第七章 查找

查找失败的平均查找长度： 1 n ’ ASLu= n+1 ∑l j-1 j=0 l’j为第j个失败结点所在的层次编号，到达该失败结 点的关键字比较次数为l’j-1。
6、习题
(1)有序顺序表，对于相同的给定元素分别进行顺序 查找和折半查找，比较次数分别是s,b,在查找成功 的情况下,s,b的关系（ ），在查找失败的情况下， s,b的关系（ ）。
3、算法实现： int Bin_Search(int r[] , int n,int key) { int Low=1，High=n, Mid ; while (Low<High) { Mid=(Low+High)/2 ; if (r[MID]==key) return(Mid) ; else if (r[MID]<Key) Low=Mid+1 ; else High=Mid-1 ; } return(0) ; /* 查找失败 */ }
2、查找算法的时间性能： 对于查找成功的情况，将关键字比较次数的数学期望 值称为平均查找长度： ASL=∑ PiCi n为查找表中记录个数
i=1
n
∑ Pi=1
i=1
n
其中： Pi ：查找第i个记录的概率，不失一般性，认 为查找每个记录的概率相等，即 P1=P2=…=Pn=1/n ； Ci：查找第i个记录需要进行比较的次数。 对于查找失败的情况，平均查找长度为查找失败对应 的比较次数。
(3)具有n个关键码的B-树有多少个叶子（
）。
(4)向m阶B-树插入元素，什吗情况· 会产生分裂？
(5)删除 m阶B-树中元素，什吗情况会产生分裂？
(6)给定一组记录，其关键字为整数，插入关键字的 顺序是{68,54,82,35,75,90,103,22} a.给出从空树开始顺序插入这些记录后的3阶B树; b.分别给出在这棵B树上删除22,75后的3阶B树。
删除g
h
f bd
f
m e l
p
bd
(2)若结点N中的关键字个数=m/2-1：若结点N的 左(右)兄弟结点中的关键字个数>m/2-1，则将 结点N的左(或右)兄弟结点中的最大(或最小)关 键字上移到其父结点中，而父结点中大于(或小 于)且紧靠上移关键字的关键字下移到结点N。 h
删除q
h
f m eg
4、折半查找判定树：查找时每经过一次比较，查找范 围就缩小一半，该过程可用一棵二叉树表示： ◆根结点就是第一次进行比较的中间位置的记录； ◆排在中间位置前面的作为左子树的结点 ◆排在中间位置后面的作为右子树的结点； 对各子树来说都是相同的。这样所得到的二叉树称为 折半查找判定树(Decision Tree)。将二叉判定树的第 ㏒2n+1层上的结点补齐就成为一棵满二叉树，深度不 变，h= ㏒2(n+1) 。 5、算法分析:在等概率的情况下查找成功的平均查找 长度: 1 n ASLs= n ∑li i=1 li为第i个元素所在的层次编号
顺序查找
1、查找思想：从表的一端开始逐个将记录的关键字 和给定K值进行比较，若某个记录的关键字和给定K值 相等，查找成功；否则，若扫描完整个表，仍然没有 找到相应的记录，则查找失败。 2、算法分析：在等概率的情况下查找成功的平均查 找长度为(n+1)/2;查找不成功的关键字比较次数为 n+1。
3、习题 (1)静态查找与动态查找的根本其区别？
②二次探测法 Hi=(H(key)+di)%m,m为表长，di=12 , -12 , 22 , 22 , …, k2 , -k2 , k≤(m-1)/2,H0是一个非负整数， m应是值为4k+3的一个整数。如3,7,11,19, …。当表 的长度m为质数且装填因子不超过0.5时，新的表项一 定能够插入，且任何一个位置不会被探测两次。 例：设散列函数为H(key)=key%7,取m=11,用二次探测 法处理冲突,请画出依次输入关键字序列 {46,21,80,62,18,34,12,40}的散列表。
gm bf
p
l
p
7、B-树的查找效率：B-树的差查找效率主要取决于 结点所在的层数，含有n个关键字的m阶B-树的最大深 度不超过log m/2 ((N+1)/2)+1。
、习题
(1)下列关于m阶B-树说法错误的是（
A.根结点至多有m锞子树
）。
B.所有叶子在同一层次
C.非叶子结点至少有[m/2]锞子树 D.根结点的数据是有序的 (2)下列关于m阶B-树说法正确的是（ ）。 A.每个结点至少有两个非空子树 B.树中的每个结点至多有m-1个关键码 C.所有叶子在同一层 D.当插入一个结点引起分裂时树长高一层
key
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 14 11 18 20 35 40 32 44 38 56 62 68 67 65
link 索引表 key 20 44 68
数据区 2、多级索引结构和m叉树： 当数据元素个数很多，索 引表很大，可以建立多级 索引，这种多级索引结构 一级索引 形成一种m叉查找树。 70 二级索引
(5)对有2k-1元素的有序表进行折半查找，查找成功 的情况下最多要比较多少次？查找失败的情况下最 多要比较多少次？
B-树
1、线性索引：先把n个元素分成b个子表(块)，块内 关键字无序(或有序)，块间关键字有序，另需建立一 个索引表，索引项的关键字域存放相应块的最高关键 字，链域存放对应块第一个元素在数据区中的起始位 置。
a 1 b 1 15 d 2 ∧ 10 ∧ 20 ∧ 24 3 c 33 48 53
e 1 ∧ 20 ∧
f 2 ∧ 28 ∧ 31 ∧
g h 1 ∧ 37 ∧ 1 ∧ 50 ∧
i 1 ∧ 56 ∧
一棵包含13个关键字的4阶B_树
m阶B树最大结点个数
若m阶B树的高度为h，最大结点个数为n，根 h 据m叉树的性质有： 1 (mh-1) i-1 N=≤ ∑m = m-1 i=1
4、B-树的查找：
BT
50 30 60 70
10
40
56 59
65
75 80
B树的查找过程是一个在结点内查找和循某一条路径向 下一层查找交替进行的过程。
5、B-树的插入：
插入89后结点溢出
插入到某个叶子结点，若插入后结 点p关键字个数超出m-1个，结点p 需要分裂成两个结点p和q。 p:(m/2-1,p0,k1,…,k m/2-1,p m/2-1) q:(m-m/2, pm/2,km/2+1,…,km,pm) 位于中间结点的关键字km/2提升为 p和q这两个结点的双亲。
f
bd eg
p lm q bd
l
p
(3)若结点N和其兄弟结点中的关键字数=m/2-1： 删除结点N中的关键字，再将结点N中的关键字、 指针与其兄弟结点以及分割二者的父结点中的 某个关键字Ki，合并为一个结点，若因此使父结 点中的关键字个数<m/2-1 ，则依此类推。
g
f b e l m
删除e
A.s=b B. s>b C.s<b D. 不能确定 (2)对有10个元素的有序顺序表进行折半查找，求等 概率情况下查找成功和查找失败的平均查找长度？
(3)折半查找判定树不属于（ C.完全二叉树 D.二叉树
）。
A.平衡二叉树 B. 二叉排序树 (4)当n足够大时，对有序顺序表进行折半查找，在 等概率情况下，查找成功的平均查找长度是？
3、处理冲突的方法 (1)开放定址法: 当发生冲突时,生成一个探测序列,沿此序列逐个地址 探测,直到找出一个空位置。 Hi=(H(key)+di)%m,m为表长 ①线性探测法 di =1,…,m-1。 例：设散列函数为H(key)=key%7,取m=8,用线性探测 法处理冲突,请画出依次输入关键字{46,21,62,34,10} 后的散列表。 该方法容易出现堆积
(2)下面那种数据结构查找效率最低？
A.有序顺序表 C.堆 B.二叉排序树 D.散列表
折半查找
1、前提条件：表中的所有记录是按关键字有序(升序 或降序) 。 2、查找思想：用Low、High和Mid表示待查找区间的下 界、上界和中间位置指针，初值为Low=1，High=n。 ⑴取中间位置Mid：Mid=(Low+High)/2 ； ⑵比较中间位置记录的关键字与给定的K值： ①相等：查找成功； ②大于：待查记录在区间的前半段，修改上 界指 针： High=Mid-1，转⑴ ； ③小于：待查记录在区间的后半段，修改下 界指针：Low=Mid+1，转⑴ ； (3)直到越界(Low>High)，查找失败。
m阶B树最小高度
因为m阶B树中每个结点中最多有m-1个关键字, 所以一棵高度为h的m阶B树中关键字的个数为： N≤mh-1，因此有h≥logm(N+1)
m阶B树最大高度
若让m阶B树中每个结点关键字个数达到最少,则容 纳同样多关键字的情况下B树的高度可达到最大, 经过分析和推导,可得h≤log m/2 ((N+1)/2)+1
2、常见的散列函数 除留余数法： H(key)=key%p p≤m,p为不大于表长m 的最大质数。 平方取中法： 把关键字自乘，取其中间几位作为存 储地址。例：K=42016,K2=17653344256 取中间三位 344作为存储地址。 折叠法：将关键字分成若干段，其中每段长度小于或 等于地址空间位数。例 K=5824422415,地址空间是4 位。分段：5824|4224|15 在散列函数中，除留余数法优于其他类型的散列函数， 最差的是折叠法。
6、B-树的删除： 若N不是叶子结点，设K是N中的第i个关键字，则将指 针Pi所指子树中的最小关键字,K’放在(K)的位置，然 后删除K’，而K’一定在叶子结点上。 h g m e gl p