《直角三角形》公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》是学生在学习了锐角三角形和钝角三角形的基础上，进一步研究直角三角形的特点和性质。
本节课的主要内容有直角三角形的定义、特性以及直角三角形的判定。
通过本节课的学习，学生能进一步理解三角形的分类，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的相关知识，对三角形有了初步的认识。
但部分学生对三角形分类的理解还不够深入，对直角三角形的判定方法可能还存在疑惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形的定义、特性及判定方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的定义、特性及判定方法。
2.难点：直角三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、直角三角形模型、实物图片等。
2.学生准备：课本、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的直角三角形图片，如：直角尺、房屋设计图等，引导学生关注直角三角形在生活中的应用。
提问：“你们知道这些图片中的图形是什么三角形吗？”让学生回答，从而引出本节课的主题——直角三角形。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示直角三角形的定义和特性，让学生初步了解直角三角形。
接着，通过PPT展示直角三角形的判定方法，引导学生思考如何判断一个三角形是否为直角三角形。
3.操练（10分钟）学生分组进行合作学习，每组选取一个三角形图形，判断它是否为直角三角形，并说明理由。
北师大版八年级数学下册教案1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质附教学反思
第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；(重点、难点) 2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．(难点)一、情境导入观察下面图形：师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．二、合作探究探究点一：等边三角形的判定【类型一】三边都相等的三角形是等边三角形已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，∴a＝b＝c.故△ABC是等边三角形．方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．【类型二】三个角都是60°的三角形是等边三角形如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC .试判定△ODE 的形状，并说明你的理由．解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE ＝∠OED ＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE ＝60°，从而可得△ODE 是等边三角形．解：△ODE 是等边三角形，理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°.∴∠DOE ＝180°－∠ODE －∠OED ＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DOE ＝∠ODE ＝∠OED ＝60°.∴△ODE 是等边三角形．方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形如图，在△EBD 中，EB ＝ED ，点C 在BD 上，CE ＝CD ，BE ⊥CE ，A 是CE 延长线上一点，AB ＝BC .试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．解析：由于EB ＝ED ，CE ＝CD ，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE ＝12∠ECB .再由BE ⊥CE ，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB ＝60°.又∵AB ＝BC ，从而得出△ABC 是等边三角形．解：△ABC 是等边三角形．理由如下：∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠D .又∵∠ECB ＝∠CED ＋∠D .∴∠ECB ＝2∠D .∵BE ＝DE ，∴∠CBE ＝∠D .∴∠ECB ＝2∠CBE .∴∠CBE ＝12∠ECB .∵BE ⊥CE ，∴∠CEB ＝90°.又∵∠ECB ＋∠CBE ＋∠CEB ＝180°，∴∠ECB ＋12∠ECB ＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°.又∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形．方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．探究点二：含30°角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求。
北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》这一课时，主要让学生了解直角三角形的性质与判定。
在学习了勾股定理和三角函数的基础上，本节课让学生通过观察、实验、推理等方法，探索并证明直角三角形的性质，从而加深对勾股定理的理解和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，对于观察、实验、推理等方法有一定的了解和运用能力。
但是，对于证明直角三角形的性质和判定，还需要老师在课堂上进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生通过观察、实验、推理等方法探索数学问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：证明直角三角形的性质和判定。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实验探究法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对直角三角形性质的思考。
2.自主学习：让学生通过观察、实验、推理等方法，探索直角三角形的性质。
3.合作交流：学生分组讨论，分享探索成果，互相提问，解决问题。
4.讲解与演示：老师对学生的探索成果进行点评，讲解直角三角形的性质和判定方法，并进行现场演示。
5.练习巩固：让学生进行一些有关直角三角形性质和判定的练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：让学生总结本节课所学内容，老师进行补充。
七. 说板书设计板书设计如下：直角三角形的性质与判定a.直角三角形的两个锐角互余b.直角三角形的斜边最长c.直角三角形的两条直角边互相垂直d.如果一个三角形有一个角是直角，那么它是直角三角形e.如果一个三角形的两边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、练习等情况，了解学生的参与程度。
北师大版八年级下册数学1.2直角三角形全等的判定(HL定理)教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质；
2.掌握HL定理的证明过程和判定方法；
3.学会运用HL定理解决实际问题时，正确识别直角三角形的直角边和斜边；
4.能够运用HL定理与其他全等判定方法（如SSS、SAS等）相结合，解决复合型全等问题。
4.强调HL定理在实际生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的应用意识。
5.布置课后作业，让学生在课后进一步巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对直角三角形全等判定（HL定理）的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成教材课后练习题1-5题，要求学生在解题过程中，准确识别直角边和斜边，熟练运用HL定理进行判定。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1.引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现并理解HL定理；
2.采用问题驱动法，设计具有启发性和挑战性的问题，激发学生的求知欲和探究精神；
3.组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力；
4.引导学生运用HL定理解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力；
5.反馈评价，查漏补缺：通过课堂练习、小组互评等方式，了解学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导；
6.归纳总结，提炼方法：在课程结束时，引导学生对所学知识进行归纳总结，提炼解题方法，提高学生的几何素养。
在教学过程中，教师应关注以下方面：
1.关注学生个体差异，实施差异化教学，使每位学生都能在原有基础上得到提高；
b.分享：组内成员在学习HL定理过程中遇到的困难和解决方法；
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教学设计
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》是学生在学习了三角形的性质和分类之后，进一步研究三角形的特殊形式——直角三角形。
本节课的内容包括直角三角形的定义、性质以及直角三角形的判定。
教材通过丰富的实例和活动，引导学生探索直角三角形的性质，培养学生的观察能力、思考能力和实践能力。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了三角形的性质和分类，对三角形有了初步的认识。
但直角三角形作为一种特殊的三角形，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和直观的图形，帮助学生理解和掌握直角三角形的性质。
三. 教学目标1.理解直角三角形的定义和性质。
2.学会用三角板和直角三角板画直角三角形。
3.能够运用直角三角形的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.直角三角形的定义和性质。
2.直角三角形的判定。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.活动教学法：引导学生动手操作，亲自实践，培养学生的观察能力和动手能力。
3.启发式教学法：教师提问，学生思考，引导学生主动探索直角三角形的性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形的定义、性质和判定的课件，以便在课堂上展示。
2.教具：准备三角板、直角三角板和一些直角三角形模型，用于课堂演示和学生的动手操作。
3.练习题：准备一些有关直角三角形的练习题，用于课堂巩固和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或实际问题，引导学生思考：什么是直角三角形？直角三角形有哪些特殊的性质？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的定义和性质，通过课件和教具的演示，让学生直观地理解直角三角形的特征。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，使用三角板和直角三角板画出不同的直角三角形，并观察和交流直角三角形的性质。
4.巩固（10分钟）教师提问，学生回答，检查学生对直角三角形性质的理解。
新北师大版八年级数学下册第1章教案新部编本
∴∠ C=∠F（等量代换）。
又 BC=EF（已知），
∴△ ABC≌△ DEF（ ASA ）。
二、折纸活动 探索新知
活动内容： 在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性
质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些
性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。
注意对有困难的学生给予帮助和指导。
三、经典例题 变式练习
活动内容 ：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可
流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如： 1、具体有关性质定理； 2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三
角形的问题提供了丰富的理论依据． 3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性． 六、布置作业 P5 习题 1,2. 七、教学反思 本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索－发现－猜想－证
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等．
并对这些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等” ，学生得到了下面的证明方法：
已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，BD、 CE是△ ABC的角平分线．
求证： BD=C．E
A
证法 1：∵ AB=AC，
∴∠ ABC=∠ACB(等边对等角 ) ．
你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流， 学生一般都能在直观猜测、 测量验证的基础 上探究出： 等腰三角形两个底角的平分线相等；
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿一. 教材分析《直角三角形》是北师大版数学八年级下册第1章第2节的内容。
本节课主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的定义、直角三角形的边角关系、直角三角形的应用等。
通过学习本节课，学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但是，学生可能对直角三角形的性质和应用还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要通过引导学生观察、思考、讨论等方式，帮助学生理解和掌握直角三角形的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生能够通过观察、思考、讨论等方式，培养自己的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质及其应用。
2.教学难点：直角三角形的边角关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和性质，引出直角三角形的定义。
2.探究直角三角形的性质：引导学生观察、思考直角三角形的性质，并通过几何画板软件进行演示。
3.小组讨论：学生分组讨论直角三角形的应用，分享自己的解题心得。
4.总结直角三角形的性质：引导学生总结直角三角形的性质，并进行解释。
5.练习与拓展：布置一些有关直角三角形的练习题，帮助学生巩固所学知识，并拓展学生的思维。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：有一个角是直角的三角形a.两个锐角的和为90度b.直角对边最长c.直角三角形的一条直角边等于另一条直角边的平方根乘以斜边d.计算直角三角形的边长e.证明几何命题八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和课后作业的完成情况进行评估。
新北师大版八年级数学下册全册教案
新北师大版八年级数学下册全册教案TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了 8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。
运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。
【单元目标】1.知识与技能（1）等腰三角形的性质和判定定理；（2）直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。
【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
北师大八年级数学下册第一单元 直角三角形教案3
《2 直角三角形》教案第1课时教学目标1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理．2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理．3、掌握勾股定理及其逆定理．4、学会利用勾股定理进行计算、证明与作图．教学重难点教学重点：理解并会证明勾股定理及其逆定理．教学难点：会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形．教学过程一、复习提问：1、什么叫直角三角形？2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？二、新授（一）直角三角形性质定理请学生看图形：1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？2、归纳小结：定理：直角三角形的两个锐角互余．（二）勾股定理及其逆定理1、三角形的三边关系．2、问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？3、勾股定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．4、勾股定理的逆定理．逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区别．勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．（2）判定直角三角形的方法：①角为90°；②垂直③勾股定理的逆定理．（三）课堂小结（1）定理：直角三角形的两个锐角互余．（2）逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边（最大边）．（3）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运．第2课时教学目标1、使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定．2、使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题（发现探索法）．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．教学重难点教学重点：“斜边、直角边”公理的掌握．教学难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．教学过程一、复习提问1、三角形全等的判定方法有哪几种？2、三角形按角的分类．二、引入新课我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS，我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．提问：如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否能全等呢？1、可作为预习内容如图（1），在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？图（1）图（2）研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教具演示）如图（2），因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇，根据“AAS”公理可知：Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．2、两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理．3、讲解新课斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理．三、小结由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”．。
北师大版八年级数学下册1.1等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质课件
1.1 等腰三角形
等边三角形的判定及含30°角的直角 三角形的性质
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
图形
等腰三角形
两条边相等
性
两个角相等
质
三线合一
轴对称图形（1条）
等边三角形
三边都相等 三个角都是等边三角形？一个等腰三角形满足什么 条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
三边相等（定义）含30°角的直角三角形的性质
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一般
随堂训练
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则 △ABC的周长为_9_____cm.
2.三角形的三条边长a,b,c满足(a b)2 | b c | 0
（只填写一个条件）
A
B
C
3.在△ABC，∠A=60°。AB=AC=10cm，则 BC=10cm .
例1.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且 BE=EF=CF=AE=AF,求∠BAC.
A
B
E
F
C
注：边相等可转换为角相等
BD=CE
例2：如图, △ABC是等边三角形,DE∥BC ，请问△ADE 是等边三角形吗?试说明理由.
判定1.三边相等（定义）
A
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
判定2：三个角相等
B
C
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
判定3：一个角是60°的等腰三角形 ∵ ∠A=600 , AB=BC ∴△ABC是等边三角形
2.在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为等边三角
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》(第2课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》（第2课时）教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形全等的判定》是学生在学习了全等图形的概念和性质、全等三角形的判定方法的基础上进行学习的。
本节课主要让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等，并能够运用这一方法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，引导学生探索、发现、验证和应用知识，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了全等图形的概念和性质、全等三角形的判定方法。
但部分学生对于如何运用判定方法解决实际问题还不够熟练，特别是对于一些复杂图形的处理能力有待提高。
此外，学生的数学思维能力、观察能力和合作能力也有待进一步提高。
三. 教学目标1.理解HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的条件；2.学会运用HL判定方法解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力、观察能力、合作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法；2.教学难点：如何运用HL判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境导入，激发学生的学习兴趣；2.问题驱动法：引导学生发现并提出问题，培养学生解决问题的能力；3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作能力；4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、例题、练习题等；2.准备教学课件，以便进行多媒体教学；3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活情境，如建筑工人测量角度，引入直角三角形全等的概念。
提问：如何判断两个直角三角形是否全等？2.呈现（10分钟）展示PPT，引导学生发现并提出问题。
如：如果已知一个直角三角形的斜边和一条直角边，如何求解另一个直角三角形的对应边长？3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过合作学习，探索并验证HL判定两个直角三角形全等的方法。
《 直角三角形》(第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
第一章三角形的证明1.2直角三角形教学设计第1课时一、教学目标1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.2．证明直角三角形的性质定理和判定定理.3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.二、教学重点及难点重点：1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源微课，知识卡片图片五、教学过程【情境导入】问题：房梁的一部分如图所示，，其中BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4 m，点D是AB的中点，且ED⊥AC，垂足分别是E，那么BC的长是多少?解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”，得到BC=3.7 m．由此提问：“我们曾经探索过的直角三角形，还有哪些性质和判定方法?”．设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．【探究新知】1．忆一忆回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流．（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？定理：直角三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.求证：∠A＋∠B=90°.证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°.∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=180°－∠C=180°－90°=90°.（2）已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°.求证：△ABC是直角三角形.321证明：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C =180°.∵∠A ＋∠B =90°，∴∠C =180°－（∠A ＋∠B ）=180°－90°=90°.∴△ABC 是直角三角形.2．证一证我们曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用拼图及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?图1图2利用图1 的边长为a ，b ，c 的全等的四个直角三角形拼成一个以c 为边的正方形如图2，则图中的小正方形边长为(a -b )，它的面积为(a -b )2 ，四个直角三角形的面积和为(4×2ab ) 由此可得：c 2 = (a -b )2+2ab = a 2-2ab +b 2+2ab = a 2+b 2．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的cb acba方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?师生共同来完成．已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2求证：△ABC 是直角三角形．分析：要从边的关系，推出∠A ＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC 与一个直角三角形全等，而得到∠A 与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．证明：作Rt △A ′B ′C ′，使∠A ′＝90°，A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC (如图)，则A ′B ′2＋A ′C ′2 ＝B ′C ′2 (勾股定理)．∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴BC 2＝B ′C ′2．∴BC ＝B ′C ′．∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．∴∠A ＝∠A ′＝90°(全等三角形的对应角相等)．因此，△ABC 是直角三角形．总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．设计意图：勾股定理及其逆定理的证明对学生有一定难度，接受并经历定理的探究过程，即明确有关定理即可．3．议一议 CB AA'B'C'观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗?通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如：“两直线平行，内错角相等”，“内错角相等，两直线平行”．“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题．活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结．活动时可以先让学生观察下面三组命题：第一组：如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．第二组：如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．第三组：三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．▲在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．设计意图：通过几对数学和生活中的命题，引导学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，并归纳出它们的共性，得到互逆命题的概念．注意原命题正确，其逆命题不一定正确.4．想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，它们都是真命题吗？答：逆命题是“如果两个有理数的平方相等，那么它们相等”，原命题是真命题，逆命题是假命题.从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明．如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理．能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．设计意图：本环节关键是让笑死我验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致．【典例精讲】例 1 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余解析：C．如图（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图（2）所示，可知此时两角互补．例2 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，内旁内角互补；（3）如果ab ＝0，那么a ＝0，b ＝0．解析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．（3）如果a ＝0，b ＝0，那么ab ＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．设计意图：例题巩固了本节所学知识，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．【课堂练习】1．以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．3+1，3－1，22B ．4，7.5，8.5C ．7，24，25D ．3.5，4.5，5.52．在直角三角形中，锐角顶点所引的两条线中线长为5的斜边长（ ）A ．10 B．CD．3．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA ＝AB ＝2BC ，D 为AB 中点，有以下结论：（1）DE ＝AC ；（2）DE ⊥AC ；（3）∠CAB ＝30°；（4）∠EAF ＝∠ADE ，其中结论正确的是（ ）A ． （1），（3）B ． （2），（3）C ． （3），（4）D ． （1），（2），（4） 4．如图所示，∠ACB ＝90°，BC =DB ，AC =AE ，则∠DCE=（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．30°F ED CBA5．直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________．6．如图所示，在高为3m ，斜坡长为5m 的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯多少米？设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 参考答案：1．D 2．D ． 3．D ． 4．C ．5．4.86．解析：毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和．解：52－32＝16＝42，∴3＋4＝7．∴至少需要地毯7米．六、课堂小结1．直角三角形的性质和判定定理：三角形的两个锐角互余．定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．2．命题与逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．E D CBA3．定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．七、板书设计1.2直角三角形（1）1．直角三角形的性质和判定2．命题与逆命题3．定理与逆定理。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形优秀教学案例
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、克服困难的志品质。
2.使学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学学习的实用价值，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的空间观念，提高他们对几何图形的审美能力，丰富学生的数学情感。
4.引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习对人的一生发展的重要意义，激发学生追求卓越的信念。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验，提高学生的学习策略。
2.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的知识掌握、技能提升和情感态度，给予针对性的指导和鼓励。
3.组织学生互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进学生的共同成长。
4.定期进行教学反思，根据学生的反馈调整教学策略，提高教学效果，确保每一位学生都能在直角三角形的学习中获得成功体验。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握直角三角形的定义及性质，理解直角三角形的判定方法，并能运用相关知识解决实际问题。
2.培养学生运用几何图形、符号、公式等进行逻辑推理的能力，提高学生解决直角三角形相关问题的技能。
3.使学生能够运用直角三角形的性质，解决生活中的实际问题，如测量距离、计算面积等，增强学生的数学应用意识。
3.结合课本例题，设计富有挑战性的问题，引导学生主动探究直角三角形的性质与证明方法，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（二）问题导向
1.以问题驱动教学，设计具有启发性的问题，引导学生思考直角三角形的性质及判定方法，培养学生的问题解决能力。
2.将问题分解为若干小问题，逐步引导学生深入探讨，帮助学生建立完整的知识体系。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生主动探究、发现问题的能力，提高学生的团队协作能力。
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第一单元1.2节《直角三角形》。教学内容主要包括以下方面：
1.直角三角形斜边与直角边的关系，即勾股定理；
4.勾股定理的应用；
5.直角三角形面积的计算。
二、核心素养目标
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作探究，提高学生的交流表达能力；
5.激发学生的创新思维，鼓励学生在解决问题过程中，探索不同的解题方法和技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）直角三角形的定义及性质：理解直角三角形的定义，掌握其内角和为180°，其中一个角为90°的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：通过实际操作教具或绘制图形，让学生直观感受直角三角形的特征，强调直角三角形内角和为180°，其中一个角为90°。
（2）勾股定理：理解并掌握勾股定理，即直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，并能运用勾股定理解决实际问题。
举例：通过实际操作教具或绘制图形，让学生发现勾股定理，然后给出具体数值，让学生计算验证。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的基本概念。直角三角形是一种有一个角为直角（90°）的三角形。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于建筑、测量等领域。
《直角三角形全等的判定》教案 (公开课)2022年北师大版数学下册
第2课时 直角三角形全等的判定1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞；(重点)2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个方法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点：直角三角形全等的判定【类型一】 应用“HL 〞证明三角形全等如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)． 方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．【类型二】 利用“HL 〞证明线段相等如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件．【类型三】 利用“HL 〞证明角相等 如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型四】 利用“HL 〞解决动点问题如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB .P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合．那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？解析：此题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝10，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合，不合题意．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴在Rt △ABC 与Rt △QP A 中，AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A (HL)，即AP ＝BC ＝10；②当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC ，不合题意．综上所述，当点P 运动到距离点A 为10时，△ABC 与△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)，∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL 〞外，还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计1．作直角三角形2．直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习稳固所学的新知识.第2课时 三角形的三边关系1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形按边分类以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )解析：三角形根据边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧只有两边相等的三角形三边相等的三角形〔等边三角形〕应选D.方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键． 探究点二：三角形中三边之间的关系 【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，10cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，4cm ，9cm解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围 一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11B ．4＜x ＜7C ．－3＜x ＜11D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【类型三】 三角形三边关系与绝对值的综合假设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a －b －c ＜0，b －c －a ＜0，c ＋a －b ＞0.∴|a －b －c |＋|b －c －a |＋|c ＋a －b |＝b ＋c －a ＋c ＋a －b ＋c ＋a －b ＝3c ＋a －b .方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计1．三角形按边分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．2．三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力。
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教材，主要介绍了直角三角形的性质与判定方法。
内容包括：直角三角形的定义、性质以及直角三角形的判定方法。
通过本节课的学习，使学生掌握直角三角形的性质与判定，为后续学习勾股定理和相似三角形打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质和分类，对三角形有了一定的认识。
但直角三角形的性质和判定较为抽象，需要通过实例和动手操作来加深理解。
此外，学生可能对数学证明过程感到困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握直角三角形的性质与判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究、归纳等方法，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作意识，体验成功的喜悦。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质与判定方法的运用。
2.难点：对直角三角形性质与判定方法的理解和应用。
五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作学习法、直观演示法、实践操作法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。
2.准备几何画图工具，如直尺、圆规、三角板等。
3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的直角三角形的实例，如建筑工人使用的勾股尺、三角板等，引导学生回顾直角三角形的定义，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示直角三角形的性质与判定方法，引导学生观察、思考，并通过几何画图工具进行实际操作，让学生感受直角三角形的性质与判定方法。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关直角三角形性质与判定的问题，学生进行小组讨论，引导学生运用所学知识解决问题。
在此过程中，教师应及时给予指导和鼓励，提高学生的问题解决能力。
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.1 第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》教学设计一. 教材分析《1.1 第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质》这一课时主要内容是等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质。
北师大版八年级下册数学教材在安排这一内容时，旨在让学生通过观察、操作、猜想、归纳等方法，自主探究等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质，培养学生的几何思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析学生在学习这一课时之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质和分类，具备了一定的几何知识基础。
但对于等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，可能还较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、猜想、归纳等方法，逐步掌握等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握等边三角形的判定方法，理解含30°角的直角三角形的性质，并能运用所学知识解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、归纳等方法，培养学生的几何思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣和成就感。
四. 教学重难点1.重点：等边三角形的判定方法，含30°角的直角三角形的性质。
2.难点：等边三角形的判定方法的灵活运用，含30°角的直角三角形的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、操作、猜想、归纳等，发现等边三角形的判定方法和含30°角的直角三角形的性质。
2.小组合作学习法：学生分组进行讨论、交流，共同解决问题，培养团队合作精神。
3.案例教学法：教师通过出示相关案例，让学生运用所学知识进行分析和解决，提高学生的实际应用能力。
北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
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《直角三角形》教学设计
教材分析
直角三角形是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第二节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。
所以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。
教学目标
【知识与能力目标】
1、了解勾股定理逆定理的证明方法
2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【过程与方法目标】
①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。
【情感态度价值观目标】
①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重难点
【教学重点】
进一步掌握演绎推理的方法。
【教学难点】
进一步掌握演绎推理的方法。
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备；
练习本；
教学过程
温故知新
新你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？
（由学生回顾得出勾股定理的内容。
）
定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？
阅读课本16，17，18
学习目标
1 了解勾股定理逆定理的证明方法
结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立
已知：在ΔABC 中，AB 2+AC 2=BC 2
求证：ΔABC 是直角三角形
（1） （2）
（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。
）
结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2、议一议：
观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
A B C A 1 B 2
C 1
三角形中相等的边所对的角相等。
（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。
3、关于互逆命题和互逆定理。
（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
（引导学生理解掌握互逆命题的定义。
）
4、练习：
（1）写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。
（2）试着举出一些其它的例子。
（3）随堂练习1
5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。
6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？
（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。
）
1、作业
1、基础作业：P20页习题1.4 1、
2、3。
2、拓展作业：《目标检测》
3、预习作业：P21-22页做一做
板书设计：
教学反思略。