匹配理论及其应用

目录1引言02 匹配理论02.1图的概念02.2匹配的相关定义12.3匹配定理23 匹配理论的应用83.1相关算法介绍83.1.1匈牙利算法8算法93.1.2Kuhn Munkres3.2应用的两种常见类型103.2.1人员安排问题103.2.2 最优安排问题124 大学生就业现状分析154.1大学生就业一般过程模型154.2大学生就业过程的特点164.3关于大学生就业现状和成因的研究165 匹配理论及其在大学生就业市场中的应用166 结束语23参考文献24致谢25匹配理论及其应用Xxxxxx系本xxxxx班 xxxxxx指导教师： xxxxxxx摘要：本文将从匹配理论的基础知识及其基本应用着手，通过对大学生就业现状进行分析，将大学生的应聘问题转化为图论中的最优匹配问题，从而根据匹配理论的相关知识来解决最优匹配问题。

利用匹配理论的知识达到解决大学生就业问题的目的。

关键词：图论，匹配理论，大学生。

Matching theory and its applicationLi xxxxxxxClass xxxx，Mathematics DepartmentTutor：xxxxxxxxxxxxAbstract:This paper will adopt the basic knowledge and basic application of matching theory, which translate the job recruitment of college students into the optimal graph matching problem of graph theory through the analysis of the employment status, so that to reslove optimal matching problem according to the relevant knowledge of matching theory. Therefore, use the matching theory to resolve the employment problem of college graduates.Key words:graph theory ,matching theory,college students.1引言目前，大学生就业难已经成为中国一个十分突出的问题。

中国经济增长保持了良好的态势，能够持续不断地提供就业岗位。

大学生是就业群体中能力和素质较高的群体，应是中国就业群体中最具有竞争力的，应不会出现大面积的就业困难。

然而现实并非如此。

“毕业即失业”已经成为普遍现象。

匹配是图论的一个重要内容。

匹配理论很好的描述了市场中双向选择的情形，解释了一个市场能稳定存在的根源，并为我们对各种市场进行设计建立合理的市场机制提供了可行的选择。

因而利用匹配理论的知识对大学生就业市场的研究具有重大的意义。

2 匹配理论2.1 图的概念我们所讨论的图()graph 与人们通常所熟悉的图，例如圆、椭圆，函数图形等是很不相同的。

所谓图是指有序三元组(),,V E ϕ，其中V 非空称为顶点集，E 称为边集，而ϕ是E 到V 中元素有序对或无序对簇的函数，称V V ⨯为关联函数。

V 中元素称为顶点，E 中的元素称为边，ϕ刻画了边与顶点之间的关联联系。

若V V ⨯中元素全是(),,V E ϕ有序对，则(),,V E ϕ称为有向图，记为()()(),,D D V D E D ϕ=.若V V ⨯中的元素全是无序对，则(),,V E ϕ称为无向图，记为()()(),,G G V G E G ϕ=.图论中大多数定义和概念是根据图的图形表示提出来的。

例如边与它的两端点称为关联的；与同一条边相关联的两端点或者与同一个顶点相关联的两条边称为相邻的。

两端点相同的边称为环。

若无环图的顶点集可以划分为两个非空子集X 和Y 使得X 中任何两顶点之间无边相连并且Y 中任何两顶点之间也无边相连，则称该图为二分图，{}Y X ,称为二部划分。

从上面的讨论中可以看到，图的本质内容是顶点和边之间的关联联系，至于顶点和边是否用平面上的几何点和线段来表示，则完全是不必要的，换句话说，图的概念可以抽象化。

定义设1V 和2V 是图G 的顶点子集，使1212(),V V V G V V ==∅U I ,且G 的每一条边的每一个端点在1V 中，另一个端点在2V 中，则称G 为二分图（()bipartitegrph 。

记作：12(,;)G V V E =.如果1V 中的顶点与2V 中的每个顶点都相联，则成为完全二分图。

若12,V m V n ==，（符号V 表示集合V 中元素的个数），则完全二分图记作,m n K . 图G 的顶点集()V G 分成两个子集1V 和2V ()()1212,V V V G V V ==∅U I 的分划()12,V V ，称为G 的二分划()bipartition 。

2.2 匹配的相关定义定义1设D 是无环非空图，M 是)(D E 的非空子集，若M 中任何两条边在D 中均不相邻，则称M 为D 的匹配。

例如，在图2.2.1所示图中，粗边所示的边集是该图的一个匹配。

D 中与M 中边关联的顶点称为M 饱和点。

反之，称为M 非饱和点。

设)(D V X ⊆.若X 中每点都是M 饱和点，则称M 饱和X .若M 饱和)(D V ，则称M 为D 的完备匹配。

若对D 的任何匹配M '均有M M ≤'，则称M 为D 的最大匹配。

显然，每个完备匹配都是最大匹配。

如图2.2.1中粗边表示的匹配分别是该图的最大匹配和完备匹配。

xx 2x 3x 4x 12y 345xx 2x 3x 4x 12y 345(图2.2.1）定义2M 可增广道路设M 是图G 的一个匹配，P 是G 的一条路，且在P 中，M 的边和()E G M - 的边交替出现，则称P 是G 的一条M 交错路。

若M 交错路P 的两个端点为M 非饱和点，则称P 为M 可增广路。

例如，图2.2.2所示图中，虚线所示为匹配M ，则()2457910,,,,,V V V V V V 是一条M 交错路，而()124578,,,,,V V V V V V 是一条M 可增广路。

V 1V 4V 10（图2.2.2）定理2.2.1G 的一个匹配M 是最大匹配的充要条件是G 不包含M —增广道路。

证明 设M 是G 的一个匹配，并设G 包含一条M —增广道路0121m V V V +L ，设M M '=()()(){}()()(){}1,23,421,22,32,21,,,m m m m V V V V V V V V V V -+L U L ,显然，()M E G '∈,且M '是G 的一个匹配，因为1M M '>+，所以M 不是最大匹配。

反之，假设M 不是最大匹配，且令M '是G 的一个最大匹配，那么M M '>.(2.2.1)设H 是由M M ⊕导出的G 的子图，那么H 的每个顶点在H 中具有的度数不是1就是2.因为它最多只能和一条M 的边以及M '的边关联。

因此，H 的每个分支或是一条边在M 和M '中交错的偶回路，或是一条边在M 和M '中交错的道路。

由式(2.2.1)，H 包含的M '的边多于M 的边，因而必定有H 的一条道路P 开始于M '的边且终止于M '的边。

故在H 中被M '所饱和的P 的起点和终点在图G 中就是M —不饱和的，于是P 是G 的一条M —增广道路。

2.3匹配定理本节介绍Berge ，Hall ，Konig ，Tutte 关于匹配理论的四个基本定理。

需要用到符号A ○-B ，定义A ○-B =()()A B A B -U I ，其中A 与B 是集合，称A ○-B 为A 与B 的对称差，因为A ○-B =B ○-A ，有时把A ○-B 写成A ⊕B .定理1（Berge ,1957） M 是图G 中的一个最大匹配当且仅当G 中无M 的可增广轨。

证明 若M 中无M 的可增广轨，但M 不是G 的最大匹配，即G 中另有一匹配M '，M '的边数比M 的边数多，考虑G 的子图G G '=[M ○-M '].由于M 与M '是匹配,M 中的边两两无公共端点，M '亦然，所以G '中顶的次数不是1就是2.于是G '的连通片必为其边在M 与M '中交替出现的圈，不然就是边在M 与M '中交替出现的轨；又M 与M '的边数不同，M M '>，由○-的定义，G '中来自M '的边比来自M 的边多。

于是G 的某个连通片必为以M '中的边为起止边的轨(),p u v ，(),p u v 是M 的可增广轨，与假设G 中无M 可增广轨矛盾，至此证得M 是G 的最大匹配。

反之，若M 是G 的最大匹配，显然G 中无M 可增广轨，不然M 还可以改造成边数更多的匹配，与M 是最大匹配相违。

证毕。

定理2(Hall ,1935) 设G 是二分图，顶集的二分图划分为X 与Y ，即(),V G X Y X Y ==∅U I ,X 中无邻顶对，Y 中亦然；存在把X 中顶皆许配的充要条件是任意s X ∈，皆有()N s s ≥，其中()N s 是S 中每个顶的邻顶组成的所谓S 的邻集。

证明 若任意的S X ⊆，皆有()N s s ≥，但G 中无把X 中顶皆许配的匹配，如图2.3.1所示。

设M '是G 的一个最大匹配，当然M '也不能把X 中的顶皆许配。

设V 是一个未被M '许配的X 中顶，令A 是被M '的交错轨与V 连通的集合。

由定理1，V 是A 中的唯一的未被M '许配的顶，不然M '中有可增广轨，与M '是最大匹配相违。

令S A X =I ，于是()N s A Y =I ,且()1N s s =-，与假设任意S X ⊆，皆与()N s s ≥相违，至此证出充分性。

V(图2.3.1)必要性的证明 设有把X 中顶皆许配的匹配，任意的S X ⊆，则S 的顶亦皆被许配，与S 中顶相配的顶的个数是s ，又与S 中顶相配的顶皆在S 的邻集中，故()N s s ≥，证毕。

定理2就是图论中著名的Hall 婚配定理。

1935年，有人向Hall 提出如下问题：城中每位小伙子都结识k 位姑娘，每位姑娘都结识k 位小伙子，1k ≥。

问这些未婚青年是否皆可与自己的意中人结婚？Hall 把上述问题化成下面的图论模型：令小伙子集合为X ，姑娘集合为Y ，仅当甲小伙子与乙姑娘结识时，在甲与乙两顶之间连一边，构成一个k 次正则二分图，k 次()1k ≥正则二分图中存在完备匹配吗？Hall 由定理2推导出下面推论，从而肯定地回答了上述“与意中人结婚”的问题。