平面直角坐标系 伸缩变换
数学学案：平面直角坐标轴中的伸缩变换
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1．会画出伸缩变换后的平面图形．2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的________，将会对图形产生影响．（1）若P （x ,y ）为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的错误!,得到点P ′（x ′，y ′），坐标对应为错误!通常叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．（2)若P (x ，y )，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍,得到P ″（x ″，y ″）．坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝2x ，，y ″＝y 通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是( ）．A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中,分别作出f (x ，y ）＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；（3）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的错误!.第（1）种坐标系中的意思是x 轴与y轴上的单位长度一样,f（x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y)＝0的图形；第（2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，此时f（x,y)＝0表示的图形与第(1）种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!,此时f(x，y）＝0表示的图形与第（1)种坐标系中的图形是不同的．2．对伸缩变换图形的画法剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x轴和y轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案:单位长度【做一做】A 直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．题型一椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆错误!＋错误!＝1的图形：（1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的错误!.分析：(1)常规描点法画椭圆；（2)改变y轴上的单位长度；(3）改变x轴上的单位长度．反思：改变x轴或y轴的单位长度,导致了椭圆错误!＋错误!＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．题型二双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x29－错误!＝1的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1 3 .反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化．【例1】解:(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，错误!＋错误!＝1的图形如下：（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下：（3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下图:【例2】解：（1)建立平面直角坐标系,使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29－错误!＝1的图形如下图:（2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!－错误!＝1的图形如下:（3）如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的错误!,错误!－错误!＝1的图形如下图：1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,其图形可能是( )．A ．双曲线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线2已知一椭圆的方程为22=1164x y ，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( ）．3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．4在下列平面直角坐标系中,分别作出抛物线y2＝－4x的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1.2答案：1．A 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．2．B 如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，则该椭圆的形状为选项B中所示．3．平行四边形4．解：（1）建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，抛物线y2＝－4x的图形如下：(2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!,抛物线y2＝－4x的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y2＝－4x的图形如下：。
平面直角坐标系伸缩变换课件
伸缩变换的矩阵表示
伸缩变换
将平面中的点按照某个方向进行缩放，通常称为放缩变换。
伸缩变换矩阵
放缩变换可以通过一个二阶实对称矩阵来实现，该矩阵称为伸缩变 换矩阵。
伸缩变换矩阵的性质
具有正定的对角线元素，并且其特征值分别对应于放缩变换的两个 方向上的缩放因子。
平面直角坐标系伸 缩变换的优缺点及 展望
平面直角坐标系伸缩变换的优点
便于解决几何问题
通过伸缩变换，可以将复杂的几 何问题转化为简单的代数问题，
从而更便于解决。
丰富数学内容
伸缩变换是一种新的数学方法，可 以丰富数学的教学内容，提高学生 的学习兴趣。
应用广泛
伸缩变换在物理学、工程学等领域 都有广泛的应用，可以帮助学生更 好地理解这些领域的基础知识。
平面直角坐标系伸缩 变换课件
目录
CONTENTS
• 平面直角坐标系基础 • 伸缩变换的基本原理 • 伸缩变换的应用 • 伸缩变换的数学模型 • 伸缩变换的实现方法 • 平面直角坐标系伸缩变换的优缺
点及展望
01
平面直角坐标系基 础
定义与性质
定义
平面直角坐标系是一个二维的数 轴系统，它由两个互相垂直的坐 标轴构成。
伸缩变换的逆变换与等价变换
01
02
03
04
逆变换
如果一个变换可以通过逆变换 还原到原始状态，那么这个变
换就称为可逆的。
等价变换
两个变换可以相互转换，并且 它们对所有点的作用相同，那
么它们称为等价的。
伸缩变换的逆变换
通过伸缩变换矩阵的逆矩阵可 以获得逆变换矩阵。
等价变换的证明
平面直角坐标系的伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标：1、理解平面直角坐标系中的伸缩变换 2、会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 教学过程：一、基础感知： 阅读教材P6—P7问题探究1：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2y x =？问题探究2：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin y x =？ 问题探究3：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin 2y x =？ 二、深入学习：定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x xy y ⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
三、当堂检测：1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21B .2 C.3 D.312、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 35后，曲线C 变为曲线22281,x y ''+=则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y += B. 2291001x y += C ．2210241x y += D.22281259x y += 四、课后作业： 1、抛物线24yx =经过伸缩变换1413x xy y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得到2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，曲线C 变为221640x y x '''--=，则曲线C 的方程5、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 3121后的图形。
讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换
2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。
数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。
通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。
计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。
通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。
例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。
例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。
距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。
1_1_2、平面直角坐标系中的伸缩变换
纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1， a
2）当0 < a <1时，将y = f(x)图象上每一个点的
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1 倍，
即得函数y = f(ax)的图象；a
特殊地：y=sin x, x R( >0, 1)的图象能够由y=sinx
1.1.2平面直角坐标 系中的伸缩变换
• 教学目标：
• （1）学会用坐标法来解决几何问题。
• （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联 系，知道图形之间是能够类与类变换的。
• （3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变 换公式。
• 教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。
• 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结 体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、 剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
(C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的1 倍,横坐标不变 2
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
5
(3)为了得到函数y 4sin( x )的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的3 倍,纵坐标不变 4
亿元上升到1995年6月的18.281亿元，能够用图1和图2来
表示增长幅度。
贷款/亿元
20
贷款/亿元
18
18 16
图1 16
14
14
图2
3 6 月份
3 6 月份
这两个图中所表示的数据是相同的，但是给我们的感
觉是图2显示的增长的幅度要大，产生这种误解的原因是
平面直角坐标系知识点平面直角坐标系中的伸缩变换坐标系的作用
一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。
再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。
数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。
再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。
如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。
平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。
高二数学选修44432平面直角坐标系中的伸缩变换
y’=3y
后的图形。 〔1〕2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
设点P〔x , y〕经变换得到点为P′ (x′, y′)
x′=x 2
y′=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
问题分析：
〔3〕怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐
标不变，将横坐标x缩为原来的
1 2
，在此基础
上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线
y=3sin2x.
设点P〔x , y〕经变换得到点为P′ (x′, y′)
1
x′= 2 x
3
y′=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一
个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:xy''xy
(0) (0)
4
1
纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 2 ，得到点
P′(x′, y′).坐标对应关系为：
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
问题分析：
〔2〕怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲 线 y=3sinx? 写出其坐标变换。
问题分析：
在正弦曲线上任取一点P〔x , y〕，保持横坐标 x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲 线y=3sinx。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换
换
x’=3x
y’=y 曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
后，
课堂小结：
（1）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8
4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
； http://www.zgkss.top/ 看守所
cth58dwc
涸、泪渐干？洛月躲在屋里，手心冒汗。她遵照 的意思，取闺房中现成的红染料浸出水，趁人看不见打进泥土中，芙蓉树吸了，汁液中便 流着红色，又从断口中渗出来。洛月在做这事时，只以为吓唬吓唬那些敢挖树的人，没想到会惊动到老太太，闹得这么大。老太太看过了 那些“血泪”，甚至闻了闻，问嘉颜：“留了么？”嘉颜道：“留了一份，送到外头验了。”老太太道：“快把树请回土里去，好生照料 着。”众人应着。老太太进宝音屋里来。宝音倚在床边，长发在颈后以丝巾束住，简洁柔婉，纤细双肩披袭淡色长衣，见老太太进来，忙 叫乐韵扶她行礼。老太太叫止了。嘉颜不听，在地上行了大礼，依次对大太太二太太也施礼毕，呜咽：“惊动这么多长辈，毓笙心下惭愧 死了。”第二十四章 芙蓉泣血移宝屋（2）“糊涂孩子，”老太太看着乐韵把 扶回床上坐着，“那树有异常，又关你什么事？”宝音道： “总是毓笙院子里出的事……”老太太听宝音说话，不带咳喘，气息撑得下来，虽还娇弱，遣词行句倒比从前还得体了些，再仔细看她脸 上，气色也见好些，眸光温润内敛，更非从前那恹恹抱恙的目光，不由惊奇道：“笙儿，你身体见好？”宝音答道：“多托外婆的福，多 亏大舅母、二舅母关心照料，自从用了于大夫新药之后，笙儿自己觉得是一天天爽利起来。”老太太又问：“昨天晚上，可惊着你了不 成？”宝音便有些迟疑：“笙儿一早起来，听丫头们讲说，半夜有什么声音……还觉奇怪呢，怎么笙儿似乎没听着什么。”老太太便问丫 头：“昨晚你们听见什么？”乐韵对答如流：“是听见怪声，像有人哭，婢子惊醒回来，看姑娘睡得熟熟的，不敢惊动。幸好那怪声持续 时间不长，很快就止息了。早上，听其他人也说这事，不是婢子一个人错听，这才不敢瞒了，便照实禀报了姑娘。”老太太抚摸着宝音的 手：“可怜见的。”宝音的手温暖，不湿、不燥。老太太很欣慰，这是一双健康的手。若真有恶鬼闹事，屋主人怎还会如此健康？老太太 放心多了，宝音看着老太太，一脸依恋和求助：“外婆，其实，昨晚……”又不敢说下去。老太太鼓励她：“昨晚怎么了？说呀？”宝音 悄悄抬起一点眼皮，又不敢说。老太太便命大太太二太太：“没什么事了，你们先回罢。我这儿同孩子说会儿话。”大太太二太太便告退， 并乐韵都送客出去了，屋里只剩下老太太和宝音。老太太道：“好孩子，有什么话，你信得过外婆，但说出来，不妨事！”宝音感戴道： “这事，笙儿想来想去，也只有同外婆讲，人家说不定怎么笑话我呢！外婆一直明达，想必不会斥责笙儿。”“绝不会斥责的。”老太太 答应她，“你讲罢！”宝音道：“其实昨晚，笙儿做了个梦，有人青裙粉帔，似乎是——极
平面直角坐标系中的伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换【知识要点归纳】（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。
（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。
（3） 设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,:μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
（1） 将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，（2） 曲线0222=--x y x 变成曲线0416/22=-'-'x y x【解题能力测试】1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21 B .2 C.3 D.312.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 35后，曲线C 变为曲线18222='+'y x 则曲线C 的方程为（ ）A ．1725022=+y x B.1100922=+y x C ．12410=+y x D.19825222=+y x 3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
4.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 3121后的图形。
求： （1）;025=+y x （2）122=+y x 。
平面直角坐标系及伸缩变换
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
平面直角坐标系中的伸缩变换
平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆
x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.
【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)， 由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，
得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，
再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.
若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(201912)
思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8
6
4
2
5
10
-2
-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
平面直角坐标系中的伸缩变换
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x,y)对应 P' (x', y') 称 为平面直角坐
标系中的伸缩变换。
注 : （1）λ>0,μ>0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩 变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同 一直角坐标系下进行伸缩变换。
坐标伸长变换
8
6
4 2
- 10
-5 -2 -4
5
10
-6
-8
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持
横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到
点P '
(
x'
,
y'
),那么{
x' x y' 3 y
(2)
我们把(2)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换
平面直角坐标系的伸缩变换
定义：设点P( x, y)是平面直角坐标系中的
任意一点，在变换
φ：{ yx
λ μ
x( y(
λ μ
0) 0)
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称 为
平面直角坐标系中的坐 标伸缩变换简称伸缩变 换
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变
换
:
压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x?
如图，在正弦曲线 y sin x上任取一点P( x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标 y伸长原来的3倍， 那么正弦曲线y sin x就变成曲线y 3sin x
平面直角坐标系中的伸缩变换
探 究 结 果：
探 究 结 果：
探 究 结 果：
知 识 梳 理： 平面直角坐标系中的伸缩变换定义
例 题：
例 题：
例 题：
思考
• 【思考1】 伸缩变换一定会改变点的坐标和所在象限位置吗？
• 【思考2】 在伸缩变换下，圆是否可以变成椭圆？椭圆是否可以 变为圆？直线、双曲线、抛物线变成什么曲线？
• 【下面我们带着这两个“思考”完成“练习”后进行总结：】
【练 习】
【练 习 解 析】
【练 习 解 析】
思 考 小结
• 【思考1】 伸缩变换一定会改变点的坐标和所在象限位置吗？
• 【思考2】 在伸缩变换下，圆是否可以变成椭圆？椭圆是否可以 变为圆？直线、双曲线、抛物线变成什么曲线？
思考
【思考3】 如果我们对图形的伸缩变换加上“周期性”，那 么变换后的图形是怎么样的呢？
第二步，通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
探究
• 探究(1) 如何由y＝sin x的图象得到y＝sin 2x的图象？ • 探究(2) 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin x的图象？ • 探究(3) 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？
例 题：坐标系中的伸缩变换
一、复习巩固
• (1)平面直角坐标系的概念 在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，
简称直角坐标系． • (2)对应关系：
平面直角坐标系内的点与 有序实数对(x，y) 之间一一对应． • (3)坐标法解决几何问题的“三部曲”：
第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素， 将几何问题转化为 代数 问题；
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一．平面直角坐标系的建立
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向 三个观测点的报告：正西、正北两个 观测点同时听到一声巨响，正东观测 点听到巨响的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中心的距离都 是 1020m ， 试 确 定 该 巨 响 的 位 置 。 （假定当时声音传播的速度为340m/s， 各相关点均在同一平面上）
+
y 2 9
=1
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解 ： 设 伸 缩 变22y2 1
又4x29y236 则
x′＝2x 3 将曲线 C 经过伸缩变换y′＝13y 后对应图形的方程为 x2－y2＝1，则曲线 C 的焦点坐标为________．
解析：由条件知点(2x，13y)在曲线x2－y2＝1上， ∴4x2－y92＝1，∵a2＝14，b2＝9，
∴c2＝a2＋b2＝347，
∴c＝ 237，∴焦点坐标为(± 237，0)．
1 3 1
2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y
3x y
后，
曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入 x2-9y2=9
得9x2-9y2=9 即x2 -y2=1
y=sinx
O
2 x
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3
y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
3y
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
解： 1由伸缩变换xy23xy 得
代入2x+3y=0 得x+y=0
x
y
1 2 1 3
x y
2由伸缩变换xy 23xy得xy
1 2 1 3
x y
x2
代入x2+y2=1得4
用y=－x代入上式，得 x6805，
∵|PA|>|PB|,
x680 5,y680 5, 即 P(680 5,680 5)故 , PO 681 00
答：巨响发生在接报中心的西偏北
450距中心 680 10m 处.
解决此类应用题的关键：坐 标 法 1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
22 2
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比 较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直 角坐标系应注意什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标
不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 px, y
坐标对应关系为：
2
x
1
x
2
1
y y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y
y=3sinx
4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x， y′＝3y，
则 在 这 一 坐 标 变 换 下 正 弦 曲 线 y ＝ sinx 的 方 程 变 为
________．
解析：∵x′＝12x， y′＝3y，
x＝2x′， ∴y＝13y′.
代入 y＝sinx 得 y′＝3sin2x′. 答案：y′＝3sin2x′
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y
y=3sin2x
y=sinx
2
O
x
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 标将不纵变坐，标将变横为坐原标来x的缩3为倍原，来就的得到12 正，弦在曲此线基础上，
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别
为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
究BE与CF的位置关系。
y
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
C
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
E
坐标分别为
c
设 由 A点 b (2 0C ,的 c 02 坐 ) ,5 标 Ba 2 为 ， ( c( 可 x ,0, 得 y )) 到 ,, F则 |A (点 C 2 E |2 ,的 0 坐 | ).A 标 B O |为 2 (A ) （ 5 |x 2 B ， FC y 2 |） 2 ， .B x
听到爆炸声，
y
C
故|PA|－ |PB|=340×4=1360 P
B o Ax
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线
x2 a2
y2 b2
1 上，
a680,c1020 b2 c2a2 10220682053420 故双曲线方 6x822程 05为 y324201(x0)
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过
伸缩变换 x 2 x
y
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
将在横正坐弦标曲x线缩y为=s原in来x上的任取，一就1 点得P到(x正,y)弦，曲保线持y纵=s坐in标2x不. 变， 2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修4－4
1.1.1《平面直角坐标系》
教学目标
（1）学会用坐标法来解决几何问题。 （2）能用变换的观点来观察图形之间
的因果联系，知道图形之间是可以类 与类变换的。 （3）掌握变换公式，能求变换前后的 图形或变换公式。
教学重点：应用坐标法的思想及掌 握变换公式。
即 x 2 y 2 c 2 5 [(x c )2 y 2 ].
因 整 为 理 得 u B u E u v 2 ( x x 2 c 2 ,y y ) 2 , C u u 2 F u v c 2 (c 5 c x x , 0 y .) ,
所 以 u B u E u v C u u F u v(x2 c)(c 2 x)y2 2 0 .因此，BE与CF互相垂直.
yC P
B o
Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听
到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分
线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s
y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为
x 1 x
2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中
的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
在变换:xy''xy
(0) (0)
4
的作用下，点P(x,y)对应 px, y 称