混沌理论 综述 很全知识分享
混沌综述
一混沌现象，定义及其基本特征二混沌系统的数学模型及分析三杜芬系统检测弱信号的思想四混沌判别方法及混沌系统判据五混沌系统的进一步发展六进一步的想法和理解一混沌的想象，定义及其特征混沌并非无序，简单确定的系统不仅可以产生简单确定的行为，还可以产生貌似随机的不确定行为，即混沌行为。
混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性，规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；目前在不同的学科领域里对混沌有不同的理解和表达方法，体现出在各自领域中的应用特点。
1）混沌是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的，对初始条件具有敏感依赖性的非周期行为的状态，处于这种行为状态的系统称为混沌系统。
其中非线性是动力系统出现混沌行为最根本的条件，是系统必然要具备的因素。
（2）在决定论混沌中，混沌是一种动力学系统的演化形式。
在经典力学中，不论耗散系统还是保守系统的运动，都可用相空间中的轨迹来表示。
混沌运动是确定论系统中局限于有限相空间的轨道的高度不稳定的运动。
（3）世界知名的动力气象学家，混沌理论的创立者之一Lorenz指出混沌具有三个特点1貌似随机；2对初始条件敏感的依赖性；3敏感的依赖于初始条件的内在变化。
二混沌特征（1）对初始条件的敏感依赖性表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动，则在时间演化过程中该轨道将以指数律发散的形式偏离原轨道。
典型的现象是蝴蝶效应，也可用“失之毫厘，谬以千里”（2）长期不可预测性混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可以预测的，混沌对初始值的敏感性说明对其进行预测存在一定难度。
对于一个混沌过程，对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢失一部分信息，当预测若干次后，丢失的信息越来越多，剩余的信息不足以进行合适的预测，因此混沌不适合做长期预测。
（3）分形性分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征，表示混沌运动状态具有多叶，多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。
混沌理论简介集智百科
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本⽂将介绍混沌理论的基本概念，相关概念，著名学者，⼀些学习资源推介，供⼤家深⼊学习。
⽬录⼀、什么是混沌理论？⼆、混沌理论的相关概念三、混沌理论的⼏个典型⽰例四、相关资源推荐五、集智百科词条志愿者招募1、什么是混沌理论？“南美洲⼀只蝴蝶扇⼀扇翅膀，就可能会在佛罗⾥达引起⼀场飓风。
”想必⼤家对这样⼀句话都不陌⽣，这⾥描述的就是⼀种典型的混沌现象：蝴蝶效应。
混沌是⼀个由⾮线性效应引起的⼀个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、⽆周期性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。
混沌理论则是研究这⼀类典型现象的理论，是系统从有序突然变为⽆序状态的⼀种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。
2.混沌的重要概念混沌边缘（Edge of chaos）混沌边缘（Edge of chaos）是⼀个⽤来形容由计算机科学家克⾥斯托弗·朗顿发现的现象。
最开始该现象被⽤来描述⼀个变量λ的⼀段取值范围，该变量是作为细胞⾃动机的⼀个参数。
当λ变化，细胞⾃动机的⾏为会产⽣相变。
克⾥斯托弗·朗顿（Christopher Langton)发现λ的某⼀⼩段取值可以使细胞⾃动机具有通⽤计算的能⼒。
根据λ的连续变化能够得到四种细胞⾃动机之间的过渡转化图景即：固定点->周期->复杂->混沌，因此我们说，复杂的结构诞⽣于混沌的边缘。
点击官⽹链接体验不同阈值下的混沌边缘状态吸引⼦（Attractor）吸引⼦（Attractor）是微积分和系统科学论中的⼀个概念。
⼀个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引⼦。
混沌理论发展现状的综述
混沌理论发展现状的综述摘要：混沌理论是非线性科学的重要理论，是20世纪的三大科学革命之一，自提出以来在各个领域得到了广泛的应用，具有极大的研究意义。
本文基于前人研究工作的基础上，总结了国内对于混沌理论的研究现状，并提出了其发展方向。
关键词：1•前言混沌现象是自然界的一个普遍现象，所以在工程实际中系统会不可避免的出现混沌现象而不能正常工作，这对生产生活造成了极大的影响。
我们希望系统能够稳定的工作，并且能很好的对系统进行控制，使它按照人们的要求去工作。
总的来说，研究混沌，目的就是为了在工程中应用混沌、避开混沌。
因此，按照这一原则，用工程手段来处理混沌问题或者利用混沌解决实际问题具有十分重要的现实意义。
近代以来，我国对混沌现象不断地进行着探索与研究，本文将对我国混沌理论的发展情况进行综述。
2.国内研究现状我国物理学界对混沌现象的注意，始于1980年夏天在大连举行的第二届全国非平衡统计物理会议。
我国著名的混沌学家、中国科学院院士郝柏林指出：“混沌，这个在中外文化渊源悠久的词，正在成为具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学。
"他还指出："越来越多的人认识到,这是相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击.这也许是20世纪后半叶数理科学所做的意义最为深远的贡献。
〃1983年，郝柏林院士在《物理学进展》1983年第3期上发表长篇论文“分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它〃，这是在中国传播混沌学的最重要的文献之一。
1984年11月在桂林举行“非线性系统中不稳定性和随机性〃学术讨论会时，80多位来自高等学校和科学院各所的与会者反映了我国各个学科工作者己经取得的一批研究成果，混沌现象的研究己经明确属于基础研究范围。
科学院一批研究所进行了有关混沌的理论或实验研究课题。
理论物理研究所在临界慢化、分频釆样方法、一维映像的符号动力学和用符号动力学于常微分方程周期窗口排序，以及吸引子维数计算等方面有一批结果，并将混沌研究列为开放所的课题。
混沌理论——精选推荐
混沌理论混沌理论混沌理论是当今世界最伟⼤的理论之⼀。
它是社会科学与⾃然科学最完美结合的理论.它研究如何把复杂的⾮稳定事件控制到稳定状态的⽅法，它研究世界如何在不稳定的环境中稳定发展的问题。
.混沌⽅法对于处理复杂多变、动荡不定的重⼤事件有特殊功效混沌世界是纷繁复杂多变的世界。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量⼦⼒学则消除了关于可控测量过程的⽜顿式的梦；⽽混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。
”⼀点就是未来⽆法确定。
如果你某⼀天确定了，那是你撞上了。
第⼆事物的发展是通过⾃我相似的秩序来实现的。
看见云彩，知道他是云彩，看见⼀座⼭，就知道是⼀座⼭，凭什么？就是⾃我相似。
这是混沌理论两个基本的概念。
混沌理论还有⼀个是发展⼈格，他有三个原则，⼀个是事物的发展总是向他阻⼒最⼩的⽅向运动。
第⼆个原则当事物改变⽅向的时候，他存在⼀些结构。
⼀混沌理论（Chaos theory）是⼀种兼具质性思考与量化分析的⽅法，⽤以探讨动态系统中（如：⼈⼝移动、化学反应、⽓象变化、社会⾏为等）⽆法⽤单⼀的数据关系，⽽必须⽤整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之⾏为。
⼆混沌⼀词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西⽅⾃然科学家经过长期的探讨，逐⼀发现众多⾃然界中的规律，如⼤家⽿熟能详的地⼼引⼒、杠杆原理、相对论等。
这些⾃然规律都能⽤单⼀的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的⾏径。
三近半世纪以来，科学家发现许多⾃然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其⾏径却⽆法加以预测。
如⽓象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令⼈⽆法想象的⽓象变化，产⽣所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下⼤雪，经追根究底却发现是受到⼏个⽉前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产⽣⽓流所造成的。
⼀九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的⾏径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并⽆⼀定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。
混沌理论
混沌也能使你更易理解大师们终生的感悟。如道氏眼 中永恒的 5-3 波浪态、江恩《时空隧道》轮中之轮的循环 的描述、其及对书中之书《圣经》的解读， “好的操盘 手是没有观点的操盘手。”爱德华的“顺势而为”《交易 与禅宗》：“让市场而非自我去做决策——我不做技术分 析、基本分析，我仅仅随市场波动。”具备混沌基础后， 再读巴菲特、索罗斯、李佛莫尔、各种各样的华尔街股谚 等，会有全新的认知与感悟，你会看见他们多年的理念与 见识，多方面的认证了混沌世界所认可的规律。更有助于 理解均线系统或MACD等的价值与重点所在，以及RSI、 KDJ等技术指标之无价值。宫本武藏在其传世兵书的序中 写到：“终于在55岁时，我悟到了所谓兵法的精髓，至此 所有的修炼方式对我都失去了意义。我懂得了做一切事情 的至高无上的方法，乃是仿效自然。”
量子世界、人类历史、地震、天气运 行 …… 莫不如此。远至恐龙时代的大小 生态灭绝事件，近至非典、北美大停电、 各国证券市场，每年无数个烟头被仍向 场内，引发或大或小的震动，并蔓延、 终止 …… 但到底哪个烟头，才是那颗重 要的烟头？
相同的初始力，令人瞠目的结果，是所有混沌 系统的基本特征。大家都不难理解，曾救了萨达 姆命的藏身之所，这次偏就成了送命之处，但很 多人却很难理解同样一个历史点位，并不代表同 样的未来。许多历史学家在逐次的趋势和循环中， 搜寻说得过去的理由与解释，显然是用错了工具。 这些传统观念产生于匀衡物理和天文学中，而合 适的工具，却在非线性的非匀衡物理中。新物理 学家们则开始用模拟游戏代替方程式，去发现事 态运行的规律。
混沌理论，这个新世纪科学界的崭新世界观和 方法论，能轻易的扫除许多传统理论的大小谬误 与误区，但其自身的发展，仅仅还只是开始，未 来广阔的进步空间，也将超过今天我们所有的理 解。 布莱克在《混沌开创新科学》写到：“相对论排 除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除 了决定论可预见性的狂想。”更有人说：“ 20 世 纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子 力学和混沌”。“上世纪初人们经历了相对论和 量子力学两次科学革命。混沌革命，却是我们正 在经历的革命。”
混沌理论
混沌理论简介混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法。
混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
这意味着，系统具有放大作用。
一个微小的运动经过系统的放大，最终影响会远远超过该运动的本身。
所以，当有人说，因为英国的一只蝴蝶扇了一下翅膀，中国可能会遭受一场台风时，他的观点里就包含着混沌理论的思想。
两个基本的概念：第一，未来无法确定。
如果你某一天确定了，那是你撞上了。
第二，事物的发展是通过自我相似的规律来实现的。
看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。
有三个原则：1、能量永远会遵循阻力最小的途径。
2、始终存在着通常不可见的根本结构，这个结构决定阻力最小的途径。
3、这种始终存在而通常不可见的根本结构，不仅可以被发现，而且可以被改变。
起因混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。
所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。
具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。
但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。
混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。
如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。
混沌理论的特性混沌理论有以下几个特性：1，随机性．2，敏感性． 3，分维性． 4，普适性．5，标度律．运用混沌理论在教育行政、课程与教学、教育研究、教育测验等方面已经有些许应用的例子。
混沌理论
（三）人生发展的分叉之路--倍周期分叉现象举例
一个人在其一生的发展道路上，将会经历几个重大的发展阶段，在重大发展阶段交替的时点上，他们将面临有关发展前途问题的重大选择。我们称之为人生发展的Logistic分叉之路。
3.Logistic倍周期分叉现象
事物在经历了一定的阶段之后，就必然会迎来一个崭新的阶段。在新旧阶段交替的时点上，人们将面临选择的两难困境，同时，人们也只能在各种两难选择方案中确定其中之一种，作为其发展的道路。这种选择的过程，就称为倍周期分叉现象。它在现实世界的政治、经济、生活中具有普遍性。[7]
判定世界政治、经济现象是否为混沌现象，是应用混沌理论解决问题的先决条件。所以，本文的目的是判定世界上发生的重大政治经济的事件中那些是混沌现象。至于如何处理混沌现象，则在其它文章中再深入研究。
一、混沌现象的定义
混沌理论证明，在世界上发生的具有如下特征的事件均属混沌事件，即混沌现象。
4.政治、经济生活中的奇怪吸引子现象
当一个国家或地区的政治、经济体系处于结构变革时期时，它的体系就属于结构耗散系统。这时该国的政治或经济生活中就会出现一些按常理难以解释的奇特现象，而且这种现象的影响力极大。这种现象就叫奇怪吸引子现象[8]。
（二）路径锁定战略策略、路径锁定行为规则
1.路径锁定了法国、俄国数百年的国际政治战略规则
(1)法国人的路径锁定效应--挑战头号强国
自从法国国王路易十四之后，法国失去了世界第一强国的地位，不甘示弱的法国人在此之后多次梦想恢复昔日世界头号强国的地位。于是，法国人尤其是法国政府选择了在政治上军事上与世界头号强国做对的战略原则，几百年来这种战略原则已经形成法国政府处理国际事务的自然规则。法国人被这种规则锁定了（即路径锁定）。在这种路径锁定效应的作用下，曾有许多法国军事、政治领袖向当时的世界头号强国挑战，结果均以失败而告终。例如，拿破仑挑战当时的世界头号强国英国，结果以失败而告终。又如第一次世界大战结束后，法国又梦想称霸世界，结果在二次世界大战暴发不久即被德国打得狼贝不堪，后来靠美英苏的帮助才得以恢复其主权。二次大战结束后，法国已没有成为头号世界强国的可能性了。但是，它仍未改变其数百年来处理国际政治、军事的习惯规则，他们仍然在许多重大国际事务中与头号强国美国做对，无论是戴高乐总统、密特朗总统，还是今日的法国政府都是这么干的，他们都没有驶出路径锁定效应所锁定的"挑战头号强国"的国际政治轨道。
物理混沌品质知识点总结
物理混沌品质知识点总结一、混沌的定义混沌是指某些非线性系统具有高度不可预测性和不确定性的状态。
在这种状态下，系统的演化呈现出高度复杂的行为，即使是微小的扰动也可能导致系统的演化轨迹有很大的不同，因此很难进行长期的预测和控制。
二、混沌的来源混沌现象的产生主要是由于系统的非线性和灵敏度。
在非线性系统中，系统的行为往往会呈现出复杂、不规则和不可预测的特性，因为非线性系统的演化方程通常是复杂的非线性方程，难以用数学方法来精确描述。
而系统的灵敏度则是指系统对初始条件的微小变化非常敏感，即初始条件的微小不同可能会导致系统演化轨迹的显著不同，从而产生混沌现象。
三、混沌的特征1. 随机性：混沌系统的演化轨迹呈现出随机的特性，即使系统的演化方程是确定性的，也很难进行长期的预测。
2. 不可预测性：混沌系统的演化轨迹对初始条件非常敏感，微小的扰动就可能导致系统的演化轨迹产生巨大的差异，因此很难进行长期的预测。
3. 确率性：混沌系统的演化轨迹在某种程度上是确定性的，但受到噪声和随机扰动的影响也可能呈现出概率性的特性。
4. 复杂性：混沌系统的演化轨迹通常呈现出高度复杂的结构和形态，不规则性和多样性。
四、混沌的研究方法1. 数值模拟：利用计算机等技术手段对非线性系统进行数值模拟，以便研究系统的演化轨迹和动力学特性。
2. 实验观测：通过实验手段观测和测量真实系统的演化轨迹，以研究系统的混沌特性。
3. 理论分析：通过数学方法对非线性系统进行理论分析，以推导系统的混沌特性和动力学特性。
五、混沌在自然界中的应用1. 大气环流和气候系统：混沌现象在大气环流和气候系统中广泛存在，例如热带气旋、季风环流等都表现出混沌特性。
2. 生物系统：混沌现象在生物系统中也有着重要的应用，例如心脏的跳动、生物体的运动等都可能受到混沌现象的影响。
3. 水文系统：混沌现象在水文系统中也有着重要的应用，例如河流的泥沙运动、地下水的流动等都可能受到混沌现象的影响。
混沌理论
混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
这意味着，系统具有放大作用。
一个微小的运动经过系统的放大，最终影响会远远超过该运动的本身。
所以，当有人说，因为英国的一只蝴蝶扇了一下翅膀，中国可能会遭受一场台风时，他的观点里就包含着混沌理论的思想。
混沌理论的发展背景[1]混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家Henry Poincare那里得到的启示。
Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想oPoincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60—70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
一个名叫Stephen Smale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。
气象学家Edward Lorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。
混沌理论概述
混沌理论概述1混沌理论的发展 (1)2混沌的主要特征 (2)(1)有界性 (2)遍历性 (2)内随机性 (2)分维性 (3)标度性 (3)普适性 (3)统计特征、正Lyapunov指数及连续功率谱等。
(3)3 混沌理论在保密通信中的应用 (3)1混沌理论的发展所谓混沌，粗略的说是一种在确定系统中所表现出来的类似随机而无规则运动的动力学行为。
由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此，至今混沌还没有一个统一的定义。
混沌是非线性确定性系统的一种内在的随机现象，对混沌现象的研究有助于人们对客观世界的正确认识和把握。
它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一关系。
在混沌动力学的研究中，主要有三个方面的内容，一是研究系统从有序到混沌态的过渡，即探讨系统进入混沌状态的机制与途径;二是研究混沌中的有序行为，即探讨混沌中的普适性和标度不变性;三是研究如何有效地控制混沌或主动地利用混沌。
最先对混沌的研究可以追溯到19世纪，公认为真正发现混沌的第一位学者是法国数学、物理学家H. Poincare，他是在研究太阳系的三体运动时发现混沌的。
20世纪70年代，特别是1975年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。
在这一时期，混沌学作为一门新兴的学科正式诞生了。
1971年，法国的数学物理学家D. Ruelle和荷兰的F. Takens发表了著名论文《论湍流的本质》，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。
进入20世纪80年代，混沌研究己发展成为一个具有明确研究对象和基本课题、具有独特的概念体系和方法论框架的新学科。
从80年代中后期开始，混沌学更是与其它学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是在天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。
混沌理论详解
混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。
Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
对混沌理论的综述
对混沌理论的综述说起“混沌”这个词，我们中国人首先想到的是我国古代传说中宇宙形成以前模糊一团的景象，即古哲学中认为盘古开天辟地之前，天地处于混沌状态。
“太易者，未见气也；太初者，气之始也；太始者，形之似也；太素者，质之始也。
气似质具而未相离，谓之混沌。
”！！！（出自《庄子》）这里的混沌是指元气已具有物质的性质还没有进一步分化的状态。
在国外，“混沌”这个词同样渊流悠久，《圣经》《创世纪》甚至埃及的神话故事中都有关于“混沌”的不同解释，这里我们不一一赘述。
而在当代，混沌正在成为一种具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学。
下面就让我们一起走进这个当代前沿科学“混沌”的世界。
混沌理论产生的背景不断的去探索大自然的规律是科学家的天职，无数的科学家在探索着这些规律，也终他们一生在挑战着人类未知的领域。
物理学家要弄清楚物质的基本粒子，化学家则研究物质的构成、探索新的化学元素，天文学家探索宇宙的奥秘，生物学家则研究生物的演变与进化……他们的努力解决了一个个人类所遇到的难题，也创造出了人类发展史上的一个又一个奇迹。
然而，还是会有很多复杂的问题在困扰着人们。
人们总是思考，为什么天气变化存在着不可预测性，气体和流体在从平稳向湍流变化的过程中存在着哪些中间步骤等等各种所有在确定性系统中出现的貌似随机的不规则运动的问题，也慢慢的有人预感到，这些深奥的问题极可能揭示了大自然更深一层的规律。
这就是混沌。
早在公元前560年，我国的老子提出了宇宙起源于混沌的哲学思想；公元前450年左右，中国的古哲学家庄子也说过这样一句话：南海之地为倏，北海之帝为忽，中央天帝为浑沌。
这里庄子最早把混沌理论引入到政治学的研究中。
他的“中央之帝为混沌”则是对人类行为的混沌性态最早的哲学观点；1903年，美国数学家J.H.Poincare 在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性。
混沌理论 综述 很全
混沌现象举例--昆虫繁衍
假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵 后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于 1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时 又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接 触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负 增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换 后，在 1976 年生物学家罗伯特 .梅最终得到虫口方程如下： Xn+1=λXn (1—Xn) 式中各量的取值范围为 n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
n
则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
Li-Yorke 定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质： 存在所有周期的周期轨道； 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
1. 2.
3.
Байду номын сангаас
混沌的特点
3.
长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
混沌的特点
4.
分形性
分形 (Fractal) 这个词是由曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
混沌现象举例 -蝴蝶效应 1961 年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述
混沌理论综述很全
拉格朗日
三个等质量旳物体，排成等边三角形绕三角形旳中心做 圆周运动。
近代计算机运算
三个等质量旳物体在一条“8”字形轨道上运动。 ------宇宙中还没找到。
混沌与分岔旳起源与发展
❖ 混沌现象发觉后来，有关分岔与混沌之间联络旳研 究得到迅速发展，如：
❖ Rulle和Takens发觉环面分岔通向混沌； ❖ Feigenbaum发觉倍周期分岔通向混沌； ❖ Pomeou等发觉伴随鞍结分岔旳阵发性通向混沌。
混沌旳特点
5. 普适性
❖ 普适性涉及两种，即构造旳普适性和测度旳普适性。 ❖ 当系统趋于混沌时，所体现出旳特征具有普适意义，其
特征不因详细系统旳不同和系统运动方程旳差别而变化。
混沌旳特点
6. 遍历性
❖ 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
混沌旳特点
7. 奇怪吸引子
❖ 混沌旳定性描述，“混沌是拟定性非线性系统旳有界旳敏 感初始条件旳非周期行为”。
混沌旳概念
❖ n周期点旳定义：假如对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于不大于n旳自 然数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 旳一种n周期点。
❖ n周期轨道旳定义：当x0为f 旳一种n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 旳n周期轨道。
混沌旳特点
2. 内在随机性
❖ 拟定性行为一定产生于拟定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是拟定性方程。 随机微分方程体现出来旳随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界逼迫所产生，常称为外在随机性。拟 定性方程本身不包括任何随机原因，但在一定旳参数范 围却能产生出看起来很混乱旳成果，把这种由拟定性方 程产生旳随机性称之为内在随机性。
混沌理论要点
混沌理论要点：1. 非线性系统的非因果性当原因与结果间的关系并不确定时，便产生非线性现象。
比如说利率提高1％（原因），市场反应（结果）就是不确定的——结果取决于人群对该消息的解释。
再如美国家森林公园，每年都由雷电引起数百起火灾（起因相同），仿佛老天爷每年都要向大地投放火星大小相同的成百上千个未熄的烟头，于是几百次火灾被引发，并蔓延、终止，有时烧毁数亩、有时蔓延数百亩，有时……1988年那次，使黄石公园全部150万亩森林片草无存（该公园去年已被世界自然遗产目录剔除）。
以致其它森林公园为防止枯草积得太厚，还不得不让消防人员，每年人为制造些火灾。
量子世界、人类历史、地震、天气运行……莫不如此。
远至恐龙时代的大小生态灭绝事件，近至非典、上月的北美大停电、各国证券市场，每年无数个烟头被仍向场内，引发或大或小的震动，并蔓延、终止……但到底哪个烟头，才是那颗重要的烟头？相同的初始力，令人瞠目的结果，是所有混沌系统的基本特征。
大家都不难理解，曾救了萨达姆命的藏身之所，这次偏就成了送命之处，但很多人却很难理解同样一个历史点位，并不代表同样的未来。
许多历史学家在逐次的趋势和循环中，搜寻说得过去的理由与解释，显然是用错了工具。
这些传统观念产生于匀衡物理和天文学中，而合适的工具，却在非线性的非匀衡物理中。
新物理学家们则开始用模拟游戏代替方程式，去发现事态运行的规律。
2.对初始条件的极端敏感依赖性伦敦气象局计算机系统每日处理覆盖全欧洲的数千个气象站的上亿条数据，一次洛伦兹将5.06127输入为5.06，万分之一的省略，提供了两份截然不同的天气预报。
于是洛伦兹在美国科学促进会提出：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀可能会在美国德克萨斯引起一场龙卷风”，从此，令人着迷、发人深省的“蝴蝶效应”，就以其大胆的想象力与迷人美学色彩，更加之深刻科学内涵与内在哲学魅力，倾倒了不断在复杂系统中苦苦求索的芸芸众生。
“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个基本特征：对初始条件的极端敏感依赖性。
混沌理论
企业创新过程管理研究
• 创新是行为主体相互作用所带来的突现现象， 只能在企业系统特定创新空间中自发产生，无 法加以计划或规定。企业创新是从旧结构转变 为新结构、从低级有序走向高级有序的混沌发 展过程。 • 企业创新，无论是成员个人还是组织群体，都 要经历混沌过程。
企业创新过程管理研究
• 从系统混沌理论的视角看，企业创新过 程管理的关键是激发创新混沌的产生、 引导创新混沌的发展和促进创新混沌的 结束，进而促使企业系统从低级向高级 有序转化。
混沌理论
定义
• 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思 考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中 （如：人口移动、化学反应、气象变化、社会 行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整 体、连续的数据关系才能解释及预测之行为。 • “相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想； 量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式 的梦；而混沌则消除了拉普拉斯 关于决定论 式可预测的幻想。” • 蝴蝶效应
3、促进创新混沌的稳定协调
• 混沌是企业系统发展中相对短暂的过程，企业 创新过程管理既要诱发混沌，引导混沌，又要 控制混沌，协调混沌，使企业逐步脱离混沌， 稳定在新的更加有序结构上。 • 要有创新成果的辨识和评价机制 • 要有创新成果的分享机制 • 要有创新混沌的抑制机制
其他应用领域
• 其他领域教育、政府、旅游、企业等
• • • • • • • • • 金融风险管理 企业人力资源管理 高校图书馆危机管理 高校教学管理 政府公共危机管理 地方政府债务风险预警管理 信息资源管理 项目研发管理 交通状态预测
主要参考文献
• 李志刚，张吉军.基于系统混沌理论的企业创新 管理研究[J].2011,2（24）：31-34 • 王宁.基于混沌理论的企业管理研究[D].北京工 业大学，2006 • 罗珉，李映东.混沌理论对管理学发展的启示 [J].财经科学，2004，（6）：20-23 • ......
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混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
混沌的概念
❖ 混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
❖ Li-Yorke定理：
❖ 设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
❖ ① 存在一切周期的周期点； ❖ ②存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
3. 任一敏感性
❖ 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
❖ 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的 著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运 动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
❖ 相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） ❖ 相空间的子集合 ❖ 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它
表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化; ❖ 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，
即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是 连续随参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生 突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。
拉格朗日
三个等质量的物体，排成等边三角形绕三角形的中心做 圆周运动。
近代计算机运算
三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。 ------宇宙中还没找到。
混沌与分岔的起源与发展
❖ 混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研 究得到迅速发展，如：
❖ Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； ❖ Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； ❖ Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
混沌的特点
5. 普适性
❖ 普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 ❖ 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
6. 遍历性
❖ 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
混沌的特点
7. 奇怪吸引子
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
❖ 则称 f 在S上是混沌的。
混沌的概念
❖ Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
❖ 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
❖ 所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
❖ 分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
❖ 混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重 要特征之一。
混沌的特点
3. 长期不可预测性
❖ 由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
4. 分形性
混沌的特点
❖ 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
三体问题的进展 16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即特
殊情况下的简单稳定运动轨道。
欧拉 三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体绕 中间物体做圆周运动。
正如我们前面所说的，系统的混沌运动在相空间中无 穷地缠绕、折叠和扭结，构成了具有无穷层次的自相似 结构，这种结构称为奇异吸引子。典型的有：