基于时间轴的动态规划

办公室主任
• 艾薇作为办公室的主任已经很长时间了，作为 一个部门主管，她不但要负责全部门的工作安 排、人员调动等组织工作，而且为了身先士卒， 她总给下属的感觉是“上司一刻不停地在工 作！”，所以这些下属们觉得头儿这么卖力， 大家也都很卖力、负责地工作，因此，近几年 来，艾薇负责的部门连续受到上级的表彰。看 着艾薇这么一刻不停地工作，大家有时不免要 劝阻她“要注意休息，身体是革命最大的本 钱！”。
算法优化
• 1、原算法的时间复杂度是？
• 2、是否有优化的余地？
• 3、排除重复是本题一个优化的方向
重复处理的分析
• 1、在某个阶段的时刻i枚举时，如果没有新的 任务刚好结束，当前时刻对应的最优解是不会 改变的，所以也不必去枚举已经产生的子问题， 然后来重复判断当前问题的最优解。 • 2、每到达一个新时刻，当前时刻如果有新任 务结束，也不必从头到尾重新枚举所有此前结 束的加工任务，而只需从上次结束的加工任务 后开始枚举即可。考虑到这点，我们需要实现 作个预处理，即按照加工任务结束时刻的先后 对输入的所有任务进行排序。
• 现在告诉你某天该部门所有必须完成的 具体工作的一些信息（每个具体工作以 开始时间的先后顺序给出），编程计算 艾薇最多能获得的空余时间总数。我们 假定艾薇从上班时刻到下班时刻之间都 不会离开办公室，她都会在工作岗位上。
• 输入文件director.in第一行包含二个用用空格分隔的 整数n和k（1<=n<=10 000,1<=k<=10 000），n表示 艾薇一天总的上班时间，单位分分钟，k表示该部 门必须在当天完成的具体工作总数。接下来共有k 行，每行有二个用空格分隔的整数s和t，表示该具 体工作从第s分钟的开头必须开始，持续时间分t分 钟，其中1<=s<=n，1<=s+t-1<=n。如果某具体工作 从s分钟开始，持续时间为t分钟，则该具体工作将 在第s+t-1分钟的末尾结束。
• 输入文件input.txt的第一行是一个整数n（不超 过100000），表示共有n个零件须加工。接下 来的n行中，每行有3个整数，分别表示每个零 件加工的时间要求，第一个表示开始时间，第 二个表示该零件加工的结束时间，第三个表示 加工该零件可以得到的加工费。 • 输出文件output.txt只包含一个整数，表示Tom 可以得到的最大加工费。结果输出到文件 output.txt
排除重复
• 1、每到一个新的时刻i，最优解ans[i]可 分哪些情况来分别产生？ • 有新任务结束和没有新任务结束两种情 况。 • 2、如果有新任务结束，如何来判断是哪 些并分并处理？ • 预处理时把每个时刻结束的任务编号保 存起来。
优化后的核心算法部分
• • • • • • • • • • • • 对所有任务按照结束时间进行从小到大排序； 计算最后一个任务的结束时刻m； ans[0]:=0; for i:=1 to m do begin ans[i]:=ans[i-1]; if 当前有任务j刚好结束(j可能不止一个) then begin if ans[i]<ans[a[j,1]]+b[j] then ans[i]:= ans[a[j,1]]+b[j]; end; end; write(ans(m));
输入输出样例
• • • • • • • 【输入样例】 3 1 3 10 4 6 20 2 5 25 【输出样例】 30
算法分析
6 19 7 5 8
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• 用sum[i]表示到达时刻i时所能得到的最大收益，用a[j,1]表示任务 j的开始时间，a[j,2]表示任务j的结束时刻，b[j]表示任务j完成所 得的加工费。 • sum[i]=max{sum[k]]+b[j] | 1<=k<=a[j,1]<a[j,2]<＝i}
•
但艾薇自己却知道，虽然她给人的感觉在“一刻不停地工 作”，但实际上她却在巧妙、科学地“偷懒”。因为她十分 清楚，作为主管，她绝对不能象下属那样整天埋头于琐碎、 具体的工作，她必须有足够的时间来统配、组织大家合作地 把部门工作搞好，而且这是一个优秀主管的首要工作，但她 也总不能因为这个原因而跟大家说“我要负责其他工作，所 有这些具体事务都你们做吧”。于是，她聪敏地想到了一个 “冠冕堂皇”的“偷懒”的工作安排方法，这个安排方案看 起来会使人觉得艾薇确实太身先士卒了，因为如果在某个时 刻，某项工作必须开始做了，而恰好艾薇手头现在没有具体 工作在做，那么这项工作必须由艾薇来完成；当然，如果现 在艾薇正在做一项未完成的具体工作，那么这项工作就由其 他下属完成；作为主管，有时当一批工作需要在某个时刻同 时开始时，艾薇负责分配这些具体工作由谁来完成，当然喽，
TOM的烦恼
• Tom是一个非常有创业精神的人，由于大学学 的是汽车制造专业，所以毕业后他用有限的资 金开了一家汽车零件加工厂，专门为汽车制造 商制造零件。由于资金有限，他只能先购买一 台加工机器。现在他却遇到了麻烦，多家汽车 制造商需要他加工一些不同零件（由于厂家和 零件不同，所以给的加工费也不同），而且不 同厂家对于不同零件的加工时间要求不同（有 些加工时间要求甚至是冲突的，但开始和结束 时间相同不算冲突）。
• Tom当然希望能把所有的零件都加工完， 以得到更多的加工费，但当一些零件的 加工时间要求有冲突时，在某个时间内 他只能选择某种零件加工（因为他只有 一台机器），为了赚得尽量多的加工费， Tom不知如何进行取舍，现在请你帮Tom 设计一个程序，合理选择部分（或全部） 零件进行加工，使得得到最大的加工费。
核心程序如下
• sum[0]:=0; for i:=1 to m do begin max:=0; for j:=1 to n do if a[j,2]<=i then if max<sum[a[j,1]]+b[j] then max:=sum[a[j,1]]+b[j]; sum[i]:=max; end; writeln(sum[m]);