高中数学函数内容的教学分析

高中数学函数内容的教学分析

在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级。与以往相比，课程标准关于函数内容的要求发生了比较大的变化。

1．强调函数背景及对其本质的理解。

无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习。以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念。一方面，丰富的实例既是概念的背景又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵。

2．加强函数思想方法的应用。

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑。比如，新增加的内容“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。

二、对函数内容的基本理解

函数的内容包括：函数概念及其性质，基本初等函数（Ⅰ），函数与方程，函数模型及其应用。以理解函数概念本质为线索，既可以将这些内容有机地组织为一个整体，又可以让学生以它们为载体，逐步深入地理解函数概念。

1．内容组织的线索：函数概念本质的理解。

函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发采用归纳式的教材组织形式引入。由于函数概念的高度抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。首先，在分析典型实例的共同特征的基础上概括出函数定义后，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。它们分别是从函数的表现形式和变化规律两个方面丰富对函数概念的认识。然后，以三类基本初等函数为载体巩固函数概念，在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。

最后，从应用的角度再一次巩固并提升对函数的理解。对一个概念真正理解的一个判断标准就是看看是否可以运用概念解决问题。教材最后安排函数的应用，包括二分法、不同函数模型的增长差异以及建立函数模型解决实际问题，就是期望学生能在“用”的过程中提高对函数概念的理解。

2．突破难点的主要方法：显化过程，加强联系。

函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终，同时它也是教与学的一个难点，在教材编写中

应采用什么方法突破这个难点，帮助学生更好地理解函数概念呢？

对于形成函数这样抽象的概念，应该让学生充分经历概括的过程。概括就是把对象或关系的

某些共同属性区分和固定下来。这就要求我们在编写教材时充分展示概括过程，并要充分调

动学生的理性思维，引导他们积极主动地观察、分析和概括。教材选择了三个有一定代表性

的实例，先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系，给学生以如

何分析函数关系的示范，然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析，最后通过“思考”

提出问题，引导学生概括三个实例的共同属性，建立函数的概念。在这样一个从具体（背景

实例）到抽象（函数定义）的过程中，学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类

实例具有的共同特征，更能理解概念内涵。

作为中学数学的核心概念，函数与中学数学的许多概念都有内在联系，这种联系性为理解函

数概念提供了众多的角度和机会，因此加强函数与其他数学知识的联系是函数概念教学的内

在要求。例如，函数有多种表示方法，加强不同表示法之间的联系和转换，使学生学会在面

临一个具体问题时能根据问题的特点灵活选择表示的方法，就是促进理解的一个手段。教材

通过例题给出高一某班三位同学在六次测试中的成绩及相应的班平均分的数据，要求分析三

位同学的学习情况。解决这个问题的关键就是根据函数的表格表示法与图象表示法的特点，

将表格表示转化为图象表示。又如，函数与现实生活有着密切的联系，所以在编写教材时注

重加强函数与现实生活的联系，像由背景实例引入概念，在例题和习题中安排一定量的应用

问题（碳14的衰减，地震震级，溶液的酸度等）都体现了函数与实际生活的外部联系。再如，从运用函数观点解决方程问题的角度介绍二分法，体现出函数与方程间的联系等等。

三、函数内容教学中的几个关键问题

1．如何选择生活实例。

无论是加强概念背景，还是突出知识的联系与应用，能达到很好效果的重要因素就是要选择

合适的实例。那么，如何选择实例才能有助于学生的学习呢？对于起到不同作用的背景实例

和应用实例，标准并不完全相同。但总的来说，一是实例的背景知识应该尽量简单，这样可

以避免因背景的复杂性而影响对数学知识本身的理解；二是实例应丰富，这样有利于全面、

准确地理解知识，不会产生偏差；三是实例应贴近学生生活、具有一定的时代性，这样才会

引起学生的共鸣，激发学习的兴趣。比如，介绍函数概念时，教材选择了用解析式表示炮弹

飞行的问题、用图象表示南极臭氧空洞的问题、用表格表示恩格尔系数的问题，第一个问题

是学生在物理中就很熟悉的，后两个问题是日常生活中经常提及的，背景相对来说比较简单，学生就不会因为需要了解过多的背景知识而冲淡对函数概念的学习。而且重要的是，这样的

三个问题包括了不同的函数表现形式，利用它们概括函数概念，就可以消除初中学习中可能

存在的一些认识偏差，使学生认识到无论表示形式如何，只要对于每一个x，都有一个y与

之对应，就是函数，而这正是函数的本质特征。再如，根据汽车票价制定规则写出票价和里

程间的解析式，并利用解析式为售票员制作出我们在汽车上经常看到的“阶梯形票价表”这类

问题，贴近学生生活并具有现实的应用价值，能引发学生的兴趣和学习的积极性。

2．如何展开函数概念。

对于突破函数概念这个难点，可以在整段函数内容的学习中采用显化过程、加强联系的方法。那么具体地，在从三个方向巩固函数概念理解时，如何展开像函数的单调性、二分法这些概念，才能让学生掌握它们，从而达到巩固理解函数概念的目的呢？函数的性质就是研究函数

的变化规律，这种规律最直观的获得来自于图象，图象的上升、下降就是单调性。问题在于

如何帮助学生从几何直观上升到严格的数学定义。同样地，二分法也需要经历一个由直观认

识到数学定义的过程。为此，就需要将直观到严格数学定义的过程划分成几个层次，为学生

搭建认识的台阶，使他们逐步地获得概念。比如，介绍函数单调性时，首先给出一次函数和

二次函数的图象，观察它们的图象特征，即上升或下降；然后用问题“如何描述函数图象的

‘上升’‘下降’呢”引导学生用自然语言描述出图象特征；最后思考“如何利用解析式f(x)=x2描述