北航数值分析大作业第二题精解
北航 数值分析第二次大作业(带双步位移的QR方法)
一、算法设计方案：按题目要求，本程序运用带双步位移的QR方法求解给定矩阵的特征值，并对每一实特征值，求解其相应的特征向量。
总体思路：1）初始化矩阵首先需要将需要求解的矩阵输入程序。
为了防止矩阵在后面的计算中被破坏保存A[][]。
2）对给定的矩阵进行拟上三角化为了尽量减少计算量，提高程序的运行效率，在对矩阵进行QR分解之前，先进行拟上三角化。
由于矩阵的QR 分解不改变矩阵的结构，所以具有拟上三角形状的矩阵的QR分解可以减少大量的计算量。
这里用函数void QuasiTriangularization()来实现，函数形参为double型N维方阵double a[][N]。
3）对拟上三角化后的矩阵进行QR分解对拟上三角化的矩阵进行QR分解会大大减小计算量。
用子程序void QR_decomposition()来实现，将Q、R设为形参，然后将计算出来的结果传入Q和R，然后求出RQ乘积。
4）对拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解为了加速收敛，对QR分解引入双步位移，适当选取位移量，可以避免进行复数运算。
为了进一步减少计算量，在每次进行QR分解之前，先判断是否可以直接得到矩阵的一个特征值或者通过简单的运算得到矩阵的一对特征值。
若可以，则得到特征值，同时对矩阵进行降阶处理；若不可以，则进行QR分解。
这里用函数intTwoStepDisplacement_QR()来实现。
这是用来存储计算得到的特征值的二维数组。
考虑到特征值可能为复数，因此将所有特征值均当成复数处理。
此函数中，QR分解部分用子函数void QR_decompositionMk()实现。
这里形参有三个，分别用来传递引入双步位移后的Mk阵，A矩阵，以及当前目标矩阵的维数m。
5）计算特征向量得到特征值后，计算实特征值相应的特征向量。
这里判断所得特征值的虚数部分是否为零。
求实特征值的特征向量采用求解相应的方程组((A-λI)x=0)的方法。
因此先初始化矩阵Array，计算(A-λI)，再求解方程组。
北航数值分析大作业二(纯原创,高分版)
(R_5 ,I_5 )=(-1.493147080915e+000, 0.000000000000e+000)
(R_6 ,I_6 )=(-9.891143464723e-001, 1.084758631502e-001)
-0.8945216982
-0.0993313649
-1.0998317589
0.9132565113
-0.6407977009
0.1946733679
-2.3478783624
2.3720579216
1.8279985523
-1.2630152661
0.6790694668
-0.4672150886
6.220134985374e-001
-1.119962139645e-001
-2.521344456568e+000
-1.306189420531e+000
-3.809101150714e+000
8.132800093357e+000
-1.230295627285e+000
-6.753086301215e-001
而其本质就是
1.令 以及最大迭代步数L；
2.若m≤0，则结束计算，已求出A的全部特征值，判断 或 或m≤2是否成立，成立则转3，否则转4；
3.若 ，则得一个特征值 ，m=m-1，降阶；若 ，则计算矩阵：
的特征值得矩阵A的两个特征值，m=m-2，降阶，转2.；
4.若k≤L，成立则令
k=k+1，转2，否则结束计算，为计算出矩阵A的全部特征值；
北航数值分析实验报告
北航数值分析实验报告篇一：北航数值分析报告第一大题《数值分析》计算实习报告第一大题学号：DY1305姓名：指导老师：一、题目要求已知501*501阶的带状矩阵A，其特征值满足?1?2...?501。
试求：1、?1，?501和?s的值；2、A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik（k=1，2，...，39）；3、A的（谱范数）条件数c nd(A)2和行列式de tA。
二、算法设计方案题目所给的矩阵阶数过大，必须经过去零压缩后进行存储和运算，本算法中压缩后的矩阵A1如下所示。
?0?0?A1??a1??b??c0b a2bcc bb c............c bb ccb a500b0a 3...a499c?b??a501??0?0??由矩阵A的特征值满足的条件可知?1与?501之间必有一个最大，则采用幂法求出的一个特征值必为其中的一个：当所求得的特征值为正数，则为?501；否则为?1。
在求得?1与?501其中的一个后，采用带位移的幂法则可求出它们中的另一个，且位移量即为先求出的特征值的值。
用反幂法求得的特征值必为?s。
由条件数的性质可得，c nd(A)2为模最大的特征值与模最小的特征值之比的模，因此，求出?1，?501和?s的值后，则可以求得c nd(A)2。
北航数理统计大作业2-聚类与判别分析讲解
应用数理统计作业二学号：姓名：电话：二〇一四年十二月对NBA球队的聚类分析和判别分析摘要：NBA联盟作为篮球的最高殿堂深受广大球迷的喜爱，联盟的30支球队大家也耳熟能详，本文选取NBA联盟30支球队2013-2014常规赛赛季场均数据。
利用spss软件通过聚类分析对27个地区进行实力类型分类，并利用判断分析对其余3支球队对分类结果进行验证。
可以看出各球队实力类型与赛季实际结果相吻合。
关键词：聚类分析，判别分析，NBA目录1. 引言 (4)2、相关统计基础理论 (5)2.1、聚类分析 (5)2.2，判别分析 (6)3.聚类分析 (7)3.1数据文件 (7)3.2聚类分析过程 (9)3.3 聚类结果分析 (11)4、判别分析 (12)4.1 判别分析过程 (12)4.2判别检验 (17)5、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)1. 引言1896年，美国第一个篮球组织"全国篮球联盟（简称NBL）"成立，但当时篮球规则还不完善，组织机构也不健全，经过几个赛季后，该组织就名存实亡了。
1946年4月6日，由美国波士顿花园老板沃尔特.阿.布朗发起成立了“美国篮球协会”（简称BAA）。
1949年在布朗的努力下，美国两大篮球组织BAA和NBL合并为“全国篮球协会”（简称NBA）。
NBA季前赛是 NBA各支队伍的热身赛，因为在每个赛季结束后，每支球队在阵容上都有相当大的变化，为了让各队磨合阵容，熟悉各自球队的打法，确定各队新赛季的比赛阵容、同时也能增进队员、教练员之间的沟通，所以在每个赛季开始之前，NBA就举办若干场季前赛，使他们能以比较好的状态投入到漫长的常规赛的比赛当中。
为了扩大NBA在全球的影响，季前赛有约三分之一的球队在美国以外的国家举办。
从总体上看，NBA的赛程安排分为常规赛、季后赛和总决赛。
常规赛采用主客场制，季后赛和总决赛采用七场四胜制的淘汰制。
[31]NBA常规赛从每年的11月的第一个星期二开罗，到次年的4月20日左右结束。
北航数值分析计算实习题目二 矩阵QR分解
数值分析实习二院（系）名称航空科学与工程学院专业名称动力工程及工程热物理学号SY0905303学生姓名解立垚1. 题目试用带双步位移QR 的分解法求矩阵A=[a ij ]10*10的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。
已知()sin 0.50.2,1.5cos 1.2,ij i j i j a i j i j ⎧⎫+≠⎪⎪=⎨⎬+=⎪⎪⎩⎭(),1,2,...,10i j =。
说明：1、求矩阵特征值时，要求迭代的精度水平为1210ε-=。
2、打印以下内容：算法的设计方案；全部源程序(要求注明主程序和每个子程序的功能)； 矩阵A 经过拟上三角话之后所得的矩阵()1n A -；对矩阵()1n A-进行QR 分解方法结束后所得的矩阵；矩阵A 的全部特征值()(),1,2,......10i i iR I i λ=，和A 的相应于实特征值的特征向量；其中()(),.i e i m i R R I I λλ==如果i λ是实数，则令0.i I =3、采用e 型输出数据，并且至少显示12位有效数字。
2. 算法设计方案本题采用带双步位移的QR 分解方法。
为了使程序简洁，自定义类Xmatrix ，其中封装了所需要的函数方法。
在Xmatrix 类中封装了运算符重载的函数，即定义了矩阵的加、减、乘、除、数乘运算及转置运算(T())。
同时为了避免传递数组带来的额外内存开销，使用引用(&)代替值传递，以节省内存空间，避免溢出.（1）此程序的主要部分为Xmatrix 中的doubleQR()方法，具体如下：Step1：使用矩阵拟上三角化的算法将A 化为拟上三角阵A （n-1）(此处调用Xmatrix 中的preQR()方法)Step2：令121,,10k m n ε-===， 其中k 为迭代次数。
Step3：如果,1m m a ε-≤，则得到A 的一个特征值,m m a ，令1m m =-，goto Step4;否则goto Step5.Step4： 如果1m =，则得到A 的一个特征值11a ，goto Step11;如果0m =，则goto Step11;如果1m >，则goto Step3;Step5(Step6)：如果2m =，则得到A 的两个特征值12s s 和（12s s 和为右下角两阶子阵对应的特征方程21,1,()det 0m m m m a a D λλ---++=的两个根。
北航数值分析第二次大作业--QR分解
《数值分析A》计算实习题目二姓名学号联系方式班级指导教师2012年10月一、算法设计方案整个程序主要分为四个函数，主函数，拟上三角化函数，QR分解函数以及使用双步位移求解矩阵特征值、特征向量的函数。
因为在最后一个函数中也存在QR分解，所以我没有采用参考书上把矩阵M进行的QR分解与矩阵Ak的迭代合并的方法，而是在该函数中调用了QR分解函数，这样增强了代码的复用性，减少了程序长度；但由于时间关系，对阵中方法的运算速度没有进行深入研究。
1.为了减少QR分解法应用时的迭代次数，首先对给定矩阵进行拟上三角化处理。
2.对经过拟上三角化处理的矩阵进行QR分解。
3.注意到计算特征值与特征向量的过程首先要应用前面两个函数，于是在拟上三角化矩阵的基础上对QR分解函数进行了调用。
计算过程中，没有采用goto语句，而是根据流程图采用其他循环方式完成了设计，通过对迭代过程的合并，简化了程序的循环次数，最后在计算特征向量的时候采用了列主元高斯消去法。
二、源程序代码#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>int i,j,k,l,m; //定义外部变量double d,h,b,c,t,s;double A[10][10],AA[10][10],R[10][10],Q[10][10],RQ[10][10]; double X[10][10],Y[10][10],Qt[10][10],M[10][10];double U[10],P[10],T[10],W[10],Re[10]={0},Im[10]={0}; double epsilon=1e-12;void main(){void Quasiuppertriangular(double A[][10]);void QRdecomposition(double A[][10]);void DoublestepsQR(double A[][10]);int i,j;for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){A[i][j]=sin(0.5*(i+1)+0.2*(j+1));Q[i][j]=0;AA[i][j]=A[i][j];}A[i][i]=1.5*cos(2.2*(i+1));AA[i][i]=A[i][i];}Quasiuppertriangular(A); //调用拟上三角化函数printf( "\n A经过拟上三角化矩阵为：\n\n");for(i=0;i<10;i++) //输出拟上三角化矩阵{for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",A[i][j]); //输出拟上三角化矩阵}printf( "\n\n");}QRdecomposition(A); //调用QR分解函数printf( " 进行QR分解后，R矩阵为：\n\n"); //输出R矩阵for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",R[i][j]);}printf( "\n\n");}printf( " Q矩阵为:\n\n"); //输出Q矩阵for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",Q[i][j]);}printf( "\n\n");}printf( " RQ矩阵为：\n\n"); //输出RQ矩阵for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",RQ[i][j]);}printf( "\n\n");}DoublestepsQR(A); //调用双步位移函数printf( "\n\n 特征值实部依次为：\n\n"); //输出特征值实部for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",Re[j]);}printf("\n\n 特征值虚部依次为：\n\n "); //输出特征值虚部for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",Im[j]);}//按行输出特征向量printf( "\n\n 按行输出实特征根相应特征向量为：\n\n");for(i=0;i<10;i++){if(i==1||i==2||i==5||i==6){continue;}for(j=0;j<10;j++){printf("%.12e ",X[i][j]);}printf( "\n\n");}getchar();}//拟上三角化函数void Quasiuppertriangular(double A[][10]) {for(j=0;j<8;j++){for(i=0;i<10;i++){U[i]=0;P[i]=0;T[i]=0;W[i]=0;}m=0;for(i=j+2;i<10;i++){if(A[i][j]!=0){m=m+1;}}if(m==0){continue;}d=0;for(i=j+1;i<10;i++){d=d+pow(A[i][j],2);}d=sqrt(d);c=-d;if(A[j+1][j]<=0){c=d;}h=c*(c-A[j+1][j]);U[j+1]=A[j+1][j]-c;for(i=j+2;i<10;i++){U[i]=A[i][j];}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){P[i]=P[i]+U[k]*A[k][i];}P[i]=P[i]/h;}t=0;for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){T[i]=T[i]+U[k]*A[i][k];}T[i]=T[i]/h;t=t+P[i]*U[i];}t=t/h;for(i=0;i<10;i++){W[i]=T[i]-t*U[i];for(k=0;k<10;k++){A[i][k]=A[i][k]-W[i]*U[k]-U[i]*P[k];if(abs(A[i][k])<1e-12){A[i][k]=0;}}}}}//QR分解函数void QRdecomposition(double A[][10]) {for(i=0;i<10;i++){for(j=0;j<10;j++){RQ[i][j]=0;Q[i][j]=0;R[i][j]=A[i][j];}Q[i][i]=1;}for(j=0;j<9;j++){for(i=0;i<10;i++){U[i]=0;P[i]=0;W[i]=0;}m=0;for(i=j+1;i<10;i++){if(R[i][j]!=0){m=m+1;}}if(m==0){continue;}d=0;for(i=j;i<10;i++){d=d+pow(R[i][j],2);}d=sqrt(d);c=-d;if(R[j][j]<=0){c=d;}h=c*(c-R[j][j]);U[j]=R[j][j]-c;for(i=j+1;i<10;i++){U[i]=R[i][j];}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){W[i]=W[i]+U[k]*Q[i][k];}}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){Q[i][k]=Q[i][k]-((W[i]*U[k])/h);}}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){P[i]=P[i]+U[k]*R[k][i];}P[i]=P[i]/h;}for(i=0;i<10;i++){for(k=0;k<10;k++){R[i][k]=R[i][k]-U[i]*P[k];if(abs(R[i][k])<epsilon){R[i][k]=0;}}}}for(i=0;i<10;i++) //计算A(n+1)=RQ {for(j=0;j<10;j++){for(k=0;k<10;k++){RQ[i][j]=RQ[i][j]+R[i][k]*Q[k][j];}}}}//双步位移法计算特征值特征向量函数void DoublestepsQR(double A[][10]){int L=1000,m=9; //定义最大循环次数for(i=0;i<L;i++){for(;m>-1;){if(abs(A[m][m-1])<=epsilon){Re[m]=A[m][m];m=m-1; //降阶if(m==0) //4{Re[0]=A[0][0];break;}if(m==-1){break;}if(m>1){continue;}}b=-A[m][m]-A[m-1][m-1]; //5c=A[m][m]*A[m-1][m-1]-A[m][m-1]*A[m-1][m];if(m==1) //6{if((b*b-4*c)>=0){Re[m]=(-b+sqrt(b*b-4*c))/2;Re[m-1]=(-b-sqrt(b*b-4*c))/2;}if((b*b-4*c)<0){Re[m]=-b/2; Im[m]=sqrt(4*c-b*b)/2;Re[m-1]=-b/2; Im[m-1]=-sqrt(4*c-b*b)/2;}m=m-1; //循环出口条件break;}if((m>1)&&(abs(A[m-1][m-2])>epsilon)) //8{if(i==L-1){printf("No results! \n");m=0; //循环出口条件break;}break;}if((m>1)&&(abs(A[m-1][m-2])<=epsilon)) //7 {if((b*b-4*c)>0){Re[m]=(-b+sqrt(b*b-4*c))/2;Re[m-1]=(-b-sqrt(b*b-4*c))/2;}if((b*b-4*c)<0){Re[m]=-b/2; Im[m]=sqrt(4*c-b*b)/2;Re[m-1]=-b/2; Im[m-1]=-sqrt(4*c-b*b)/2;}m=m-2; //降阶if(m>0){continue;}if(m==0){Re[0]=A[0][0];break;}}}if(m<=0){break;}s=A[m-1][m-1]+A[m][m]; //9t=A[m][m]*A[m-1][m-1]-A[m][m-1]*A[m-1][m];for(j=0;j<10;j++){for(k=0;k<10;k++){Qt[j][k]=0;Q[j][k]=0;M[j][k]=0;X[j][k]=0;Y[j][k]=0;}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){for(l=0;l<m+1;l++){M[j][k]=M[j][k]+A[j][l]*A[l][k];}}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){M[j][k]=M[j][k]-s*A[j][k];}M[j][j]=M[j][j]+t;}//调用QR分解函数对M矩阵进行分解并传递参数矩阵QQRdecomposition(M);for(j=0;j<10;j++){for(k=0;k<10;k++){Qt[j][k]=Q[k][j];}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){for(l=0;l<m+1;l++){X[j][k]=X[j][k]+Qt[j][l]*A[l][k];}}}for(j=0;j<m+1;j++){for(k=0;k<m+1;k++){for(l=0;l<m+1;l++){Y[j][k]=Y[j][k]+X[j][l]*Q[l][k];}}}for(j=0;j<10;j++){{A[j][k]=Y[j][k];}}}//应用列主元高斯消元法计算实部特征向量for(l=0;l<10;l++){if(l==1||l==2||l==5||l==6){continue;}for(k=0;k<10;k++){for(m=0;m<10;m++){A[k][m]=AA[k][m];}A[k][k]=A[k][k]-Re[l];}for(j=0;j<9;j++){m=j;for(i=j+1;i<10;i++){if(abs(A[i][j])>abs(A[m][j])){m=i;}}{Y[j][k]=A[j][k];A[j][k]=A[m][k];A[m][k]=Y[j][k];}for(k=j+1;k<10;k++){b=A[k][j]/A[j][j];for(i=j;i<10;i++){A[k][i]=A[k][i]-A[j][i]*b;}}}X[l][9]=1;for(i=8;i>=0;i--){c=0;for(j=i+1;j<10;j++){c=c+A[i][j]*X[l][j];}X[l][i]=-c/A[i][i];}}}三、程序输出结果1819。
北航数值分析大作业 第二题 QR分解
《数值分析B》课计算实习第一题设计文档与源程序姓名：杨彦杰学号：SY10171341 算法的设计方案（1）运行平台操作系统：Windows XP；开发平台：VC6.0++；工程类型：文档视图类；工程名：Numanalysis；（2）开发描述首先新建类CMetrix，该类完成矩阵之间的相关运算，包括相乘、加减等，以主程序方便调用；题目的解算过程在视图类CNumanalysisView中实现，解算结果在视图界面中显示；（3）运行流程（4）运行界面2、全部源代码（1）类CMetrixMetrix.h文件：class CMetrix{public:double** MetrixMultiplyConst(double**A,int nRow,int nCol,double nConst);//矩阵乘常数double** MetrixMultiplyMetrix(double**A,double**mA,int nRow,int nCol);//矩阵相乘double** MetrixSubtractMetrix(double **A, double **subA, int nRow,int nCol);//矩阵减矩阵double VectorMultiplyVector(double*V,double*mulV,int nV);//向量点积double** VectorMultiplyVectortoMetrix(double*V,double*VT,int nV);//向量相乘为矩阵double* VectorSubtractVector(double*V,double*subV,int nV);//向量相减double* VectorMultiplyConst(double *V, int nV, double nConst);//向量乘常数double LengthofVector(double *V,int nV);//求向量的长度double* MetrixMultiplyVector(double**A,int nRow,int nCol,double*V,int nV);//矩阵与向量相乘double** AtoAT(double **A,int Row,int Col);//矩阵转置运算void FreeMem();CMetrix(int nRow,int nCol);uCMetrix();virtual ~CMetrix();double* vector; //过渡向量double** B; //过渡矩阵};Metrix.cpp文件：CMetrix::CMetrix(int nRow, int nCol){B = new double*[nRow];for (int i = 0;i < nCol;i++){B[i] = new double[nCol];}vector = new double[nRow];}CMetrix::~CMetrix(){delete vector;B = NULL;delete B;}double** CMetrix::AtoAT(double **A, int nRow, int nCol){for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){B[col][row] = A[row][col];}}return B;}double* CMetrix::MetrixMultiplyVector(double **A, int nRow, int nCol, double *V, int nV) {if (nCol != nV){AfxMessageBox("矩阵列数和向量维数不等,不能相乘!");return 0;}double sum = 0.0;for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){sum += A[row][col]*V[col];}vector[row] = sum;sum = 0.0;}return vector;}double CMetrix::LengthofVector(double *V, int nV){double length = 0.0;for (int col = 0;col < nV;col++){length += V[col]*V[col];}return length;}double* CMetrix::VectorMultiplyConst(double *V, int nV, double nConst){for (int col = 0;col < nV;col++){vector[col] = V[col]*nConst;}return vector;}double* CMetrix::VectorSubtractVector(double *V, double *subV, int nV){for (int col = 0;col < nV;col++){vector[col] = V[col]-subV[col];}return vector;}double** CMetrix::VectorMultiplyVectortoMetrix(double*V, double *VT, int nV){for (int row = 0;row < nV;row++){for (int col = 0;col < nV;col++){B[row][col] = V[row]*VT[col];}}return B;}double CMetrix::VectorMultiplyVector(double *V, double *mulV, int nV){double length = 0.0;for (int col = 0;col < nV;col++){length += V[col]*mulV[col];}return length;}double** CMetrix::MetrixSubtractMetrix(double **A, double **subA, int nRow, int nCol) {for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){B[row][col] = A[row][col]-subA[row][col];}}return B;}double** CMetrix::MetrixMultiplyMetrix(double **A, double **mA, int nRow, int nCol) {double sum = 0.0;for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){for(int n = 0;n < nCol;n++){sum += A[row][n]*mA[n][col];}B[row][col] = sum;sum = 0.0;}}return B;}double** CMetrix::MetrixMultiplyConst(double **A, int nRow, int nCol, double nConst) {for (int row = 0;row < nRow;row++){for (int col = 0;col < nCol;col++){B[row][col] = A[row][col]*nConst;}}return B;}（2）类CNumanalysisViewNumanalysisview.hclass CNumanalysisView : public CEditView{…………public:double Sign(double x);void DisplayVector(double*V,int nV); // 显示向量数据void DisplayMetrix(double **A,int Row,int Col); //显示矩阵void DisplayText(CString str); //显示文本protected://{{AFX_MSG(CNumanalysisView)afx_msg void OnQRanalyze(); //运行主函数…………};Numanalysisview.cppvoid CNumanalysisView::OnQRanalyze(){//开辟空间int nRow = 10;int nCol = 10;CString str;CMetrix Metrix(nRow,nCol);double tempa = 0.0;double *V = new double[nCol]; //分配10*10矩阵空间double *ur = new double[nCol];double *pr = new double[nCol];double *qr = new double[nCol];double *wr = new double[nCol];double *tempV = new double[nCol];double **Ar = new double*[nRow];double **C = new double*[nRow];double **Cr = new double*[nRow];double **tempA = new double*[nRow];double **A = new double*[nRow];double **R = new double*[nRow];for (int col = 0;col < nRow;col++){A[col] = new double[nCol];Ar[col] = new double[nCol];C[col] = new double[nCol];Cr[col] = new double[nCol];tempA[col] = new double[nCol];R[col] = new double[nCol];}//矩阵A求解for (int i = 0;i < nRow;i++){for (int j = 0;j < nCol;j++){if(i == j)A[i][j] = 1.5*cos((i+1.0)+1.2*(j+1.0));elseA[i][j] = sin(0.5*(i+1.0)+0.2*(j+1.0));}}//--------------------拟上三角化-------------------------// double dr = 0.0,cr = 0.0,hr = 0.0,tr = 0.0;for (int r = 0;r < nCol - 2;r++){dr = 0.0;for (i = r+1;i < nCol;i++) //dr{dr += A[i][r]*A[i][r];}dr = sqrt(dr);for (i = r+2;i < nCol;i++) //判断air是否全为零tempa += fabs(A[i][r]);if (tempa <= IPSLEN)continue;if (A[r+1][r] == 0.0) //crcr = dr;elsecr = -1*Sign(A[r+1][r])*dr;hr = cr*cr - cr*A[r+1][r]; //hrstr.Format("dr = %.6e, cr = %.6e, hr = %.6e",dr,cr,hr);for (int row = 0;row < nRow;row++) //ur{if (row < r+1)ur[row] = 0.0;else if (row == r+1)ur[row] = A[row][r]-cr;elseur[row] = A[row][r];}tempA = Metrix.AtoAT(A,nRow,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(Ar,nRow,nCol,ur,nCol); //pr memcpy(pr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(pr,nCol,1.0/hr);memcpy(pr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(A,nRow,nCol,ur,nCol); //qr memcpy(qr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(qr,nCol,1.0/hr);memcpy(qr,tempV,nCol*8);tr = Metrix.VectorMultiplyVector(pr,ur,nCol)/hr; //trtempV = Metrix.VectorMultiplyConst(ur,nCol,tr); //wr memcpy(wr,tempV,nCol*8);tempV = Metrix.VectorSubtractVector(qr,wr,nCol);memcpy(wr,tempV,nCol*8);tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(wr,ur,nCol); //Arfor (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,nRow,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)A[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(ur,pr,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,nRow,nCol);for (row = 0;row < nRow;row++){for (col = 0;col < nCol;col++){A[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(A[row][col]) < IPSLEN){A[row][col] = 0.0;}}}}DisplayText("矩阵A拟上三角化后所得的矩阵为：");DisplayMetrix(A,nRow,nCol);for (int row = 0;row < nRow;row++) //用于计算特征向量{for (col = 0;col < nCol;col++)R[row][col] = A[row][col];}// -------------------------------------------------////--------------------带双步位移的QR分解-------------------------// int m = nCol;struct EigenVal //定义特征值结构，实数和虚数{double Realnum;double Imagnum;};EigenVal *eigenvalue = new EigenVal[m];EigenVal tmpEigen1,tmpEigen2;double b = 0.0,c = 0.0,delta = 0.0,s = 0.0,t = 0.0;double *vr = new double[m];for (int k = 1;k < 100; k++){//m代表矩阵阶数，判断式中直接用，运算中需要-1while (m > 1 && fabs(A[m-1][m-2]) <= IPSLEN)//第三步和第四步{eigenvalue[m-1].Realnum = A[m-1][m-1];eigenvalue[m-1].Imagnum = 0.0;m = m - 1;}if (m == 1){eigenvalue[m-1].Realnum = A[m-1][m-1];eigenvalue[m-1].Imagnum = 0.0;DisplayText("已求出A的全部特征值：");break;}b = -(A[m-2][m-2]+A[m-1][m-1]); //第五步求一元二次方程式的根s1,s2c = A[m-2][m-2]*A[m-1][m-1]-A[m-2][m-1]*A[m-1][m-2];delta =b*b - 4*c;if (delta >= 0.0){tmpEigen1.Realnum = (-b-sqrt(delta))/2;tmpEigen1.Imagnum = 0.0;tmpEigen2.Realnum = (-b+sqrt(delta))/2;tmpEigen2.Imagnum = 0.0;}else{tmpEigen1.Realnum = -b/2;tmpEigen1.Imagnum = -sqrt(fabs(delta))/2 ;tmpEigen2.Realnum = -b/2;tmpEigen2.Imagnum = sqrt(fabs(delta))/2;}if (m == 2) //第六步 m=2时结束运算{eigenvalue[m-1] = tmpEigen1;eigenvalue[m-2] = tmpEigen2;DisplayText("已求出A的全部特征值：");break;}else //第七步 m > 1{if (fabs(A[m-2][m-3]) <= IPSLEN){eigenvalue[m-1] = tmpEigen1;eigenvalue[m-2] = tmpEigen2;m = m - 2;continue;}}for (int row = 0;row < m;row++) //Mk求之前需要把A付给C{for (int col = 0;col < m;col++)C[row][col] = A[row][col];}double **I = new double*[m]; //第九步求Mk和Mk的QR分解for (int i = 0;i < m;i++) //求单位矩阵I,分配m*m矩阵空间{I[i] = new double[m];}for (i = 0;i < m;i++){for (int j = 0;j < m;j++){if(i == j)I[i][j] = 1;else I[i][j] = 0;}}s = A[m-2][m-2]+A[m-1][m-1];t = A[m-2][m-2]*A[m-1][m-1] - A[m-2][m-1]*A[m-2][m-1];tempA = Metrix.MetrixMultiplyMetrix(A,A,m,m);//A*Afor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixMultiplyConst(A,m,m,s);//s*Afor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)A[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(Ar,A,m,m);//A*A-s*Afor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)A[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixMultiplyConst(I,m,m,-1*t);//-t*Ifor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,m,m);//A*A - s*A + r*I for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++){A[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(A[row][col]) < IPSLEN){A[row][col] = 0.0;}}}delete I;//Mk的QR分解for (int r = 0;r < m - 1;r++){dr = 0.0;for (i = r;i < m;i++) //dr{dr += A[i][r]*A[i][r];}dr = sqrt(dr);for (i = r+1;i < m;i++) //判断air是否全为零tempa += fabs(A[i][r]);if (tempa <= IPSLEN)continue;if (A[r][r] == 0.0) //crcr = dr;elsecr = -1*Sign(A[r][r])*dr;hr = cr*cr - cr*A[r][r]; //hrfor (int row = 0;row < m;row++) //ur{if (row < r)ur[row] = 0.0;else if (row == r)ur[row] = A[row][r]-cr;elseur[row] = A[row][r];}tempA = Metrix.AtoAT(A,m,m); //Btfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(Ar,m,m,ur,m); //Bt*ur memcpy(vr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(vr,m,1.0/hr); //vr = Bt*ur/hr memcpy(vr,tempV,m*8);tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(ur,vr,m);//Ur*vrfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Ar[row][col] = tempA[row][col];}tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(A,Ar,m,m); //Br-ur*vrfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++){A[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(A[row][col]) < IPSLEN){A[row][col] = 0.0;}}}tempA = Metrix.AtoAT(C,m,m); //Ctfor (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Cr[row][col] = tempA[row][col]; }tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(Cr,m,m,ur,m); //pr memcpy(pr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(pr,m,1.0/hr);memcpy(pr,tempV,m*8);tempV = Metrix.MetrixMultiplyVector(C,m,m,ur,m); //qr memcpy(qr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorMultiplyConst(qr,m,1.0/hr);memcpy(qr,tempV,m*8);tr = Metrix.VectorMultiplyVector(pr,ur,m)/hr; //trtempV = Metrix.VectorMultiplyConst(ur,m,tr); //wr memcpy(wr,tempV,m*8);tempV = Metrix.VectorSubtractVector(qr,wr,m);memcpy(wr,tempV,m*8);tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(wr,ur,m);//Cr+1for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Cr[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(C,Cr,m,m);for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)C[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.VectorMultiplyVectortoMetrix(ur,pr,m);for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++)Cr[row][col] = tempA[row][col]; }tempA = Metrix.MetrixSubtractMetrix(C,Cr,m,m);for (row = 0;row < m;row++){for (col = 0;col < m;col++){C[row][col] = tempA[row][col];if (fabs(C[row][col]) < IPSLEN){C[row][col] = 0.0;}}}}str.Format("矩阵A%d QR分解结束后所得到的矩阵为：",m);//计算结果输出DisplayText(str);DisplayMetrix(A,m,m);for (row = 0;row < m;row++) //Mk的QR分解后需要把C付给A{for (col = 0;col < m;col++)A[row][col] = C[row][col];}str.Format("迭代完成后的矩阵A%d = ",k);DisplayText(str);DisplayMetrix(A,m,m);}DisplayText("矩阵A的全体特征值如下: ");for (i = 0;i<nCol;i++){str.Format("%.6e + j%.6e",eigenvalue[i].Realnum,eigenvalue[i].Imagnum);DisplayText(str);}// -------------------------------------------------//求实特征值的特征向量，在拟上三角矩阵基础上直接求解即可////(A-egiI)X = 0.0;m = nRow;for (row = 0;row < nRow;row++) //用于计算特征向量{for (col = 0;col < nCol;col++)A[row][col] = R[row][col];}double **I = new double*[m]; //求单位矩阵I,分配m*m矩阵空间double sum = 0.0;for (i = 0;i < m;i++){I[i] = new double[m];}for (i = 0;i < m;i++){for (int j = 0;j < m;j++){if(i == j)I[i][j] = 1;else I[i][j] = 0;}}for (i = 0;i < nRow;i++){if (eigenvalue[i].Imagnum != 0.0){str.Format("特征值%.6e+j%.6e为虚数，不需要求特征向量。
北航数值分析大作业第二题(fortran)
!计算A（r+1） DO I=1,N DO J=1,N A(I,J)=A(I,J)-W(I)*U(J)-U(I)*P(J) ENDDO ENDDO ENDIF ENDDO RETURN END
!***************符号函数子程序*****************！ FUNCTION SGN(X) REAL(8) X IF(X>0) THEN SGN=1 ELSE IF(X<0) THEN SGN=-1 ELSE IF(X==0) THEN SGN=0 ENDIF END
DIMENSION A(N,N),A1(N,N),A2(N,N),C(2,N),Q(N,N),R(N,N),CR(N),CM(N)!C为存储特征值的数 组,1为实部，为虚部 REAL(8) A,A1,A2,C,Q,R,CM E=1E-12 L=1000 !精度水平 !迭代最大次数
OPEN(1,FILE='数值分析大作业第二题计算结果.TXT') DO I=1,N DO J=1,N IF(I==J) THEN A(I,J)=1.52*COS(I+1.2*J) ELSE A(I,J)=SIN(0.5*I+0.2*J) ENDIF ENDDO ENDDO A1=A WRITE(*,"('矩阵A为：')") WRITE(1,"('矩阵A为：')") DO I=1,N DO J=1,N WRITE(*,"(2X,E20.13,2X,\)") A(I,J) WRITE(1,"(2X,E20.13,2X,\)") A(I,J) ENDDO WRITE(*,"(' ')") WRITE(1,"(' ')") ENDDO !使用矩阵的拟上三角化的算法将矩阵A化为拟上三角矩阵A（n-1） CALL HESSENBERG(A,N) WRITE(*,"('拟上三角化后矩阵A（n-1）为：')") WRITE(1,"('拟上三角化后矩阵A（n-1）为：')") DO I=1,N DO J=1,N WRITE(*,"(2X,E20.13,2X,\)") A(I,J) WRITE(1,"(2X,E20.13,2X,\)") A(I,J) ENDDO WRITE(*,"('')") WRITE(1,"('')") ENDDO !计算对矩阵A（n-1）实行QR方法迭代结束后所得矩阵 A2=A CALL QRD(A2,N,Q,R)
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目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。
已知：sin(0.50.2)()1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10)算法：以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法：()[]()()[]()[]()111111I 00000i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-⨯-⨯-=-⨯-⎛⎫⎪-=−−−−→=−−−−−−→= ⎪⎝⎭选主元的消元检查知无重特征值由于=0i A I λ-，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ-即B 的最后一行必然为零，左上方变为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -⨯-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ⨯-，然后令n u 1=-，则()1,2,,1j j u Q j n ==⋅⋅⋅-。
这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。
#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#define N 10#define E 1.0e-12#define MAX 10000//以下是符号函数double sgn(double a){double z;if(a>E) z=1;else z=-1;return z;}//以下是矩阵的拟三角分解void nishangsanjiaodiv(double A[N][N]){int i,j,k;int m=0;double d,c,h,t;double u[N],p[N],q[N],w[N];for(i=0;i<N-2;i++){for(j=i+2;j<N;j++) if(A[j][i]<=E) m=m+1;if(m==(N-2-i)) continue;for(j=i+1,d=0;j<N;j++) d=d+A[j][i]*A[j][i];d=sqrt(d);c=-1*sgn(A[i+1][i])*d;h=c*c-c*A[i+1][i];for(j=i+2;j<N;j++) u[j]=A[j][i];for(j=0;j<i+2;j++) u[j]=0;u[i+1]=A[i+1][i]-c;for(j=0;j<N;j++){for(k=i+1,p[j]=0;k<N;k++) p[j]=A[k][j]*u[k]+p[j];p[j]=p[j]/h;}for(j=0;j<N;j++){for(k=i+1,q[j]=0;k<N;k++) q[j]=A[j][k]*u[k]+q[j];q[j]=q[j]/h;}for(j=0,t=0;j<N;j++) t=t+p[j]*u[j];t=t/h;for(j=0;j<N;j++) w[j]=q[j]-t*u[j];for(j=0;j<N;j++){for(k=0;k<N;k++) A[j][k]=A[j][k]-w[j]*u[k]-u[j]*p[k];}}}//以下是矩阵的QR分解void qrdiv(double A[N][N],double Q[N][N],double R[N][N]){int i,j,k;//int m=0;double d,c,h;double u[N],w[N],p[N];for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++) {if (i==j) Q[i][j]=1; else Q[i][j]=0;}}for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++) R[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<N-1;i++){//for(j=i+1;j<N;j++) if(R[j][i]<=E) m=m+1;//if(m==(N-1-i)) continue;for(j=i,d=0;j<N;j++) d=d+R[j][i]*R[j][i];d=sqrt(d);c=-1*sgn(R[i][i])*d;h=c*c-c*R[i][i];for(j=i+1;j<N;j++) u[j]=R[j][i];for(j=0;j<i;j++) u[j]=0;u[i]=R[i][i]-c;for(j=0;j<N;j++) {for(k=0,w[j]=0;k<N;k++) w[j]=Q[j][k]*u[k]+w[j];}for(j=0;j<N;j++) {for(k=0;k<N;k++) Q[j][k]=Q[j][k]-w[j]*u[k]/h;}for(j=0;j<N;j++){for(k=i,p[j]=0;k<N;k++) p[j]=R[k][j]*u[k]+p[j];p[j]=p[j]/h;}for(j=0;j<N;j++){for(k=0;k<N;k++) R[j][k]=R[j][k]-u[j]*p[k];}}}//矩阵的QR分解//以下是二次多项式求根double root(double b,double c){double m;m=b*b-4*c;return m;} //二次多项式求根//以下是求解矩阵的所有特征值void characteristic(double A[N][N],double chaR[N],double chaI[N]){int k=0,m=N-1;int i,j;int L;double s,t,x;double M[N][N],B[N][N];int f=0;double d,c,h;double u[N],w[N],p[N];double Q[N][N],R[N][N];for(L=0;L<MAX;L++){next: if (m==0) {chaR[0]=A[0][0];chaI[0]=0;break;}if(fabs(A[m][m-1])<=E){chaR[m]=A[m][m];chaI[m]=0;m--;goto next;}s=A[m-1][m-1]+A[m][m];t=A[m-1][m-1]*A[m][m]-A[m][m-1]*A[m-1][m];if(m==1){x=root(s,t);if(x>=E){x=sqrt(x);chaR[m]=s/2+x/2;chaR[m-1]=s/2-x/2;chaI[m]=0;chaI[m-1]=0;}else{x=sqrt(fabs(x));chaR[m]=s/2;chaR[m-1]=s/2;chaI[m]=x/2;chaI[m-1]=-x/2;}break;}if(fabs(A[m-1][m-2])<=E){x=root(s,t);if(x>=E){x=sqrt(x);chaR[m]=s/2+x/2;chaR[m-1]=s/2-x/2;chaI[m]=0;chaI[m-1]=0;} else{x=sqrt(fabs(x));chaR[m]=s/2;chaR[m-1]=s/2;chaI[m]=x/2;chaI[m-1]=-x/2;} m=m-2;goto next;}for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m;j++){if(i==j){for(k=0,M[i][j]=0;k<=m;k++) M[i][j]=A[i][k]*A[k][j]+M[i][j];M[i][j]=M[i][j]-s*A[i][j]+t;}else{for(k=0,M[i][j]=0;k<=m;k++) M[i][j]=A[i][k]*A[k][j]+M[i][j];M[i][j]=M[i][j]-s*A[i][j];}}}// 以下是M的QR分解for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m;j++) {if (i==j) Q[i][j]=1; else Q[i][j]=0;}}for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m;j++) R[i][j]=M[i][j];}for(i=0;i<m;i++){for(j=i+1;j<=m;j++) if(R[j][i]<=E) f=f+1;if(f==(m-i)) continue;for(j=i,d=0;j<=m;j++) d=d+R[j][i]*R[j][i];d=sqrt(d);c=-1*sgn(R[i][i])*d;h=c*c-c*R[i][i];for(j=i+1;j<=m;j++) u[j]=R[j][i];for(j=0;j<i;j++) u[j]=0;u[i]=R[i][i]-c;for(j=0;j<=m;j++){for(k=0,w[j]=0;k<=m;k++) w[j]=Q[j][k]*u[k]+w[j];}for(j=0;j<=m;j++){for(k=0;k<=m;k++) Q[j][k]=Q[j][k]-w[j]*u[k]/h;}for(j=0;j<=m;j++){for(k=i,p[j]=0;k<=m;k++) p[j]=R[k][j]*u[k]+p[j];p[j]=p[j]/h;}for(j=0;j<=m;j++){for(k=0;k<=m;k++) R[j][k]=R[j][k]-u[j]*p[k];}}for(j=0;j<=m;j++){for(k=0;k<=m;k++) M[j][k]=Q[j][k];}// 以上是M的QR分解for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m;j++){for(k=0,B[i][j]=0;k<=m;k++) B[i][j]=M[k][i]*A[k][j]+B[i][j];} }for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=m;j++){for(k=0,A[i][j]=0;k<=m;k++) A[i][j]=B[i][k]*M[k][j]+A[i][j];} }}}//以下是求矩阵的所有特征值的特征向量void eigenvector(double V[N][N],double T[N]){double A[N][N],baoz[N][N],guod[N];double c;int i,j,k,m,t;int W=0;for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<N;j++) baoz[i][j]=V[i][j];for(t=0;t<6;t++){for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<N;j++) A[i][j]=baoz[i][j];for(i=0;i<N;i++) A[i][i]=A[i][i]-T[t];for(i=0;i<N-1;i++){for(j=i;j<N;j++) if(fabs(A[j][i])>E) {k=j;break; }for(j=i;j<N;j++) {guod[j]=A[i][j];A[i][j]=A[k][j];A[k][j]=guod[j];}for(j=i;j<N;j++){c=A[j][i];if(fabs(c)>E) for(m=i;m<N;m++) A[j][m]=A[j][m]/c;}for(j=0;j<N;j++){c=A[j][i];if(j!=i) {for(m=i;m<N;m++) A[j][m]=A[j][m]-A[i][m]*c;} }}V[t][N-1]=-1;for(i=N-2;i>=0;i--){V[t][i]=A[i][N-1];}}}//以下是主函数void main(){double a[N][N],b[N][N],chaR[N],chaI[N];double q[N][N],r[N][N],qr[N][N];double shiyan[N];double f,g;int i,j,k;for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){if(i!=j) a[i][j]=sin(0.5*(i+1)+0.2*(j+1));else a[i][j]=1.5*cos((i+1)+1.2*(j+1));}}nishangsanjiaodiv(a);printf("矩阵A的拟上三角分解：\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N-5;j++) {if (fabs(a[i][j])<E) a[i][j]=0; printf("%22.11e",a[i][j]);}printf("\n");}printf("\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=N-5;j<N;j++) {if (fabs(a[i][j])<E) a[i][j]=0; printf("%22.11e",a[i][j]);} printf("\n");}printf("\n");qrdiv(a,q,r); printf("\n");printf("\n");printf("\n");printf("拟上三角矩阵A的QR分解：\n");printf("上三角矩阵R：\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N-5;j++) {if (fabs(r[i][j])<E) r[i][j]=0;printf("%22.12e",r[i][j]);}printf("\n");} printf("\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=N-5;j<N;j++) {if (fabs(r[i][j])<E) r[i][j]=0;printf("%22.12e",r[i][j]);}printf("\n");} printf("\n");printf("正交矩阵Q：\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N-5;j++) {if (fabs(q[i][j])<E) q[i][j]=0;printf("%22.12e",q[i][j]);}printf("\n");} printf("\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=N-5;j<N;j++) {if (fabs(q[i][j])<E) q[i][j]=0;printf("%22.12e",q[i][j]);}printf("\n");} printf("\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++) for(k=0,qr[i][j]=0;k<N;k++) qr[i][j]=qr[i][j]+r[i][k]*q[k][j];} printf("\n");printf("\n");printf("\n");printf("R*Q：\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N-5;j++) {if (fabs(qr[i][j])<E) qr[i][j]=0;printf("%22.12e",qr[i][j]);}printf("\n");} printf("\n");printf("\n");printf("\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=N-5;j<N;j++) {if (fabs(qr[i][j])<E) qr[i][j]=0;printf("%22.12e",qr[i][j]);}printf("\n");} printf("\n");printf("\n");printf("\n");characteristic(a,chaR,chaI);for(i=1;i<N;i++){if (i<3) {f=chaR[i];g=chaI[i];chaR[i]=chaR[7+i];chaI[i]=chaI[7+i];chaR[7+i]=f;chaI[7+i]=g;} if (i==5) {f=chaR[i];g=chaI[i];chaR[i]=chaR[7];chaI[i]=chaI[7];chaR[7]=f;chaI[7]=g;}}printf("矩阵A所有特征值：\n");for(j=0;j<N;j++){if(fabs(chaI[j])<=E) printf("λ%2d =%19.11e\n",j+1,chaR[j]);else if(chaI[j]>E) printf("λ%2d =%18.11e +%18.11ei\n",j+1,chaR[j],chaI[j]);else printf("λ%2d =%19.11e %19.11ei\n",j+1,chaR[j],chaI[j]);}printf("\n");printf("\n");printf("\n");for(i=0;i<N;i++){for(j=0;j<N;j++){if(i!=j) a[i][j]=sin(0.5*(i+1)+0.2*(j+1));else a[i][j]=1.5*cos((i+1)+1.2*(j+1));}}//重新输入矩阵Aeigenvector(a,chaR);printf("相应实特征值对应的特征向量：\n");for(i=0;i<6;i++){printf("λ%d的一个特征向量为：\n ",(i+1));for(j=0;j<N-5;j++) printf("%22.11e",a[i][j]);printf("\n ");for(j=N-5;j<N;j++) printf("%22.11e",a[i][j]);printf("\n");}getch();}。