湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案

湖南大学研究生

课程考试命题专用纸

考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟

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注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一． 填空题（每小题5分，共30分）

1. 用

355

113

作为圆周率 3.14159265π=的近似值时，有 位有效数字。 2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=

局部收敛到*x = 则α的取值

范围是 .

3. 若12,21A ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦

则谱条件数1

222

()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x 为1n +个互异的插值节点，()

()(0,1,,)()

j i j i i j x x l x i n x x ≠-==-∏

为拉格朗日插值基函数，则 10

(0)n

n i i

i l x

+==∑ .

5. 已知实验数据

则拟合这组数据的直线为y = .

6. 要使求积公式1

1101

()(0)()4

f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则

1x = ， 1A =

二． ( 11分) 给定方程32()360.f x x x =+-=

(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x

(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值，取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组

123123201128.2419x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

四．(10分) 给定线性方程组

12321111111,1121x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。

五．(13分) 试根据数表

构造Hermite (埃尔米特)插值多项式().H x 六．(10分) 求常数,αβ使积分

()

1

2

20x

e

x x

dx αβ--⎰ 取最小值。

七．(16分) 用龙贝格方法求积分

31

1

I dx x

=⎰

的近似值，要求误差不超过310.-

工程数学试题参考答案

一． (1) 7 ; (2) ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-

0,51

; (3) 3 ; (4) n n

x x x 10)1(- ; (5) x 4.19.0+ ; (6) .4

3

,3211==A x

二． 解. (1) 因为

,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零

点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x (4分)

(2) 牛顿迭代格式为 .,2,1,0,6363263632

2

32231

=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x k

k k k k k k k k k (7分) 取初值,5.10=x 计算结果如下：

5*43410, 1.195823.x x x x --<≈= (11分)

三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (2分) 24195

703

2254904

22⎡

⎤⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

--⎣

⎦(4分) 241954904

22570322⎡

⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦

(5分) 24195

4904

223517500

88⎡

⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-

⎣

⎦

(7分)

等价的上三角形方程组为

123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧

⎪++=⎪

⎪

-+=-

⎨⎪

⎪

=-⎪⎩

回代得 3215,3, 1.x x x =-==(10分)

四. 解. 雅可比迭代格式为

()()(1)()()1

23(1)()()

213

(1)()()312112

1(3)112k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=+-⎪⎪=--⎨⎪⎪=--⎩

分

雅可比迭代矩阵

110221

01,1102

2J B ⎡

⎤-⎢⎥⎢

⎥

=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

(5分) 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫

-=-+= ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭

J B 的特征值 12,310,.2λλ==± (8分) 因为谱半径()1

1,2

J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。 (10分)

五．列表计算差商

)

2

2244

()10(1)3(1)(1)(1)(2).39

H x x x x x x x x =++++-

+++- (13分)