一元线性回归模型课件
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一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程 致误.
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
一元线性回归模型课件
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为x1, y1，，xn , yn
由 yi bxi a ei (i 1,2,..., n), y得i (bxi a) ei ， ei显然
越小，
表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小。
n
yi bxi a2
通常用各散点到直线的竖直距离的平方和Q= i1 画各样本数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”。
x
0
1
3
4
y
2
4
6
8
从散点图分析，y与x线性相关，且y 2x a ，则a=
例题2
• 某机构对高二学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到如
下数据：（已知
4
4
xi yi 158, xi2 344
）
i1
i1
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
（1）求出y关于x的经验回归方程
y bxa
（2）一名学生记忆力为5，试估计他的判断力
残差平方和、决定系数R²
n
• 残差平方和： ( yi yi )2 ，残差平方和越小，模型拟合效果越
Hale Waihona Puke i 1好，残差平方和越大，模型拟合效果越差。
•
决定系数：R2
1
i
n 1
yi
n
yi
2
2
yi yi
i 1
，R²越大，模型拟合效果越好；
R²越小，模型拟合效果越差
归方程的方法叫做最小二乘法，求得的
b，a
叫做b，a的最小二
乘估计。
经验回归方程的性质
一元线性回归模型.ppt
1. ei =0 2. ei Xi=0 3.样本回归方程过（X , Y ）点
4.截距为0的一元线性回归模型参数估 计式
一元线性回归模型参数估计举例（ P23页）
四、估计量的统计学性质
1. 线性性：bˆ0 , bˆ1 都是Yi的线性函数。
bˆ1
xi
y i
x2 i
xi (Y i Y
x2 i
)
xiY i
ˆ 的密度函数
Var(ˆ)
0
E(ˆ )
为什么具有BLUE性质的估计量是优良的估计量？
五、 bˆ0 ，bˆ1 的分布
bˆ0
、bˆ1
都 服从正态分布
bˆ0 ˜N（b0 、
X
2 i
n
x2 i
u2
）
1
x bˆ1 ˜N（b1 、
2 i
u2
）
（证明略）
六、随机项u的方差2的估计
1（.定证理明：从略ˆu2） n e2i2 是 u2的一个无偏估计值
假定六：解释变量X 是一组确定性变量， 随机扰动项 ui与解释变量Xi无关, 即
Cov（ ui，Xj ）=0 。 假定七：解释变量之间不是完全线性相 关的。称无完全多重共线性。
对假定的学习思路：先结合随机项的特性,理 解假定含义,认为这些假定是成立的，学习参 数的估计、模型检验等。然后，在后面的章 节讨论这些假定是否成立？不成立会出现什 么问题？怎样检验？如何解决？
把握这个思路很重要哦!
四、回归分析 1.什么是回归分析？ 是回归模型的建立、估计、检验理论和 方法的统称 2.回归分析的主要内容
建立模型、估计模型、检验模型 、应用
二、四种重要的关系式
• 1. 总体关系式：Yi=b0+ u b1Xi+ i
4.截距为0的一元线性回归模型参数估 计式
一元线性回归模型参数估计举例（ P23页）
四、估计量的统计学性质
1. 线性性：bˆ0 , bˆ1 都是Yi的线性函数。
bˆ1
xi
y i
x2 i
xi (Y i Y
x2 i
)
xiY i
ˆ 的密度函数
Var(ˆ)
0
E(ˆ )
为什么具有BLUE性质的估计量是优良的估计量？
五、 bˆ0 ，bˆ1 的分布
bˆ0
、bˆ1
都 服从正态分布
bˆ0 ˜N（b0 、
X
2 i
n
x2 i
u2
）
1
x bˆ1 ˜N（b1 、
2 i
u2
）
（证明略）
六、随机项u的方差2的估计
1（.定证理明：从略ˆu2） n e2i2 是 u2的一个无偏估计值
假定六：解释变量X 是一组确定性变量， 随机扰动项 ui与解释变量Xi无关, 即
Cov（ ui，Xj ）=0 。 假定七：解释变量之间不是完全线性相 关的。称无完全多重共线性。
对假定的学习思路：先结合随机项的特性,理 解假定含义,认为这些假定是成立的，学习参 数的估计、模型检验等。然后，在后面的章 节讨论这些假定是否成立？不成立会出现什 么问题？怎样检验？如何解决？
把握这个思路很重要哦!
四、回归分析 1.什么是回归分析？ 是回归模型的建立、估计、检验理论和 方法的统称 2.回归分析的主要内容
建立模型、估计模型、检验模型 、应用
二、四种重要的关系式
• 1. 总体关系式：Yi=b0+ u b1Xi+ i
新教材2023版高中数学第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件
巩固训练1 (1)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对 父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm 174 176 176 176 178 儿子身高y/cm 175 175 176 177 177
则y对x的经验回归方程为( ) A．yො＝x－1 B．yො＝x＋1 C．yො＝88＋12x D．yො＝176
教材要点
要点一 一元线性回归模型
我们称ቊE
Y e
= bx + a = 0，D
+ e
e=，σ2为Y关于x的一元线性回归模型❶，其中
Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未 知参数，a称为___截__距___参数，b称为___斜__率___参数；e是Y与bx＋a之 间的_随__机_误__差__．
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方 程可能是( )
A．yො＝－10x＋200 B．yො＝10x＋200 C．yො＝－10x－200 D．yො＝10x－200
答案：A
解析：∵y与x负相关，∴排除B，D，又∵C项中x>0时，yො <0不合题意，∴C 错．故选A.
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选 择了4种不同模型，计算可得它们的R2分别如下表：
8.2 一元线性回归模型及其应用
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
课标解读 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的 统计意义． 2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计 方法，会使用相关的统计软件． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
新知初探·课前预习
解析：令x＝15，所以yො＝0.76×15＋0.4＝11.8.
《一元线性回归》ppt课件
E (Y|X i)01X i
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：
E (Y|Xi)01Xi2 E (Y|Xi)01 2Xi
三、总体回归模型与随机干扰项 〔 population regression model，PRM & stochastic disturbance/error〕
• 描画总体中解释变量X和被解释变量Y的个体值Yi之间的变 化规律：Yi＝f〔Xi〕＋μi
称为线性总体回归函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系 数〔regression coefficients〕。
A1：“线性〞的含义
• 对变量为线性——解释变量以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线是一条直线
• 对参数为线性——回归系数以一次方的方式出现 • ○ 从几何上看，此时总体回归线并不一定是直线
四、样本回归函数 〔sample regression function，SRF〕
•描画样本中解释变量X和被解释变量Y的之间的平均变化规 律：Y^i＝f〔Xi〕
1、样本回归函数〔SRF〕
• 总体的信息往往无法掌握，因此PRF实践上未知 • 现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本，经过样本的信息来 估计总体回归函数。
1969 1991 2046 2068 2101
968 1045 1243 1474 1672 1881 1078 1254 1496 1683 1925
2189 2233
1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2299
1188 1364 1573 1771 2035 1210 1408 1606 1804 2101
问题：能否从样本估计总体回归函数？
例2.2：从例2.1的总体中获得如下一个样本：
一元线性回归分析PPT课件
第18页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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第八章8.2一元线性回归模型及其应用PPT课件(人教版)
三、非线性回归
例3 下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
解 作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y不具有线性相关关系，根据已有知识可 以发现样本点散布在某一条指数函数型曲线 y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数.
年份
2015 202X 202X 202X 202X
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元) 5
6
7
8
10
(1)求 y 关于 t 的经验回归方程y^＝b^ t＋a^ ；
n
tiyi－n t y
i＝1
参考公式：b^ ＝
n
t2i －n
t2
，a^ ＝
y
－b^
t
i＝1
解 由题意可知，n＝5， t ＝1nn ti＝155＝3， i＝1
来比较两个模型的拟合效果，R2 越 大 ，模型
n
yi－ y 2
i＝1
拟合效果越好，R2 越 小 ，模型拟合效果越差.
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
知识点四 对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以 横轴为对称轴的水平带状
区域内 ，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.
2.残差平方和法
n
(yi－y^i)2
残差平方和 i＝1
人教版数学选择性必修三8.2一元线性回归模型及其应用课件
(2)用公式计算，
ො 的值时，要先计算
)
[例1] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
样本点分布在一条直线附近，
y与x具有线性相关关系．
[例1] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ො ＝ x＋
总结提升
求线性回归方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格xi，yi，2 ，xiyi.
n
n
(4)计算，
ҧ ，
ത xi ，
xi yi .
n
xi yi nx y
5
i
i
x
i 1
2
i
5x
2
1380 5 5 50
6.5
2
145 5 5
ො = ത − ＝
ҧ 50－6.5×5＝17.5
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5
ො
题型二
利用回归直线方程对总体进行估计
[例2] 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，
每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为
(2)用公式计算，
ො 的值时，要先计算
)
[例1] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
样本点分布在一条直线附近，
y与x具有线性相关关系．
[例1] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ො ＝ x＋
总结提升
求线性回归方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出)．
(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．
(3)把数据制成表格xi，yi，2 ，xiyi.
n
n
(4)计算，
ҧ ，
ത xi ，
xi yi .
n
xi yi nx y
5
i
i
x
i 1
2
i
5x
2
1380 5 5 50
6.5
2
145 5 5
ො = ത − ＝
ҧ 50－6.5×5＝17.5
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5
ො
题型二
利用回归直线方程对总体进行估计
[例2] 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，
每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为
人教A版高中数学选择性必修第三册精品课件 第8章 成对数据的统计分析 一元线性回归模型及其应用
请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系?
提示:画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归直
线表示变量之间的相关关系.
2.(1)用 x 表示父亲的身高,Y 表示儿子的身高,e 表示随机误差.假定随机误差
e 的均值为 0,方差为与父亲身高无关的定值 σ2,则它们之间的关系可以表示
n
∑
(2) 决定系数 R2 的计算公式为 R2=1-i=1
^ 2
( - )
2
2
.在
R
表达式中,
∑
(y
i-) 与经
2
∑ ( -)
=1
验回归方程无关,残差平方和 ∑
=1
=1
^ 2
(yi- ) 与经验回归方程有关.因此
R2 越大,表
示残差平方和 越小 ,即模型的拟合效果 越好 ;R2 越小,表示残差平方和越大,
即模型的拟合效果 越差 .
3.在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的决定
系数R2如下,其中拟合效果最好的模型是(
)
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
R2
0.98
0.80
0.50
0.25
A.模型1
答案:A
B.模型2
C.模型3 D.模型4
合作探究 释疑解惑
探究一
经验回归方程
【例1】 随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,
^ ^
最小二乘法,求得的, 叫做 b,a 的 最小二乘估计 .
3.(1)在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则y关于x
第一元线性回归PPT实用课件
间没有任何关系 人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题
函数，记为 y = f (x)，其中 x 在【Prediction interval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间) 称为自变量，y 称为因变量
3. 各观测点落在一条线上
x
相关关系
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？ 用散点图描述相关关系 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
变量之间的关系？
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
在【残差】分析选项中选择所需的选项
设有两个变量 一元线性回归模型
(基本假2定. )
x
和
y
，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 散点图
(销售收入和广告费用的散点图) Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。
❖ 若P< ，拒绝H0
相关系数的显著性检验
(例题分析)
❖ 【例93】检验销售收入与广告费用之间的相关系数 是否显著 ( 0.05)
❖ 提出假设H0
；H1
0
❖ 计算检验的统计量
t 0.930620210.789 10.93026
❖ 3. 用Excel中的【TDIST】函数得双尾 P=2.743E09< 0.05，拒绝H0，销售收入与广告 费用之间的相关系数显著
函数，记为 y = f (x)，其中 x 在【Prediction interval】下选中【Mean】和【Individual】(输出置信区间和预测区间) 称为自变量，y 称为因变量
3. 各观测点落在一条线上
x
相关关系
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？ 用散点图描述相关关系 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
变量之间的关系？
9.1 变量间的关系
变量间是什么样的关系？
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
在【残差】分析选项中选择所需的选项
设有两个变量 一元线性回归模型
(基本假2定. )
x
和
y
，变量
y 随变量 x 一起变化，并完 散点图
(销售收入和广告费用的散点图) Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。
❖ 若P< ，拒绝H0
相关系数的显著性检验
(例题分析)
❖ 【例93】检验销售收入与广告费用之间的相关系数 是否显著 ( 0.05)
❖ 提出假设H0
；H1
0
❖ 计算检验的统计量
t 0.930620210.789 10.93026
❖ 3. 用Excel中的【TDIST】函数得双尾 P=2.743E09< 0.05，拒绝H0，销售收入与广告 费用之间的相关系数显著
8.2.2一元线性回归模型的最小二乘估计课件(人教版)
ෝ =0.839x +28.957，令
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
8.2.1一元线性回归模型(共13张PPT)
2. 在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？
Y = bx + a + e ,
(1)
E(e) = 0, D(e) = σ2.
解：在一元线性回归模型（1）中，参数b为斜率参 数，参数b的含义是父亲的身高每增加1cm，儿子的身高 平均增加bcm.
3. 将图中的点按父亲身 高的大小次序用折线连 起来，所得到的图像是 一个折线图，可以用这 条折线图表示儿子身高 和父亲身高之间的关系 吗？
(1)
E(e) = 0, D(e) = σ2.
我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.
其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释
变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜
率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.
模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值
确定，但是却能表示为bx+a与e的和(叠加)，前一部分由 x
而对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生，他的身高yi 并不一定为b xi +a，它仅是该子总体的一个观测值，这个 观测值与均值有一个误差项ei=yi －(bxi +a).
思考? 你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误 差项的原因吗?
在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差 e的原因有：
8.2一元线性回归模型及其应用
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据 的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相 关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱 等.
进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间 的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随 机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两 个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.
人教版高中数学选择性必修3《一元线性回归模型及其应用》PPT课件
46
48
51
(1)作出散点图;
(2)建立成绩y关于次数x的经验回归方程;
(3)作出残差图;
(4)计算R2,并用R2说明拟合效果的好坏.
解 (1)该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图如图所示,由散点图可知,
它们之间具有线性相关关系.
8
(2)∵ =39.25,=40.875, ∑ xi2 =12 656,
人数y/万 12.39 20.02 25.57 30.26 35.77 37.57 40.23 40.95 41.73 43.71
^ =-157.74+77.62z,
^
故所求的经验回归方程为y =-157.74+77.62ln x.
素养形成
思维脉络
课前篇 自主预习
情境导入
恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数,指居民家庭中食物支出占消
费总支出的比重,是表示生活水平高低的一个指标.其计算公式:恩格尔系
数=食物支出金额÷总支出金额.
一个家庭收入越少,家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食物的支出所
占的比例就越大,随着家庭收入的增加,家庭收入中或者家庭支出中用来购
均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定
3.我们可以用决定系数 R2 来比较两个模型的拟合效果,R2 的计算公式为
n
2
i=1
n
R =1-
^
∑ (y i -y i )2
2
∑ (y i -y)
i=1
n
.R 越大,表示残差平方和 ∑
2
i=1
^ 2
(yi-yi ) 越小,即模型的拟合效果越
^
∑ (yi -y )2
4.3.1一元线性回归模型课件-高二数学人教B版选择性必修第二册
第三章 排列、组合和二项式定理
4.3.1 一元回归模型
高二选择性必修第二册（202X人教B版）
01 学习目标
01 学习目标
1.理解变量的相关性，能判断出正相关或负相关. （重点）
2.会求一元线性回归方程. （难点）
3.了解非线性回归方程
核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算
02 新知导入
02 新知导入
B.人眼的近视程度与身高不具有相关关系，故错误；
C.正方体的体积与棱长是一种确定关系，故错误；
D.某同学的学籍号与考试成绩不具有相关关系，故错误；
一、变量的相关性
【例 2】随机抽取 10 家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行了调查，所得数据如下：
航空公司编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
三、对相关系数的理解
2
【练习 2】在线性回归分析中，常用 = 1 −
=1
=1
−
−
2
2
作为衡量模拟效果的一个指标．
下面关于 2 的说法：① 2 越大，说明模型拟合的效果越好；
② 2 越接近 1，说明回归的效果越好；
③ 2 越接近 1，说明回归的效果越差．请你写出所有正确说法的序号
性回归方程来拟合.
对表 4-2 中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程为 = 0.019 + 0.686
再利用 = e 可得到转化率 y 关于反应时间 x 的非线性回归方程①为
= e0.686 ⋅ e0.019 ≈ 1.986e0.019
04 课堂练习
四 课堂练习
【练习 1】已知一组成对数据 , ( = 1,2, ⋯ ,6)中 y 关于 x 的一元非线性回归方程 = 2 + 1，已知
4.3.1 一元回归模型
高二选择性必修第二册（202X人教B版）
01 学习目标
01 学习目标
1.理解变量的相关性，能判断出正相关或负相关. （重点）
2.会求一元线性回归方程. （难点）
3.了解非线性回归方程
核心素养：数学建模、逻辑推理、数学运算
02 新知导入
02 新知导入
B.人眼的近视程度与身高不具有相关关系，故错误；
C.正方体的体积与棱长是一种确定关系，故错误；
D.某同学的学籍号与考试成绩不具有相关关系，故错误；
一、变量的相关性
【例 2】随机抽取 10 家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行了调查，所得数据如下：
航空公司编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
三、对相关系数的理解
2
【练习 2】在线性回归分析中，常用 = 1 −
=1
=1
−
−
2
2
作为衡量模拟效果的一个指标．
下面关于 2 的说法：① 2 越大，说明模型拟合的效果越好；
② 2 越接近 1，说明回归的效果越好；
③ 2 越接近 1，说明回归的效果越差．请你写出所有正确说法的序号
性回归方程来拟合.
对表 4-2 中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程为 = 0.019 + 0.686
再利用 = e 可得到转化率 y 关于反应时间 x 的非线性回归方程①为
= e0.686 ⋅ e0.019 ≈ 1.986e0.019
04 课堂练习
四 课堂练习
【练习 1】已知一组成对数据 , ( = 1,2, ⋯ ,6)中 y 关于 x 的一元非线性回归方程 = 2 + 1，已知
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• 线参性数的线：性：参数B1E 、Y B2仅B 以1 一B 次2X 方i2,的E 形式Y出现B 1 。B 下2X 面1i的模型是参数非线
性的：
• 本书主要关注参数线性模型E。Y从现B1在B 起22，Xi线性回归（linear regression）是
指参数线性的回归，而解释变量并不一定是线性的。
一元线性回归模型
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 总体回归函数（population regression function，PRF）
• 上图中，圆圈点称为条件均值；条件均值的连线称为总体回归线。 • 总体回归线表明了Y的均值与每个X的变动关系。 • 上图近似线性的总体回归线可以表示成：
也斜称率回（表归s示lo系给peE数定）Y（的。XrXei值greE 所ss对iY on应X c的oieYf fi的cB ie均1n t值s）B ；2；X、i称为称截为距参（数in（tBep1racreaBpmt2）et，ers）称，为
3.1 回归的涵义
• 回归分析（regression analysis）
• 用于研究一个变量（称为被解释变量或应变量）与另一个或多个变量 （称为解释变量或自变量）之间的关系。
• Y代表被解释变量，X代表解释变量；解释变量有多个时，用X1，X2，X3 等表示。
• 例：商品的需求量与该商品价格、消费者收入以及其他竞争性商品价格 之间的关系。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 总体回归函数（population regression function，PRF）
• 例：学生的家庭收入与数学分数有怎样的关系？
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 总体回归函数（population regression function，PRF）
• 根据上面数据做散点图
3.2 随机扰动项的来源
• 总体回归函数说明在给定的家庭收入下，美国学生 平均的数学分数。 • 但对于某一个学生，他的数学分数可能与该平均水平有偏差。 • 可以解释为，个人数学分数等于这一组的平均值加上或减去某个值。用
数学公式表示为：
其中， 表示随机扰动项，简称扰动项。扰动项是一个随机变量，通常用
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 通过散点得到两条“拟合”样本数据的样本回归线。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 可用样本回归函数（SRF）表示样本回归线：
Yˆi b1 b2Xi
• 斜例率：系数度，量含了义X？每变动B一1 单位，Y（条件）均值的B 变2 化率。举
B2
0.001 一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 实际中往往无法获得整个总体的数据，怎么估计总体回归函数？即如何 求参数B1、B2？
ei
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 回归分析：根据样本回归函数估计总体回归函数。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• “线性”回归的特殊含义
• 对“线性”有两种解释：变量线性和参数线性。 • 变量线性：例如前面的总体（或样本）回归函数；下面的函数不是变量
• 一系是统或确定，性即部分B1。B，2是Xi该 收入E水Y平X上i 的平均数学分数。这一部分称为
• •
二此是时，，称称为非系u i 统或随机成为本随，机由总收体入回以归外函的数因（素sto决ch定as。tic
PRF）。
Y i E Y X i u i B 1 B 2 X i u i
一元线性回归模型
• 通常，我们仅仅有来自总体的一个样本。 • 我们的任务就是根据样本信息估计总体回归函数。 • 怎么实现？
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 表2-2、2-3的数据都是从表2-1中随机抽取得到的。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
概率分布来描述。 Yi B1B2Xiui
ui
一元线性回归模型
3.2 随机扰动项的来源
• 对于回归模型
Yi B1B2Xiui
• 称为 被解释变量（explained variable）
Y i 也称 应变量或因变量（dependent variable）
称为 解释变量（explanatory variable）
3.2 随机扰动项的来源
•
一元线性回归模型
3.2 随机扰动项的来源
• 性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如个人健康状况、居住 区域等等。
• 性质2：反映了人类行为的内在随机性。即使模型中包括了决定数学分数 的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的。
• 性质3：还代表了度量误差，例如收入的数据可能不等于真实值。 • 性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要
其中， 总体条件Y均ˆ i 值
的估计量E；Y Xi
• 并非所有样本数据b 1 都 准B 1 的 确估 地计 落在量 样； 本b 2 回 归B 2 的 线估 上，计 因量 此建立随机样本回归
函数：
其中， 是 的估计量，Yi称b为1残b2 差X（i reesiidual）。
• 表示了Y的实际e 值i 与u样i 本回归估计值的e i 差。
X
i
也称 自变量（independent variable） 称为 参数（parameter）
称为 随机扰动项（random error term）
B1, B2
ui
一元线性回归模型
3.2 随机扰动项的来源
• 上式如何解释？
• 可以认为，在给定家庭收入水平 上，第i个X 学i 生的数学分数可以表达为 两部分之和：
第三章 一元线性回归 模型
（教材第二、三章）
一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型
• 3.1 回归的涵义 • 3.2 随机扰动项的来源 • 3.3 参数的最小二乘估计 • 3.4 参数估计的性质 • 3.5 显著性检验 • 3.6 拟合优度 • 3.7 预测
• 学习要点 回归模型的涵义，参一元数线性的回归O模型LS估计及其性质，显著
性的：
• 本书主要关注参数线性模型E。Y从现B1在B 起22，Xi线性回归（linear regression）是
指参数线性的回归，而解释变量并不一定是线性的。
一元线性回归模型
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 总体回归函数（population regression function，PRF）
• 上图中，圆圈点称为条件均值；条件均值的连线称为总体回归线。 • 总体回归线表明了Y的均值与每个X的变动关系。 • 上图近似线性的总体回归线可以表示成：
也斜称率回（表归s示lo系给peE数定）Y（的。XrXei值greE 所ss对iY on应X c的oieYf fi的cB ie均1n t值s）B ；2；X、i称为称截为距参（数in（tBep1racreaBpmt2）et，ers）称，为
3.1 回归的涵义
• 回归分析（regression analysis）
• 用于研究一个变量（称为被解释变量或应变量）与另一个或多个变量 （称为解释变量或自变量）之间的关系。
• Y代表被解释变量，X代表解释变量；解释变量有多个时，用X1，X2，X3 等表示。
• 例：商品的需求量与该商品价格、消费者收入以及其他竞争性商品价格 之间的关系。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 总体回归函数（population regression function，PRF）
• 例：学生的家庭收入与数学分数有怎样的关系？
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 总体回归函数（population regression function，PRF）
• 根据上面数据做散点图
3.2 随机扰动项的来源
• 总体回归函数说明在给定的家庭收入下，美国学生 平均的数学分数。 • 但对于某一个学生，他的数学分数可能与该平均水平有偏差。 • 可以解释为，个人数学分数等于这一组的平均值加上或减去某个值。用
数学公式表示为：
其中， 表示随机扰动项，简称扰动项。扰动项是一个随机变量，通常用
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 通过散点得到两条“拟合”样本数据的样本回归线。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 可用样本回归函数（SRF）表示样本回归线：
Yˆi b1 b2Xi
• 斜例率：系数度，量含了义X？每变动B一1 单位，Y（条件）均值的B 变2 化率。举
B2
0.001 一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 实际中往往无法获得整个总体的数据，怎么估计总体回归函数？即如何 求参数B1、B2？
ei
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 回归分析：根据样本回归函数估计总体回归函数。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• “线性”回归的特殊含义
• 对“线性”有两种解释：变量线性和参数线性。 • 变量线性：例如前面的总体（或样本）回归函数；下面的函数不是变量
• 一系是统或确定，性即部分B1。B，2是Xi该 收入E水Y平X上i 的平均数学分数。这一部分称为
• •
二此是时，，称称为非系u i 统或随机成为本随，机由总收体入回以归外函的数因（素sto决ch定as。tic
PRF）。
Y i E Y X i u i B 1 B 2 X i u i
一元线性回归模型
• 通常，我们仅仅有来自总体的一个样本。 • 我们的任务就是根据样本信息估计总体回归函数。 • 怎么实现？
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF）
• 表2-2、2-3的数据都是从表2-1中随机抽取得到的。
一元线性回归模型
3.1 回归的涵义
概率分布来描述。 Yi B1B2Xiui
ui
一元线性回归模型
3.2 随机扰动项的来源
• 对于回归模型
Yi B1B2Xiui
• 称为 被解释变量（explained variable）
Y i 也称 应变量或因变量（dependent variable）
称为 解释变量（explanatory variable）
3.2 随机扰动项的来源
•
一元线性回归模型
3.2 随机扰动项的来源
• 性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如个人健康状况、居住 区域等等。
• 性质2：反映了人类行为的内在随机性。即使模型中包括了决定数学分数 的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的。
• 性质3：还代表了度量误差，例如收入的数据可能不等于真实值。 • 性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要
其中， 总体条件Y均ˆ i 值
的估计量E；Y Xi
• 并非所有样本数据b 1 都 准B 1 的 确估 地计 落在量 样； 本b 2 回 归B 2 的 线估 上，计 因量 此建立随机样本回归
函数：
其中， 是 的估计量，Yi称b为1残b2 差X（i reesiidual）。
• 表示了Y的实际e 值i 与u样i 本回归估计值的e i 差。
X
i
也称 自变量（independent variable） 称为 参数（parameter）
称为 随机扰动项（random error term）
B1, B2
ui
一元线性回归模型
3.2 随机扰动项的来源
• 上式如何解释？
• 可以认为，在给定家庭收入水平 上，第i个X 学i 生的数学分数可以表达为 两部分之和：
第三章 一元线性回归 模型
（教材第二、三章）
一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型
• 3.1 回归的涵义 • 3.2 随机扰动项的来源 • 3.3 参数的最小二乘估计 • 3.4 参数估计的性质 • 3.5 显著性检验 • 3.6 拟合优度 • 3.7 预测
• 学习要点 回归模型的涵义，参一元数线性的回归O模型LS估计及其性质，显著