double > &y, vector< double > &u)：求两个向量的积vector< double > ConveArraMultiVect(vector< vector< double > > &B, vector<double > &u)：矩阵的转置乘向量vector< double > ArraMultiVect(vector< vector< double > > &B, vector< double > &u)：矩阵乘向量vector< vector< double > > VectMultiCovVect(vector< double > &a, vector< double >&b)：向量乘向量转置得到矩阵void ArraSubs(vector< vector< double > > &C, vector< vector < double > > D) ：两个矩阵相减Vector< double > VectSubs(vector< double > &a, vector< double > &b)：两个向量相减vector<vector<double>> GetM(vector<vector<double>> &A)：求解矩阵M （用于双部位移QR迭代用）double GetMode(vector < vector < double > > &B, const int r)：求解矩阵B的r列向量的模double GetModeH(vector < vector < double > > &B, const int r)：求解矩阵B的第r列向量的模，用于拟对角化vector< vector< double > > NumbMultiArra(vector< vector< double > > &D, double a)：一个实数乘矩阵bool IsBirZeroH(vector< vector< double > > &B, const int r)：判断B[i][r]对角线下是否为零void GausElim(vector< vector< double > > a)：列主元高斯消元法求齐次方程解向量void Stop(vector< vector< double > > &Ar)：停止，结束程序void SolutS1S2(complex< double > &s1, complex< double > &s2, vector< vector<double > > &A)：求解二阶子阵的特征值s1，s2；void Save2(complex< double > &s1, complex< double > &s2)：保存两个特征值void Save1(complex< double > &s)：保存一个特征值void JudgemBelow2(vector< vector< double > > &A, vector< vector< double > > Abk)：对于m == 1 及m == 0 的处理void Hessenberg(vector< vector< double > > &A)：矩阵拟上三角化void QRMethod(vector< vector< double > > A)：矩阵QR分解void CalculatAk(vector< vector < double > > &Ak)：带双步位移QR迭代法二、源程序#include "stdafx.h"#include <vector>#include <iostream>#include <math.h>#include <complex>#include <fstream>using namespace std;const double epsion = 1e-12;const int L = 1000;int m,n;int k = 1;vector< vector< double > > I;vector< complex< double > > Lambda;///////////////////////////以下为自定义的算法流程中用到的函数double VectMod(vector< double > &p) //求向量的模{double value = 0.0;vector< double >::size_type i,j;j = p.size();for (i=1; i<j; i++){value += p[i] * p[i];}value = sqrt(value);return value;}vector< double > NumbMultiVect(vector< double > &vect, double a) //数乘向量{int j = vect.size();vector< double > b(j, 0);for (int i=1; i<j; i++){b[i] = a * vect[i];}return b;}double VectMultiVect(vector< double > &y, vector< double > &u)//两个向量相乘{vector< double >::size_type a = y.size();double value = 0;for (vector< double >::size_type i=1; i<a; i++){value += y[i] * u[i];}return value;}vector< double > ConveArraMultiVect(vector< vector< double > > &B, vector< double > &u)//矩阵的转置乘向量{int a = B.size();int b = u.size();vector< double > vec(a, 0);if (a != b){cerr << "Array and Vector not match in size!";}else{for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){vec[i] += B[j][i] * u[j];}}return vec;}}vector< double > ArraMultiVect(vector< vector< double > > &B,vector< double > &u) //矩阵乘向量{int a = B.size();int b = u.size();vector< double > vec(a, 0);if (a != b){cerr << "Array and Vector not match in size!";}else{for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){vec[i] += B[i][j] * u[j];}}return vec;}}vector< vector<double> > GetM(vector< vector <double> > &A){int a = A.size();double s = A[a-2][a-2] + A[a-1][a-1];double t = A[a-2][a-2] * A[a-1][a-1] - A[a-1][a-2] * A[a-2][a-1];vector<vector<double>> D(a, vector< double >(a, 0));for (int i=1; i<a; i++){{double sum = 0;for (int k=1; k<a; k++){sum += A[i][k] * A[k][j];}D[i][j] = sum - s * A[i][j] + t *(i==j ? 1.0 : 0);}}return D;}double GetMode(vector < vector < double > > &B, const int r){double value = 0;int a = B.size();for (int k=r; k<a; k++){value += B[k][r] * B[k][r];}value = sqrt(value);return value;}double GetModeH(vector < vector < double > > &B, const int r){double value = 0;int a = B.size();for (int k=r+1; k<a; k++){value += B[k][r] * B[k][r];}value = sqrt(value);return value;}vector< vector< double > > NumbMultiArra(vector< vector< double > > &D, double a)//数乘//向量{int b = D.size();vector< vector< double > > U(b, vector< double >(b, 0));for (int i=1; i<b; i++){{U[i][j] = a *D[i][j];}}return U;}bool IsBirZero(vector< vector< double > > &B, const int r){bool b = true;int a = B.size();for (int i=r+1; i<a; i++){if(abs(B[i][r]) > epsion){b = false;}}return b;}bool IsBirZeroH(vector< vector< double > > &B, const int r){bool b = true;int a = B.size();for (int i=r+2; i<a; i++){if(abs(B[i][r]) > epsion){b = false;}}return b;}vector< vector< double > > VectMultiCovVect(vector< double > &a,vector< double > &b)//向量乘向量的转置得到矩阵{int s1 = a.size();int s2 = b.size();if (s1 != s2){cerr << "Vectors not match in size ! ";}else{vector< vector< double > > U(s1, vector< double >(s1, 0));for (int i=1; i<s1; i++){for (int j=1; j<s1; j++){U[i][j] = a[i] * b[j];}}return U;}}void ArraSubs(vector< vector< double > > &C,vector< vector < double > > D){int a = C.size();int b = D.size();int c = C[0].size();int d = D[0].size();if (a!=b || c!=d){cerr << "Vectors not match in size !";}else{for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){C[i][j] -= D[i][j];}}}}vector< double > VectSubs(vector< double > &a,vector< double > &b){int s1 = a.size();int s2 = b.size();if(s1 != s2){cerr << "Vectors not match in size !";}else{vector< double > value(s1,0);for (int i=1;i<s1;i++){value[i] = a[i] - b[i];}return value;}}void GausElim(vector< vector< double > > a) //高斯消元{int sz = a.size();vector< int > fx, ufx,ufxp, record;vector< double > x(sz, 0);vector< vector< double > > ret;//*****消元过程********for (int k = 1; k < sz-1; k++){double max = a[k][k];int p=0;for (int i=k+1; i<sz; i++){if (abs(a[i][k]) > abs(max)){p =i;max = a[i][k];}}//选出主元行if (abs(max) >= epsion){if (p != 0){for (int j=k; j<sz; j++){double temp = a[k][j];a[k][j] = a[p][j];a[p][j] = temp;}//交换主元行}for (int i=k+1; i<sz; i++){double tt = a[i][k] / a[k][k];for (int j=k+1; j<sz; j++){a[i][j] = a[i][j] - tt * a[k][j];}}}// end of if (abs(max) >= epsion)}// end of for (int k = 1; k < sz; k++)for (int i=1; i<sz; i++){int p=0;for (int j=1; j<=i;j++){if(abs(a[j][i]) >= 10*epsion)//不为零{p=j;}}record.push_back(p);}for (int i=1; i<sz; i++){int p=0;for (int j=sz-2; j>=0; j--){if (record[j] == i){p=j + 1;}}if (p != 0){ufxp.push_back(p);ufx.push_back(i);}}for (int i=1; i<sz; i++){int p = 0;for (int j=0; j < ufxp.size(); j++){if (ufxp[j] == i){p = 1;}}if (p == 0){fx.push_back(i);}}//end of for (int i=1; i<sz; i++)int c = fx.size();//***************************************************** for (int i=0; i<c; i++){for (int j=0; j<c; j++){if (i == j){x[fx.at(j)] = 1.0 + epsion;}else{x[fx.at(j)] = 0;}}int b = ufxp.size();for (int s=b-1; s>=0; s--){double temp=0;for(int t=ufxp.at(s)+1; t<sz; t++){temp += x[t] * a[ufx.at(s)][t];}x[ufxp.at(s)] = (0 - temp) / a[ufx.at(s)][ufxp.at(s)];}ret.push_back(x);}//end of for (int i=0; i<c; i++)//******************************************************* int sz1 = ret.size();int sz2 = ret[0].size();ofstream result2("CharactVector .txt", ios::app);result2.precision(12);for (int i=0; i<sz1; i++){for (int j=1;j<sz2; j++){result2 << scientific << ret[i][j] << endl;}result2 << endl << endl;}result2 << "下一个特征值的特征向量！" << endl;}void Stop(vector< vector< double > > &Ar){int a = Lambda.size();for (int i=0; i<a; i++){if (abs(Lambda[i].imag())<=epsion){vector< vector< double > > An=Ar;ArraSubs(An,NumbMultiArra(I,Lambda[i].real()));GausElim(An);}}ofstream result("result.txt");result.precision(12);vector<complex< double > >::iterator i,j;j = Lambda.end();for (i = Lambda.begin(); i<j; i++){result << scientific <<(*i) << endl;}exit(0);}void SolutS1S2(complex< double > &s1, complex< double > &s2,vector< vector< double > > &A){double s = A[m-1][m-1] + A[m][m];double t = A[m-1][m-1] * A[m][m] - A[m][m-1] * A[m-1][m];double det = s *s - 4.0 * t;if (det > 0){s1.imag(0);s1.real ((s + sqrt(det)) / 2);s2.imag (0);s2.real((s - sqrt(det)) / 2);}else{s1.imag(sqrt(0 - det) / 2);s1.real(s / 2);s2.imag(0 - sqrt(0 - det) / 2);s2.real(s / 2);}}void Save2(complex< double > &s1, complex< double > &s2)//存储特征值s1，s2 {Lambda.push_back(s1);Lambda.push_back(s2);}void Save1(complex< double > &s){Lambda.push_back(s);}void JudgemBelow2(vector< vector< double > > &A,vector< vector< double > > Abk){if (m == 1){complex< double > lbd;lbd.imag(0);lbd.real(A[1][1]);Save1(lbd);Stop(Abk);}else if (m == 0){Stop(Abk);}}//拟上三角化void Hessenberg(vector< vector< double > > &A){int a = A.size();vector< double > u(a,0);vector< double > p(a,0);vector< double > q(a,0);vector< double > w(a,0);double d, c, h, t;for (int r=1; r<a-2; r++){if (!IsBirZeroH(A, r)){d = GetModeH(A,r);c = (A[r+1][r] > 0) ?(0-d) : d;h = c * c - c * A[r+1][r];for (int j=1; j<a; j++){if (j < r+1){u[j] = 0;}else if (j == r+1){u[j] = A[j][r] - c;}else{u[j] = A[j][r];}}// end of for (int j=1; j<=m; j++)p = NumbMultiVect(ConveArraMultiVect(A, u), 1 / h);q = NumbMultiVect(ArraMultiVect(A, u), 1 / h);t = VectMultiVect(p, u) / h;w = VectSubs(q, NumbMultiVect(u, t));ArraSubs(A, VectMultiCovVect(w, u));ArraSubs(A, VectMultiCovVect(u, p));}// end of if (!IsBirZero(B, r))}// end of for (int r=1; r<m; r++)ofstream result("NISHANGDANJIAO.txt");result.precision(12);for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){result << scientific << A[i][j] << " ";}result << endl;}}void QRMethod(vector< vector< double > > A){int a = A.size();vector< vector< double > > Q(a,vector < double > (a,0));for (int i=1; i<a; i++){Q[i][i] = 1.0;}vector< vector< double > > RQ(A);//vector< double > u(a,0);vector< double > v(a,0);vector< double > p(a,0);vector< double > q(a,0);vector< double > w(a,0);vector< double > l(a,0);double d, c, h, t;for (int r=1; r<a-1; r++){if (!IsBirZero(A, r)){d = GetMode(A,r);c = (A[r][r] > 0) ?(0-d) : d;h = c * c - c * A[r][r];for (int j=1; j<a; j++){if (j < r){u[j] = 0;}else if (j == r){u[j] = A[j][j] - c;}else{u[j] = A[j][r];}}// end of for (int j=1; j<=m; j++)l = ArraMultiVect(Q, u);ArraSubs(Q, VectMultiCovVect(l,NumbMultiVect(u, 1/h)));v = NumbMultiVect(ConveArraMultiVect(A, u), 1 / h);ArraSubs(A, VectMultiCovVect(u, v));p = NumbMultiVect(ConveArraMultiVect(RQ, u), 1 / h);q = NumbMultiVect(ArraMultiVect(RQ, u), 1 / h);t = VectMultiVect(p, u) / h;w = VectSubs(q, NumbMultiVect(u, t));ArraSubs(RQ, VectMultiCovVect(w, u));ArraSubs(RQ, VectMultiCovVect(u, p));}// end of if (!IsBirZero(B, r))}// end of for (int r=1; r<m; r++)ofstream result("QR.txt");result.precision(12);for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){result << scientific << Q[i][j] << " ";}result << endl;}result << endl << endl;for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){result << scientific << A[i][j] << " ";}result << endl;}result << endl << endl;for (int i=1; i<a; i++){for (int j=1; j<a; j++){result << scientific << RQ[i][j] << " ";}result << endl;}}void CalculatAk(vector< vector < double > > &Ak){int a = Ak.size();vector< vector < double > > B(a,vector < double > (a,0));vector< double > u(a,0);vector< double > v(a,0);vector< double > p(a,0);vector< double > q(a,0);vector< double > w(a,0);double d, c, h, t;B = GetM(Ak);for (int r=1; r<a-1; r++){if (!IsBirZero(B, r)){d = GetMode(B,r);c = (B[r][r] > 0) ?(0-d) : d;h = c * c - c * B[r][r];for (int j=1; j<a; j++){if (j < r){u[j] = 0;}else if (j == r){u[j] = B[j][j] - c;}else{u[j] = B[j][r];}}// end of for (int j=1; j<=m; j++)v = NumbMultiVect(ConveArraMultiVect(B, u), 1 / h);ArraSubs(B, VectMultiCovVect(u, v));p = NumbMultiVect(ConveArraMultiVect(Ak, u), 1 / h);q = NumbMultiVect(ArraMultiVect(Ak, u), 1 / h);t = VectMultiVect(p, u) / h;w = VectSubs(q, NumbMultiVect(u, t));ArraSubs(Ak, VectMultiCovVect(w, u));ArraSubs(Ak, VectMultiCovVect(u, p));}// end of if (!IsBirZero(B, r))}// end of for (int r=1; r<m; r++)}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){vector< vector< double > > A(11, vector< double >(11,0));vector< vector< double > > Abk;I=A;for (int i=1; i<11; i++){vector< double > temp;for (int j=1; j<11; j++){if(i != j){A[i][j] = sin(0.5 * i + 0.2 * j);I[i][j] = 0;}else{A[i][j] = 1.5 * cos(i + 1.2 *j);I[i][j] = 1.0;}}}Abk = A;n = A.size() - 1;m = n;//初始化问题Hessenberg(A);QRMethod(A);while (1){if (abs(A[m][m-1]) <= epsion){complex< double > lbdm;lbdm.imag(0);lbdm.real(A[m][m]);Save1(lbdm);m -= 1;//对A进行降维处理！！！！A.pop_back();int a = A.size();for (int i=0; i<a; i++){A[i].pop_back();}JudgemBelow2(A, Abk);}else{complex< double > va1, va2;SolutS1S2(va1, va2, A);if (m == 2){Save2(va1,va2);Stop(Abk);}//end of if (m == 2)if ( abs(A[m-1][m-2]) <= epsion){Save2(va1,va2);m = m - 2;//矩阵降维A.pop_back();A.pop_back();int a = A.size();for (int i=0; i<a; i++){A[i].pop_back();A[i].pop_back();}JudgemBelow2(A, Abk);}else{if (k == L){cerr << "Stop without solution";exit(-1);}else{CalculatAk(A);k += 1;}}}// end of if (abs(A[m][m-1]) >= epsion)}}三、实验结果（1）A经过拟上三角化后得到的矩阵-8.827516758830e-001 -9.933136491826e-002 -1.103349285994e+000-7.600443585637e-001 1.549101079914e-001 -1.946591862872e+000-8.782436382928e-002 -9.255889387184e-001 6.032599440534e-0011.518860956469e-001-2.347878362416e+000 2.372370104937e+000 1.819290822208e+0003.237804101546e-001 2.205798440320e-001 2.102692662546e+0001.816138086098e-001 1.278839089990e+000 -6.380578124405e-001-4.154075603804e-0011.0556********e-016 1.728274599968e+000 -1.171467642785e+000-1.243839262699e+000 -6.399758341743e-001 -2.002833079037e+0002.924947206124e-001 -6.412830068395e-001 9.783997621285e-0022.557763574160e-001-5.393383812774e-017 -3.165873865181e-017 -1.291669534130e+000-1.111603513396e+000 1.171346824096e+000 -1.307356030021e+0001.803699177750e-001 -4.246385358369e-001 7.988955239304e-0021.608819928069e-0011.533464996622e-017 5.963321406181e-017 0.000000000000e+0001.560126298527e+000 8.125049397515e-001 4.421756832923e-001-3.588616128137e-002 4.691742313671e-001 -2.736595050092e-001 -7.359334657750e-0021.300562737229e-016 -3.097060010889e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -7.707773755194e-001 -1.583051425742e+000-3.042843176799e-001 2.528712446035e-001 -6.709925401449e-0012.544619929082e-0011.610216724767e-016 -2.211571837369e-016 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 6.483933100712e-017 -7.463453456938e-001-2.708365157019e-002 -9.486521893682e-001 1.195871081495e-0011.929265617952e-0021.368550186199e-016 7.151513190805e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -2.522454384246e-017 1.072074718358e-016-7.701801374364e-001 -4.697623990618e-001 4.988259468008e-0011.137691603776e-001-2.780851300718e-017 -6.708630788363e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -3.282796821065e-017 4.879774287475e-0171.854829286220e-016 7.013167092107e-001 1.582180688475e-0013.862594614233e-001-2.124604440055e-017 -1.707979758930e-016 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 1.013496750890e-016 -4.153758325241e-0171.222621691887e-016 -5.551115123126e-017 4.843807602783e-0013.992777995177e-001（2）Q-3.519262579534e-001 4.427591982245e-001 -6.955982513607e-0016.486200753651e-002 3.709718861896e-001 1.855847143605e-001-1.628942319628e-002 -1.181053169648e-001 -5.255375383724e-002 -5.486582943568e-002-9.360277287361e-001 -1.664679186545e-001 2.615299548560e-001 -2.438671728934e-002 -1.394774360893e-001 -6.977585391241e-0026.124472142963e-003 4.440505443139e-002 1.975907909728e-0022.062836970533e-002-4.208697095111e-017 -8.810520554692e-001 -3.989762796959e-0013.720308728479e-002 2.127794064090e-001 1.064463557221e-001-9.343171079758e-003 -6.774200464527e-002 -3.014340698675e-002 -3.146955080444e-002-2.150178169911e-017 4.009681353156e-017 -5.371806806439e-001 -1.234945854205e-001 -7.063151608719e-001 -3.533456368496e-0013.101438948264e-002 2.248676491598e-001 1.000601783527e-0011.044622748702e-0016.113458775639e-018 -3.721194648197e-0177.068175586628e-0189.892235468621e-001 -1.239411731211e-001 -6.200358589825e-0025.442272839461e-003 3.945881637235e-002 1.755813350011e-0021.833059462907e-0025.184948268593e-017 -4.198303559531e-017 3.255071298412e-017-1.527665297025e-017 5.323610690264e-001 -6.733900344896e-0015.910581205868e-002 4.285425323867e-001 1.906901343193e-0011.990794495295e-0016.419444583601e-017 4.121668945107e-017 3.096964582901e-017-5.050360323651e-017 -7.078737686239e-017 -6.0597********e-001 -9.165783032818e-002 -6.645586508974e-001 -2.957110877580e-001 -3.0872********e-0015.455993559780e-017 -9.724896332186e-017 3.956603694870e-0171.913857001710e-018 -4.316583456405e-0172.797376665557e-0179.933396625117e-001 -9.690440311939e-002 -4.311990584470e-002-4.501694411183e-002-1.108640877071e-017 4.655237056115e-017 -1.0722********e-017 -9.470236121745e-018 4.277993227986e-017 8.866601870176e-017 -2.516725033065e-016 5.410088006061e-001 -5.817540838226e-001 -6.0734********e-001-8.470152033092e-018 9.650816729410e-017 -1.429362211392e-017 -2.789222052040e-017 -3.690793770141e-017 -8.090765462521e-017 -1.964050295697e-016 -6.772274683437e-017 -7.221591336735e-0016.917269588876e-001（3）R2.508342744917e+000 -2.185646885493e+000 -1.314609070786e+000-3.558787493836e-002 -2.609857850388e-001 -1.283121847090e+000 -1.390878610606e-001 -8.712897972161e-001 3.849367902971e-0013.353802899665e-0012.100627753398e-016 -1.961603277854e+000 2.407523727633e-0017.054714572823e-001 5.957204318279e-001 5.526978774676e-001-3.268209924413e-001 -5.769498668364e-002 2.871129330189e-001 -8.895128754189e-002-3.300197935770e-016 -1.872873410421e-016 2.404534601993e+0001.706758096328e+000 -4.239566704091e-001 3.405332305815e+000-1.050017655852e-001 1.462257102734e+000 -6.684487469283e-001 -4.027*********e-0013.0773********e-017 1.746386351950e-017 0.000000000000e+0001.577122080722e+000 6.399535133956e-001 3.468127872427e-001-5.701786649768e-002 4.014788054433e-001 -2.222476176311e-001 -6.317059236442e-0021.760039865880e-016 9.988285339980e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -1.447846997770e+000 -1.415724007744e+000-2.806139044665e-001 -2.817910521892e-001 -4.611434881851e-0021.996629079956e-0018.804885435596e-017 4.996802050991e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 8.831633340975e-017 1.231641451542e+0001.619701003419e-001 1.962638275504e-001 5.350035621760e-001-1.509273424767e-001-7.728357669400e-018 -4.385868928757e-018 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -7.751835246841e-018 -1.279231078565e-017-7.753441914209e-001 -3.464514508821e-001 4.312226803504e-0011.234643696237e-001-5.603391361152e-017 -3.179943413314e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -5.620413613517e-017 -9.274974944455e-0170.000000000000e+000 1.296312940612e+000 -4.288053318338e-0012.737334158165e-001-2.493361499851e-017 -1.414991023727e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -2.500935953597e-017 -4.127119443934e-0170.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -6.707396440648e-001-4.842320121884e-001-2.603055667460e-017 -1.477242832192e-017 0.000000000000e+0000.000000000000e+000 -2.610963355436e-017 -4.308689959101e-0170.000000000000e+000 0.000000000000e+000 -1.110223024625e-0167.168323926323e-002（4）RQ1.163074414164e+0002.632670934508e+000 -1.772796003272e+000-8.668899138521e-002 3.300503471047e-001 1.455162371214e+000 -9.730650448593e-001 -4.873031174655e-001 -7.756411630489e-001 -3.249201979113e-0011.836115060851e+000 1.144286420080e-001 -9.880381403133e-0015.589725694767e-001 4.694190067101e-002 -2.978478237007e-0011.617130577649e-002 6.936977702522e-001 1.367670571405e-0011.419099231519e-0025.598200524418e-016 -2.118520153533e+000 -1.876189745783e+000-5.407071940597e-001 1.171538359721e+000 -2.550323020223e+0001.691577936540e+000 1.229951613262e+000 1.387947777212e+0008.667502917242e-001-3.179059303049e-017 -5.261714527977e-017 -8.471995127808e-0014.382910468318e-001 -1.008632199185e+000 -7.959374261495e-0014.769258865577e-001 4.072683083890e-001 4.096390493527e-0013.363378940862e-001-3.514195999269e-016 3.391949386044e-017 -2.160938214545e-016 -1.432244342447e+000 -5.742284908055e-001 1.213151477723e+000 -3.457508625575e-001 -4.749853573124e-001 -3.176158274191e-001 -4.294507015032e-002-3.704735750656e-017 -1.0998********e-016 -1.953241363386e-0178.269089741494e-017 6.556779598004e-001 -9.275250974463e-0012.529079844053e-001 6.905949216976e-001 -2.374430675823e-002-2.429781119781e-001-6.420051822287e-017 3.865817713597e-017 -3.806718328740e-0172.129734126613e-017 7.853*********e-017 4.698400884876e-001-2.730776009527e-001 7.821296259798e-001 -9.580964936399e-0027.846239841323e-0021.478496020372e-016 -8.383952267131e-017 9.577540382744e-017-7.120338911078e-017 -1.220876056602e-016 -1.854471832043e-0161.287679058937e+000 -3.576058900348e-001 -4.116725408807e-0033.914268216423e-0014.477158378610e-017 -6.204017427568e-017 3.360322998507e-017-1.133882337819e-017 -2.759056827456e-017 -9.217582575819e-0172.214639994444e-016 -3.628760503545e-001 7.398980975354e-0017.241608309576e-0023.408891482791e-017 2.353495494255e-017 1.932283926688e-017-3.456910153081e-017 -2.015177337156e-017 -8.084422691634e-017 -5.839476980893e-017 5.551115123126e-017 -5.176670596524e-0024.958522909877e-002（5）特征值(6.360627875745e-001,0.000000000000e+000)(5.650488993501e-002,0.000000000000e+000)(9.355889078188e-001,0.000000000000e+000)(-9.805309562902e-001,1.139489127430e-001)(-9.805309562902e-001,-1.139489127430e-001)(1.577548557113e+000,0.000000000000e+000)(-1.484039822259e+000,0.000000000000e+000)(-2.323496210212e+000,8.930405177200e-001)(-2.323496210212e+000,-8.930405177200e-001)(3.383039617436e+000,0.000000000000e+000)（6）实特征值的特征向量4.745031936539e+0003.157868541750e+0001.729946912420e+001-1.980049331455e+000-3.187521973524e+0017.794009603201e+000-1.004255685845e+0011.670757770480e+0011.310524273054e+0011.000000000001e+000下一个实特征值对应的特征向量：-5.105003830625e+000-4.886319842360e+0009.505161576151e+000-6.788331788214e-001-9.604334110499e+000-3.0457********e+0001.574873885602e+001-7.395037126277e+000-7.109654943661e+0001.000000000001e+000下一个实特征值对应的特征向量：2.792418944529e+0001.598236841512e+000-5.207507040911e-001-1.667886451702e+000-1.225708535859e+0017.241214790777e+000-5.398214501433e+0002.841008912974e+001-1.216518754416e+0011.000000000001e+000下一个实特征值对应的特征向量：6.217350824581e-001-1.115111815226e-001-2.483773580804e+000-1.306860840421e+000-3.815605442533e+0008.117305509395e+000-1.239170883675e+000-6.800309586197e-0012.691900144840e+0001.000000000001e+000下一个实特征值对应的特征向量：-1.730784582112e+0012.408192534967e+0014.133852365119e-001-8.572044074538e+0009.287334657928e-002-7.832726042776e-002-6.374274025716e-001-3.403204760832e-001。
北航数值分析大作业 第二题 QR分解
《数值分析B》课计算实习第一题设计文档与源程序姓名：杨彦杰学号：SY10171341 算法的设计方案（1）运行平台操作系统：Windows XP；开发平台：VC6.0++；工程类型：文档视图类；工程名：Numanalysis；（2）开发描述首先新建类CMetrix，该类完成矩阵之间的相关运算，包括相乘、加减等，以主程序方便调用；题目的解算过程在视图类CNumanalysisView中实现，解算结果在视图界面中显示；（3）运行流程（4）运行界面2、全部源代码（1）类CMetrixMetrix.h文件：class CMetrix{public:double** MetrixMultiplyConst(double**A,int nRow,int nCol,double nConst);//矩阵乘常数double** MetrixMultiplyMetrix(double**A,double**mA,int nRow,int nCol);//矩阵相乘double** MetrixSubtractMetrix(double **A, double **subA, int nRow,int nCol);//矩阵减矩阵double VectorMultiplyVector(double*V,double*mulV,int nV);//向量点积double** VectorMultiplyVectortoMetrix(double*V,double*VT,int nV);//向量相乘为矩阵double* VectorSubtractVector(double*V,double*subV,int nV);//向量相减double* VectorMultiplyConst(double *V, int nV, double nConst);//向量乘常数double LengthofVector(double *V,int nV);//求向量的长度double* MetrixMultiplyVector(double**A,int nRow,int nCol,double*V,int nV);//矩阵与向量相乘double** AtoAT(double **A,int Row,int Col);//矩阵转置运算void FreeMem();CMetrix(int nRow,int nCol);uCMetrix();virtual ~CMetrix();double* vector; //过渡向量double** B; //过渡矩阵};Metrix.cpp文件：CMetrix::CMetrix(int nRow, int nCol){B = new double*[nRow];for (int i = 0;i < nCol;i++){B[i] = new double[nCol];}vector = new double[nRow];}CMetrix::~CMetrix(){delete vector;B = NULL;delete B;}double** CMetrix::AtoAT(double **A, int nRow, int nCol){for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){B[col][row] = A[row][col];}}return B;}double* CMetrix::MetrixMultiplyVector(double **A, int nRow, int nCol, double *V, int nV) {if (nCol != nV){AfxMessageBox("矩阵列数和向量维数不等,不能相乘!");return 0;}double sum = 0.0;for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){sum += A[row][col]*V[col];}vector[row] = sum;sum = 0.0;}return vector;}double CMetrix::LengthofVector(double *V, int nV){double length = 0.0;for (int col = 0;col < nV;col++){length += V[col]*V[col];}return length;}double* CMetrix::VectorMultiplyConst(double *V, int nV, double nConst){for (int col = 0;col < nV;col++){vector[col] = V[col]*nConst;}return vector;}double* CMetrix::VectorSubtractVector(double *V, double *subV, int nV){for (int col = 0;col < nV;col++){vector[col] = V[col]-subV[col];}return vector;}double** CMetrix::VectorMultiplyVectortoMetrix(double*V, double *VT, int nV){for (int row = 0;row < nV;row++){for (int col = 0;col < nV;col++){B[row][col] = V[row]*VT[col];}}return B;}double CMetrix::VectorMultiplyVector(double *V, double *mulV, int nV){double length = 0.0;for (int col = 0;col < nV;col++){length += V[col]*mulV[col];}return length;}double** CMetrix::MetrixSubtractMetrix(double **A, double **subA, int nRow, int nCol) {for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){B[row][col] = A[row][col]-subA[row][col];}}return B;}double** CMetrix::MetrixMultiplyMetrix(double **A, double **mA, int nRow, int nCol) {double sum = 0.0;for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){for(int n = 0;n < nCol;n++){sum += A[row][n]*mA[n][col];}B[row][col] = sum;sum = 0.0;}}return B;}double** CMetrix::MetrixMultiplyConst(double **A, int nRow, int nCol, double nConst) {for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){B[row][col] = A[row][col]*nConst;}}return B;}（2）类CNumanalysisViewNumanalysisview.hclass CNumanalysisView : public CEditView{…………public:double Sign(double x);void DisplayVector(double*V,int nV); // 显示向量数据void DisplayMetrix(double **A,int Row,int Col); //显示矩阵void DisplayText(CString str); //显示文本protected://{{AFX_MSG(CNumanalysisView)afx_msg void OnQRanalyze(); //运行主函数…………};Numanalysisview.cppvoid CNumanalysisView::OnQRanalyze(){//开辟空间int nRow = 10;int nCol = 10;CString str;CMetrix Metrix(nRow,nCol);double tempa = 0.0;double *V = new double[nCol]; //分配10*10矩阵空间double *ur = new double[nCol];double *pr = new double[nCol];double *qr = new double[nCol];double *wr = new double[nCol];double *tempV = new double[nCol];double **Ar = new double*[nRow];double **C = new double*[nRow];double **Cr = new double*[nRow];double **tempA = new double*[nRow];double **A = new double*[nRow];double **R = new double*[nRow];for (int col = 0;col < nRow;col++){A[col] = new double[nCol];Ar[col] = new double[nCol];C[col] = new double[nCol];Cr[col] = new double[nCol];tempA[col] = new double[nCol];R[col] = new double[nCol];}//矩阵A求解for (int i = 0;i < nRow;i++){for (int j = 0;j < nCol;j++){if(i == j)A[i][j] = 1.5*cos((i+1.0)+1.2*(j+1.0));elseA[i][j] = sin(0.5*(i+1.0)+0.2*(j+1.0));}}//--------------------拟上三角化-------------------------// double dr = 0.0,cr = 0.0,hr = 0.0,tr = 0.0;for (int r = 0;r < nCol - 2;r++){dr = 0.0;for (i = r+1;i < nCol;i++) //dr{dr += A[i][r]*A[i][r];}dr = sqrt(dr);for (i = r+2;i < nCol;i++) //判断air是否全为零tempa += fabs(A[i][r]);if (tempa <= IPSLEN)continue;if (A[r+1][r] == 0.0) //crcr = dr;elsecr = -1*Sign(A[r+1][r])*dr;hr = cr*cr - cr*A[r+1][r]; //hrstr.Format("dr = %.6e, cr = %.6e, hr = %.6e",dr,cr,hr);for (int row = 0;row < nRow;row++) //ur{if (row < r+1)ur[row] = 0.0;else if (row == r+1)ur[row] = A[row][r]-cr;elseur[row] = A[row][r];}tempA = Metrix.AtoAT(A,nRow,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(Ar,nRow,nCol,ur,nCol); //pr memcpy(pr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(pr,nCol,1.0/hr);memcpy(pr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(A,nRow,nCol,ur,nCol); //qr memcpy(qr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(qr,nCol,1.0/hr);memcpy(qr,tempV,nCol*8);tr = Metrix.VectorMultiplyVector(pr,ur,nCol)/hr; //trtempV = Metrix.VectorMultiplyConst(ur,nCol,tr); //wr memcpy(wr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.VectorSubtractVector(qr,wr,nCol);memcpy(wr,tempV,nCol*8);tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(wr,ur,nCol); //Arfor (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,nRow,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)A[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(ur,pr,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,nRow,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++){A[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(A[row][col]) < IPSLEN){A[row][col] = 0.0;}}}}DisplayText("矩阵A拟上三角化后所得的矩阵为：");DisplayMetrix(A,nRow,nCol);for (int row = 0;row < nRow;row++) //用于计算特征向量{for (col = 0;col < nCol;col++)R[row][col] = A[row][col];}// -------------------------------------------------////--------------------带双步位移的QR分解-------------------------// int m = nCol;struct EigenVal //定义特征值结构，实数和虚数{double Realnum;double Imagnum;};EigenVal *eigenvalue = new EigenVal[m];EigenVal tmpEigen1,tmpEigen2;double b = 0.0,c = 0.0,delta = 0.0,s = 0.0,t = 0.0;double *vr = new double[m];for (int k = 1;k < 100; k++){//m代表矩阵阶数，判断式中直接用，运算中需要-1while (m > 1 && fabs(A[m-1][m-2]) <= IPSLEN)//第三步和第四步{eigenvalue[m-1].Realnum = A[m-1][m-1];eigenvalue[m-1].Imagnum = 0.0;m = m - 1;}if (m == 1){eigenvalue[m-1].Realnum = A[m-1][m-1];eigenvalue[m-1].Imagnum = 0.0;DisplayText("已求出A的全部特征值：");break;}b = -(A[m-2][m-2]+A[m-1][m-1]); //第五步求一元二次方程式的根s1,s2c = A[m-2][m-2]*A[m-1][m-1]-A[m-2][m-1]*A[m-1][m-2];delta =b*b - 4*c;if (delta >= 0.0){tmpEigen1.Realnum = (-b-sqrt(delta))/2;tmpEigen1.Imagnum = 0.0;tmpEigen2.Realnum = (-b+sqrt(delta))/2;tmpEigen2.Imagnum = 0.0;}else{tmpEigen1.Realnum = -b/2;tmpEigen1.Imagnum = -sqrt(fabs(delta))/2 ;tmpEigen2.Realnum = -b/2;tmpEigen2.Imagnum = sqrt(fabs(delta))/2;}if (m == 2) //第六步 m=2时结束运算{eigenvalue[m-1] = tmpEigen1;eigenvalue[m-2] = tmpEigen2;DisplayText("已求出A的全部特征值：");break;}else //第七步 m > 1{if (fabs(A[m-2][m-3]) <= IPSLEN){eigenvalue[m-1] = tmpEigen1;eigenvalue[m-2] = tmpEigen2;m = m - 2;continue;}}for (int row = 0;row < m;row++) //Mk求之前需要把A付给C{for (int col = 0;col < m;col++)C[row][col] = A[row][col];}double **I = new double*[m]; //第九步求Mk和Mk的QR分解for (int i = 0;i < m;i++) //求单位矩阵I,分配m*m矩阵空间{I[i] = new double[m];}for (i = 0;i < m;i++){for (int j = 0;j < m;j++){if(i == j)I[i][j] = 1;else I[i][j] = 0;}}s = A[m-2][m-2]+A[m-1][m-1];t = A[m-2][m-2]*A[m-1][m-1] - A[m-2][m-1]*A[m-2][m-1];tempA = Metrix.MetrixMultiplyMetrix(A,A,m,m);//A*Afor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixMultiplyConst(A,m,m,s);//s*Afor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)A[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(Ar,A,m,m);//A*A-s*Afor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)A[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixMultiplyConst(I,m,m,-1*t);//-t*Ifor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,m,m);//A*A - s*A + r*I for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++){A[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(A[row][col]) < IPSLEN){A[row][col] = 0.0;}}}delete I;//Mk的QR分解for (int r = 0;r < m - 1;r++){dr = 0.0;for (i = r;i < m;i++) //dr{dr += A[i][r]*A[i][r];}dr = sqrt(dr);for (i = r+1;i < m;i++) //判断air是否全为零tempa += fabs(A[i][r]);if (tempa <= IPSLEN)continue;if (A[r][r] == 0.0) //crcr = dr;elsecr = -1*Sign(A[r][r])*dr;hr = cr*cr - cr*A[r][r]; //hrfor (int row = 0;row < m;row++) //ur{if (row < r)ur[row] = 0.0;else if (row == r)ur[row] = A[row][r]-cr;elseur[row] = A[row][r];}tempA = Metrix.AtoAT(A,m,m); //Btfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(Ar,m,m,ur,m); //Bt*ur memcpy(vr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(vr,m,1.0/hr); //vr = Bt*ur/hr memcpy(vr,tempV,m*8);tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(ur,vr,m);//Ur*vrfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,m,m); //Br-ur*vrfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++){A[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(A[row][col]) < IPSLEN){A[row][col] = 0.0;}}}tempA = Metrix.AtoAT(C,m,m); //Ctfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Cr[row][col] = tempA[row][col]; }tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(Cr,m,m,ur,m); //pr memcpy(pr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(pr,m,1.0/hr);memcpy(pr,tempV,m*8);tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(C,m,m,ur,m); //qr memcpy(qr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(qr,m,1.0/hr);memcpy(qr,tempV,m*8);tr = Metrix.VectorMultiplyVector(pr,ur,m)/hr; //trtempV = Metrix.VectorMultiplyConst(ur,m,tr); //wr memcpy(wr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorSubtractVector(qr,wr,m);memcpy(wr,tempV,m*8);tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(wr,ur,m);//Cr+1for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Cr[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(C,Cr,m,m);for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)C[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(ur,pr,m);for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Cr[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(C,Cr,m,m);for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++){C[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(C[row][col]) < IPSLEN){C[row][col] = 0.0;}}}}str.Format("矩阵A%d QR分解结束后所得到的矩阵为：",m);//计算结果输出DisplayText(str);DisplayMetrix(A,m,m);for (row = 0;row < m;row++) //Mk的QR分解后需要把C付给A{for (col = 0;col < m;col++)A[row][col] = C[row][col];}str.Format("迭代完成后的矩阵A%d = ",k);DisplayText(str);DisplayMetrix(A,m,m);}DisplayText("矩阵A的全体特征值如下: ");for (i = 0;i<nCol;i++){str.Format("%.6e + j%.6e",eigenvalue[i].Realnum,eigenvalue[i].Imagnum);DisplayText(str);}// -------------------------------------------------//求实特征值的特征向量，在拟上三角矩阵基础上直接求解即可////(A-egiI)X = 0.0;m = nRow;for (row = 0;row < nRow;row++) //用于计算特征向量{for (col = 0;col < nCol;col++)A[row][col] = R[row][col];}double **I = new double*[m]; //求单位矩阵I,分配m*m矩阵空间double sum = 0.0;for (i = 0;i < m;i++){I[i] = new double[m];}for (i = 0;i < m;i++){for (int j = 0;j < m;j++){if(i == j)I[i][j] = 1;else I[i][j] = 0;}}for (i = 0;i < nRow;i++){if (eigenvalue[i].Imagnum != 0.0){str.Format("特征值%.6e+j%.6e为虚数，不需要求特征向量。
北航 数值分析第二次大作业(带双步位移的QR方法)
一、算法设计方案：按题目要求，本程序运用带双步位移的QR方法求解给定矩阵的特征值，并对每一实特征值，求解其相应的特征向量。
总体思路：1）初始化矩阵首先需要将需要求解的矩阵输入程序。
为了防止矩阵在后面的计算中被破坏保存A[][]。
2）对给定的矩阵进行拟上三角化为了尽量减少计算量，提高程序的运行效率，在对矩阵进行QR分解之前，先进行拟上三角化。
由于矩阵的QR 分解不改变矩阵的结构，所以具有拟上三角形状的矩阵的QR分解可以减少大量的计算量。
这里用函数void QuasiTriangularization()来实现，函数形参为double型N维方阵double a[][N]。
3）对拟上三角化后的矩阵进行QR分解对拟上三角化的矩阵进行QR分解会大大减小计算量。
用子程序void QR_decomposition()来实现，将Q、R设为形参，然后将计算出来的结果传入Q和R，然后求出RQ乘积。
4）对拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解为了加速收敛，对QR分解引入双步位移，适当选取位移量，可以避免进行复数运算。
为了进一步减少计算量，在每次进行QR分解之前，先判断是否可以直接得到矩阵的一个特征值或者通过简单的运算得到矩阵的一对特征值。
若可以，则得到特征值，同时对矩阵进行降阶处理；若不可以，则进行QR分解。
这里用函数intTwoStepDisplacement_QR()来实现。
这是用来存储计算得到的特征值的二维数组。
考虑到特征值可能为复数，因此将所有特征值均当成复数处理。
此函数中，QR分解部分用子函数void QR_decompositionMk()实现。
这里形参有三个，分别用来传递引入双步位移后的Mk阵，A矩阵，以及当前目标矩阵的维数m。
5）计算特征向量得到特征值后，计算实特征值相应的特征向量。
这里判断所得特征值的虚数部分是否为零。
求实特征值的特征向量采用求解相应的方程组((A-λI)x=0)的方法。
因此先初始化矩阵Array，计算(A-λI)，再求解方程组。
北航数值分析大作业第二题
数值分析第二次大作业史立峰SY1505327一、 方案（1）利用循环结构将sin(0.50.2)()1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值，得到需要变换的矩阵A ；（2）然后，对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换，把A 化为上三角矩阵A(n-1)。
对A 拟上三角化，得到拟上三角矩阵A(n-1)，具体算法如下：记A(1)=A ，并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij,,1,;,,2,1)(ΛΛ+==。
对于2,,2,1-=n r Λ执行 1. 若()n r r i a r ir,,3,2)(Λ++=全为零，则令A(r+1) =A(r),转5；否则转2。
2. 计算()∑+==nr i r irr a d 12)(()()r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn )(,1)(,1若)(,12r rr r r r a c c h +-=3. 令()nTr nrr r r r r r r r R a a c a u ∈-=++)()(,2)(,1,,,,0,,0ΛΛ。
4. 计算r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(=r r Tr r h u p t /=r r r r u t q -=ωT rr T r r r r p u u A A --=+ω)()1(5. 继续。
（3）使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值，也是A 的全部特征值，具体算法如下：1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。
2. 记n n ij n a A A ⨯-==][)1()1()1(，令n m k ==,1。
3. 如果ε≤-)(1,k m m a ，则得到A 的一个特征值)(k mm a ，置1:-=m m （降阶），转4；否则转5。
北航研究生数值分析作业第二题
北航研究生数值分析作业第二题北航研究生数值分析作业第二题：一、算法设计方案1.按照题目给出的矩阵定义对矩阵A赋初值：对应的函数为a_init()；2.对矩阵A进行householder变换，使其拟上三角化：对应的函数为householder()；3.输出拟上三角化后的A：对应的函数为aout(int)；4.对拟上三角化后的矩阵A使用带双步位移的QR分解法逐次迭代（最大迭代次数L=500），逐个求出其特征值，对应的函数为eigen_a()；中间包含两个子程序：calc_mk()和qr_analyze()，分别用来计算矩阵M k和对M k进行QR 分解并得到A k+1;5.输出QR分解过程完毕后的A及求得的特征向量：对应的函数为aout()和eigenvalout()；6.对于在第三步中求得的每个实特征值，使用带原点平移的反幂法求出其对应的特征向量，对应的函数为eigenvec()；其中包含一个解方程(A-μI)=y k-1的程序段。
这部分也用迭代完成，仍然将最大迭代次数L设置为500；7.输出矩阵A的特征向量，结束计算：对应的函数为eigenvecout()。
算法编译环境：vlsual c++6.0二、源程序如下：#include#include#define N 10 //矩阵阶数；#define EPSL 1.0e-12 //迭代的精度水平；#define L 500 //迭代最大次数；#define OUTPUTMODE 1 //输出格式：0--输出至屏幕，1--输出至文件double a[N][N], a2[N][N], eigen[N][N]; //声明矩阵A；double sa_re[N] = {0}, sa_im[N] = {0}; //声明矩阵的特征值数组；double u_init[N] = {2,1,2,1,2,1,2,1,2,1}; //定义反幂法中使用的初始向量u；//主程序开始；int main(){FILE *p;void a_init();void householder();void equal_zero(double matrix[N][N], int);void eigenvec();int eigen_a();void aout(int);void eigenvalout(int);void eigenvecout(int);if(OUTPUTMODE){p = fopen("Result.txt", "w+");fprintf(p, "计算结果：\n");fclose(p);}a_init(); //对矩阵A进行初始化；householder(); //对矩阵A进行拟上三角化；equal_zero(a, N); //对矩阵A的元素进行归零处理，消除误差；aout(OUTPUTMODE); //输出A；if(eigen_a()) printf("迭代超过最大次数，特征值求解结果可能不正确。
北航数值分析A大作业
一、算法设计方案1、解非线性方程组将各拟合节点（x i ，y j ）分别带入非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组te[i][j]，ue[i][j]，求解非线性方程组选择Newton 迭代法，迭代过程中需要求解线性方程组，选择选主元的Doolittle 分解法。
2、二元二次分偏插值对数表z(t,u)进行分片二次代数插值，求得对应（t ij ，u ij ）处的值，即为),(j i y x f 的值。
根据给定的数表，可将整个插值区域分成 16 个小 的区域，故先判断t ij , u ij 所在，的区域，再作此区域的插值，计算 z ij ，相应的Lagrange 形式的插值多项式为：112211(,)()()(,)m n krkrk m r n p t u l t l u f t u ++=-=-=∑∑其中11()m wk w m k ww kt t l t t t +=-≠-=-∏ (k=m-1, m, m+1) 11()n wr w n r ww ry y l u y y +=-≠-=-∏ (r=n-1, n, n+1)3、曲面拟合从k=1开始逐渐增大k 的值，使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，当710-<σ时结束计算。
拟合基函数φr (x)ψs (y)选择为φr (x)=x r ，ψs (y)=y s 。
拟合系数矩阵c 通过连续两次解线性方程组求得。
[]rsc *=C ，11()()T T T --=C B B B UG G G其中0011101011[()]1kk r i k x x x x x x x ϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，0011101011[()]1kk s j k y y y y G y y y ψ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[(,)]i j f x y =U4、观察比较计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(****⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果，以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。
北航数值分析大作业 第二题 QR分解
数值分析第二题 梁进明SY0906529算法设计方案。
一．矩阵的QR 分解。
把矩阵A 分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积，称为矩阵A 的正三角分解，简称QR 分解。
QR 分解的算法如下：记1A A =，并记[]rij n n Ar a ⨯=，令1Q I =（n 阶单位矩阵） 对于r=1,2,…,n-1执行(1) 若(1,2,...,)rir a i r r n =++全为零，则令1r r Q Q +=，1r r A A +=转(5);否则转(2)(2) 计算2r d =()sgn()r r rr r c a d =-(若()0r rr a =,则取r r c d =) 2()r r r r rrh c c a =- (3) 令()()()1,(0,...,0,,,...,)r r r T nr rr r r r nr u a c a a R +=-∈ (4) 计算11//r r rTr r r r rT r rr rT r r r rQ u Q Q u h p A u h A A u p ωω++==-==-(5) 继续当此算法执行完后就得到正交矩阵n Q Q =和上三角矩阵n R A =且有A QR =。
二．矩阵的 拟上三角化。
对实矩阵A 的拟上三角化具体算法如下：记(1)AA =，并记()r A 的第r 列到第n 列的元素为(1,2,...,;,1,...,)rij a i n j r r n ==+。
对于1,2,...,2r n =-执行（1） 若()(2,3,...,)r ir a i r r n =++全为零，则令(1)()r r AA +=,转(5);否则转(2)。
（2） 计算2()()1,1,2()1,sgn()(0,)r r r r r r r r r r r r r r r r rd c a d a c d h c c a +++==-===-若则取 （3） 令()()()1,2,(0,...,0,,,...,)r r r T nr r r r r r nr u a c a a R ++=-∈ （4） 计算()()(1)()///r T r r r r r r rTr r r rr r r rr r T T r r r rp A u h q A u h t p u h q t u A A u u p ωω+====-=--（5） 继续算法执行完后，就得到与原矩阵A 相似的拟上三角矩阵(1)n A -。
北航数值分析历年期末考题整理
北京航空航天大学数值分析历年部分期末试题整理
(2001
2002
2003
2006
2008
2009)
2010年3月16日
北航数值分析2001年试题
北航数值分析2001年试题（带答案）
北航数值分析2002年试题
北航数值分析2003年试题
北航数值分析2003年试题（带答案）
北航数值分析2006年试题
北航数值分析2008年试题（版本一）
北航数值分析2008年试题（版本二）
北航数值分析2008年试题答案
一.选择题
1.C
2.A
3.D
4.D
5.A
6.D
二.填空题
1.
2.
3.
4.
5.0
6.0
7.
北航数值分析2009年试题
感谢手工抄写试卷的zhp、jhw、zby同学，以上试卷答案为本人和同学讨论所得，不一定正确，请同学们参考使用，祝大家取得好成绩(^_^)
2010年3月16日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北航数值分析大作业第二题(f o r t r a n)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN“数值分析“计算实习大作业第二题——SY1415215孔维鹏一、计算说明本程序采用带双步位移的QR方法求解矩阵A的所有特征值，然后采用反幂法求解矩阵A的实特征值对应的特征向量。
在采用带双步位移的QR方法求解特征值时，对教材上所提供的具体算法作稍微的改动，以简化程序，具体算法如下所示：1、计算出A拟上三角化后的矩阵，给定精度水平和最大迭代次数L；2、记，令k=1，m=n；3、如果，则可直接计算出最后1或2个特征值，转8，否则转4；4、如果，则可得一个特征值，置m=m-1；转3，否则转5；5、如果，则可得两个特征值，置m=m-2；转3，否则转6；6、记，计算7、k=k+1,转38、A的全部特征值已经求出，停止计算。
二、计算源程序（FORTRAN）PROGRAM SY1415215_2PARAMETER (N=10)DIMENSION A(N,N),A1(N,N),A2(N,N),C(2,N),Q(N,N),R(N,N),CR(N),CM(N)!C为存储特征值的数组,1为实部，为虚部REAL(8) A,A1,A2,C,Q,R,CME=1E-12 !精度水平L=1000 !迭代最大次数OPEN(1,FILE='数值分析大作业第二题计算结果.TXT')DO I=1,NDO J=1,NIF(I==J) THENA(I,J)=*COS(I+*J)ELSEA(I,J)=SIN*I+*J)ENDIFENDDOENDDOA1=AWRITE(*,"('矩阵A为：')")WRITE(1,"('矩阵A为：')")DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") A(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") A(I,J)ENDDOWRITE(*,"(' ')")WRITE(1,"(' ')")ENDDO!使用矩阵的拟上三角化的算法将矩阵A化为拟上三角矩阵A（n-1）CALL HESSENBERG(A,N)WRITE(*,"('拟上三角化后矩阵A（n-1）为：')")WRITE(1,"('拟上三角化后矩阵A（n-1）为：')")DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") A(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") A(I,J)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDO!计算对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得矩阵A2=ACALL QRD(A2,N,Q,R)WRITE(*,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得Q为：')") WRITE(1,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得Q为：')") DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") Q(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") Q(I,J)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDOWRITE(*,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得R为：')") WRITE(1,"('对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得R为：')") DO I=1,NDO J=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") R(I,J)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") R(I,J)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDO!使用带双步位移的QR方法求解矩阵A（n-1）的特征值K=1M=NDO WHILE(K<=L)IF(M<=2) THENIF(M==1) THENC(1,M)=A(M,M)ELSE IF(M==2) THENCALL CALCUS(A,N,M,C)ENDIFEXITELSE IF(ABS(A(M,M-1))<E) THENC(1,M)=A(M,M)M=M-1ELSE IF(ABS(A(M-1,M-2))<E) THENCALL CALCUS(A,N,M,C)M=M-2ELSECALL CALM(A,M,N)ENDIFK=K+1ENDDOWRITE(*,"('矩阵A的全部特征值为：')")WRITE(1,"('矩阵A的全部特征值为：')")DO J=1,NWRITE(*,",'+',,'i')") C(1,J),C(2,J)WRITE(1,",'+',,'i')") C(1,J),C(2,J)ENDDO!使用反幂法求解A的相应于实特征值的特征向量J=1DO I=1,NIF(C(2,I)==0)THENCR(J)=C(1,I)J=J+1ENDIFENDDOJC=J-1WRITE(*,"('矩阵A的实特征值为：')")WRITE(1,"('矩阵A的实特征值为：')")DO I=1,JCWRITE(*,"") CR(I)WRITE(1,"") CR(I)ENDDODO II=1,JCDO I=1,NDO J=1,NIF(I==J) THENA(I,J)=A1(I,J)-CR(II)ELSEA(I,J)=A1(I,J)ENDIFENDDOENDDOCALL INPOVERMETHOD(A,N,CM)WRITE(*,"('与实特征值',,'对应的特征向量为：')") CR(II) WRITE(1,"('与实特征值',,'对应的特征向量为：')") CR(II) DO I=1,NWRITE(*,"(2X,,2X,\)") CM(I)WRITE(1,"(2X,,2X,\)") CM(I)ENDDOWRITE(*,"('')")WRITE(1,"('')")ENDDOCLOSE(1)END!***************拟上三角化子函数*************************！SUBROUTINE HESSENBERG(A,N)DIMENSION A(N,N),P(N),Q(N),W(N),U(N),AT(N,N)REAL(8) A,P,Q,W,U,ATREAL(8) S0,S1,S2,S3,S4,TDO L=1,N-2JUDGE=0DO I=L+2,NIF(A(I,L)/=0) THENJUDGE=1EXITENDIFENDDOIF(JUDGE==0) THENA=ACYCLEELSE IF(JUDGE/=0) THEN!计算DRS0=0DO I=L+1,NS0=S0+A(I,L)**2ENDDODR=SQRT(S0)!计算CRIF(A(L+1,L)==0)THENCR=DRELSECR=-SGN(A(L+1,L))*DR ENDIF!计算HRHR=CR**2-CR*A(L+1,L)!给u赋值DO I=1,NIF(I<L+1) THENU(I)=0ELSE IF(I==L+1) THEN U(I)=A(I,L)-CRELSE IF(I>L+1) THEN U(I)=A(I,L)ENDIFENDDO!计算PDO I=1,NDO J=1,NAT(I,J)=A(J,I)ENDDO ENDDODO I=1,NS1=0DO J=1,NS1=S1+AT(I,J)*U(J) ENDDOP(I)=S1/HR ENDDO!计算QDO I=1,NS2=0DO J=1,NS2=S2+A(I,J)*U(J) ENDDOQ(I)=S2/HR ENDDO!计算TS3=0DO I=1,NS3=S3+P(I)*U(I) ENDDOT=S3/HR!计算WDO I=1,NW(I)=Q(I)-T*U(I)ENDDO!计算A（r+1）DO I=1,NDO J=1,NA(I,J)=A(I,J)-W(I)*U(J)-U(I)*P(J)ENDDOENDDOENDIFENDDORETURNEND!***************符号函数子程序*****************！FUNCTION SGN(X)REAL(8) XIF(X>0) THENSGN=1ELSE IF(X<0) THENSGN=-1ELSE IF(X==0) THENSGN=0ENDIFEND!*********计算二阶子阵特征值s1，s2子函数*******！SUBROUTINE CALCUS(X,N,M,Y)DIMENSION X(N,N),Y(2,N)REAL(8) A,B,C,D,X,YA=1C=X(M-1,M-1)*X(M,M)-X(M-1,M)*X(M,M-1)B=-(X(M-1,M-1)+X(M,M))D=B**2-4*CIF(D>=0) THENY(1,M)=(-B-SQRT(D))/2Y(1,M-1)=(-B+SQRT(D))/2ELSEIF(D<0) THENY(1,M)=-B/2Y(1,M-1)=-B/2Y(2,M)=-SQRT(-D)/2Y(2,M-1)=-SQRT(-D)/2ENDIFRETURNEND!*********计算Mk，Ak+1子函数************！SUBROUTINE CALM(A,M,N)DIMENSION A(N,N),MK(M,M),X(M,M),QK(M,M),RK(M,M),S1(M,M),S2(M,M),QKT(M,M) REAL(8) A,MK,X,QK,RK,QKTREAL(8) S0,S1,S2DO J=1,MIF(I==J) THENX(I,J)=1ELSEX(I,J)=0ENDIFENDDOENDDOS=A(M-1,M-1)+A(M,M)T=A(M-1,M-1)*A(M,M)-A(M,M-1)*A(M-1,M)DO I=1,MDO J=1,MS0=0DO K=1,MS0=S0+A(I,K)*A(K,J)ENDDOMK(I,J)=S0-S*A(I,J)+T*X(I,J)ENDDOENDDO!对Mk做QR分解CALL QRD(MK,M,QK,RK)DO I=1,MDO J=1,MQKT(I,J)=QK(J,I)ENDDODO I=1,MDO J=1,MS1(I,J)=0DO K=1,MS1(I,J)=S1(I,J)+QKT(I,K)*A(K,J)ENDDOENDDOENDDOA=S1DO I=1,MDO J=1,MS2(I,J)=0DO K=1,MS2(I,J)=S2(I,J)+A(I,K)*QK(K,J)ENDDOENDDOENDDOA=S2RETURNEND!************QR分解子程序***************！SUBROUTINE QRD(A,N,Q,R)DIMENSION A(N,N),AT(N,N),Q(N,N),U(N),W(N),P(N),R(N,N)REAL(8) A,AT,Q,U,W,P,RREAL(8) DR,S0,CR,HR,S1,S2DO I=1,NDO J=1,NIF(I==J) THENQ(I,J)=1ELSEQ(I,J)=0ENDIFENDDOENDDODO L=1,N-1JUDGE=0DO I=L+1,NIF(A(I,L)/=0) THENJUDGE=1EXITENDIF!A(I,L)中有一个不为零,判断条件为真，跳出循环转ENDDOIF(JUDGE==0) THENQ=QA=ACYCLE!A(I,L)全为零，结束本循环，进入下一个ELSE IF(JUDGE/=0) THEN !计算DRS0=0DO I=L,NS0=S0+A(I,L)**2 ENDDODR=SQRT(S0)!计算CRIF(A(L,L)==0)THENCR=DRELSECR=-SGN(A(L,L))*DR ENDIF!计算HRHR=CR**2-CR*A(L,L)!给u赋值DO I=1,NIF(I<L) THENU(I)=0ELSE IF(I==L) THENU(I)=A(I,L)-CRELSE IF(I>L) THENU(I)=A(I,L)ENDIFENDDO!计算WDO I=1,NS1=0DO J=1,NS1=S1+Q(I,J)*U(J)ENDDOW(I)=S1ENDDO!计算Q（r+1）DO I=1,NDO J=1,NQ(I,J)=Q(I,J)-W(I)*U(J)/HR ENDDOENDDO!计算PDO I=1,NDO J=1,NAT(I,J)=A(J,I)ENDDOENDDODO I=1,NS2=0DO J=1,NS2=S2+AT(I,J)*U(J)ENDDOP(I)=S2/HRENDDO!计算A（r+1）DO I=1,NDO J=1,NA(I,J)=A(I,J)-U(I)*P(J)ENDDOENDDOENDIFENDDOQ=QR=ARETURNEND!*************运用反幂法求解矩阵A实特征值的特征向量***********！SUBROUTINE INPOVERMETHOD(A,N,Y)DIMENSION A(N,N),U(N),Y(N),U1(N,N),L1(N,N)REAL(8) E,Z,Z1,Z2,S1,S2,BREAL(8) A,U,Y,U1,L1DO I=1,NU(I)=1ENDDO!任取非零向量UCALL DETA(A,N,U1,L1)Z2=EIZ1=E=1K=1DO WHILE (E>1E-12)S1=0DO I=1,NS1=S1+U(I)**2ENDDOB=SQRT(S1) !1DO I=1,NY(I)=U(I)/BENDDO!2CALL DOOLITTLE(U1,L1,Y,N,U) !3利用DOOLITTLE分解法法求解Au=yS2=0DO I=1,NS2=S2+Y(I)*U(I)ENDDOZ1=Z2Z2=S2 !4E=ABS(1/Z2-1/Z1)/ABS(1/Z2) !判断是否满足精度K=K+1ENDDORETURNENDSUBROUTINE DOOLITTLE(U,L,B1,N,X) DIMENSION B(N),U(N,N),X(N),Y(N),B1(N) REAL(8) L(N,N)REAL(8) B,U,X,Y,B1REAL(8) S1,S2,S3,S4B=B1Y(1)=B(1)DO I=2,NS3=0DO M=1,I-1S3=S3+L(I,M)*Y(M)ENDDOY(I)=B(I)-S3ENDDOX(N)=Y(N)/U(N,N)DO I=N-1,1,-1S4=0DO M=I+1,NS4=S4+U(I,M)*X(M)ENDDOX(I)=(Y(I)-S4)/U(I,I)ENDDORETURNENDSUBROUTINE DETA(A1,N,U,L) DIMENSION A(N,N),U(N,N),A1(N,N) REAL(8) L(N,N)REAL(8) X,S1,S2REAL(8) A,U,A1X=1A=A1!对矩阵A进行Doolittle分解DO K=1,NDO J=K,NS1=0DO M=1,K-1S1=S1+L(K,M)*U(M,J)ENDDOU(K,J)=A(K,J)-S1A(K,J)=U(K,J)ENDDOIF (K==N) THENEXITELSEDO I=K+1,NS2=0DO M=1,K-1S2=S2+L(I,M)*U(M,K)ENDDOL(I,K)=(A(I,K)-S2)/U(K,K)A(I,K)=L(I,K)ENDDOENDIFENDDORETURNEND三、计算结果矩阵A为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +01拟上三角化后矩阵A（n-1）为：+00 +01 +00 +00 +01 +00 +00 +00+01 +01 +01 +00 +00 +01 +00 +01 +00 +00 +01 +01 +01 +00 +01 +00 +00 +00 +00+01 +01 +01 +01 +00 +00 +00 +00+01 +00 +00 +00 +00 +00+00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00 +00 +00+00 +00对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得Q为：+00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00+00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00+00+00 +00 +00+00 +00对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得R为：+01 +01 +01 +00 +01 +00 +00 +00 +00+01 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +01 +01 +00 +01 +00 +01 +00 +00+00 +00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +01 +01 +00 +00 +00+00 +00 +01 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00 +01 +00 +00+00 +00 +00 +00 +00 +00+00 +00 +00 +00矩阵A的全部特征值为：+01+ +00i+01++00i+01++00i+01+ +00i+01+ +00i+00++00i+00++00i+00+ +00i+00+ +00i+ +00i矩阵A的实特征值为：+01+01+01+00+00与实特征值 +01对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00与实特征值 +01对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00与实特征值+01对应的特征向量为：+00 +00 +00与实特征值 +00对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00与实特征值 +00对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00与实特征值对应的特征向量为：+00 +00 +00 +00 +00 +00 +00 +00。