积分变换第二章.

合集下载

第二章_Laplace变换（答案）

积分变换练习题第二章 Laplace 变换________系_______专业班级姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。

22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。

(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。

积分变换 ppt课件

16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为连续函数）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求指数衰减函数 f(t) e 0 ,t,
t0的傅氏变换及其 t0
积分表达式 ,其中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

积分变换-2 拉普拉斯变换

f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广义的Fourier变换。义的Fourier变换。（2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？（1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ，就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限：（1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数（如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。（2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中，许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数都不能取Fourier变换。都不能取Fourier变换。

积分变换二章

∫
+∞ −∞
| f ( t )e
−βt
u( t ) | d t 收敛
则f ( t )e − β t u( t )满足Fourier积分定理的条件
⇒ f ( t )e
−β t
1 u( t ) = 2π
∫ (∫
+∞ −∞
+∞
0
f ( t )e − ( β + jω ) t dt e jω t dω
)
令β + jω = s, t > 0时
延迟 :
微分 :
L [f ( t − τ )] = e − sτ F ( s )
L [ f ′ ( t )] = s F ( s ) − f (0) L [ tf ( t ) ] = − F ′ ( s ) 1 s 相似 : L [f (bt )] = F (b ≠ 0) b b
积分 : 1 ∫0t f (t )dt = F (s) L s f (t ) ∞ ∞ L = ∫s F (u)du = ∫s L [ f (t )]du t
e−2s −1 或L 2 = (t − 2)u(t − 2) t ≥ 0 s
e ∴L 2 = t − 2 , t ≥ 2 s −2s −1 e 或L 2 = (t − 2)u(t − 2) t ≥ 0 s
−1
−2s
, 0≤ t < 2 t L [F(s)] = 2(t −1) , t ≥ 2
∴L
-1
[ F(s)] = L [1] − 2L
-1
-1
2 s2 + 4
= δ (1) − 2sin2t
四 .卷积

积分变换第二章课件4

积分变换
若
F
s
1
s2 s2
2
,
求
f
t.
因为
F s
s2 1 s2
ss
2
s2
1
s2
1
所以
f
t
L
1
s
2
s
1
s s2 1
cos t
∗
cos t
主页上一页下一页退出
第第‹1#5›页
t
0
Байду номын сангаасcos
cos
t
d
1 2
t
0
cos
t
cos 2
t
d
1 t cos t sin t
2
积分变换
主页上一页下一页退出
第第‹#5›页
∗ ∗ ∗
∗ ∗
2.卷积的运算性质
3） f1(t ) f2(t ) f3(t ) f1(t) f3(t) f2(t) f3(t)
即卷积满足分配律.
4）对卷积,有下面的不等式成立：
积分变换
f1(t) f2(t) f1(t) f2(t)
即函数卷积的绝对值不大于函数绝对值的卷积.
由于二重积分绝对可积,可以交换积分次序.
主页上一页下一页退出
第第‹1#0›页
二、卷积定理
积分变换
∗
L [ f1(t ) f2 (t )]
0
f1
(
)
f
2
(t
)
e
st
d
t
d
令 t u, 则
f2 (t ) estd t
0
f2 (u) e s(u )d u

积分变换第02讲

5
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] = ∫ e e dt = ∫ e−(s−k)tdt
0 0 +∞ kt −st +∞
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
∫
+∞
0
e
−(s−k)t
1 −(s−k)t +∞ 1 dt =− e = 0 s −k s −k
F(s) = ∫ f (t)e−stdt 0 在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的
半平面内, F(s)为解析函数.
7
+∞
Mect f (t) M O t
8
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0≤t<+∞), 有 | f (t)e st |=| f (t)|e−βt ≤ Me−(β−c)t, Re(s)=β, 若令β−c ≥ ε >0 (即β ≥ c+ε = c1>c), 则 | f (t)e−st| ≤ Me−εt. 所以 ∫
1
§1 Laplace变换的概念 t<0 0, 设指数衰减函数ϕ (t ) = − β t ( β > 0). e , t ≥ 0
考虑 f ( t ) t ∈ ( −∞, +∞ ) ,有 f ( t ) u ( t ) =f ( t ) t ≥ 0. 若存在 β > 0, 使 lim e
t →∞ −βt −βt
解 : 根据(2,1)式, 有
+∞ 0
= 1.
例7 : 求函数f (t ) = e − βtδ (t ) − βe − βt u (t ) ( β > 0)的拉氏变换.

机械工业出版社复变函数与积分变换第2章解析函数

( u x i x v) x( u y i y v) y(1 i3) x(2 i4) y
24
由 C R 方 ( u x 程 i x v ) z (1 i3 ) x (2 i4 ) y
f ( z z ) f ( z ) u u
x
y
z z i x (1 i3 ) z (2 i4 ) z
第二章解析函数
2021/7/24
1
§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
GO
2
一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限
l i m f(z0z)存在f，(z则0)称函数
z 0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
证:明 f Rz e( z)Rz e)(
z
z
x x x x
x iy
x iy
当 z取当 z取
实纯
虚数 0时 0,时数趋 f , f z 趋于 z 1;于 0; lzi m 0 fz
不
存
在 .
4
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0. ② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
15
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。问题如何判断函数的解析性呢？
16
一. 解析函数的充要条件
设函 w数 f(z)u(x,y)iv (x,y)在点 zxiy 可,则导

积分变换第二章课件6

j
则得
F (s) f (t )estd t 0
主页上一页下一页
退出
第第‹#2›页
Laplace变换的概念
积分变换
设函数 f (t) 当t 0时有定义, 而且积分
f (t)estd t (s为一个复参量) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为
F (s) f (t)estd t 0
L [ f n(t)] snF(s) sn1 f 0 sn2 f 0 f n1 0
n1
snF (s) sn1i f i 0 Re s c i0
主页上一页下一页退出
第第‹#6›页
Laplace变换的性质
积分变换
特别得，当 f 0 f 0 f n1 0 0时，有
F(s) L [tf (t)]Res c
推论:
F (n)(s) 1n L [tn f n (t)] Re s c
主页上一页下一页退出
第第‹#8›页
Laplace变换的性质
积分变换
三、积分性质
如果L
f (t) F s,则 L
t
0
f
(t
)dt
1 s
F
s
t
t
t
1
L
dt
0
函数 f (t) 的Laplace变换式
主页上一页下一页退出
第第‹#3›页
Laplace变换的概念
积分变换
记作: F(s) L [ f (t)], F (s)
称为 f (t) 的Laplace变换.
若F(s) 是 f (t) 的Laplace变换,则称 f (t)
为 F(s) 的Laplace逆变换.

复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案

(3) .
解：f(z)除外处处可导，且 .
(4) .
解：因为
.所以f(z)除z=0外处处可导，且 .
6.试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) ;
解：在全平面上可微.
所以要使得
， ,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) .
解：在全平面上可微.
只有当z=0时,即(0,0)处有 , .
它们分别为
∴
∴满足C-R条件．
(3)当z沿y=x趋向于零时，有
∴ 不存在．即f(z)在z=0处不可导．
11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证在区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即．
15.计算下列各值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．
设z=x+iy，
在复平面内可微．
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) ;
解：在全平面上可微.
所以只有当时，才满足C-R方程.
从而f(z)在处可导，在全平面不解析.
(4) .
解：设，则
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.

积分变换第2讲傅氏变换

证明F (1）= 2d()，因为
F 1 2d () 1 2d () ejtd 1
2
所以1和2d() 构成傅氏变换对.
同理, 因为
F 1 2d ( 0 )
1
2

2d
(
0 ) ejtd

e j0t
所以，F（ej0t）= 2d ( 0 )
F
1
1[F()]= 2
F () ejtd f t

付氏积分定理即为:
F -1 [F [f(t)] =1/2*( f(t+0)+f(t-0))
例1
求函数f
(t)

0, et ,
t 0的傅氏变换及 t0
其积分表达式,其中 0.这个f (t)叫做指数
O
(即：d
(
f
)

lim
0
d
(
f
))
即 f C
d f

d (t) f (t)d t @lim

0

d (t) f (t) d t
则可得 d f f 0
可证

lim
0
d (t) f (t)d t
f (0)
0
1 cost
Fc ( f (t))

f
(t ) cost
d
t

sint
0

2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.

复变函数与积分变换第二章_解析函数

z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0

复变函数与积分变换课件第2章

例：设f(z)在z0处连续，且f(z0)不等于0，那么可以
找到z0的一个邻域，在这个邻域内f(z)不等于0
1 导数的定义
定义设函数w=f(z)在包含z0的某邻域D内有定义，点z0+⊿z∈D. 如果极限
f ( z0 Δ z ) - f ( z0 ) lim Δ z 0 Δz
存在, 则称f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0 的导数, 记作
பைடு நூலகம்
定义如果函数f(z)不仅在z0可导，而且在z0的某个邻域内的任一点都可导, 则称f(z)在z0解析。如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数)
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析等价于在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。（3）函数在区域D内的点z处解析，则z 一定是D的内点。
（4） f ( z ) z Re( z )
例3. 证明 sin ' z cos z
例4 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常
数 .
4.高阶导数
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
例应用公式
sin( z

2
) cos z ,
（n) 求 sin z
1.解析函数的概念
例2
求f ( z) z 在z 0时的极限. z
z z0
例3 求极限 lim cos z 例4 证明 f ( z ) Re z
在z 0时的极限不存在 .
z
定理2
若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B, 则

积分变换第二章 - 副本——复变函数与积分变换课件PPT

= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
Laplace变换存在定理
定理设函数 f (t) 在 t 0 的任何有限区间内分段连续, 并且当 t 时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0,
sint
s2
2
cost
s2
s
2
例5 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解如果n是正整数, 则有
L tn
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L[tn]
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace 逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
Fourier积分存在定理
若函数 f (t)在任何有限区间上满足狄氏条件：即函数在任何有限区间上满足: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)至多有有限个极值点;
并且在(-∞,+∞)上绝对可积则有:
f (t) 1
2
f
(
)e
j
d
e
j
t
d
f (t)
f (t
0)
f (t
0)
2
t 为连续点; t 为间断点.
在(, )绝对可积是指的
|
f (t) |dt
收敛。
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际应用中受到一些限制.

复变函数与积分变换答案-第2章解析函数

11 27、第二章解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。

- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。

4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。

1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续，处不连续。

f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。

uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。

z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。

复变函数与积分变换第二章课后答案

e z sin z e z sin z 则 dz z 2i dz 2 z 2i z 4 z 3 z 2 i 1
2i
e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin( 2i ) 2i 2i 2i 2i 2i 2 2 sin 2i e 2i e 2i sin 2i cosh 2i . 2
i
i
i i
= 2 cos i .
7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分：（1）

C
ez dz ， C ： z 2 1 ； z2 dz (a 0) ， C ： z a a ； z a2
2
（2）
C
（3）
C
eiz 3 dz ， C ： z 2i ； 2 z 1 2 f ( z) dz ， C ： z 1 ； f ( z ) 在 z 1 上解析, z0 1 ； z z0
z 0
0.
4
(8) f ( z ) 有四个奇点，其中 z i在c 内，作互不相交互不包含且在 C 内的小圆周 c1和c2 包含 i 与-i，则
c1
(z
2
1 dz 1 dz 2 4)( z i ) z i c2 ( z 4)( z i ) z i
(2) 由于被积函数在全平面上解析,利用柯西积分定理得

求积分
C
3 z 2 dz 0 .
2. 设 C 是由点 0 到点 3 的直线段与点 3 到点 3 i 的直线段组成的折线，

C
Re zdz ．
解将 C 分为两段,从 z=0 到 z=3, c1 的方程为 z 3 x, 0 x 1,

积分变换第二章

0
(t ) e d t e st d f (t ) f
st 0 0

f (t )
0

f (t ) de st
st
f (0) s
0
f (t ) e d t sL [ f (t )] f (0)
即L [ f (t )] sF ( s) f (0) (Re( s ) c)
三积分性质
L f (t ) F ( s)
Re s c , 则 Re s max(0, c)
t f (t )dt F ( s) L 0 s
t t t
1 L { d t d t f (t )d t } n F ( s ) 0 0 s 0 n次
f n t s n F s L
此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程
转化为F(s)的代数方程.
例2 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换.
f t t m 的拉氏变换（m为正整数）. 例3 求
由于 f 0 f 0 f
推广：
L f ( n ) (t ) s n F ( s ) s n1 f (0) s n2 f (0) f ( n1) (0)
n 1,2, Re s c
0 f n1 0 0 时，有特别当 f 0 f
f(t)
O
f(t)u(t)et
t
O
t
对函数(t)u(t)et(>0)取傅氏变换, 可得
G ( ) (t )u (t ) e e