平面内失稳

第五章框架平面内失稳框架平面内失稳因框架的组成和荷载作用条件不同而有区别，可以根据框架平面内失稳时其柱顶有无侧移而划分为无侧移失稳和有侧移失稳两类。

图5.1所示为作用有对称荷载的单跨对称框架，用交叉支撑或剪力墙阻止柱顶侧移，两个集中荷载P均沿柱轴线作用，若不考虑几何缺陷，当荷载比例增加到失稳荷载P cr时，框架产生图中虚线所示的对称弯曲变形，即发生分岔失稳，与理想轴心受力构件屈曲性质相同。

图5.2所示也为对称荷载作用的单跨对称框架，但柱顶可以移动，当荷载P=P cr时，框架将产生有侧向位移的反对称弯曲变形（如图5.2中虚线所示），若不计几何缺陷，这种失稳仍为分岔失稳。

图5.1 无侧移单层单跨对称框架图5.2 有侧移单层单跨对称框架对图5.3（a）无侧移和图5.3（c）有侧移单层双跨框架，当荷载沿柱轴线作用时都属于分岔失稳；但当荷载直接作用在横梁上（图5.3（b）、（d））或者在有侧移框架柱顶还作用有水平荷载（图5.3（d）），由于荷载开始作用就产生弯曲变形δ和水平侧移Δ，属于极值点失稳。

图5.3 单层双跨框架通过对框架平面内两类失稳分析后发现，当框架的构成、荷载作用条件相同时，有侧移框架的失稳荷载比无侧移框架的小，因此在计算框架的失稳荷载之前，应首先明确框架柱顶是否可能产生水平位移。

求解框架平面内失稳荷载的方法有平衡法、位移法、矩阵位移法和近似法等。

本章只考虑框架在节点承受集中荷载且丧失稳定前各杆只受轴力而无弯曲变形的情况，即只讨论框架丧失第一类稳定性的问题。

5.1 平衡法确定框架弹性失稳荷载以图5.4所示下端铰接的无侧移单跨对称刚架为例，用平衡法求解其弹性临界荷载。

计算时假定如下：⑴材料为弹性体；⑵不考虑初始缺陷，集中荷载P 沿柱轴线作用于柱顶，没有水平力； ⑶不计柱的轴向压缩变形；⑷不计刚架失稳时横梁中的轴线力。

图5.4 柱脚铰接无侧移刚架将刚架划分为图5.4（b ）所示隔离体，柱的受力和变形具有对称性，只画左侧柱即可，左柱的平衡微分方程为c cc Bc cx l EI M y k y=+''2 （5.1） 式中)(2c EI P k =，c EI 为柱平面内抗弯刚度，c l 为柱高。

其通解为ccB c c c l x P M kx B kx A y ⨯++=cos sin （5.2） 引入边界条件()00=c y 、()0=c c l y 得到cBkl P M A sin -= ，B=0，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c cc Bc kl kx l x PM y sin sin （5.3）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='=c c B c c c tgkl k l P M l y 1θ （5.4） 对梁BC ，由于不计梁中轴线压力，平衡方程为B bb M y EI ='' （5.5） 通解为D cx x EI M y b b bB b ++=22 （5.6） 由边界条件()00=b y 和()0=b b l y ，得到0=D ，bbB EI l M c 2-=，则 ()b b b bB b x l x EI M y -=22 （5.7） ()b bBbB l EI M y 20-='=θ （5.8） 根据节点B 变形协调条件()()0b c cy l y '='，得到 02tg 1=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b B cc Bl EI M kl k lPM （5.9）式（5.9）中0≠B M ，以c EI k P 2=、梁与柱线刚度比bc cb l I l I K =1代入后可得刚架的屈曲方程()()0tg tg 221=+-c c c c kl kl kl kl K （5.10）若求出的临界荷载cr P 用计算长度系数μ的函数形式表示，即()22c ccr l EI P μπ=，知μπ=c kl ，则式（5.10）为0tg tg 221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-μπμπμπμπK （5.11）当确定梁与柱线刚度比1K 后，由式（5.11）解出计算长度系数μ，从而求得失稳荷载cr P 。

例如：（1） 当横梁的线刚度接近于零时，01=K 相当于两端铰接,则0tg =⎪⎭⎫ ⎝⎛μπ，0.1=μ，有 ()22287.9ccc c cr l EI l EI P ==π （2）当横梁的线刚度为无限大时，∞→1K ，相当于一端铰接、一端固定，0tg=-μπμπ，699.0=μ，有()2222.20699.0c cc ccr l EI l EI P ==π （3） 当11=K 时，由0tg tg 221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-μπμπμπμπK ，经过试算可得875.0=μ，则()2229.12875.0c cc ccr l EI l EI P ==π平面内失稳对不同的1K ，[]0.1,7.0∈μ。

5.2 位移法求解框架的弹性失稳荷载承受节点荷载作用的框架，当荷载达到临界值时，可能产生弯曲变形，并在新的变形状态下维持平衡，用位移法求解临界荷载时，首先应确定考虑轴向力效应的转角位移方程，之后根据位移法形成稳定方程。

5.2.1 无侧移弹性压弯构件的转角位移方程对图5.5所示无侧移的压弯构件，通过建立平衡微分方程，引入边界条件后得到挠曲线方程EI k M x EIl k M M kx EI k M kx kl EIk M kl M y AB A A B A 2222cos sin sin cos -++++-= （5.12） 则kEIlM M kx kEI M kx kl kEI M kl M y BA AB A ++-+-='sin cos sin cos构件两端转角分别是()()()B A A M kl kl kl kl EI l M kl kl kl kl kl EI l y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='=sin sin sin cos sin 022θ （5.13）()()()B A B M kl kl kl kl kl EI l M kl kl kl kl EI l l y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='=sin cos sin sin sin 22θ （5.14） 联立式（5.13）和式（5.14），以A M 、B M 为未知量可以得到压弯构件的转角位移方程()B A A S C K M θθ+= （5.15） ()B A B C S K M θθ+= （5.16）式中EP P kl π=，E P 为欧拉临界力，l EIk =称为构件的线刚度；；KC 和KS 均称为抗弯刚度；C 和S 为抗弯刚度系数，也称为稳定系数，且有()kl kl kl kl kl kl kl C sin cos 22cos sin 2---= , ()klkl kl klkl kl S sin cos 22sin 2---= （5.17）从式（5.17）中可以看出，C 和S 均是kl 的函数，当已知kl 后，可以得到C 和S 。

为计算方便，将它们之间的函数关系列成表5.1便于查用。

图5.5 无侧移压弯构件表5.1 抗弯刚度系数C和S续表5.1 抗弯刚度系数C 和S5.2.2 有侧移弹性压弯构件的转角位移方程对图5.6所示有相对侧移∆的压弯构件，用类似的推导可以得到其转角位移方程为()[]lS C S C K M B A A ∆+-+=θθ （5.18）()[]lS C C S K M BAB∆+-+=θθ（5.19）图5.6 有侧移压弯构件5.2.3 单层单跨框架的弹性失稳荷载对图5.7所示下端铰接的单层单跨框架，失稳时柱顶侧移而形成反对称屈曲变形，将框架分解成图 5.7（b ）所示隔离体，柱侧移角cl ∆=ϕ，左柱的线刚度ccc l EI K =，横梁线刚度记b b b l EI K = 。

图5.7 柱脚铰接的有侧移单层单跨框架左柱的转角位移方程为()[]0=+-+=ϕθθS C S C K M B A c AB ，得()()ϕθθS C S B A ++-=1 （5.20）()()[]ϕθC S C C S C K M B c BA 22---= （5.21）根据柱的平衡条件c BA l P M ϕ-= （5.22）由式（5.21）、式（5.22）知()()[]022=+---c B c l P C S C C S C K ϕϕθ （5.23）将c EI k P 2=,c c c l EI K =代入式（5.23）得()()()0222=----ϕθc B kl C S C C SC （5.24）横梁的转角位移方程为()B b C B b BC K K M θθθ624=+= （5.25）由图5.7（c ）所示节点B 的力矩平衡条件为 0=+BC BA M M （5.26）得到()()[]0622=+---B b B C K C S C S C K θϕθ （5.27）平面内失稳令()c c c b c bl I l I K K K ==1为梁柱线刚度比，代入式（5.27），有()()06212=--+-ϕθC S C K C SC B （5.28）由式（5.24）和式（5.28）得到稳定方程()()[]()()06212222=--+-----CS C K S C kl S C CSC c （5.29）或()()[]()06621122=+--c c kl K K kl C SC （5.30）已知1K 后，根据表5.1的对应关系，通过试算得到c kl ，再算出计算长度系数()c kl πμ=，代入()22c ccr l EI P μπ= 后就可得到临界荷载。

当∞=1K 时，由式（5.30）知()022=--c kl C S C ，此时2π=c kl ，则)2==c kl πμ，()222467.2c c c c cr l EI l EI P ==μπ，相当于一端铰接，另一端可以移动但不能转动的轴心受压构件的屈曲荷载。

当 01=K 时，式（5.30）变为()()0222=-S C kl c ，符合条件的解有三个：当0=c kl 时，0=cr P ；当S C =时，π=c kl ，22c c cr l EI P π=；当S C -=时，π2=c kl ，224c c cr EI P π=。

显然临界荷载应取最小值，即0=cr P ，说明当01=K 时，此框架为一不稳定的机构。

当11=K 时，式（5.30）为()[]()()066222=+--c c kl C S C kl ，试算后得到35.1=c kl ，)327.2==c kl πμ，则2823.1c c cr EI P =。