江苏省专转本统一考试高等数学复习总纲简略版

高等数学复习提纲一、 极限（一）极限七大题型 1. 题型一()lim()m xn P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。

2. 题型二()lim x a a 有限分子分母将a 带入分母3. 题型三（进入考场的主要战场）()lim v x xau x注：应首先识别类型是否为为“1”型！公式：1lim(1)e 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e 。

（三步曲）4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→） （1）A:同阶无穷小：lim0()xf fg 是g 的同阶；B:等价无穷小：lim1(g )xf fg 和等价；C:高阶无穷小：lim0(g )xf f g是的高阶.注意：f g 和的顺序特别补充：2sec 1~2-（3）等价替换的的性质：0 直接带入a 求出结果就是要求的值1）自反性：~;αα2）对称性：~~αββα若，则；3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换题型五有界：,|()|M g x M有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）识别不存在但有界的函数：sin,cos,,2e5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限（1）极限存在条件 0lim ()(0)(0)xx f x Af x f x A 左左右右（2）极限的连续性 000lim ()()()xx f x f x f x x x 即在连续（3）间断点及分类（★难点）把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。

A:间断点：定义域不能取值的内点导数（坚守的阵地） （一） 导数定义定义一 1、“陡”、“平”的形象叙述;2、00()'()df x f x dx 唯一切线斜率（）;3、00()()tanf x x f x y xx;4、0000()()'()limxf x x f x f x x. 拓展：0000()()lim'()f x f x Af x,Ⅱ类不存在，不能分类，求左右极限注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带入 定义二1、乘法运算：()'''uv u vuv ()''''uvw u vw uv w uvw2、除法运算：2''()'u u v uv v v（四） 复合函数求导（核心内容★★★）1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”） 所谓的“则”是＋、-、×、÷2、几点性质：（1）公式()ln x '=1x，推广为：11(ln ||)'||x xx （2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换（3）奇偶性: ①()'y f x y 奇偶 ②()'yf x y 偶奇1、基本知识 'dyy dx 注意求的时候要加“d x ”.2、 参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分 ()x x t =t 为中间变量公式：''t t y dy dxx 22()''t t dyd y dx dxx 3、 符号型求导 ""f 层抽象符号层 4、隐函数求导（必考）题目一般形式是:(,)(,),f x y g x y =22d d ,.d d y yx x求5、 对数法求导巧用对数的性质，变形式子 （七） 导数的应用 1、切线与法线切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1； 2、洛必达法则（极限题型六）（★）单调性与极值求解A ：单调性：'0,;'0,.y x I y y x I y >∈⇒↑<∈⇒↓B ：单调性交界点→极值点（判据） C:极值点可疑点（'0&'y y =不存在☆）D:渐近线 lim (),()lim ()()x x af x A y A y f x f x x a y f x →∞→====∞==如果则是的水平渐近线；如果，则是的垂直渐近线.2）函数凹凸性与拐点 A ：''0,;''0,.y x I y y x I y >∈⇒<∈⇒凹（）凸（）B:凹凸性交界点且能取值→拐点 C ：拐点可疑点''0&''y y =不存在☆ 一般求解步骤：（1） 求定义域、渐近线； （2） 计算',''y y ；（3） 求'0,''0y y ==的点和使',''y y 不存在的点，设为123,,...x x x ； （4） 列表分析； （5） 得出结论.4、函数最大值、最小值比较：1）'()0,'f x f =⇒不存在极值可疑点； 2）端点 5、函数的实际应用步骤：（1）合理做设，x 具有唯一性；（2）(),y f x =建模；（关键点所在）（3）令*'0,()y x x ==符合实际；（4）“八字”，唯一驻点，即为所求。

三、多元微分学（20+） （一） 显函数一阶偏导数 '(,)x x uu u x y x∂==∂变常 （二）全微分一元函数：(),d 'd y f x y y x == 此时，⇔可微可导 二元函数：(,),d d d .u uu f x y u x y x y∂∂==+∂∂ 此时，⇒可微偏导数存在，且连续 （三） (高)二阶偏导数主要是求22u x ∂∂2u x y ∂∂∂2u y x ∂∂∂22uy ∂∂，分别定义为：222222(),(),(),().u u u u u ux x x x y x y u u u u u uy x y x y y y∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂（四） 二元隐函数求导 一阶：''x z F z x F ∂=-∂ ''y zF zy F ∂=-∂ 二阶直接求 ：(,)z z x y = （五） 符号型求导（必考）1．(),xu yϕϕ=为已知函数（第一类：“妈妈一元”函数）2. (,2),u f xy x y f =-为已知函数（第二类）(重点★) 会画关系图“求即变”：求哪个，哪个就是变量【例题】 (,23),u f xy x y f =-已知.求2,,.u u ux y x y∂∂∂∂∂∂∂解：（1）画关系图1√ △ 2√△（2）“九字诀”求解 四、 不定积分★ （一） 基本知识1. 性质：[()d ]'();d[()d ]()d ;d ()()f x x f x f x x f x x F x F x C ===+⎰⎰⎰ 1、方法一 （1） 凑常数公式：1d d(),,x ax b a b a=+均为常数（2） 配方见到一元二次方程敏感的想到配方法 （3） 拆分 公式：11()()1[]()()()()()()c ax b a cxd c aax b cx d bc ad ax b cx d bc ad cx d ax b +-+=⋅=⋅-++-++-++（4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、方法二——固定搭配 公式'()(())d x f x x x ϕϕ⎰3、方法三——分布积分 （1） 一般分布积分框1 框2公式：d d u v uv v u =-⎰⎰ 关键：v 是什么（2）特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：2222sin ln sin3d ,d ,d ,d ,sin d ,sin(ln )d ,cos4d 1x xx x xe x x e x x x x x x x e x x x x +⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰等等 4、方法四——变量替换（1） 一次项替换 如:x2,t bt x a-==即.（2） 二次项替换（一） 定积分计算公式 （牛顿-莱布尼兹公式）主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ；2.变换——变限 111()()()()()d [()]'()d .bb x t aa t x f x x f t t t ϕϕϕϕϕϕ---==−−−−→←−−−−⎰⎰（二） 定积分性质1.（1）()d 0.aaf x x =⎰ （2）()d ()d .abbaf x x f x x =-⎰⎰2. d ,(()d )0.d baa b f t t x =⎰若为常数，3. 更名：()d ()d ()d .bbbaaaf x x f t t f ==⎰⎰⎰4. 拆分：()d ()d ()d .b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰v 的优先级方向高积分性质的运用：（1） 分段函数的定积分 （2） 函绝对值积分（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算） 5.若()f x 为奇函数，则()d 0.aa f x x -=⎰★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。

6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七（1）()()d xag x f t t =⎰ (()d )'()xx af t t f x =⎰ ★记住：与x 没有关系推广：2()1()2211(()d )'(())'()(())'().x x x f t t f x x f x x ϕϕϕϕϕϕ=-⎰上限带入乘上限求导-下限带入乘下限求导 (2)洛必达法则 （极限题型七） 7广义积分 三种形式：（1）()d af x x +∞⎰；（2）()d af x x -∞⎰；（3）()d f x x +∞-∞⎰.解：定义：()d u u a F f x x =⎰ 原式=lim u u u F →+∞→-∞=A （有限） 收敛∞或不存在 发散（三） 定积分应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕,x y 轴轴） 1. 面积21[()()]d baS x x x ϕϕ=-⎰阴影 *x 积分2. 旋转体体积（1）“坐在x 轴上”（2）“坐在y 轴上”（四） 二重积分 1. 累次积分 公式：2211()()()()d (,)d [(,)d ]d bx bx a x ax x f x y y f x y y x ϕϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰2. 二重积分的计算直角坐标系的几何意义： 3. 二重积分改变次序记住一些不能正序积分的函数：22sin 1ln ,,sin ,sin ,, (1)Ax x xe x x x x + 思路:原累次积分−−−→还原二重积分−−−−−→改变定限方向新累次积分 21[()()]d dcS y y y ϕϕ=-⎰阴影 *y 积分4. 极坐标主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！六、 常微分方程（ODE ） （一） 分离变量法 1. 标准型'()()y H x G y =⋅步骤：①d d ()()()d d ()y y H x G y H x x x G y =⋅⇒=⎰⎰2. 变化型 '()yy f x =核心：令yu x=（二） 一阶线性ODE （重点）1.标准型：'()()y p x y q x +=，关键是找到()p x 、()q x ；2.常数变量法：()d ()d (()d )p x x p x xy q x e x C e -⎰⎰=+⋅⎰ 做题步骤：（1） 找到()p x 、()q x ；（2） ()d p x x⎰，计算()d p x xe ⎰，()d p x xe -⎰；（3） 带入公式()d ()d (()d )p x x p x xy q x e x C e -⎰⎰=+⋅⎰（三） 三大题型题型1：贝努里方程（Bernoulli ）'()()n y p x y q x y +=→1'()()n n y y p x y q x --⋅+=，即1d ()()d n n yy p x y q x x--⋅+= 题型2：积分方程 特定条件'(0)0.y =Jacobi 因子一次 +号无y||，不要“| |【例题】0()()()d ,().x f x f x f t t x f x 满足下列方程：求解：令0()()d x y x f t t ，则()'()f x y x原式即为：'()()y x y x x整理之：()d ()d (()d )p x xp x xy q x e x C e -⎰⎰=+⋅⎰=…题型3：二阶线性ODE （1） 齐次方程（'''0()y py qy p q 、为常数） 特性方程即：2120,.pq解出、 （补充：24bb ac），12、 为互异实根，12=，(0)i（2） 非齐次方程标准型：'''(()cos ()sin )x m n y py qye P x xQ x x ,m n 为幂次.关键是读参数：,,,,,,.m n u k l 求解过程：'''y py qy =()f x1）'''0y py qy20pq解出12;.y 、得2)读参数,,,m n .()f x可设特解方程：*(()cos ()sin )k x l l y x e P x xQ x x代入*,y y 原方程，确定系数 3）*.yyy【例题】2'''23.x y y y e 解常微分方程：解：①2'''23x y y ye'''2y y y =0，即12____________0___,___;，②23x e =2x e （__________） （草稿纸上做） *12(cos(0)sin(0))x y x e A x B x =2x Axe （草稿纸上做）将*y 带入'''2y y y =0，解出系数__________.A③*_____________________.y yy七、 级数 （一） 定义1.0120......n n n a a a a a +∞=+++++=∑2.n S =012...n a a a a ++++3.收敛的必要条件⇒lim 0n n a →∞=第一部分 (0)n n a a ≥∑ 判别图S 有限 收敛∞或不存在发散N第二部分 交错级数 (1)n n a -∑ （1）（2的判别注：1）||n n b b 收敛收敛，且为绝对收敛.2）||n n b b 发散可能收敛（为绝对收敛），也可能发散.识别过程：（3）级数的几点性质 第三部分 幂级数 1.收敛域和收敛半径00()n n n a xx____;______.n a x （中心点或展开点）2.幂级数的展开 1）公式1：1,;!nxn x exn 2）公式2：1,(||1)1n n x x x；1(1),(||1)1n n n x x x3）逐项微分，逐项积分00(())d (()d )x x nn n n x x a x x xa xx x八、 空间解析几何 （一） 矢量运算 1. 矢量的内积（1）123123{,,}a i j k =++=a a a a a a 21||a =+a a （2）内积：112233||||cos a b a b a b a b a b θ⋅==++ (3)0a b a b⊥⇔⋅= 2. 矢量的叉积+ - +1lim ||nnn a Ra 如0(,)x R xR 收敛，.R带入原级数找解，看能否取到（1）123123i j k a b a a a b b b ⨯= （2）（3）12212121{,,}M M x x y y r r =--- （二） 平面方程1.点法式：00n MM ⋅= 000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=例如：2350,{_,_,_}x y z n ++== 2.直线标准型(点斜式)九、 证明题综述（18+） （一） 介值定理（零点定理） 定理条件： （1）[()[,]f x a b ∈（2）()()f a f b <注意： 1.2.解题要点：A ：()f x 是什么 B:[,]a b 是什么3.解答过程要规范，工整. （二） 罗尔定理（Roller ） 定理条件： （1）[()[,]f x a b ∈（2）()(,)f x a b 在可导 （3）()()f a f b =题型解释：1.一般是证明“必有一个正根或负根”解题步骤：A:利用介值定理证明根的存在性； B:利用反证法，证明根的唯一性。