信息论与编码期中试卷及答案

信息论与编码期中试题答案

一、（10’）填空题

（1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。

（2）必然事件的自信息是0 。

（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。

（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。

（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。

二、（10'）判断题

（1）信息就是一种消息。（⨯）

（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（√）

（3）概率大的事件自信息量大。（⨯）

（4）互信息量可正、可负亦可为零。（√）

（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。

（⨯）

（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（√）

（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（⨯）

（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码）。

（√）

（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ⨯)

三、（10'）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则

P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （5分）

故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （4分）

I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）

四、（10'）证明：平均互信息量同信息熵之间满足

I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY) 证明：

()()()

()

()()()()

()()

Y X H X H y x p y x p x p y x p x p y x p y x p Y X I X X Y j i j i Y i j i X

Y

i j i j i -=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡---==∑∑∑∑∑∑log log log

; （4分）

同理

()()()

X Y H Y H Y X I -=; （2分） 则

()

()()Y X I Y H X Y H ;-= 因为

()()()

X Y H X H XY H += （2分） 故

()()()()Y X I Y H X H XY H ;-+=

即

()()()()XY H Y H X H Y X I -+=; （2分）

五、（30’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：

1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X 的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵()X H ； 2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依

赖关

系为

，

，

，

，求其熵()X H ∞。

3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。

解：1）信源模型为 （4分）

（6分）

2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分） 由

（4分）

得极限状态概率

（2分）

（2分）

3）

119.02log )

(121=-

=X H γ （4分）

447.02log )

(122=-

=∞X H γ （4分）

12γγ>。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反

映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）

六、（10'）一个信源含有三个消息,概率分布为p 1=0.2,p 2=0.3,p 3=0.5,失真函数矩阵为

[]421032201d ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

求:D max ,D min , R(D max ),R(D min )

p 1=0.2,p 2=0.3,p 3=0.5

在给定的失真函数矩阵中,对每一个x i 找一个最小的d ij 然后求

R(D max )=0,

R(D min )=R(0)=H max (x)=[0.2log0.2+0.3log0.3+0.5log0.5

七、（10'）有一信源它有四种可能的输出，其概率分布如下图所示，表中给出了对应的码A 、B 、

C 、

D 和

E 。1）求这些码中哪些是唯一可译码。2）求哪些是非延长码（即时码）3）对所有唯一可译码求出其平均码长和编码效率？

码E 符号出现的概

率

码A 码B2 码C 码D 0 1/2 00 0 0 0 01 1/4 01 01 10 10 001 1/8 10 011 110 110 111

1/8

11

0111

1110

111

解：

1、唯一可译码为A 、B 、C 、D

2、即时码为A 、C 、D

3、信源熵H （X ）= 1.75 bit/符号

A 码平均码长为2 bit/符号，效率为87.5%

B 码平均码长为1.875 bit/符号，效率为93.75%

C 码平均码长为1.875 bit/符号，效率为93.75%

D 码平均码长为1.75 bit/符号，效率为100%

)

15.033.02.01;3.032.02;25.003.042.0(min 1

...2,1max ⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯==∑

==n

i ij i m j d p D min ()min j

i ij

y i

D p x d =∑