迭代法的基本思想ppt课件
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7-2 迭代法33页PPT
3. 迭代法举例
例 求方程 f(x)x1x0 20的一个根.
解法1 因为f(0)=1>0，f(1)=-7<0，故此
方程在(0,1)中必有一实根。现将原方程
改写成等价的形式
xlg x (2)
得迭代公式 x k 1 lg x k (2 )
取初始值x0=1，可逐次算得
x 1 0 .4,7 x 2 7 0 .3 1 , 9 , 39 x 6 0 .37 , x 5 7 8 0 .3758
可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，
也就是f 的根。
So basically we are done! I can’t believe
it’s so simple! What’s the problem?
Oh yeah? Who tells you that the
method is convergent?
x = g(x)
构造公式
xk+1 = g(xk)
请回答: 为什么x*是f(x)=0的根？
答：由 xk+1 = g(xk)，令 k → +∞ 得
k l i x m k 1k l i g m (x k)
即
x g(x)
这说明 x* 是 x = g(x) 的根，
因此也是 f(x) = 0 的根.
y=x
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
p1
x x0 x* x1
二、迭代收敛的条件
复习 微分中值定理
设f(x)在[a, b]上连续，(a , b)内可导， 则存在一点ξ，使下式成立
第五章线性代数方程组的迭代法课件ppt1
(
简单，而更易求解.
L+D+U
)x
=
b
( D L ) x U x b
则高斯—塞德尔迭代过程 2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
步对角化或三角化，即将线性方程组的求解过
单位下三角矩阵
；
(D L )x U x b 解 Gauss Seidel 迭代格式为
取初始值为零，计算结果如下： 所以对于任给的初值， 迭代收敛于方程组
a11 x1 b1
思考题
a
2
1
x1１ a．22 x2写 b出2 上三角方程组的求解公式．
ai1 x1
2a．i2x2矩利阵用 a求三ii xi逆角 b的i方计程aii算组0公的式求xx1i ．解(bb1i公/a11i式j11a导ijxj出)/a三ii,i角2,
,n
a n1 x1 a n 2 x 2
8x1 3x2 2 x3 20
4
x1
11x2
x3
33
x
1
3 8
x2
1 4
x3
5 2
x2
4 11
x1
1 11
x3
3
解：从方程6组x1 的3三x2 个12方x3程 中36分离 x出3
建立迭代公式
1 2
x1
x1
, x2
1 4
x2
和
3
x
3
x
1
x
2
x
3
x1(
k
1)
3 8
x
3 28
§3 迭代法的设计技术
(k 1)
(k)
因为 D 0 ,所以 §5 超松弛迭代法（SOR方法）
2.2 迭代法
x k +1 = 3 x k + 1
计算结果如下: 计算结果如下:
k=0,1,2,3…….
计算方法
k 0 1 2 3 4
xk
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
k 5 6 7 8
xk
1.32476 1.32473 1.32Байду номын сангаас72 1.32472
精确到小数点后五位
x = 1.32472
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
证: 由于 ϕ ′( x * ) = 0 * ′( x* ) < 1 , 即在 x 邻域 ϕ ϕ ( xk ) 在 x * 处 有局部收敛性, 所以 xk+1 = ϕ( xk ) 有局部收敛性, 将 泰勒展开
计算方法
一、迭代法的基本思想: 迭代法的基本思想: 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于 的根， 为求解非线性方程 的根 迭代的等价方程
x = ϕ ( x)
的连续函数。 其中ϕ ( x ) 为x的连续函数。 的连续函数
(2.3)
计算方法
即如果数 α 使 f(x)=0, 则也有 α = ϕ (α ) , 反之, 反之, 若α = ϕ (α ) ,则也有 f (α ) = 0 的右端, 任取一个初值 x ,代入式 x = ϕ ( x ) 的右端, 得到 0
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
《迭代法及其收敛性》课件
猜测一个初始解，作 为迭代的起点。
2 建立迭代公式
根据问题的特性和已 知条件，建立迭代公 式。
3 判断迭代是否收敛
判断迭代得到的解是 否足够接近真实解， 停止迭代。
迭代法的例子
牛顿迭代法
用于求解方程的数值方 法，通过不断迭代逼近 方程的根。
埃特金迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法，通过不断迭 代逼近方程组的解。
迭代法的收敛性
收敛性是指迭代得到的解越来越接近真实解，而收敛速度是指迭代得到的解 的收敛速度有快有慢。
收敛速度的度量方法
1 零点误差
迭代得到的解与真实 解之间的差距。
2 牛顿数列
迭代得到的解之间的 差值的变化规律。
3 收敛阶
《迭代法及其收敛性》 PPT课件
迭代法及其收敛性
迭代法是一种求解数值问题的方法，通过反复迭代得到更精确的解。这个PPT 课件将讲解迭代法的定义、步骤、例子以及收敛性的度量方法。
什么是迭代法？
迭代法是一种求解某些数值问题的方法，从一个猜测的解开始，通过反复迭 代得到更精确的解。
迭代法的步骤
1 猜测初始解
迭代得到的解的收敛 速度的量化指标。
如何判断迭代是否收敛？
1 绝对误差减小
迭代得到的解的绝对 误差逐渐减小。
2 相对误差减小
迭代得到的解的相对 误差逐渐减小。
3 后验估计准则
通过计算后验估计准 则判断迭代的结果是 否满足要求。
总结
1 迭代法是一种常用的数值求解方法 2 收敛性和收敛速度是迭代法的重要评价指标 3 判断迭代收敛的方法有多种，需要根据问题具体情况选择
2 建立迭代公式
根据问题的特性和已 知条件，建立迭代公 式。
3 判断迭代是否收敛
判断迭代得到的解是 否足够接近真实解， 停止迭代。
迭代法的例子
牛顿迭代法
用于求解方程的数值方 法，通过不断迭代逼近 方程的根。
埃特金迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法，通过不断迭 代逼近方程组的解。
迭代法的收敛性
收敛性是指迭代得到的解越来越接近真实解，而收敛速度是指迭代得到的解 的收敛速度有快有慢。
收敛速度的度量方法
1 零点误差
迭代得到的解与真实 解之间的差距。
2 牛顿数列
迭代得到的解之间的 差值的变化规律。
3 收敛阶
《迭代法及其收敛性》 PPT课件
迭代法及其收敛性
迭代法是一种求解数值问题的方法，通过反复迭代得到更精确的解。这个PPT 课件将讲解迭代法的定义、步骤、例子以及收敛性的度量方法。
什么是迭代法？
迭代法是一种求解某些数值问题的方法，从一个猜测的解开始，通过反复迭 代得到更精确的解。
迭代法的步骤
1 猜测初始解
迭代得到的解的收敛 速度的量化指标。
如何判断迭代是否收敛？
1 绝对误差减小
迭代得到的解的绝对 误差逐渐减小。
2 相对误差减小
迭代得到的解的相对 误差逐渐减小。
3 后验估计准则
通过计算后验估计准 则判断迭代的结果是 否满足要求。
总结
1 迭代法是一种常用的数值求解方法 2 收敛性和收敛速度是迭代法的重要评价指标 3 判断迭代收敛的方法有多种，需要根据问题具体情况选择
第一节迭代法2021最全PPT
0
x1 x2 x3
1 8
2 15
1 10 0
1 5
3 20 1 8
0
x1 x2 x3
有
X (k) X *B .X (k 1 ) X * B .(X (k) X (k 1 ) X (k) X *)
B .X (k ) X (k 1 ) B .X (k ) X *,
从而有
X ( k ) X *( 1 B ) B .X ( k ) X ( k 1 ),
因此有
X(k)X* B X(k)X(k1) , 1B
式中，D 1 是简单的对角阵， 它的对角线元 素是 D 的元素的倒数。
例1、将方程组：
AXb:
20x1 2x2 3x3 24,
x1 8x2 x3 12,
2x1 3x2 15x3 30
化成便于迭代的形式 XB XF . 最直观的方法是，将方程组改写为：
x1
0
x1
2 20
x2
3 20
x3
24 20
,
x
2
1 8
x1
0
x2
1 8
x3
12 8
,
x
32 15x13 15x20
x3
30 15
0
x1 x2 x3
1 8
2 15
1 10 0
1 5
3 20 1 8
0
x1 x2 x3
5 4 3 2 2
三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
第五章第一节迭代法
一、引言
迭代法是解线性代数方程组的另一类重要方法，特别 适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它 的 基本思想是，从任一初始向量 X (0 ) 出发，按某一规则，逐
《牛顿迭代法》PPT课件
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x的*近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 的x0选取. 如果 偏离x0所求根 x较* 远，则牛顿法可能发散.
例如，用牛顿法求方程
x3 x 1 0.
（3.8）
在 x 1附.5近的一个根 . x *
f (x1，) 而0.656643 f ( x0 ) 1.384
显然 f ( x1) f. (x0 )
由 计x1算 x2时, x3 ,, 均能 使 1条件（3.10） 成立. 计算结果如下 ：
x2 1.36181, x3 1.32628, x4 1.32472,
f ( x2 ) 0.1866; f ( x3 ) 0.00667; f ( x4 ) 0.0000086.
10.723805
4
10.723805
8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及( xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f ( x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x给0 的不合适可能不收敛.
9
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
设取迭代初值 x0 ， 1用.5牛顿法公式
xk 1
xk
xk3 xk 1 3xk2 1
计算得
x1 1.34783, x2 1.32520,
迭代3次得到的结果 x3有6位有效数字.
（3.9）
x3 1.32472.
12
但如果改用 x0 作 0为.6迭代初值，则依牛顿法公式 （3.9）迭代一次得
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x的*近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 的x0选取. 如果 偏离x0所求根 x较* 远，则牛顿法可能发散.
例如，用牛顿法求方程
x3 x 1 0.
（3.8）
在 x 1附.5近的一个根 . x *
f (x1，) 而0.656643 f ( x0 ) 1.384
显然 f ( x1) f. (x0 )
由 计x1算 x2时, x3 ,, 均能 使 1条件（3.10） 成立. 计算结果如下 ：
x2 1.36181, x3 1.32628, x4 1.32472,
f ( x2 ) 0.1866; f ( x3 ) 0.00667; f ( x4 ) 0.0000086.
10.723805
4
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8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及( xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f ( x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x给0 的不合适可能不收敛.
9
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
设取迭代初值 x0 ， 1用.5牛顿法公式
xk 1
xk
xk3 xk 1 3xk2 1
计算得
x1 1.34783, x2 1.32520,
迭代3次得到的结果 x3有6位有效数字.
（3.9）
x3 1.32472.
12
但如果改用 x0 作 0为.6迭代初值，则依牛顿法公式 （3.9）迭代一次得
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
第二节迭代法及其收敛性PPT课件
证明: 由微分中值定理可得
ek1 xk1 x g(xk)g(x) g(k)(xk x) g(k)ek
其中k在xk与x之间, 再由局部收敛可知
limek1 e k
k
lki mg(k)
g(x)
故迭代格式是线性收敛的.
定理7.2.3 设x是迭代函数g(x)的不动点,整数p 1, g(p)(x)在x
的邻域上连续,则迭代格式在x的邻域上是p阶收敛的充分必
1.732361 1.732051
注意 31.7，32从0计5算0 结8 果看到迭代法（1） 及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条 件，迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法 （4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 g(x*.)0
定义7.2.2 设迭代过程 xk1收g敛(x于k)方程
x2的根30
x* 3.
解 这里 f(x)，可x2改写3为各种不同的等价形 式 xg，(x其) 不动点为 x*由此3构. 造不同的迭代法：
( 1 )x k 1 x k 2 x k 3 ,g ( x ) x 2 x 3 ,
g ( x ) 2 x 1 ,g ( x * g ) (3 ) 2 3 1 1 .
xg(x).
（2.1）
若要求 x满* 足 f (x*，) 则0 x；*反之g(亦x*然)， 称 x为* 函数 g的( x一) 个不动点.
求 f的(x零) 点就等价于求 的不(x动) 点，选择一个 初始近似值 x，0 将它代入(2.1)右端，即可求得
x1 g(x0).
如此反复迭代计算
x k 1 g (x k) (k 0 ,1 , ).
34
又因 132g(x)，故33 定 理2 1中条件1°也成立.
《方程的常用迭代法》课件
迭代法的优缺点
迭代法的优点
迭代法能够逼近复杂方程的解，解决了许多无 法直接求解的问题。
迭代法的缺点
迭代法可能存在收敛性问题和计算效率低的问 题，需要结合具体情况选择合适的迭代方法。
实例演示
使用零点迭代法解方程
以具体的方程为例，演示 零点迭代法的应用和实现 过程。
使用不动点迭代法解 方程
以具体的方程为例，演示 不动点迭代法的应用和实 现过程。
《方程的常用迭代法》 PPT课件
本课件将介绍方程的常用迭代法。探讨迭代法的概念、分类以及优缺点，并 通过实例演示让您深入理解迭代法的应用场景和实现方法。
迭代法的概念
什么是迭代法？
迭代法是一种通过不断逼近解的方法，通过多次重复计算来逼近方程的解。
迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是通过不断逼近，逐步逼近方程的解，直至满足所需的精度要求。
零点迭代法通过逐步逼近 方程的零点，即方程的解。
零点迭代法的应用场景
零点迭代法适用于具有单 根或多根的非线性方程。
零点迭代法的实现方法
常用的实现方法有不动点 迭代法、割线法等。
不动点迭代法
不动点迭代法的原理
不动点迭代法通过找到方程的不动点，将方程转化为一种逼近不动点的方法求解。
不动点体的方程为例，演示 牛顿迭代法的应用和实现 过程。
总结
迭代法应用场景
迭代法适用于无法直接求 解的方程和需要高精度解 的问题。
迭代法的实现方法
迭代法的实现方法有零点 迭代法、不动点迭代法、 牛顿迭代法等。
如何选取合适的迭代法
选择合适的迭代法应考虑 方程的特点、精度要求和 计算效率等因素。
迭代法的应用范围
迭代法广泛应用于各个学科，例如数学、物理、工程等领域。
第3章迭代法思想
17
高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
由Jacobi迭代可以看出，每次计算 xi 新值时，用的都是 x j
x
( k 1) 1
( k 1)
(k )
( j i ) ，即 x j ( j i )
( k 1)
的旧值，但事实上，在计算 xi
, x2
( k 1)
时，
, x
( k 1) i 1
30
迭代法的矩阵描述
例：用矩阵形式的Jacobi迭代和G-S迭代形 式求解线性方程组：
2 x1 x 2 1 x1 4 x 2 5
2 1 2 0 0 0 0 1 A 0 4 1 0 0 0 D L U 1 4
22
高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
取 x(0)=(0,0,0)T 计算如下： k x1(k) x2(k) x3(k)
1
…
0.72
…
0.902
…
1.1644
…
8
1.099998
1.199999
1.3
Jacobi法需要12次迭代。。。
23
上例计算结果表明，Gause seidel迭代 法比Jacobi迭代法效果好。事实上，对有 些问题Gause seidel迭代法确实比Jacobi 迭代法收敛得快，但也有Gause seidel迭 代比Jacobi迭代收敛得慢，甚至还有Jacobi 迭代收敛，Gause seidel迭代发散的情形。 评价：与Jacobi相比，只需一组工作单 元存放近似解。
11
雅克比(Jacobi)迭代法
等 价 方 程 组
x1 x2 xn 1 [ a12 x2 a1n xn b1 ] a11 1 [ a21 x1 a2 n xn b2 ] a22 1 [ an1 x1 an 2 x2 bn ] ann
高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
由Jacobi迭代可以看出，每次计算 xi 新值时，用的都是 x j
x
( k 1) 1
( k 1)
(k )
( j i ) ，即 x j ( j i )
( k 1)
的旧值，但事实上，在计算 xi
, x2
( k 1)
时，
, x
( k 1) i 1
30
迭代法的矩阵描述
例：用矩阵形式的Jacobi迭代和G-S迭代形 式求解线性方程组：
2 x1 x 2 1 x1 4 x 2 5
2 1 2 0 0 0 0 1 A 0 4 1 0 0 0 D L U 1 4
22
高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
取 x(0)=(0,0,0)T 计算如下： k x1(k) x2(k) x3(k)
1
…
0.72
…
0.902
…
1.1644
…
8
1.099998
1.199999
1.3
Jacobi法需要12次迭代。。。
23
上例计算结果表明，Gause seidel迭代 法比Jacobi迭代法效果好。事实上，对有 些问题Gause seidel迭代法确实比Jacobi 迭代法收敛得快，但也有Gause seidel迭 代比Jacobi迭代收敛得慢，甚至还有Jacobi 迭代收敛，Gause seidel迭代发散的情形。 评价：与Jacobi相比，只需一组工作单 元存放近似解。
11
雅克比(Jacobi)迭代法
等 价 方 程 组
x1 x2 xn 1 [ a12 x2 a1n xn b1 ] a11 1 [ a21 x1 a2 n xn b2 ] a22 1 [ an1 x1 an 2 x2 bn ] ann
数值分析第三章线性方程组的迭代法课件
§ 3.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
将A分裂成A =D+L+U，则Ax b 等价于
(D+L+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
e(k) x(k) x* Gx(k1) d (Gx* d) G(x(k1) x* ) Ge(k1)
于是 e(k) Ge(k1) G 2e(k2) Gk e(0)
由于 e (0)可以是任意向量,故 e(k) 收敛于0当且仅
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异, (因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
则超松弛迭代 公式可写成
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
x1(k 1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a1n xn(k )
b1 )
x2(k 1)
1 a 22
(a21 x1(k )
a23 x3(k )
§ 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角
元素 aii 0(i 1,2,, n) , 则将A分裂成
08-课件：55.2 迭代法
大连理工大学罗晓芳算法思想:利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，每次执行这组指令(或步骤)时，都从变量原值推出一个新值。
关键步骤：1、确定迭代变量:也就是直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量。
2、建立迭代关系式: 指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。
3、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程?迭代算法一般结构小猴在一天内摘了若干个桃子，当天吃掉一半多一个；第二天吃掉剩下的一半桃子多一个；以后每天都吃尚存桃子的一半零一个。
直到第7天早上要吃时，只剩下一个了，问小猴共摘了多少个桃子？例4：小猴吃桃子问题问题分析：先从最后一天推出倒数第二天的桃子，再从倒数第二天推出倒数第三天的桃子，……设第n天的桃子为x,它是前一天的桃子数的一半少一个x n = xn-1/2-1前一天的桃子数为：xn-1=(xn+1)×2(递推公式）设迭代变量x x=(x+1)*2#include "stdio.h"int main(){int i, x;x=1；printf("第7 天的桃子数为：1只\n");for(i=6; i>=1; i--){x=(x+1)*2;printf("第%d 天的桃子数为：%d 只", i , x);printf("\n");}return 0;小猴吃桃子问题迭代关系，迭代:原值推出新值//迭代变量赋初值思考:小猴在一天内摘了94个桃子，当天吃掉一半多一个；以后每天都吃尚存桃子的一半多一个，问小猴直到第几天早上要吃时只剩下一个了？例5：用迭代法求a 的算术平方根。
公式：x n =0.5*(x n-1+a/x n-1)确定初值为x0,新值为x1 取a/2为x0的初值，迭代结束条件:|x1-x0|<=10-5.#include <stdio.h>#include <math.h>int main( ){ float a, x0, x1;scanf("%f",&a);x0=a/2; x1=(x0+a/x0)/2; while (fabs(x1-x0)>1e-5){x0=x1;x1=(x0+a/x0)/2; }printf("sqrt(a)=%f\n", x1);零非零|x1-x0|>10-5？x0=x1x1=(x0+a/x0)/2x0=a/2x1=(x0+a/x0)/2输出a ，x1迭代:原值推出新值// 迭代变量赋初值//新值变原值//将循环结束条件取反1.分析：程序采用逐位分离的方法。
迭代解法(全章)讲解ppt课件
10/18/2023
第六章 线性方程组的迭代解法
21
§3 常用的三种迭代解法
一、 Jacobi迭代法
对于线性方程组 Ax=b
(1)
设 det(A)≠ 0 ，aii ≠ 0,i=0,1,2,…,n ，按照如下方式对A
进行分裂：
A=L+D+U
(2)
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第六章 线性方程组的迭代解法
22
则由 Ax=b 得到 (L+D+U) x=b >D x=-(L+U)x+b
或 向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x* ，当且仅当它的每一 个分量序列收敛于x* 的对应分量，即
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第六章 线性方程组的迭代解法
7
二、矩阵的范数
矩阵范数是反映矩阵“大小”的一种度量，具体定义如下。 定义6.3 设||·||是以n阶矩阵为变量的实值函数，且满足 条件：
(1) || A ||≥0，且|| A ||＝0时，当且仅当A＝0
矩阵1-范数：
列和
矩阵2-范数：
矩阵∞-范数：
行和
以上三种范数都满足矩阵范数的条件，通常将这三种 矩阵范数统一表示为||A ||p，P＝1 ，2 ，∞。
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第六章 线性方程组的迭代解法
9
例6.2 设矩阵
求矩阵A的范数||A ||p，P＝1 ，2 ，∞ 。 解 根据定义
由于 则它的特征方程为:
25
对于 n 元线性方程组 其一般式为：
从中解出：
得Jacobi迭代格式
通过|| x(k+1)-x(k)||<ε 控制迭代次数。
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第八章ppt-线性方程组迭代法
数值计算方法
数值计算方法
§8.2 向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭
代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向
量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量——向量和 矩阵的范数。
在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|
表示。而任意两点x1，x2之间距离用
| x1-x2 |表示。
建立Gauss-Seidel迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) ( k 1) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k 1) 6 x ( k 1) ) 3 1 2 11
数值计算方法
(8-1)
数值计算方法
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法(高斯消元法) 比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于 求解系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组。 2. 需要讨论的问题： 怎样建立迭代格式，迭代过程是否收敛，误 差分析，如何加快收敛速度等等。 常用迭代方法： 雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代，松弛迭代等。
5 1 3 x1 1 2 4 1 x 2 2 4 6 11 x 3 3
数值计算方法
数值计算方法
建立Jacobi迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k ) 6 x ( k ) ) 3 1 2 11
数值计算方法
§8.2 向量和矩阵的范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭
代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向
量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量——向量和 矩阵的范数。
在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|
表示。而任意两点x1，x2之间距离用
| x1-x2 |表示。
建立Gauss-Seidel迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) ( k 1) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k 1) 6 x ( k 1) ) 3 1 2 11
数值计算方法
(8-1)
数值计算方法
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法(高斯消元法) 比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于 求解系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组。 2. 需要讨论的问题： 怎样建立迭代格式，迭代过程是否收敛，误 差分析，如何加快收敛速度等等。 常用迭代方法： 雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代，松弛迭代等。
5 1 3 x1 1 2 4 1 x 2 2 4 6 11 x 3 3
数值计算方法
数值计算方法
建立Jacobi迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k ) 6 x ( k ) ) 3 1 2 11
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2
牛顿法的几何意义
由（1）式知 xk1 是点 (xk , f (xk )) 处 y f (x) 的切线
y f (xk ) x xk
f (xk ) 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就
是说，新的近似值xk1 是用代替曲线y=f(x)的切线与x
轴相交得到的。继续取点 (xk1, f (xk1)) ,再做切线与x轴相
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
lim k
xk1 x* xk x*
= lim k
mgxk xk x* gxk mgxk xk x* gxk
m 1g x* = mg x*
Tailor展开
1 m h
f ( x*) hf ( x*) h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m!
f ( x*) hf ( x*) h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1 m h
h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m! h m1 f (m) ( x*) O(h m )
x1 x0 x1
，当... x1
c时。
的控制常数，一般可取c=1。
步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者
f1 0 则方法失败；否则以 (x1, f1, f1)代替(x0 , f0 , f0)转
步二继续迭代。
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6
例题
例1:用牛顿法求下面方程的根f (x) x3 2x210x 20 解 因 f (x) 3x2 4x 10 ,所以迭代公式为
m 1 0 m
此时，Newton 法具有线性敛速。
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2)修正Newton法求m重根迭代公式
xk 1
xk
m
f (xk ) f (xk )
注：若 x* 是方程 f (x) 0 的m重根，而 f (m)(x)在 x* 的 某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具
k0
1
2
3
xk 0.880000 0.884688 x n 1 x n f ( x n ) / f ( x0 )
0.884675
0.884675
满足了精度要求 0.7826上5 一页=0.8下84一67页5
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8
1）当用 Newton 法求ｍ重根时，不妨设
f（x）= x x* mgx
交，又可得xk2 ,。由图可见，只要初值取的充分靠
近 ,这个序列就会很快收敛于 。
Newton迭代法又称切线法
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3
y
上一页 下一页
返回
4
牛顿迭代法的步骤
步一、准备。选定初始近似值
x
，计算f
0
0
f (x0 )
f0 f (x0 )
步二、迭代。按公式 x1 x0
( f (x) 0)
在 f(x)=0的根 的某个邻域 R( x ) 内, f (x) 0
f (x) f (x)
(x) f (x)2 L 1
在 的邻域R 内，对任意初值 x0 ，应用由公式（1）来解方程的方
法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.
g x* 0
f （x）=m x x* m1gx x x* m gx
= x x* m1mgx x x *gx
xk1 x* xk
f f
x k x k
x
*
=
xk
x*
四次迭代就得到了较满意的结果.
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7
例2 计算 0.78265 的近似值。 =10-6 x0=0.88
解： 令x= 0.78265 问题转化为求ƒ(x)= x2-0.78265=0的正根
由牛顿迭代公式
迭代结果
xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk
f0 f 0
迭代一次，得到新的
近似值x1 ，计算f1 f (x1), f1 f (x1)
步三、控制。如果x1 满足 1 。 则终止迭
代，x1以 作为所求的根；否则转步四。此处1
是允
许误差,
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5
而
x1 x0 ,当.. x1 c时；。其中c是取绝对值或相对误差
NewtonLeabharlann 代法的基本思想设 XK
是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在X K
处作泰勒展开
f (x)
f
(xk )
f
(xk )(x xk )
f
(xk ) (x 2!
xk )2
若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性
方程
f (x) f (xk ) f (xk )(x xk ) 0
设 f (xk ) 0 ,令其解为xk1
,得
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。
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（1)
1
它对应的迭代方程为 x x f (x) 显然是f(x)=0的同解方程， f (x)
故其迭代函数为
(x) x f (x) f (x)
有至少二阶的收敛速度。
因为：考察函数 (x) 用定义求导
xm
f (x) f (x)
在x * 处的导数
x * h m f (x * h) x *
(x * h) (x*)
f (x * h)
h
h
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10
1 m f (x * h) h f (x * h)
xn1 xn (xn3 2xn2 10xn 20) /(3xn2 4xn 10) 选取x0 1,计算结果 列于下表
n
1
2
3
4
xn
1.411764706 1.369336471 1.368808189 1.368808108
从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了