积分变换第二章.

性质4（积分性质） ：
t f (t)dt L 1 F (s)
0
s
一般地 :
t
dt
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0
0 n
f
(t
)dt
L
1 sn
F(s)
类似地，可得象函数的积分性质 ：
一般地
f (t) L
F (s)ds
t
s
:
f (t
tn
)
L
ds
s
F (s)ds
s
n
性质5（时域卷积性质） ：
f1(t ) f2 (t ) L F1(s) • F2 (s)
U
(t
)]
s
1 s
u(t )
0
1
例5
L [t]
ℒ[
t
u( )d ]
0
L [u(t)] s
1 s2
2
f (t ) 1 F ( f (t )et )e( j )td
2
其中：s j,ds jd
: , s : j j
拉氏逆变换:
f (t ) 1 j F (s)estds
2 j j 其中s j
拉氏变换存在定理
若函数f(t)满足条件: 1，在t≥0任一有限区间上分段连续; 2，当t→+时，f(t)的增长速度不超过某 一指数函数，即，存在一常数M>0 及c≥0
0
0s
t n est
s
0
e st dt n 0s
n s
t n1e stdt
0
tn
lim t est 0
ℒ
[tn]
n s
ℒ
[t n1 ]
当n＝1， ℒ
[t]
1 s2
；
当n＝2，ℒ[t 2 ]
2 s3
；
依次类推， 得
ℒ
[tn]
n！ sn1
周期函数的Laplace变换
一般地，以T为周期的函数f(t)，当f(t) 在一个周期上是分段连续时，则f(t)的拉氏
L sF (s)
f
(0 )
推论 ：
d n f (t)
dt n
L
snF (s)
n1 r0
s n r 1
f
(r ) (0
)
类似地，可得象函数的微分性质 ：
F(s) L[tf (t)], Re(s) c tf (t ) L F / (s)
一般地 :
F (n)(s) (1)n L[t n f (t )], Re(s) c t n f (t ) L(1)n F / (s)
使：
f (t ) Mect , 0 t
成立，则f(t)的Laplace变换在半平面
Re(s)>c上一定存在，右端的积分在Re(s)
≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并且在 Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
收敛区域
j
要使
|
f
(t )e t
| d t存在
0
收
敛
轴
收敛区
lim f (t)et 0
性质1（线性性质） ：设，
k1 f1(t ) k2 f2 (t ) L k1F1(s) k2F2 (s)
性质2（时域平移（延迟）性质） ：
f (t t0 ) L e st0 F (s)
类似地,（S域平移性质） ：
f (t )e at L F (s a)
性质3（微分性质） ：
df (t) dt
0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别：
F (s) f (t)estdt 0
0 f (t )estdt f (t)estdt
0
0
当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换 中，以下拉氏变换定义式中积分下限从0-开始。
举例
1. f (t) u(t )
ℒ [u(t)] u(t)estdt 1 est 1
变换式为：
1
F (s) 1 esT
T f (t)estdt （R e(s)> 0）
0
举例
求周期性三角波
f
(t
)
t, 2b
t
,
0 t b b t 2b
且 f (t 2b) f (t) 的Laplace变换。
f(t)
b
b 2b 3b 4b
t
第二节 Laplace变换的性质
Laplace变换的性质
F ( ) f (t )e jtd t
F ( ) f (t )e jtd t 0
(2)狄氏条件的
| f (t) | d t
收敛问题
F ( f (t )e t ) f (t )e t e jtd t 0
F( f (t)et ) f (t)e te j td t f (t)e( j) td t
t
0 0 (c)
收
0(c)
敛 坐
标
例如
f
(t)
e5t，取
5( 0 (c)
5)，lim e5tet t
0
Re(s) 5
f (t)
t m，取
0( 0 (c )
0)，lim t met t
0
Re(s) 0
积分下限
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换。
积分变换
第一章 Fourier变换 第二章 Laplace变换
第二章 Laplace变换
第一节 第二节 第三节 第四节
Laplace变换概念 Laplace变换性质 Laplace逆变换 卷积
第一节 Laplace变换的概念
定义
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
(1)因果系统(t 0, f (t) 0)
类似地,（S域卷积性质） ：
f1(t) •
f2(t)
L
1
2
j
F1(s) F2 (s)
举例
A
例1 L [ A]
s
11
例2
L
[ A(1 et )]
A( s
s
)
例3 L [sint] L [ 1 (ejt e jt )]
2j
1[ 2j s
1
j
s
1]
j
s2
2
例4
L [ (t)]
d
L [ dt
o
0
拉氏正变换：
令s j F (s) f (t)e-stdt 0
记号
ℒ[f(t)]表示取拉氏变换。
ℒ -1[F(s)]表示取拉氏逆变换。
F( f (t)et ) f (t)e te j td t f (t)e( j) td t
o
0
f (t )e t 1 F ( f (t )e t )e j t d
0
s
0
s
2. f (t) eatu(t)
ℒ[eat ] eatestdt
1
e(sa)t
1
0
ℒ [ejt ] 1
sa
0 sa
s j
3. f (t) (t)
ℒ[ (t)] (t)estdt 0
0
(t)dt
0
=1
4. f (t ) t n
ℒ [t n ] t nestdt t n de st