分式的恒等变形
五年级下册分式的恒等变形的技巧
五年级下册分式的恒等变形的技巧
分式恒等变形的技巧：
1、两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。
2、两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。
3、两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。
分式恒等变形的定义：
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。
它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性。
分式恒等变形的主要内容：
分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明。
分式恒等变形的例题：
已知x 、y、z为3个互不相等的实数，且
x+(1/y)=y+(1/z)=z+(1/x)
求证：x²，y²，z²=1
由已知可得x-y=1/y+1/z=（y-z）/yz 所以yz=（y-z）/（x-y）其余的也一样按此方法推最后可得原式=xy*yz*zx=1。
奥数-分式恒等变形师
分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。
例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。
（1/8） 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。
（3）例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x ，y ，z 全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 【解析】 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a +++=++++++-+44816448161111a a a a =+++-+++1616161611a a =+-+32323232112a ==--例6. 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，求证： 7777771111a b c a b c++=++.【证明】：由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=，有()()()0a b b c a c +++=，则a ，b ，c 中一定有两个数互为相反数。
分式恒等变形
分式恒等变形分式恒等变形是数学中的一种重要的概念，它通过对分式进行一系列的等式变形，从而得到与原分式等价的新的分式。
在进行分式恒等变形时，我们需要遵循一定的规则和方法，以确保变形过程的准确性和合理性。
首先，我们来了解一下分式的基本结构。
一个分式通常由一个分子和一个分母组成，分子表示分式的上部，而分母则表示分式的下部。
例如，分式"1/2"中，1是分子，2是分母。
分式恒等变形的目的是通过对分式的分子和分母进行等式变形，得到与原分式等价的新的分式。
在进行变形时，我们可以使用一系列的代数运算和性质，如乘法、除法、加法、减法、分配律等。
下面，我们将介绍一些常见的分式恒等变形方法。
1.乘法法则：对分式的分子和分母同时乘以同一个数，可以得到一个与原分式等价的新的分式。
例如，对于分式"1/2"，我们可以将其乘以2，得到"2/4"，这两个分式是等价的。
2.除法法则：对分式的分子和分母同时除以同一个数，可以得到一个与原分式等价的新的分式。
例如，对于分式"2/4"，我们可以将其除以2，得到"1/2"，这两个分式是等价的。
3.加法法则：对分式的分子和分母同时加上同一个数，可以得到一个与原分式等价的新的分式。
例如，对于分式"1/2"，我们可以将其分子和分母都加上1，得到"2/3"，这两个分式是等价的。
4.减法法则：对分式的分子和分母同时减去同一个数，可以得到一个与原分式等价的新的分式。
例如，对于分式"2/3"，我们可以将其分子和分母都减去1，得到"1/2"，这两个分式是等价的。
在进行分式恒等变形时，我们需要确保变形过程的准确性和合理性。
我们可以使用代数运算和性质来推导和验证变形结果，以确保其正确性。
总结起来，分式恒等变形是数学中一种重要的概念，通过对分式的分子和分母进行等式变形，可以得到与原分式等价的新的分式。
分式的恒等变形精讲精练
一、化分式为部分分式的和【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛)下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B .【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 .【例3】 （5级）若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值.【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足1114a b +=，则a b +的最大值是 ．【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，28339m n xx x x -=+--均成立，求mn .【例7】 （5级）若关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx Nx x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .【例8】 （4级）将269x -化为部分分式.分式恒等变形（竞赛部分）【例9】 （4级）化21(1)(2)x x x ---为部分分式．【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：2342x x x +--.【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)x x x x x -++++.【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32241338(1)(2)(1)x x x x x x -+++--.【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)x x x x x ++-+-.二、分式的恒等证明【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛）求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【例17】 （5级）已知：a c b d=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.【例18】 （5级）若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c az c a-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---【例19】 （5级）若1abc =，求证：1111a b ca ab b bc c ca++=++++++.【例20】 （5级）(2003年第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题)已知1111a b ca ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =.【例21】 （6级）(1986年中国数学奥林匹克竞赛赛前培训试题) 已知2220a b cbc a ca b ab c ++=---，求证：()()()2222220a b cbc a ca b ab c ++=---.【例22】 （6级）已知0a b cb c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.【例23】 (5级)(2002年北京市中学生数学竞赛初二复赛题二)已知0abc ≠，证明：下列四个数3333()()()(),,,a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc++------中至少有一个不小于6．【例24】 （5级）已知223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a bx y+=。
分式方程与反比例函数知识点总结
分 式1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例：已知 ，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
例：若 ，则求6. 分式的运算：1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
苏科版八年级数学下_10.2分式的基本性质
别除以它们的公因式，叫做分式的约分.
2. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最
大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公
因式；
(2)当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再
按(1)中的方法找公因式.
感悟新知
3. 约分的方法
知2－讲
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分
(1) 1255xx2yy2＝
(
3x 5y
)；(2)a＋ab22b＝(a2a+22ba2b )；
(3)
x23－x xy＝
3
(x－y
).
知1－讲
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了
什么样的变化，再根据分式的基本性质
用相同的变化确定所要填的式子.
感悟新知
知1－讲
解法提醒： 解决与分式的恒等变形有关的填空题时，一般从分子
常取最简公分母.
感悟新知
3. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母；
知3－讲
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式.
4. 约分与通分的关系
感悟新知
例 7 把下列各组分式通分：
(1) 6x52yz3和 4x33y2z；
(2)
x－a y，
3x－b 3y，
式，再按照分母都是单项式时求最简公分母的方法，
从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定.
感悟新知
知2－讲
解：(1)分母 6x2yz3、4x3y2z 的的最简公分母是 12x3y2z3， 6x52yz3＝ 6x52·yz32·xy2xy＝ 1120xx3yy2z3， 4x33y2z＝ 4x33·y2z3·z23z2＝ 129xz32y2z3；
利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解.分式的拆分等一、方法技巧1.待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式/（x） = g （x）的充要条件是：对于一个任意的值，都有/（X）= g（x）:或者两个多项式各关于X的同类项的系数对应相等.2.使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）：（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如："已知x2-5=（2-6/）-X2 +Z?x+c,求d, b, c 的值."解答此题，并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到b, c的值.这里的a, b f c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法.3.格式与步骤：（1）确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：（2 —a）/+bx+c（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.a = l/• < b = 0c = -5二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式2x4-3x3 +股‘ + 7x+b能被F + x—2整除（1）求o, b（2）分解因式：2x4-3x34-ax2 + 7x+b【答案】（1）a=一12和/?= 6 （2）2兀“-3x‘一12亍+ 7x+6 =（兀'+x-2）（2x‘一5兀一3）【解析】试题分析：（1）由条件可知疋+ /-2是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为巾，故可设2疋一3疋+ +7x+b = （x‘+兀一2）（2亍+肌¥+川），可解出〃7、m最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：(1) T 多项式2x° —3x‘ + QX7 + 7x+ b 能被AT +x— 2 整除•••设2x4 -3x‘ + + 7x+b = (x，+兀一2)(2亍 + 〃?x + 〃),整理，得2x4一3x3 + ax2 +7x+b = 2x4 + (〃?+2)牙‘ + 伽+n-4)x2 + (/?-2m)x一2n m + 2 = -3 m+n-4=a n一2m = 7 b = -2/?b = 6•••a、b的值分别为-12和6.(2) 2疋-3屮-12亍 + 7兀+6 =(x2 +x-2)(2x z-5x-3)考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘枳，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：2x2 + 5xy-3y2-3x+5y-2【答案】2x2 + 5.巧-3y‘ - 3x + 5y-2 = (2x-y + l) (x+3y-2)【解析】试题分析：方法一因为2x2 + 5xy^-3y2=C2x-y)(x+3y),因此加果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘枳，那么设原式的分解式是(2x-y+加)(x + 3y切),其中加、n为待定系数•然后展开，利用多项式的恒等，求出〃7、〃的值.试题解析：解：•: 2亍+ 5厂一3尸=(2x_y) (x+3y),:.设2亍+5xy-3y2 -3x+5y-2 = (2x-y + m)(x + 3y + “)即2x2 + 5号一3才一3x+5y - 2 = (2x - y) (x+3y)+(m+2n )x4-(3/tt-n)y + nm"2 m =—3 n = -3m + In = -3 ①对比系数，得：3/n -n = 5 ②mn = -2③ = 1n = -2代入③式也成立.••• 2x 2 + 5xy^-3y 2-3x + 5y-2 = C2x-y + l) (x+3y-2)试题分析：方法二前面同思路1,因为2x 2 + 5心-3)F_3x+5y-2 =(2x-y)(x+3y)+(〃7+2“)x+(一幵)y + mn 是恒等式，所以对 任意的值，等式都成立，所以给取特殊值，即可求出〃7屮的值.试题解析：解：V 2x 2 + 5xy-3y 2 =(2x-y) (x+3y),/•设+ 5卩一3)F -3x+5y-2 = (2x —(x+3y+〃)即 2x 2 + 5A)?-3y 2 -3x+5y - 2 = (2x-y)(x+3y)+(加+2M )X +(3 加-/7)y+/wf?•・•该式是恒等式，・••它对所有使式子有意义的X, y 都成立，那么令x = 0, y = 0得:nm = -2®令 x = 0, y = 1得：3加一〃 +肋一3 = 0 ② m = l解①、②组成的方程组，得｛ 或 n = -2m — 1把它们分别代入恒等式检验，得彳n = -2/• 2x 2 + 5xy-3y 2 -3x + 5y-2 = (2x- y+ 1) (x+3y-2)考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的 解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去：若得方程组无解，则说明原式不能分解成所 设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】将分式---------------- 拆分成两个分式的和的形式.(r + l)(x + l)1-x + 1解: 【例题【答案】 ------------------- = ---------------- + --------------(x2 +1)(% +1)2(%2 +1) 2(x +1)【解析】试题分析:［ax + b c设 ------- ------- =—+ —,将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可. (X" + l)(x+ 1) JT + 1 X+ 1试题解析:ax+b c x2 +1 x+1ax+b c 而「+ i ~ (a + c)x2 + (a + b)x+b + c(亍 + 1)(兀+1)即r 1=(•L + l)(X + l)(a + c)x2 + (a + b)x + b + c(x2 +l)(x+l)解得“弓"冷.1 -x+1 1——; ------------- = ； H ----------------------------(x2 + l)(x +1) 2(亍 +1) 2(x +1)考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难1 1 1 1------------- + -----------------------+ ----------------------- +・・・+ -----------------------a(a + l) (a + l)(a + 2) (a + 2)(a + 3) (a + 9)(a + 10)■ “ 小10［答案］— ------ ——a(a + 10)【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若d是整数)，所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：1 A R解：我们设=- + —a(a + l) ci a + l1.A B A(a + l) + Ba (A + B)a + AIIIJ —— + ------ = ----------------------- =--------- - ------ - --a a + 1 a(a + l) a(a + l)所以]a(a +比较分子得：+ B = 解得：= lIA = 1 15 = —1卄〜1 1 1 1 1 1 1 1a a + l67 + 1 a + 2 a + 2 a + 3 a + 9 a + 10考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的枳，可直接用公式1 1 1 jr/,— ----- -=---------- 拆分.n（n + l） n n + 1【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知（干一〃泾+3）（3兀一2）的积中不含x的二次项，则〃？的值是（）2 2 3A. 0B. —C. 一一D. —3 3 2【答案】C【解析】试题分析：将多项式（亍-加+3）（3x-2）展开、合并，按x的降幕排列，根据积中不含x的二次项等价于F项的系数为零列方程即可求得加的值.试题解析：解：•・•（x2 - mx+3）（3x - 2） = 3x3 - 3mx2 +9x-2x2 + 2mx一6=—（3〃7+2）亍+（9+2〃7）X-6•・•积中不含x的二次项，•°・ 3/77 4-2 = 0»2解得/;/ = — .3故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1•若多项式3F + 5JQ，—2于+兀+9＞，+ ”能被3x—y + 4整除，则〃 = ________ .【答案】-4【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商乂除式（余式为0）,其除式为3x-y + 4即可试题解析：解：设原式=（3x — y + 4）（x+2y + 也）=3x2 + 5xy- 2y2+（3〃?+4）x+（8—〃7）y+3/w + 4 = 1 ①比较系数，得：老一加=9 ②n = 4加③由①，②解得〃7 = —1,代入③得n = -4考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式二商x除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2.分解因式：h + x' + F + x + l【答案】x4 + x3+x2+x+l =(X2 + 1-耳Y+l)(〒 + ^\ + 1)2【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法; 虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法一待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的枳，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设X1 + X3 + 妒 + 兀+1 = (x2 + mx+V)(x2 + nx +1)而(X2 + mx + l)(x2 + nx +1)m + n = lmn + 2 = 1/. x4 + x5 + x2 +x + l = (x2 + ] + l)(x2 + 上逅x +1)2 2考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：ler + 3ab- 9b2 +146/- 3Z? + 20【答案】2亍+3”-松+14。
分式恒等变形公式
分式恒等变形公式分式恒等变形公式可是数学里的一个重要“武器”，它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多数学难题的大门。
咱先来说说啥是分式恒等变形。
简单来讲，就是把一个分式通过各种操作，变成跟它完全等价，但形式不同的另一个分式。
这就好比你有一块橡皮泥，你可以把它捏成各种形状，但本质上还是那块橡皮泥。
就拿一个简单的例子来说，比如说分式$\frac{a}{b}$，给分子分母同时乘以一个数 c ，就变成了$\frac{ac}{bc}$，这就是一种恒等变形。
在分式恒等变形中，有几个特别重要的公式。
比如说，通分，这可是个常用的手段。
假设咱们有两个分式，$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，要把它们相加，就得先通分，通分后的结果就是$\frac{ad}{bd} +\frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}$。
这就像是把两条不同粗细的绳子，搓成一股更粗的绳子。
还有约分，这就像是把一个复杂的图形简化，只留下最关键的部分。
比如$\frac{ac}{bc}$，分子分母同时除以 c ，就变成了$\frac{a}{b}$。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白为啥要通分约分。
我就拿分蛋糕来给他打比方。
我说，假如有一块大蛋糕要分给 b 个人，每个人能分到的就是$\frac{1}{b}$。
现在有 a 块这样的蛋糕，那总共不就是$\frac{a}{b}$嘛。
然后又来 c 块小一点的蛋糕，要分给 d 个人，每个人能分到$\frac{1}{d}$，那这 c 块蛋糕总共就是$\frac{c}{d}$。
现在要把这两种蛋糕合在一起分给大家，那不得先把它们变成一样大小的份额，才能好分嘛，这就是通分的道理。
这孩子一听，恍然大悟，眼睛都亮了。
再说说分式的乘法和除法。
分式相乘，就是分子乘分子，分母乘分母。
比如$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$。
分式(基础)知识讲解
分式(基础)知识讲解分式的概念和性质（基础）研究目标】1.理解分式的概念，能够求出使分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件。
2.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算。
要点梳理】要点一、分式的概念分式是由两个整式相除得到的商式，其中分母中含有字母。
分数是整式，不是分式。
分数的分子、分母中都不含字母。
分式与分数是相互联系的，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a/πx^2y是整式而不能当作分式。
要点二、分式有意义、无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零。
2.分式无意义的条件：分母等于零。
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。
要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质。
用式子表示是：A/M ÷ B/M = A/B，其中M是不等于零的整式。
在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化。
要点四、分式的变号法则在变形后，字母x的取值范围可能变大了。
对于分式中的分子、分母和分式本身的符号，只要改变其中任何两个，分式的值不变；但改变其中任何一个或三个，分式的值会变成原分式的相反数。
要点解释：根据分式的基本性质，我们可以得出上述结论。
同时，根据有理数除法的符号法则，我们可以知道，分式与分子、分母同号，结果为正；异号，结果为负。
分式的符号法则在分式的运算中非常重要。
要点五、分式的约分和最简分式与分数的约分类似，我们可以利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
要点解释：约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式。
分式基本性质
04
分式运算
分式乘除法运算
分子乘分子，分母乘分母
当分式的分子和分母都是多项式时，应先进行因式分解 ，再约分。约分时，分子和分母同时除以它们的最大公 因式。
整式与分式的乘除法
在分式的乘除法运算中，如果分子或分母是多项式，可 以将这个多项式作为一个整体，运用整式的乘除法法则 进行计算。
负号移到分母
当分式的分子或分母是多项式时，如果有负号，可以将 这个负号移到分母上，同时改变分式的符号。
例如解方程 x/2 + 1/(x-1) = 2，步骤 为：设y=x-1，则原方程变为y/2 + 1/y = 2，解得y=1或y=-2，经检验 得x=3或x=-1
参数法
例如解方程 (x+1)/x = (3-x)/(2x+4) ，步骤为：设t=x+1，则原方程变为 t/t-1 = (3-t)/(2t+2)，解得t=1或t=3，经检验得x=-2或x=4
因式分解
在进行通分时，需要对分子或分母进行因式分解，以便更好地进行通分。例如， $\frac{2x+4}{3x^2+2x}$可以分解为$\frac{2(x+2)}{x(x+1)}$。
乘除法通分
对于一些简单的分式，可以通过乘除法进行通分。例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$可 以通分为$\frac{8}{12}$和$\frac{9}{12}$。
VS
间接通分
间接通分是指通过引入中间变量或利用等 价关系进行通分。例如，将 $\frac{x+1}{x^2-1}$和$\frac{x-1}{x^22x+1}$进行通分，可以先将后者变形为 $\frac{(x-1)^2}{x^2-2x+1}$，再利用等 价关系进行通分。
分式(三)分式恒等变形
分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程专题一、分式基本知识1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
（1）分式与整式最本质的区别：分式的分母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
（2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。
2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） （1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3、分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
（4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=鑫鹏学校母中的部分项的符号。
5、分式的运算：（1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
（2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
（3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算（5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式分式的基本性质
2023-11-04CATALOGUE目录•分式的定义与概念•分式的基本性质•分式的运算•分式方程•分式的简化与化简•分式在实际生活中的应用01分式的定义与概念分式的定义分子在分式$\frac{A}{B}$中，A叫做分式的分子。
分母在分式$\frac{A}{B}$中，B叫做分式的分母。
定义如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。
分式值为0的条件当分母为0，而分子不为0时，分式的值无意义。
分式通分将异分母的分式化为同分母的分式的过程。
分式约分将分子和分母同时除以它们的公因式，将分式化简。
分式的基本概念分式的重要性分式是数学中一个重要的概念，是连接整式与分数的桥梁。
分式的运算是数学中的基本运算之一，掌握好分式的性质和运算法则是学习数学的基础。
02分式的基本性质03约分后结果约分后的结果是分子、分母没有公因式的分式或整式。
分式的约分01约分定义约分是分式的一种恒等变形，其目的是将一个分式化简成最简分式或整式。
02约分步骤首先将分子、分母的公因式提取出来，然后约去分子、分母的公因式。
分式的通分通分定义通分是将几个异分母的分式化为同分母的分式的一种恒等变形。
通分步骤首先确定每个分式的最简公分母，然后将每个分式的分子、分母同时乘以同一个不等于零的整式，化为同分母的分式。
通分后结果通分后的结果是同分母的分式。
分式的相等与不相等分式相等如果两个分式的值相等，那么这两个分式是相等的。
分式不相等如果两个分式的值不相等，那么这两个分式是不相等的。
03分式的运算1分式的加减法23将异分母分式转化为同分母分式，然后进行加减运算。
异分母分式相加减通过通分，将异分母分式转化为同分母分式。
通分分母不变，分子相加减得到结果。
分母不变，分子相加减将分子和分母进行因式分解，找到公因式并约分。
约分将分子和分母同时乘以一个不为零的数或式子，使得分母相同。
通分按照分数的乘除法规则进行计算。
分式的乘除法分式的乘除法按照运算顺序进行先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
代数变形常用技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形一、分式恒等变形 (1)第1 页共6 页第 1 页 共 6 页一、 分式恒等变形1. （1993年全国初中数学联赛1试）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是____________．【难度】 ★★【解析】4 22222236561210226612422(1)112x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时，公式取最小值4．2. （1994年全国初中数学联赛1试）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，则N =_________． 【难度】 ★★【解析】 4-∵()()2212x x x x +-=-+，且a b >， 所以，取2a =，1b =-，从而1c a b =+=． 因此，221121Mx N x x x x +==+-+-． 在上式中，令0x =，得4N =-.3. （1996年全国初中数学联赛1试）实数a ，b 满足1ab =，记1111M a b=+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（） A ．M N > B ．M N = C ．M N <D ．不确定 【难度】 ★★【解析】B 1111b a M a b b ab a ab=+=+++++， 又由1ab =，得到11b a M N b a =+=++． 选B ．4. （2000年全国初中数学联赛1试）设a ，b 是不相等的任意正数，又21b x a+=，21a y b+=，则x ，y 这两个数一定（） A ．都不大于2 B ．都不小于2。
华师大版数学八年级下册16.分式的基本性质课件
分式 分式 分式 分式
(打“√”或“×”)
a 中b的a，b同时扩大10倍，分式值不变.( )×
ab
a 中 b的a，b同时扩大10倍，分式值不变.( )√
2a
a 约 2分后变为 2 .
( )×
ab
b
与2
a的最简公分母为(a+b)(a2-b2).( )×
ab
a2 b2
知识点 1 约分
【例1】化简下列分式：
1 3ab2c .
27ab
2
x2 x
6x 9 2y 9y
.
【思路点拨】确定分子、分母的公因式→约分.
分子、分母分别因式分解→找出公因式→约分.
【自主解答】1 3ab2c 3ab bc bc .
27ab 3ab 9 9
2
x2 6x 9 x2y 9y
x 32 yx 3x
3
x xy
的最简公分母是______.
【解析】因为(a-1)2=(1-a)2，所以最简公分母为(1-a)3.
答案：(1-a)3
3.分式 1 ， 1 ， 1 的最简公分母是______.
a b a b a2 b2
【解析】各分母的因式是(a+b)，(a-b)，(a+b)(a-b)，
所以最简公分母是(a+b)(a-b).
1
x x y
y 2
.
2
x x2
1 . 1
提示：中(x-y)2变为(y-x)2不用在前面添负号. 错把x2-1当作(x-1)2进行约分了.
a2 ab a a b
a
3.化简 xy－2y 的结果是( )
x2－4x 4
A． x x2
B．x－x 2
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c
b
a
abc
第二讲：分式的恒等变形
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例 15.如果 p, q, 2 p 1, 2q 1都是整数，且p 1, q 1,求p q的值 。
qp
三、有关分式的化简问题 例 16.化简 a b b c c a (a b)(b c)(c a) 。
a b b c c a (a b)(b c)(c a)
c ab c2
0
求 a b c 的值。
(bc a2 )2 (ac b2 )2 (ab c2 )2
例 5.已知 x y z 1, a b c 0,
abc xyz
求 x2 y2 z2 的值。
a2 b2 c2
第二讲：分式的恒等变形
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例 6.已知 x+y+z=3a ( a 0 ,且 x、y、z 不全相等)， 求 (x a)( y a) ( y a)(z a) (z a)(x a) 的值 。
2
第二讲：分式的恒等变形
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例 9.已知 x 1 ，试求分式 x2 的值。
x2 x 1 4
x4 x2 1
例 10.已知三个不全为零的数 x、y、z 满足 4x 3y 6z 0 ，
x
2y
7z
0 。求
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7z2
的值。
例 11.若 x、y、z 为有理数，且
b
c
（4）如果 a c , (b d 0)那么 a c b d (合分比性质)
bd
ac bd
（5）如果 a c m ,且b d n 0,
bd
n
那么 a c m a (等比性质) b d n b
第二讲：分式的恒等变形
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4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为 1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于 2。
二、有关分式的运算求值问题
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例 题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
例 1.若 a、b、c 均为非零常数，且满足
abc abc abc ，
c
b
a
又 x (a b)(b c)(c a) ，且 x 0 ,求 x 的值。
（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不
变。
3.比例的重要性质
（1）如果 a d , d f 那么 a f （传递性） b cc e b e
（2）如果 a d 那么ac bd （内项积等于外项积） bc
（3）如果 a c 那么 a b c d (合比性质)
bd
2a2 bc 2b2 ac 2c2 ab
例 13.已知 a b, a 0,b 0, a b 0, x 4ab ，求 x 2a x 2b 的值。
ab
x 2a x 2b
例 14.若 a b c a b c a b c ，求 (a b)(a c)(b c) 的值。
分式的恒等变形
第二讲 分式的恒等变形
【专题知识点概述】
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础， 并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中 常常出现有关这方面的命题。
分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分 式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。
一：基本知识
1.分式的运算规律 （1）加减法： a b a b (同分母) cc c a d ac bd (异分母) b c bc （2）乘法： a c ac b d bd （3）除法： a c ad b d bc
（4）乘方： ( a )n an b bn
2.分式的基本性质
（1） a am , a a m (m 0) b bm b b m
abc
例 2.已知 1 1 3,求 2x 3xy 2 y 的值
xy
x 2xy y
第二讲：分式的恒等变形
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例 3.已知三个正数 a、b、c 满足 abc=1, 求 a b c 的值
ab a 1 bc b 1 ac c 1
例
4.已知 a
bc a2
b ac b2
( y z)2 (z x)2 (x y)2 ( y z 2x)2 (z x 2y)2 (x y 2z)2
求 ( yz 1)(zx 1)(xy 1) 的值
(x2 1)( y2 1)(z2 1)
第二讲：分式的恒等变形
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例 12.已知 a、b、c 互不相等，且满足 a+b+c=0, 求 a2 b2 c2 的值。
(x a)2 (y a)2 (z a)2
例 7.已知 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 1，n 是自然数，
2bc
2ca
2ab
求
b2 (
c2
a2
) 2 n 1
c2 (
a2
b2
) 2 n 1
a2 (
b2
c2
) 2 n 1
的值。
2bc
2ca
2ab
例 8. 若x a 1,求 1 x3 x2 x 2的值 。
例
19.已知 a2
b2
(a b c)2 ，并且 b
0
，化简
a2 b2
(a c)2 (b c)2
。
例
20.若
x
mn m2
n
0
，化简
ax 2 mx
n
ax m
。
第二讲：分式的恒等变形
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例 21.化简：
( y x)(z x) (z y)(x y) (x z)( y z) (x 2 y z)(x y 2z) (x y 2z)(z y 2x) ( y z 2x)(x 2 y z)
例 17.化简 (x 1)2 [x 1
1
]2
x2
1 x2
x
1 x
3
。
x
x 1 x 1 x
x2
1 x2
2x
2 x
3
第二讲：分式的恒等变形
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例 18.化简
x2
x3
xn
x1(x1 x2 ) (Leabharlann 1 x2 )(x1 x2 x3 )
(x1 x2 xn1)(x1 x2 xn )