本时间序列分析第三章(上)新
最新时间序列 第三章 ARMA模型的特性
三、格林函数与AR（n）系统的平稳性
平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱， 直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林 函数的表示形式，
X t G jat j j0
如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权
数 Gj 0
•对于AR(1)系统G j
0
即
j 1
0
这要求
1
1
上述条件等价于AR(1)系统的特征方程 1 0 的根在单位圆内(或方程(B) 0 的根在单位圆外).
AR(1)的结论可以推广到AR(n)
•AR（n）系统的平稳性条件：
AR（n）模型，即 (B)Xt at
其中：
( B ) 1 1 B 2 B 2 n B n
的平稳性条件为： (B) 0 的根在单位圆外
（或 () n 1 n 1 2 n 2 n 0
的根在单位圆内）。
......
t
1 a
t
1
2 1
a
t
...
即：
X t 1j at j
j0
则AR(1)模型的格林函数
G
j
j 1
例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对
a t 扰动的记忆情况 。（演示试验）
比较前后三个不同参数的图，可以看出： • 取正值时，响应波动较平坦。 • 取负值时，响应波动较大。 • 越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时 间越长。
满足 V k 1
• ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系
在格林函数的表达式中，用 I j 代替 G j ， 代替 ，
代替 ，即可得到相对应的逆函数。
第四节 自相关函数与偏自相关函数
一、自相关函数
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
注：图中，S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限。
所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计。
目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测。
线性是指预测值为观察值序列的线性函数，最小方差是指预测方差达到最小。
在预测图上可以看到，数据围绕一个范围内波动，即说明未来的数值变化时平稳的。
二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据（单位：mm）得：（书本P94）程序：data example17_1;input x@@;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot x*time=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= (0:5) q=(0:5);run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot x*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;（1）判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下（图a）图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动，没有明显趋势或周期，基本可以看成平稳序列，为了稳妥起见，做了如下自相关图（图b）图b时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵轴表示序列取值。
空间分布的测度和时间序列分析
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第三章 空间分布的测度和时间序列
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§1 空间分布的测度
二 点状分布的测度
2 中心位置及其测度
区域重心的测度补充
在实际问题的分析中;对于一个较大的行政区域: 可以将Xi;Yi取为各次级行政区域单元;譬如省 市 区的首府坐标; Mi可以为不同的属性值譬如;人口 产值等
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§1 空间分布的测度
二 点状分布的测度
2 中心位置及其测度
区域重心的测度补充
假设某一个区域由n个小区单元构成;其中;第i个
小区单元的中心坐标为Xi;Yi;Mi为该小区单元某 种属性意义下的重量;则该属性意义下的区域重
心坐标为:
n
Mi Xi
n
MiYi
P(x, y)
x i1 n
, y i1 n
第五步： S=5;I=2;T=5;7
①v2刚得到P标号;故考察v2 v2;v5∈A且v5是T标号 点;则修改为：
T ( v 5 ) m T ( v 5 ) P ( i v 2 , ) n W 2 5 m 1 , 8 5 6 i 1 n ②在所有的T标号中;Tv5最小;于是令Pv5=13
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第三章 空间分布的测度和时间序列
§1 空间分布的测度
第三步： S=3;I=6;T=2;3;5;7 ①v6刚得到P标号;故考察v6 v6;v2;v6;v5; v6;v7∈A且v2 v5 v7是T标号点;则修改为：
T ( v 2 ) m T ( v 2 ) P ( i v 6 , ) n W 6 2 m 9 , 5 3 i 8 n T ( v 5 ) m T ( v 5 ) P ( i v 6 , ) n W 6 5 m , 5 1 i 1 n 1 T ( v 7 ) m T ( v 7 ) P ( i v 6 , ) n W 6 7 m , 5 9 i 1 n ②在所有的T标号中;Tv3最小;于是令Pv3=6
03第三章 空间分布的测度和时间序列(新)
1.2 空间分布的测度
1.2.1 点状分布的测度
1 d1 n1
——最邻近平均距离：
d
iI
i1
（I为满足边界条件的最邻近点数的集合，n1为点数）
——第j级邻近平均距离：
1 dj nj
d
iI
ij
1.2 空间分布的测度
例：21个地理要素值构成的点状分布
各点坐标（西南端为原点） 1（3.5，5.8）; 2（0.8，4.6）; 3（1.3，4.8）; 4（2.6，4.1）; 5（4.7，4.2）; 6（1.5，3.8）; 7（2.6，3.8）; 单位：km 8（1.7，2.3） ; 15（3.7，2.9） 9（3.8，3.7）; 16（4.7，4.2） 10（4.7，3.9）; 17（2.8，1.8） 11（0.9，2.9）; 18（3.9，1.9） 12（1.7，2.3）; 19（4.5，1.1） 13（2.5，2.5）; 20（1.5，0.8） 14（3.2，2.2）; 21（2.3，0.9）
平均中心（分布重心） 作x，y轴； 确定每一点的坐标； 计算坐标均值。
O
x
1 n 1 n x xi , y y i n i 1 n i 1
Pi ( xi , yi ),i 1,2,, n
P ( x , y ) 即为平均中心。
平均中心
假设要在20个居住区设立一个商业中心，这20 个居住区的人口和位臵已经确定。我们所希望选择 的商业中心地点便利于所有居民，就是使居住区人 数和居住区到中心的距离乘积的总和达到最小。这 样，全体居民花在购物上的时间总和最省。
第三章 空间分布的测度和时间序列
引 言
地理事物存在于空间和时间之中，对
第3章 平稳时间序列分析(1)
第3章平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
型来息。
t x 为t x 的1阶差分： ▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2tx 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。
记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分kt x 为t x 的10,,1t = 10,,2 = 即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t = 2步差分：▽29x x x 133=-= ▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相x因此，15-18+6=343-30+9=222.k 步差分▽k =t k t k t k t t x )B 1(x B x x x -=-=--三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。
因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。
为了更好地讨论ARMA 模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。
设,，方程两边同除以，得特征方程（这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
应用时间序列分析实验报告实验名称第三章平稳时间序列分析一、上机练习data example3_1;input x;time=_n_;cards;;proc gplot data=example3_1;plot xtime=1;symbol c=red i=join v=star;run;建立该数据集,绘制该序列时序图得：根据所得图像,对序列进行平稳性检验;时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;从图上可以看出,数值围绕在0附近随机波动,没有明显或周期,其本可以视为平稳序列,时序图显示该序列波动平稳;proc arima data=example3_1;identify var=x nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析：1由图一我们可以知道序列样本的序列均值为,标准差为,观察值个数为84个;2根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟3阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内,而且自相关系数向衰减的速度非常快,延迟5阶之后自相关系数即在值附近波动;这是一个短期相关的样本自相关图;所以根据样本自相关图的相关性质,可以认为该序列平稳;3根据图五的检验结果我们知道,在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小<,所以我们可以以很大的把握置信水平>%断定该序列样本属于非白噪声序列;proc arima data=example3_1;identify var=x nlag=8minic p= 0:5q=0:5;run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;B：根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;C：估计模型中未知参数的值;D：检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;E：模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;F：利用拟合模型,预测序列的将来走势;为了尽量避免因个人经验不足导致的模型识别问题,SAS系统还提供了相对最优模型识别;最后一条信息显示,在自相关延迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMRp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMR0,4模型,即MA4模型;需要注意的是,MINIC只给出一定范围内SBC最小的模型定阶结果,但该模型的参数未必都能通过参数检验,即经常会出现MINIC给出的模型阶数依然偏高的情况;estimate q=4;run;本例参数估计输出结果显示均值MU不显著t的检验统计量的P值为,其他参数均显著t检验统计量的P值均小于,所以选择NOINT选项,除去常数项,再次估计未知参数的结果,即可输入第二条ESTIMATE 命令：estimate q=4 noint;run;参数估计部分输出结果如图六所示：图六ESTIMATE命令消除常数项之后的输出结果显然四个未知参数均显著;拟合统计量的值这部分输出五个统计量的值,由上到下分别是方差估计值、标准差估计值、AIC信息量、SBC信息量及残差个数,如图七所示：图七ESTIMATE命令输出的拟合统计量的值系数相关阵这部分输出各参数估计值的相关阵,如图八所示：图八ESTIMATE命令输出的系数相关阵残差自相关检验结果这部分的输出格式图九和序列自相关系数白噪声检验部分的输出结果一样;本例中由于延迟各阶的LB统计量的P值均显著大于aa=,所以该拟合模型显著成立;图九ESTIMATE命令输出的残差自相关检验结果拟合模型的具体形式ESTIMA TE命令输出的拟合模型的形式序列预测forecast lead=5id=time out=results;run;其中,lead是指定预测期数；id是指定时间变量标识；out是指定预测后的结果存入某个数据集;该命令运行后输出结果如下：FORECAST命令输出的预测结果该输出结果从左到右分别为序列值的序号、预测值、预测值的标准差、95%的置信下限、95%的置信上限;利用存储在临时数据集RESULTS里的数据,我们还可以绘制漂亮的拟合预测图,相关命令如下：proc gplot data=results;plot xtime=1 forecasttime=2 l95time=3 u95time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;输出图像如下：拟合效果图注：图中,S号代表序列的观察值；连续曲线代表拟合序列曲线；虚线代表拟合序列的95%上下置信限;所谓预测就是要利用序列以观察到的样本值对序列在未来某个时刻的取值进行估计;目前对平稳序列最常用的预测方法是线性最小方差预测;线性是指预测值为观察值序列的线性函数,最小方差是指预测方差达到最小;在预测图上可以看到,数据围绕一个范围内波动,即说明未来的数值变化时平稳的;二、课后习题第十七题：根据某城市过去63年中每年降雪量数据单位：mm得：书本P94程序：data example17_1;input x;time=_n_;cards;2579588397 110;proc gplot data=example17_1;plot xtime=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example17_1;identify var=x nlag=15minic p= 0:5q=0:5;run;estimate p=1;run;estimate p=1 noin;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot xtime=1 forecasttime=2 l95time=3 u95time=3/overlay;symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;1判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下图a图a由时序图显示过去63年中每年降雪量数据围绕早70mm附近随机波动,没有明显趋势或周期,基本可以看成平稳序列,为了稳妥起见,做了如下自相关图图b图b时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟2阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内, 自相关图显示该序列自相关系数一直都比较小,1阶开始控制在2倍的标准差范围以内,可以认为该序列自始自终都在零轴附近波动,这是随即性非常强的平稳时间序列;纯随机性检验见下图：图c图c根据图c的检验结果我们知道,在6阶延迟下LB检验统计量的P值显著小于,所以我们可以以很大的把握置信水平>95%断定这个拟合模型的残差序列属于非白噪声序列;2如果序列平稳且非白躁声,选择适当模型拟合该序列的发展;模型识别如下图图d图d假如某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下：1：求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;2：根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;3：估计模型中未知参数的值;4：检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;5：模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;6：利用拟合模型,预测序列的将来走势;最后一条信息显示,在自相数迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMAp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMA1,0模型,既AR1模型;它们的自相关系数都呈现出拖尾性和呈指数衰减到零值附近的性质;自相关系数是按负指数单调收敛到零；利用拟合模型,预测该城市未来5年的降雪量.由2可以知道该模型是AR1模型；预测结果如下图图e由图得未来564-68年的降雪量分别为、、、、;18. 某地区连续74年的谷物产量单位：千吨data example18_1;input x;time=_n_;cards;;proc gplot data=example18_1;plot xtime=1;symbol c=red i=join v=star;run;proc arima data=example18_1;identify var=x nlag=18minic p= 0:5q=0:5;run;estimate q=1;run;forecast lead=5id=time out=results;run;proc gplot data=results;plot xtime=1 forecasttime=2 l95time=3 u95time=3/overlay; symbol1c=black i=none v=start;symbol2c=red i=join v=none;symbol3c=green i=join v=none l=32;run;1判断该序列的平稳性与纯随机性该序列的时序图如下图f图f时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;由时序图显示过去74年中每年谷物产量数据围绕早千吨附近随机波动,没有明显趋势或周期,基本可以看成平稳序列,为了稳妥起见,做了如下自相关图图g图g样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟2阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内,自相关图显示该序列自相关系数一直都比较小,1阶开始控制在2倍的标准差范围以内,可以认为该序列自始自终都在零轴附近波动,这是随即性非常强的平稳时间序列;纯随机性检验见下图：图h图h根据图h的检验结果我们知道,在各阶延迟下LB检验统计量的P值显著小于,所以我们可以以很大的把握置信水平>95%断定这个拟合模型的残差序列属于非白噪声序列;选择适当模型拟合该序列的发展;如果序列平稳且非白躁声,选折适当模型拟合序列的发展模型识别如下图图i图i假如某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;B：根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;C：估计模型中未知参数的值;D：检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;E：模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;F：利用拟合模型,预测序列的将来走势;最后一条信息显示,在自相数迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMAp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMA1,0模型,既AR1模型;它们的自相关系数都呈现出拖尾性和呈指数衰减到零值附近的性质;自相关系数是按负指数单调收敛到零；利用拟合模型,预测该地区未来5年的谷物产量,预测结果如下图图j 由2可知,该模型为AR1模型；图j未来5年的谷物产量一次为,,,;19. 现有201个连续的生产记录data example19_1;input x;time=_n_;cards;图l时序图就是一个平面二维坐标图,通常横轴表示时间,纵轴表示序列取值;时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征;根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质,平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动,而且波动的范围有界的特点;如果观察序列的时序图,显示出该序列有明显的趋势性或周期性,那它通常不是平稳序列;样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数,综轴表示延迟时期数,用水平方向的垂线表示自相关系数的大小;我们发现样本自相关图延迟1阶之后,自相关系数都落入2倍标准差范围以内, 自相关图显示该序列自相关系数一直都比较小,1阶开始控制在2倍的标准差范围以内,可以认为该序列自始自终都在零轴附近波动,这是随即性非常强的平稳时间序列;纯随机性检验见下图：图m根据图m的检验结果我们知道,在各阶延迟下LB检验统计量的P值显著小于,所以我们可以以很大的把握置信水平>95%断定这个拟合模型的残差序列属于非白噪声序列;2如果序列平稳且非白躁声,选折适当模型拟合序列的发展模型识别如下图图n某个观察值序列通过序列预处理,可以判定为平稳非白噪声序列,就可以利用ARMA模型对该序列建模;建模的基本步骤如下：1、求出该观察值序列的样本自相关系数ACF和样本偏自相关系数PACF的值;2、根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质,选择适当地ARMAp,q模型进行拟合;3、估计模型中未知参数的值;4、检验模型有效性;如果拟合模型不通过检验,转向步骤B,重新选择模型再拟合;5、模型优化;如果拟合模型通过检验,仍然转向步骤B,充分考虑各种可能,建立多个拟合模型,从所有通过检验中选择最优模型;6、利用拟合模型,预测序列的将来走势;最后一条信息显示,在自相数迟阶数小于等于5,移动平均延迟阶数也小于等于5的所有ARMAp,q模型中,BIC信息量相对最小的是ARMA0,1模型,即MA1模型;利用拟合模型,预测该城市下一时刻95%的置信区间;由2可得,该模型为MA1模型；下一时刻95%的置信区间,;实验小结：给定一个序列,我们首先应该判断平稳性,如果平稳,再检查是否是纯随机序列,如果序列平稳且非白躁声,选折适当模型拟合序列的发展,选择AR,MA,或ARMA模型,然后可以对该序列进行预测;三、实验体会通过本次实验使我掌握了一些对时间序列的处理,运用不同的语句对一个样本序列的平稳性检验和随机性检验,这对我们处理数据有很大的帮助;在生活中我们往往会遇到这样的现象,当我们所得到的样本信息太少,并且没有其他的辅助信息时,通常这种数据结构式没法进行分析的,但是序列平稳性的概念的提。
第三章平稳时间序列分析
t Pp t tt t t x B x x B x Bxx ===---221第3章第三章平稳时间序列分析一个序列通过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着有关信息的平稳序列。
3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }与{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分t p t p x B x )1(-=∇ 2、k 步差分t k k t t t k x B x x x )1(-=-=∇-3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称之p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε (3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第3章第1节
无论是脉冲响应函数还是累积脉
冲响应函数，其根本特性都由一阶滞
后项系数 决定。
图3.3(a)
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
0
5
10
15
20
(a) 0.3
图3.3(b)
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
0
5
10
15
20
(b) 0.8
图3.3(c)
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8
金融计量学
第三章 差分方程、滞后运算与 动态模型
3.1 一阶差分方程 3.2 动态乘数与脉冲响应函数 3.3 高阶差分方程 3.4 滞后算子与滞后运算法
2
3.1 一阶差分方程
3.1.1 差分方程的定义
yt yt1 t (3.1)
一个差分方程就是指将一个变量的 当期值定义为它的前一期和一个当期 的随机扰动因素的函数。模型（3.1） 等式的右侧只有因变量的一次滞后期 出现，这样的差分方程称为一阶差分 方程。
0
5
10
15
20
(c) 1.0
图3.3(d)
40 30 20 10
0 -10
0
5
10
15
20
(d) 1.2
图3.3(e)
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2
0
5
10
15
20
(e) 0.8
图3.3(f)
40 30 20 10
0 -10 -20 -30 -40
0
5
10
15
20
(f) 1.2
图3-3非常清晰地显示出，不同的
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
模型(2.2)的任意解可写成
k r(j) 1
Y tX t
V l,jtl jtco s(jtl,j),z Z
(2.7)
j 1l 0
其中 { X t } 为平稳解(2.6). z1, z2, , zk为 A ( z )
的全体互不相同的零点。z j
eij j
有重数r
(
j)
随机变量Vl , j , l , j 由Y 0 X 0 ,Y 1 X 1 , 唯一 ,Y p 1 X p 1 决定。
自协方差
02 (1 b 1 2 b 2 2 ),22 b 2 12 (b 1 b 1 b 2 ),k 0 ,k 2 自相关系数
1 1 b 1 b 1 2 b 1 b b 2 2 2, 2 1 b 1 b 2 2 b 2 2, k 0 ,k 2 .
谱密度
f()22|1b1eib2ei2|2
q步相关
平稳序列{ X t } 的自协方差函数若满足 q 0， k 0,kq，则称{ X t } 是q步相关的。
滑动平均模型的例子
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列{Xt,t1,2, 197}。
一阶差分得
ytx tx t 1 ,t2 , ,1 9 7
{ y t } 的样本自相关系数列呈现截尾性。
MA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t,tZ
(1.3)
对于可逆MA，B 1 ( z ) 有Taylor 展式
B1(z) jzj,|z|1(0) j0
所以 t B1()Xt jXtj j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b 0 1 ，则对MA(q)序列有 EX t 0 ，
自协方差和自相关
0 1
时间序列分析--第三章平稳时间序列分析
2019/9/23
课件
25
Green函数递推公式
原理 xt( BG )x(tB )tt (B)G(B)t t
方法
待定系数法
递推公式
2019/9/23
G G0j 1k j1kGjk， j1,2, ,其中 k 0k ,k ,kpp
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
zt ztzt
2019/9/23
课件
10
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
2019/9/23
课件
38
例3.5:— (4 )x t x t 1 0 .5 x t 2t
自相关系数不规则衰减
2019/9/23
课件
39
偏自相关系数
定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就 是指在给定中间k-1个随机变量 的 xt1,xt2, ,xtk1 条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变 量的干扰之后， x 对 tk x影t 响的相关度量。用数 学语言描述就是
2019/9/23
课件
29
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式
k 1k11k0
平稳AR(1)模型的方差为
0
2
1 12
协方差函数的递推公式为
k
1k
2 112
,k1
2019/9/23
课件
时间序列分析方法 第03章 平稳ARMA模型
第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。
通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念，并且为描述单变量时间序列的动态性质提供一类十分有用的模型。
§3.1 预期、平稳性和遍历性3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。
例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。
对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。
定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P ℜΩ上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。
例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为：]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ= 此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。
定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征：(1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ (3.1) 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim)( (3.2) (2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛): 20)(t t t Y E μγ-= (3.3) 例3.3 几种重要类型的随机过程1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差函数将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。
时间序列分析第三章王燕第1-6题习题解答
E ( xt ) 0
；
0.7 xt 1 t ，即 xt
t
1 0.7 B
0.7i t i
i 0
所以有： Var ( xt ) (3)
0.7
i 0
2i
Var ( t )
2
1 0.7
2
2
0.51
1.96 2 ；
；
k 1 k 0.7k ,
1 1
2 2 ˆT (l )] lim Var[ xT l x l 1 12 12
.
证毕。
(3) 自相关系数 k ，由 AR(2)的递推公式，得：
1
1 0.8 16 0.695652 1 2 1 0.15 23
2 11 2 0 0.8 0.695652 0.15 1 0.406522
3 12 2 1 0.8 0.406522 0.15 0.695652 0.22087 ；
得 E ( xt ) 0 ； (2)
1 0.8, 2 0.15
1 2 2 (1 2 )(1 1 2 )(1 1 2 )
Var ( xt ) 0
1 0.15 2 1.982331 2 ； (1 0.15) (1 0.8 0.15)(1 0.8 0.15)
k 0
2 ，所以 2 0.7 0.49
(4) 因为是 AR(1)模型，偏相关系数一阶截尾，所以 22
0。
2 2. 已知某 AR(2)模型为： xt 1 xt 1 2 xt 2 t , t ~ WN (0, ) ,
第三章 线性平稳时间序列分析
λ + α1λ
p 1
+ + α p = 0
特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt = c1λ1t + + c p λ p 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有复根 这时齐次线性差分方程的解为
j
j k
根据 Cauchy 不等式,我们可以得到
G j G j k ≤ ∑ G 2 ∑ G 2k ∑ j j j =∞ j =∞ j =∞
∞ ∞ ∞
12
<∞
所以级数
j =∞
∑GG
j∞Leabharlann j k收敛,故 { X t } 为平稳序列.
上海财经大学 统计与管理学院
10
,
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
1 j =1
(3.8)
其中
1 G 1 ( B ) = I ( B) = 1 ∑ I j B j j =1 ∞
(3.9)
称将 X t 变换为 ε t 的线性算子:
I ( B ) = ∑ I j B j , I 0 = 1
j =0
∞
为逆函数 逆函数,称(3.8)为 X t 的逆转形式 逆转形式,也称为无穷阶自回归. 逆函数 逆转形式
j =0 ∞
便于使用的条件是: 便于使用的条件是:
∑ Gj < ∞
∞
j =0
(3.7)
上海财经大学 统计与管理学院 13
在理论研究和实际问题的处理时, 通常还需要用 t 时刻及 t 时刻以前的 X t j ( j = 0,1, ) 来表示白噪声 ε t ,即
时间序列分析 第三章prc
取前k个方程构成的方程组即Yule-Walker方程组
解Yule-Walker方程组可以得到参数 ( k1 , k 2 ,, kk ) 的解， 最后一个参数的解即为延迟K偏自相关系数
1 k1 0 k 2 1 kk k 1 2 k1 1 k2 0 kk k 2 k k1 k 1 k 2 k 2 kk 0
2
, , ,
1
1 2 =0 3
1 1 2 kk 2 0
k 1 k2 k 3
课堂练习 计算AR(3)模型的偏自相关系数
33和44
AR模型偏自相关系数的截尾性
i 1 1 2 i 2 记 i i ， i 1, 2, , k ， ik k 对于AR( p )模型有： 11 2 2 p p 1 Dk
例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图
理论偏自相关系数 样本偏自相关图
(1) xt 0.8xt 1 t
0.8 , k 1 kk ,k 2 0
例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图
理论偏自相关系数 样本偏自相关图
(2) xt 0.8xt 1 t
t s t t k t k
ˆ )( x Ex ˆ )] E[( x Ex ˆ )2 ] E[( xt Ex t t k t k kk t k t k ˆ )( x Ex ˆ )] E[( xt Ex t t k k t xt , xt k xt 1 , , xt k 1 kk 2 ˆ ) ] E[( x Ex
第3章平稳时间序列分析
时间序列分析
(1) X t = X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
• 自相关函数呈现出“伪周期”性
• 理论偏自相关函数
⎧2 ,k =1 ⎪3 ⎪ φkk = ⎨−0.5 , k = 2 ⎪0 ,k ≥ 3 ⎪ ⎩
• 样本偏自相关图
时间序列分析
(2) X t = − X t −1 − 0.5 X t − 2 + at
由于格林函数描述了系统的动态性，那么在随 机扰动序列已知的情况下，格林函数就完全 能够确定系统的行为，从而根据已知的扰动 序列和格林函数便可确定系统的响应 拟合AR(p)模型的过程也就是使相关序列独立 化的过程.
时间序列分析
• 平稳性的Green函数判别法
欲使序列平稳，则格林函数应满足
当j → ∞时，有G j → 0
ρ k 减小，且以指数速度减小，越来越与0接近，
这种现象称为拖尾.
时间序列分析
4、AR(1)的PACF （1） PACF的求解
AR (1)的 PACF 按照 PACF的递推公式有：
ρ 2 − ρ1φ11 φ12 − φ12 φ11 = ρ1； φ 22 = = =0 2 1 − ρ1φ11 1 − φ1 φ21 = φ11 − φ 22φ11 = φ1 ρ 3 − ρ 2φ 21 − ρ1φ 22 φ13 − φ12φ1 − 0 = =0 φ33 = 2 1 − ρ1φ 21 − ρ 2φ 22 1 − φ1 − 0
时间序列分析
（三）AR(1)的统计特征
1、 AR(1)的方差：
• 平稳AR(1)模型的传递形式为
∞ ∞ at i Xt = = ∑ (φ1 B) at = ∑ φ1i at −i 1 − φ1 B i =0 i =0
第三章 时间序列基本概念1
例如：某河流一年各时刻的水位值，{x1, x2, …, xT-1, xT,}，可以看作一个随机过程。 每一年的水位纪录则是一个时间序列， {x11, x21, …, xT-11, xT1}。而在每年中同一 时刻（如t = 2时）的水位纪录是不相同 X(t) n 1 2 的。{ x2 , x2 , …, x2 ,} 构成了x2取值的样 本空间。
则称该时间序列为宽平稳过程。
此定义表明，宽平稳过程各随机变量的 均值为常数，且序列中任意两个变量的
3、严平稳过程与宽平稳过程的联系和 区别 区别：
（1）严平稳序列的概率分布随时间的平移 而不变，宽平稳序列的均值和自协方差随 时间的平移而不变。 （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序 列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序 列。
第二节
第三节 第四节
平稳时间序列
平稳时间序列的特征描述 线性差分方程
第五节
差分运算及滞后算子
第一节
随机过程
一、随机过程和时间序列
二、时间序列的分布
三、时间序列的特征统计量
一、随机过程的概念
引：
时间序列不是无源之水。它是由相
应随机过程产生的。只有从随机过 程的高度认识了它的一般规律。对 时间序列的研究才会有指导意义。 对时间序列的认识才会更深刻。
自相关函数描述了时间序列的{Xt}自身的相关结构。 自相关函数也具有对称性，且有： (t, t ) 1
第二节 平稳时间序列
一、两种不同的平稳性定义 二、平稳序列的自协方差和自相关函
数
一、两种不同的平稳性定义
1、严平稳过程
设｛xt｝为一时间序列，m, τ为任意整数， 若对于时间 t 的任意 m 个值 t <t < … <t ，都 1 2 m FX t1 , X t2 X tm ( x1 , x2 ,, xm ) FX t1 , X t2 X tm ( x1 , x2 ,, xm ) 有：
第三章平稳时间序列分析-3
n
Q(ˆ )
2 t
t1
n
( xt 1 xt1 p xt p 1 t1 q tq )2 t 1
实际中最常用的参数估计方法是条件最小二乘估 计法
条件最小二乘估计
假设条件：过去未观测到的序列值为0，即
xt 0 , t 0
从而 t
(B) (B) xt
xt
t
i xt1
i 1
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
序列自相关图
除延迟1阶在2倍标准差外，其它都在2倍标准差范围内 波动，平稳，自相关系数1阶截尾。
所以可考虑拟合模型MA(1)
序列偏自相关图
显然，偏自相关系数拖尾。
【例3.9】 1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列
由时序图可见，无周期性和单调趋势，序列平稳
s
t
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 (B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B) 11B 2B2 pBp
q阶移动平均系数多项式：
(B) 11B 2B2 q Bq
2、平稳条件与可逆条件
ARMA(p,q)模型的平稳条件 P阶自回归系数多项式Φ(B)=0的根都在单 位圆外,即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由 其自回归部分的平稳性决定
Pr
2 n
ˆk
2 n
0.95
Pr
2 n
ˆkk
2 n
0.95
模型定阶的经验方法：
若样本(偏)自相关系数在最初d阶明显大于2 倍标准差，后面几乎95％的值都落在2倍
标准差范围内，且衰减为小值波动的过程 很突然。这时常视为截尾，截尾阶数为d。
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时间序列分析
1
第三章 ARMA模型的特性
第三章 ARMA模型的特性
2
第三章 ARMA模型的特性
本章主要介绍ARMA模型的一些非常重 要的特性，这对我们了解和使用ARMA模型 是必不可少的一部分内容，也是本课程的重 点、难点内容之一。
3
3
第三章 ARMA模型的特性
本章要考察 ARMA模型
23
第三章 ARMA模型的特性
ⅰ）若 1, 2 ,, n 为不同实根 yt c11t c2t2 cntn
ⅱ）若 1, 2 ,, n 中有相同实根（有重根），不妨 设前d个特征根为d重重根，后n-d个特征根为不等实 根，则
yt
(c1
c2t cd t d 1 )1t
cd
t
1 d 1
（2） 模型的等价逆转形式：
X t I j X t j at 相当于AR(∞); 其中Ij：逆函数 j 1
7
模型的三种表示形式：
第三章 ARMA模型的特性
差分方程形式
传递形式
逆转形式 8
3. B算子（后移算子）
第三章 ARMA模型的特性
BX t X t1
B2 X t B(BX t ) BX t1 X t2
G1 1 1 G2 1G1 2G0
格林函数为：1，0.3，-0.44，-0.768 G3 1G2 2G1
X t 0.8X t1 0.5X t2 at 0.4at1 G j 1G j1 2G j2
格林函数为：1，1.2，1.46，1.768，2.144
这种求解方法的缺点是：必须逐步递推。
第三章 ARMA模型的特性
Gj 1j
j 0,1,2,
注意AR(1) 的参数 1 对系统动态性的影响。
3. 例：求 X t 0.9 X t1 at 和 X t 0.1X t1 at 的Gj并说明 各自的特点。
解：
j 01 2 3
4
5
6
7
Gj 0.9 j 0.9 1 0.9 0.81 0.729 0.6561 0.5905 0.5314 0.4783
26
第三章 ARMA模型的特性
ARMA(2,1)系统的Gj的显式解
例：解出下面模型的格林函数
X t 0.4 X t1 0.1X t2 at 0.3at1
解：
G0 1
G1 1 1 0.4 0.3 0.1 G2 1G1 2G0 0.4 0.1 0.11 0.14 G j 1G j1 2G j2 j 2
2. MA(2)的Gj： 模型： X t at 1at1 2at2
G0 1, G1 1, G2 2 , G3 0,, G j 0( j 2)
3. 结论：对一般的MA(q)模型，有： MA模型本身已是等价传递形式，格林函数已知：
G0 1, G1 1, G2 2 ,, Gq q , G j 0( j q)
X t 1 X t1 2 X t2 at 1at1
求解格林函数常用的方法是比较系数法，可得到
G0 1
G1 1 1 G2 1G1 2G0 G3 1G2 2G1
G j 1G j1 2G j2 ( j 2)
19
第三章 ARMA模型的特性
例：求解下面模型的格林函数。
G0 1
X t 1.2 X t1 0.8X t2 at 0.9at1
6
一、模型的表示形式
第三章 ARMA模型的特性
1. 模型的差分方程形式
例： AR(1)模型 X t 1 X t1 at ARMA(2,1)模型 X t 1X t1 2 X t2 at 1at1 2. 模型的两种等价形式
（1） 模型的等价传递形式： X t G jat j 相当于MA(∞); 其中Gj：格林函数 j0
Gj 0.1j 0.1 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001
特点：都是逐渐衰减到0。不同的是，模型2的Gj的衰减速 度比模型1快的多。
11
1
0.9
0.8
系列1
0.7
系列2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
G j 1G j1 2G j2 nG jn j n
21
例：求解下面模型的格林函数。
第三章 ARMA模型的特性
X t 0.7 X t1 0.5X t2 at 0.4at1 0.2at2 格林函数为：1，1.1，0.07，-0.501，-0.3857 X t 0.7 X t1 0.5X t2 0.3X t3 at 0.4at1 0.2at2 格林函数为：1，1.1，0.07，-0.801，-0.9257
24
另有：
第三章 ARMA模型的特性
（1）设 yt 是非齐次方程的通解， yt 是非齐次方程 的一个特解， yt 是齐次方程的通解，则有：
yt yt yt
即：非齐次方程通解＝齐次方程通解+非齐次方程的特解
（2）若
y (1) t
和
y (2) t
均是齐次差分方程的解，则
b1
y
(1) t
b2
y (2) t
13
例：写出下面模型的格林函数。
第三章 ARMA模型的特性
X t at 0.7at1
G0 1, G1 0.7, G2 0,, G j 0( j 1) X t at 0.5at1 0.9at2 G0 1, G1 0.5, G2 0.9, G3 0,, G j 0( j 2)
5
第三章 ARMA模型的特性
第一节 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程 二、AR(1)系统的格林函数 三、根据格林函数形成系统响应 四、AR(1)系统的平稳性 五、格林函数与Wold分解 六、ARMA(2,1)系统的格林函数 七、ARMA(2,1)系统的平稳性
一、模型的表示形式 二、AR(1)系统的格林函数 三、MA系统的格林函数 四、AR(1)系统的平稳性 五、ARMA(2,1)系统的格林函 数 六、 ARMA(2,1)系统的平稳性
G0 1
G1 1 1
G2 1G1 2G0 2
G3 1G2 2G1 3G0 3
G n1 1Gn2 2Gn3 G n1 0 n1
G j 1G j1 2G j2 nG jn j n
22
3. ARMA(2,1)系统的Gj的显式解 线性常系数差分方程
第三章 ARMA模型的特性
20
第三章 ARMA模型的特性
2. ARMA(n,n-1)系统的格林函数的隐式
(1 1B 2B2 n Bn ) X t (11B 2B2 n1Bn1)at
G0 1
G1 1 1 G2 1G1 2G0 2 G3 1G2 2G1 3G0 3
G n1 1Gn2 2Gn3 n1G0 n1
10
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
-10
-20
-30
特定扰动下系数等于1.5
-40 -50
的AR(1)过程的表现
-60
-70
-80
-90
-100
具体生成与比较见Excel文件
17
平稳性条件：
X t
aj 1 t j
1. 等价传递形式、格林函数及其意义
把Xt表示成既往扰动at-i(i≥0)的加权和形式：
X t G j at j j0
等价传递形式
注意： G0 1
格林函数：描述系统记忆扰动的程度的函数。或者 说是描述扰动对系统输出影响的函数。
10
2. AR(1)的Gj X t 1 X t1 at
X t 1jat j j0
j0
平稳
第三章 ARMA模型的特性
j
,
j 1
0
平稳性条件：
即有：
1 1 1 ＝1
1 1
平稳 临界稳定
非平稳
1 1
例：判断下面模型是稳定的吗？
X t 1.1X t1 at
X t 0.9 X t1 at
18
五、ARMA(2,1)系统的格林函数
第三章 ARMA模型的特性
1. ARMA(2,1)系统的Gj（隐式解）
cd
t
2 d 2
cntn
ⅲ）若 1, 2 ,, n 中有复根，复根必成对出现，
且互为共轭。不妨设n＝2， 1, 2 为复根，则 yt c11t c2t2 r t (c1eit c2eit ) c1,2 cei
Ar t cos( t) A1rt cost A2rt sin t
1,2 a bi rei r(cos i sin )
1.2
第三章 ARMA模型的特性
1
Gj 1j
0.8
j 0,1,2, 0.6
0.4
0.2
0
0
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
12
第三章 ARMA模型的特性
三、 MA系统的格林函数 1. MA(1)的Gj： 模型： X t at 1at1
G0 1, G1 1,G2 0, G3 0,, G j 0( j 1)
代入可得
G0 g1 g2 1
G1 g1 0.575 g2 (0.175) 0.1
计算得到：
g1 0.275 / 0.75 0.37 g2 0.63 所以，格林函数为：
Gj 0.37 0.575j 0.63 (0.175) j
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第三章 ARMA模型的特性
ARMA(2,1)系统的格林函数的显式解：