创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习课件 专题一第4讲 函数与导数不等式

设 g(a)＝247a3－a＋c，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围 恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞， 则在(－∞，－3)上 g(a)＜0，且在1，32∪32，＋∞上 g(a)＞0 均恒 成立.从而 g(－3)＝c－1≤0，
且 g32＝c－1≥0，因此 c＝1.
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【训练1】(1)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示， 则曲线y＝f(x)在点P(2，0)处的切线方程是________.
(2)(2015·苏、锡、常、镇模拟)若曲线 f(x)＝ x，g(x)＝xa 在 点 P(1，1)处的切线分别为 l1，l2，且 l1⊥l2，则 a 的值为________.
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探究提高 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结 合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合， 挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
f
－23a
＝
4 27
a3
＋
b
，
则
函
数
f(x) 有 三 个 零 点 等 价 于
f(0)·f －23a ＝
b247a3＋b＜0，
a＞0，
a＜0，
从而－247a3＜b＜0或0＜b＜－247a3.
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又 b＝c－a，所以当 a＞ 0 时，
247a3－a＋c＞0 或当 a＜0 时，247a3－a＋c＜0.
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探究提高 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的 切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一 定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线 斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载 体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而 和导数联系起来求解.
第4讲 导数与函数图象的切线 及函数零点问题
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高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意 义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上 在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题； (2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命 题的另一热点.
所以 h(x)在1e，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，
因此 h(x)min＝h(1)＝3.由 h1e＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1，比较可知
h1e＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当 3＜a≤e＋2e＋1 时，函数 y＝f(x)－g(x)有两个零点.
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热点一 函数图象的切线问题 【例 1】 (1)(2015·衡水中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A
是曲线 C1：y＝ax3＋1(a＞0)与曲线 C2：x2＋y2＝52的一个公共点， 若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值 是________. (2)(2015·镇江监测)若曲线 C1：y＝3x4－ax3－6x2 与曲线 C2：y＝ex 在 x＝1 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为________.
又 l1⊥l2，∴ kl1 ·kl2 ＝12a＝－1.∴a＝－2. 答案 (1)x－y－2＝0 (2)－2
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热点二 利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题 [微题型 1] 讨论方程根的个数 【例 2－1】 (2015·南京、盐城模拟)已知函数 f(x)＝(x2－3x＋3)·ex
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1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的 斜率f′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)， 通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率， 列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
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解析 (1)根据导数的几何意义及图象可知，曲线 y＝f(x)在点 P 处 的切线的斜率 k＝f′(2)＝1，又切线过点 P(2，0)，所以切线方程为 x－y－2＝0. (2)由题意可知，f′(x)＝2 1 x，g′(x)＝axa－1，
∵l1，l2 过点 P(1，1)，∴ kl1 ＝f′(1)＝12， kl2 ＝g′(1)＝a.
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真题感悟 (2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)试讨论 f(x)的单调性； (2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同 的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞， 求 c 的值.
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探究提高 研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调 性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断 方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.
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[微题型 2] 根据零点个数求参数范围 【例 2－2】 (2015·泰州模拟)已知函数 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax
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2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值
也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即
可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋ d(a≠0)的零点分布情况如下：
－2(e 为自然对数的底数，a∈R). (1)判断曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线 y＝g(x)的公共 点个数；
(2)当 x∈1e，e时，若函数 y＝f(x)－g(x)有两个零点，求 a 的取值 范围.
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解 (1)f′(x)＝ln x＋1，所以切线斜率 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为 y＝x－1. 由yy＝ ＝－x－x21＋ax－2，⇒x2＋(1－a)x＋1＝0. 由 Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知： 当 Δ＞0 时，即 a＜－1 或 a＞3 时，有两个公共点； 当 Δ＝0 时，即 a＝－1 或 a＝3 时，有一个公共点；
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(2)因为 y′＝12x3－3ax2－12x，y′＝ex，所以曲线 C1，C2 在 x＝1
处的切线斜率分别是 k1＝－3a，k2＝e.又两切线互相垂直，所以
k1k2＝－3ae＝－1，解得 a＝31e.
答案
(1)4
1 (2)3e
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解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－23a. 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增； 当 a＞0 时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈－23a，0 时，f′(x)＜0，所以函数 f(x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上单调递增， 在－23a，0上单调递减；
的定义域为[－2，t](t＞－2). (1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在[－2，t]上为单调函数； (2)当 1＜t＜4 时，求满足f′（exx00）＝23(t－1)2 的 x0 的个数.
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解 (1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex， 由 f′(x)＞0，得 x＞1 或 x＜0； 由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1. ∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 若使 f(x)在[－2，t]上为单调函数， 则需－2＜t≤0， 即 t 的取值范围为(－2，0].
当Δ＜0 时，即－1＜a＜3 时，没有公共点.
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(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln x，
由 y＝0，得 a＝x＋2x＋ln x.
令 h(x)＝x＋2x＋ln x，则 h′(x)＝（x－1）x（2 x＋2）.
当 x∈1e，e时，由 h′(x)＝0，得 x＝1.
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此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a ＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]， 因函数有三个零点，则 x2＋(a－1)x＋1－a＝0 有两个异于－1 的不 等实根， 所以 Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0， 且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0， 解得 a∈(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞.综上 c＝1.
f(x1)＜0且f(x2)＞0
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3.研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得 出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两 曲线交点的个数.
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a的符号
a＞0 (f(x1)为极大值， f(x2)为极小值)
a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值)
零点个数 一个 两个 三个 一个 两个 三个
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充要条件
f(x1)＜0
f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＞0且f(x2)＜0
f(x2)＜0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0
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(2)∵f′（exx00）＝x20－x0，f′（exx00）＝23(t－1)2，即 x20－x0＝23(t－1)2，令 g(x)＝x2－x－23(t－1)2，则问题转化为当 1＜t＜4 时，求方程 g(x)＝ x2－x－23(t－1)2＝0 在[－2，t]上的解的个数.∵g(－2)＝6－23(t－1)2 ＝－23(t＋2)(t－4)，g(t)＝t(t－1)－23(t－1)2＝13(t＋2)(t－1)， ∴当 1＜t＜4 时，g(－2)＞0 且 g(t)＞0， ∵g(0)＝－23(t－1)2＜0，∴g(x)＝0 在[－2，t]上有两解. 即满足f′（exx00）＝23(t－1)2 的 x0 的个数为 2.
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解析 (1)设 A(x0，y0)，则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax20， C2 在 A 处的切线的斜率为－k1OA＝－yx00， 又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直， 所以－xy00·3ax20＝－1，即 y0＝3ax30， 又 ax30＝y0－1，所以 y0＝32， 代入 C2：x2＋y2＝52，得 x0＝±12， 将 x0＝±12，y0＝32代入 y＝ax3＋1(a＞0)，得 a＝4.
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当 a＜0 时，x∈(－∞，0)∪－23a，＋∞时，f′(x)＞0，x∈0，－23a
时，f′(x)＜0，所以函数 f(x)在(－∞，0)，－23a，＋∞上单调递增，
在0，－23a上单调递减. (2)由(1)知，函数 f(x)的两个极值为 f(0)＝b，