平面内失稳

第五章框架平面内失稳

框架平面内失稳因框架的组成和荷载作用条件不同而有区别，可以根据框架平面内失稳时其柱顶有无侧移而划分为无侧移失稳和有侧移失稳两类。

图5.1所示为作用有对称荷载的单跨对称框架，用交叉支撑或剪力墙阻止柱顶侧移，两个集中荷载P均沿柱轴线作用，若不考虑几何缺陷，当荷载比例增加到失稳荷载P cr时，框架产生图中虚线所示的对称弯曲变形，即发生分岔失稳，与理想轴心受力构件屈曲性质相同。图5.2所示也为对称荷载作用的单跨对称框架，但柱顶可以移动，当荷载P=P cr时，框架将产生有侧向位移的反对称弯曲变形（如图5.2中虚线所示），若不计几何缺陷，这种失稳仍为分岔失稳。

图5.1 无侧移单层单跨对称框架图5.2 有侧移单层单跨对称框架

对图5.3（a）无侧移和图5.3（c）有侧移单层双跨框架，当荷载沿柱轴线作用时都属于分岔失稳；但当荷载直接作用在横梁上（图5.3（b）、（d））或者在有侧移框架柱顶还作用有水平荷载（图5.3（d）），由于荷载开始作用就产生弯曲变形δ和水平侧移Δ，属于极值点失稳。

图5.3 单层双跨框架

通过对框架平面内两类失稳分析后发现，当框架的构成、荷载作用条件相同时，有侧移框架的失稳荷载比无侧移框架的小，因此在计算框架的失稳荷载之前，应首先明确框架柱顶是否可能产生水平位移。求解框架平面内失稳荷载的方法有平衡法、位移法、矩阵位移法和近似法等。本章只考虑框架在节点承受集中荷载且丧失稳定前各杆只受轴力而无弯曲变形的情况，即只讨论框架丧失第一类稳定性的问题。

5.1 平衡法确定框架弹性失稳荷载

以图5.4所示下端铰接的无侧移单跨对称刚架为例，用平衡法求解其弹性临界荷载。计算时

假定如下：

⑴材料为弹性体；

⑵不考虑初始缺陷，集中荷载P 沿柱轴线作用于柱顶，没有水平力； ⑶不计柱的轴向压缩变形；

⑷不计刚架失稳时横梁中的轴线力。

图5.4 柱脚铰接无侧移刚架

将刚架划分为图5.4（b ）所示隔离体，柱的受力和变形具有对称性，只画左侧柱即可，左柱的平衡微分方程为

c c

c B

c c

x l EI M y k y

=+''2 （5.1） 式中)(2c EI P k =，c EI 为柱平面内抗弯刚度，c l 为柱高。其通解为

c

c

B c c c l x P M kx B kx A y ⨯++=cos sin （5.2） 引入边界条件()00=c y 、()0=c c l y 得到c

B

kl P M A sin -

= ，B=0，则

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

c c c

c B

c kl kx l x P

M y sin sin （5.3）

()⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-='=c c B c c c tgkl k l P M l y 1θ （5.4） 对梁BC ，由于不计梁中轴线压力，平衡方程为

B b

b M y EI ='' （5.5） 通解为

D cx x EI M y b b b

B b ++=

2

2 （5.6） 由边界条件()00=b y 和()0=b b l y ，得到0=D ，b

b

B EI l M c 2-

=，则 ()

b b b b

B b x l x EI M y -=

2

2 （5.7） ()b b

B

b

B l EI M y 20-='=θ （5.8） 根据节点B 变形协调条件()()0b c c

y l y '='，得到 02tg 1=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-b b B c

c B

l EI M kl k l

P

M （5.9）

式（5.9）中0≠B M ，以c EI k P 2

=、梁与柱线刚度比b

c c

b l I l I K =

1代入后可得刚架的屈曲方程

()()0tg tg 22

1=+-c c c c kl kl kl kl K （5.10）

若求出的临界荷载cr P 用计算长度系数μ的函数形式表示，即()

22c c

cr l EI P μπ=，知μπ=c kl ，则式（5.10）为

0tg tg 22

1=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-μπμπμπμπK （5.11）

当确定梁与柱线刚度比1K 后，由式（5.11）解出计算长度系数μ，从而求得失稳荷载cr P 。例如：

（1） 当横梁的线刚度接近于零时，01=K 相当于两端铰接,则0tg =⎪⎭

⎫ ⎝⎛μπ，0.1=μ，有 ()2

2287.9c

c

c c cr l EI l EI P ==π （2）

当横梁的线刚度为无限大时，∞→1K ，相当于一端铰接、一端固定，0tg

=-μ

π

μπ，699.0=μ，有

()2

2

22.20699.0c c

c c

cr l EI l EI P =

=

π （3） 当11=K 时，由0tg tg 22

1=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-μπμπμπμπK ，经过试算可得875.0=μ，则

()2

2

29.12875.0c c

c c

cr l EI l EI P =

=

π